단순 집합

수학에서, 단순 집합은 특정한 방법으로 "단순"으로 구성된 물체다.단순 집합은 지시된 그래프, 부분 순서 집합 및 범주의 고차원 일반화다.형식적으로 단순 집합은 심플렉스 범주에서 세트 범주에 이르는 역행성 펑터로 정의될 수 있다.Simplicial sets는 1950년에 Samuel Eilenberg와 Joseph A. Zilber에 의해 도입되었다.^[1]

모든 단순한 집합은 기하학적 실현으로 알려진 "좋은" 위상학적 공간을 만들어낸다.이 깨달음은 단순 집합의 규칙에 따라 접착된 기하학적 단순화로 구성된다.실제로, 사람들은 단순화된 세트를 호모토피 이론의 목적을 위해 "잘 행동된" 위상학적 공간의 개념을 포착하기 위해 고안된 순수 결합 구조로 볼 수 있다.구체적으로는 단순 집합의 범주는 자연적인 모델 구조를 가지고 있으며, 해당 호모토피 범주는 위상학적 공간의 친숙한 호모토피 범주와 동일하다.

단순 집합은 상위 범주 이론의 기본 개념인 준 범주를 정의하는 데 사용된다.단순 집합과 유사한 구조는 집합의 범주뿐만 아니라 어떤 범주에서도 수행될 수 있으며, 단순 객체의 개념을 산출한다.

동기

단순 집합은 단순화와 발생 관계에서 구축될 수 있는 위상학적 공간(또는 호모토피까지 충실하게 표현됨)을 포착하는 범주형(즉, 순수 대수학) 모델이다.이는 위상학적 공간을 모델링하는 CW 복합체의 접근법과 유사하며, 단순 집합은 순수하게 대수학이며 실제 위상은 전혀 전달하지 않는다는 결정적인 차이점이 있다.

실제 위상학적 공간으로 돌아가기 위해 단순화된 세트를 콤팩트하게 생성된 하우스도르프 공간으로 바꾸는 기하학적 구현 펑터가 있다.호모토피 이론에서 CW 콤플렉스에 대한 대부분의 고전적 결과는 단순 집합에 대한 유사 결과에 의해 일반화된다.대수학 위상학자들이 대체로 CW 콤플렉스를 선호하고 있는 반면, CW 콤플렉스가 자연적으로 존재하지 않는 대수 기하학에서 응용을 위해 단순 세트를 사용하는 데 관심을 갖는 연구자들이 늘어나고 있다.

직감

단순화된 집합은 지시된 다중문자의 고차원적인 일반화로 볼 수 있다.단순 집합은 정점(이 맥락에서 "0 단순"으로 알려져 있음)과 이러한 정점들 사이의 화살표("1 단순")를 포함한다.두 꼭지점은 여러 개의 화살표로 연결될 수 있으며, 꼭지점을 자신에게 연결하는 방향 루프도 허용된다.지시된 다중 글씨와 달리, 단순 세트는 더 높은 단순성을 포함할 수도 있다.예를 들어, 2-심플렉스(simplex)는 3개의 정점 A, B, C, C, C, A → A → B의 리스트에 의해 경계된 2차원 "삼각형" 형상으로 생각할 수 있다.일반적으로 n-심플렉스(n-simplex)는 n + 1 정점(0-심플렉스)과 n + 1 면(n - 1)-심플렉스 리스트로 구성된 개체다.i번째 얼굴의 정점은 n-simplex에서 i번째 정점을 뺀 정점이다.심플렉스 정점은 구별할 필요가 없고 심플렉스 정점은 그 정점과 면에 의해 결정되지 않는다: 서로 다른 두 개의 단순함이 동일한 얼굴 목록(따라서 정점 목록도 동일할 수 있다)을 공유할 수 있다. 마치 다중그래프에서 서로 다른 두 개의 화살표가 동일한 정점을 연결할 수 있는 것처럼.

단순화된 집합은 지시된 다중 글자가 아닌 단순한 비방향 그래프를 일반화하는 추상적 단순화 복합체와 혼동해서는 안 된다.

형식적으로, 단순 집합 X는 X_n, n = 0, 1, 2, ...의 집합으로, 이 집합들 사이의_n,i 특정 지도와 함께, 얼굴 지도 d : X_n → X_n−1 (n = 1, 2, ..., 0 ≤ i ≤ n)와_n,i 퇴보 지도 s : X_n→X_n+1 (n = 0, 1, 2, ..., 0 ≤ i ≤ n)의 집합이다.우리는_n X의 요소들을 X의 n단추라고 생각한다.지도 d는_n,i 각각의 n-단순에 i-th 얼굴, "반대" 얼굴(즉, i-th 꼭지점을 포함하지 않음)을 할당한다.지도 s는_n,i i번째 꼭지점을 복제하여 주어진 것에서 발생하는 퇴행(n+1)-단순을 각 n-단순에 할당한다.이 설명은 지도 d와_n,i s 사이의 특정한 일관성_n,i 관계를 암시적으로 요구한다.이러한 단순한 정체성을 정의의 일부로 명시적으로 요구하기보다는 짧고 우아한 현대적 정의는 범주 이론의 언어를 사용한다.

형식 정의

Δ는 심플렉스 범주를 나타내도록 한다.Δ의 개체는 비어 있지 않은 형태의 선형 집합이다.

[n] = {0, 1, ..., n}

0-0으로Δ의 형태는 이들 집합 사이의 순서 보존 기능이다.

심플한 세트 X는 역행성 펑터다.

X : Δ → 설정

여기서 집합은 집합의 범주다. (대안적으로 동등하게, 단순 집합은 반대 범주 Δ에서^op 집합까지의 공변량 펑터로 정의할 수 있다.)단순 집합 X를 보면 X([n] 대신 X를 쓰는 경우가_n 많다.

단순 집합은 범주를 형성하며, 대개 sSet로 표시되며, 이들의 개체는 단순 집합이며, 그 형태는 그들 사이의 자연스러운 변형이다.이것은 Δ에 대한 사전예약 범주에 불과하다.그런 만큼 토포다.

공변성 펑거 X : Δ → 반대변동성 펑거 X를 고려한다면, 우리는 균등화성 세트의 정의에 도달한다.cosimplical set의 해당 범주는 cSet로 표시된다.

얼굴 및 퇴폐 지도와 단순한 정체성

심플렉스 범주 Δ는 형태론(maps)의 두 특별히 중요한 패밀리에 의해 생성되며, 주어진 단순 세트 펑터 아래의 이미지를 페이스 맵과 그 단순 집합의 퇴보 맵이라고 부른다.

The face maps of a simplicial set X are the images in that simplicial set of the morphisms $\delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]$ , where $\delta ^{n,i}$ is the only (order-preserving) injection ${\displa$ $ystyle [n-1]\to [n]}$ that "misses" $i$ . Let us denote these face maps by $d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}$ respectively, so that $d_{n,i}$ is a map $X_{n}\to X_{n-1}$ . If the first index is clear, we write $d_{i}$ $d_{n,i}$ ${\$ $d_{n,i}$ $d_{n,i}$ n $d_{n,i}$ i ${\$

The degeneracy maps of the simplicial set X are the images in that simplicial set of the morphisms $\sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]$ , where $\sigma ^{n,i}$ is the only (order-preserving) surjection $[n+1]\to [n]$ $[n+1]\to [n]$ 을 $[n+1]\to[n]$ (를) 두 $i$ 번 "displaystyle $i"$ 로 "display" $한다$ .이러한 퇴보 지도를 각각 $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ …, $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ , $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ , n $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ ${\$ $displaystyle s_$ ${n,0},\dotsc, s_$ ${n,n$ , $n$ $}}$ 로 나타내자, $s_{n,i}$ , i $,$ $s_{n,i}$ , i, n $,$ i $s_{n,i}$ }는 $X_{n}\to X_{n+1}$ 지도 $X_{n}\to X_{n+1}$ → Xn + ${$ }, $displaystystyle X_{n+1$ 첫 번째 인덱스가 명확하면 $s_{n,i}$ $s_{n,i}$ $s_{n,i}$ ${\$ 대신 $s_{i}$ s $s_{i}$ ${\$ 를 쓴다 $s_{n,i}$

정의된 지도는 다음과 같은 단순한 정체성을 만족시킨다.

$d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}$ if i < j. (This is short for $d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}$ if 0 ≤ i < j ≤ n.)
$d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ d $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ = $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ - $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ d $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ ${\$ i<j>일 $d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ 경우.
$d_{i}s_{j}={\text{id}}$ $d_{i}s_{j}={\text{id}}$ $d_{i}s_{j}={\text{id}}$ $d_{i}s_{j}={\text{id}}$ = $d_{i}s_{j}={\text{id}}$ ${\$ i = j 또는 i = j + 1인 경우 $d_{i}s_{j}={\text{id}}$ .
$d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ d $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ j $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ = $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ i $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ - $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ ${\$ i > j + 1인 경우 $d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$
$s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ s $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ = $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ + $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ ${\$ i인 경우 $s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ .

반대로 지도_n $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ , $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ : $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ → $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ - 1 ${\$ $X_{n}\to X_{n-1}$ 및 $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ : $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ → $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ + 1 ${\$ 단순한 정체성을 만족시키는 $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ $X_{n}\to X_{n+1},$ 이러한 $얼굴$ 과 퇴보 지도가 있는 독특한 심플한 세트 X가 있다.그래서 그 정체성은 단순한 집합들을 정의하기 위한 대안적인 방법을 제공한다.

예

부분 순서 집합(S,s)을 주어 다음과 같이 S의 신경인 단순 집합 NS를 정의할 수 있다: Δ의 모든 대상 [n]에 대해 NS([n] = hom_po-set(n] , S), [n]에서 S까지의 순서 보존 맵.Δ의 모든 형태론 φ:[n]→[m]은 지도 보존 순서로서, 구성을 통해 지도 NS(φ) : NS([m] → NS(n])를 유도한다.NS가 Δ에서 Set: simplicial set까지 역방향 functor인지 확인하는 것은 간단하다.

구체적으로 신경 NS의 n-심플렉스, 즉 NS_n=NS([n])의 원소들은 S: (a₀ a₁ a ... ≤ a_n)로부터 원소들의 순서 길이-(n+1)로 생각할 수 있다.페이스 맵 d는_i 그러한 리스트에서 i번째 요소를 떨어뜨리고, 퇴보 맵은_i i번째 요소를 복제한다.

C의 신경 NC를 얻기 위해 모든 범주 C에 대해 유사한 구조를 수행할 수 있다.여기서 NC([n])는 [n]에서 C까지의 모든 functors의 집합으로, 여기서 우리는 [n]을 객체가 0,1, ...,n인 범주로 간주하고, ≤ j가 있을 때마다 i에서 j까지의 단일 형태론을 범주로 간주한다.

구체적으로는 신경 NC의 n심형은 c₀: a → a → ... → a에서₁_n n 복합형 형태론의 시퀀스로 생각할 수 있다.(특히 0심형은 c의 대상이고 1심형은 c의 형태)페이스 맵 d는₀ 그러한 리스트에서 첫 번째 형태론을 떨어뜨리고, 페이스 맵 d는_n 마지막 형태론을 떨어뜨리고, 0 < i < n>에_i 대한 페이스 맵_i d는 a를 떨어뜨려 ih와 (i + 1)번째 형태론을 구성한다.퇴보 지도는 위치 i에 신분 형태론을 삽입하여 시퀀스를 늘린다_i.

우리는 신경 NS에서 포셋 S를 회복할 수 있고, 신경 NC에서 카테고리 C를 회복할 수 있다; 이러한 의미에서 단순화는 포셋과 카테고리를 일반화한다.

단순 집합의 또 다른 중요한 종류는 위상학적 공간 Y의 단수 세트 SY에 의해 주어진다.여기서 SY는_n 표준 위상학적 n-심플렉스부터 Y까지의 모든 연속 지도로 구성된다.단수 세트는 아래에 자세히 설명되어 있다.

표준 n-심플렉스 및 단순화 범주

The standard n-simplex, denoted Δⁿ, is a simplicial set defined as the functor hom_Δ(-, [n]) where [n] denotes the ordered set {0, 1, ... ,n} of the first (n + 1) nonnegative integers. (In many texts, it is written instead as hom([n],-) where the homset is understood to be in the opposite category Δ^op.^[2])

그 Yoneda 단어의 기본형에, 한 단체의. 집합 X의 n-simplices1–1 통신문에 Δn X까지 자연 변화, 즉 XnxX([n])≅ 냇 ⁡(집 Δ ⁡(−,[n]), X))homsSet ⁡(Δ, X){\displaystyle X_{n}([n])\cong\operatorname{냇}(\operatorname{집}_{\Delta}(-,[n]),X)=\operatorna 함께 하고 있습니다.m $e {hom} _{\textbf {sSet}(\Delta ^{n}X$ .

또한 X는 $\Delta \downarrow {X}$ $\Delta \downarrow {X}$ { $\Delta \downarrow {X}$ X {\ $displaystyle \Delta \downarrow{$ X}로 표시된 단순화 범주로, $\Delta \downarrow {X}$ 이 범주는 맵(즉, 자연 변환) Δⁿ → X이며, 형태변환이 Δ → X에 대한 X에 대한 자연 변환ⁿ Δ → Δ^m Δ = Δ in Δ의 범주로 나타난다.즉, $\Delta \downarrow {X}$ ${\$ 는 $\Delta\downarrow{X}$ X에 대한 Δ의 슬라이스 범주다.다음의 이형성은 단순 집합 X가 그 단순함의 집합이라는 것을 보여준다.^[3]

X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}}

여기서 콜리밋이 X의 단순화 범주를 인수한다.

기하학적 실현

콤팩트하게 생성된 하우스도르프 위상학적 공간의 범주에서 단순화된 집합 X를 해당 실현으로 가져가는 기하학적 실현이라 불리는 functor • :set → cGHaus가 있다.직관적으로 X의 실현은 X의 모든 n-심플렉스(아래 정의한 (n + 1)차원 유클리드 공간의 특정 n차원 부분집합)로 대체되고 이러한 위상적 단순함이 X의 단순함이 함께 매달리는 방식으로 붙어서 얻는 위상학적 공간(사실상 CW 복합체)이다.이 과정에서 X의 단순화 방향은 상실된다.

실현 functor를 정의하기 위해 먼저 다음과 같이 표준 n-simplices Δ에ⁿ 대해 정의한다: 기하학적 실현 Δ는ⁿ 다음과 같은 일반적인 위치의 표준 위상학적 n-simplex이다.

\Delta ^{n} =\{(x_{0}},\dots,x_{n})\in \mathb {R}^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}}}

그러면 그 정의는 자연적으로 모든 단순한 집합 X로 확장된다.

X_{Δⁿ → X} = 림 Δⁿ

여기서 콜리밋이 X의 n-simplex 범주를 인수한다.기하학적 깨달음은 sSet에서 functorial이다.

기하학적 실현의 대상 범주로, sSet 및 Top과 달리 CGHaus는 카르테시안적으로 닫히고, 범주형 제품은 Top과 CGHaus, 그리고 에서 다르게 정의되는 등, 위상학적 공간의 Topaus가 아닌, 압축적으로 생성된 Hausdorff 공간의 CGhaus 범주를 사용한다는 것은 중요하다.e in CGHAUS는 기하학적 실현을 통해 sSet에 해당된다.

공간에 대한 단수 세트

위상학적 공간 Y의 단일한 집합은 다음에 의해 정의된 단순 집합 SY이다.

(SY)([n]) = 각 물체에 대한 hom_Top(Δⁿ , Y) [n] ∈ Δ.

모든 주문 보존 지도 φ:[n]→[m]은 자연스러운 방법으로 연속 지도 Δⁿ → Δ를^m 유도하며, 구성으로 SY(() : SY([m] → SY(n])를 산출한다.이 정의는 표준 위상학적 n-심플렉스(n-simplices)로 표적 위상학적 공간을 "프로빙(probing)"하는 단일 호몰로지에서의 표준 개념과 유사하다.더욱이, 단수 펑터 S는 위에서 설명한 기하학적 실현 펑터와 바로 일치한다. 즉,:

hom_Top(X , Y) ≅ hom_sSet(X, SY)

모든 단순 집합 X 및 위상 공간 Y에 대해.직관적으로 이 부속서는 다음과 같이 이해할 수 있다: X의 기하학적 실현에서 공간 Y까지의 연속 지도는 X의 모든 심플렉스에게 해당 표준 위상학적 심플렉스로부터 Y까지의 연속 지도를 연결하면 고유하게 지정된다. 이 지도들은 X의 단순함이 매달리는 방식과 호환된다.잡아먹다

단순 집합의 호모토피 이론

단순 집합의 범주에 모델 구조를 정의하기 위해서는 섬유화, 공동화 및 약한 동등성을 정의해야 한다.어떤 사람은 섬유질을 칸 섬유로 정의할 수 있다.단순 집합의 지도는 기하학적 실현이 공간의 약한 등가성일 경우 약한 등가성으로 정의된다.단순 집합의 지도는 단순 집합의 단모형일 경우 공진정으로 정의된다.이러한 종류의 형태론을 가진 단순화 집합의 범주가 적절한 폐쇄형 단순화 모델 범주에 대한 공리를 만족한다는 것은 다니엘 퀼렌의 어려운 정리다.

이 이론의 핵심 전환점은 간진동의 기하학적 실현이 공간의 세레진동이라는 점이다.모델 구조가 갖춰지면 표준 동음이의학 대수법을 사용하여 단순 집합의 동음이의피 이론을 개발할 수 있다.또한, 기하학적 실현과 단일한 펑터는 등가성을 유도하는 닫힌 모델 범주의 퀼렌 동등성을 제공한다.

• : 호(set) £ 호(top)

단순 집합에 대한 호모토피 범주와 그 사이에 연속 지도의 호모토피 클래스가 있는 CW 단지의 일반적인 호모토피 범주 사이.오른쪽 부선형 펑터(이 경우 단수형 펑터)가 섬유(resp. simple fibration)에 대한 섬유(resp. simple fibration)를 전달하는 것은 Quillen 부속품의 일반적인 정의의 일부다.

단순 객체

범주 C의 단순 객체 X는 역행성 펑터다.

X : Δ → C

또는 동등하게 공변량 functor

X: Δ^op → C,

여기서 Δ는 여전히 심플렉스 범주와 반대 범주를 나타낸다.C가 세트의 범주일 때, 우리는 위에서 정의한 단순한 세트에 대해 이야기하고 있을 뿐이다.C를 아벨 그룹이나 범주의 범주로 하여, 우리는 각각 단순 그룹의 sGrp와 단순 아벨 그룹들의 sAb를 얻는다.

단순화 그룹과 단순화 아벨 그룹도 기초적인 단순화 집합에 의해 유도된 폐쇄형 모델 구조를 가지고 있다.

단순 아벨 그룹의 호모토피 그룹은 단순 아벨 그룹과 경계 체인 콤플렉스 사이의 범주가 동등하고 functors가 제공하는 돌드-칸 통신을 이용하여 계산할 수 있다.

N: SAB → Ch₊

그리고

γ: Ch₊ → sab.

단순 집합의 역사 및 사용

단순 집합은 원래 그룹의 공간 분류를 정밀하고 편리하게 설명하기 위해 사용되었다.이러한 생각은 범주의 공간을 분류하는 것을 고려하는 그로텐디크의 생각, 특히 퀼렌의 대수학 K 이론에 의해 크게 확장되었다.그에게 필즈상을 안겨준 이 작품에서 퀼렌은 무한 단순 세트를 조작하는 놀랄 만큼 효율적인 방법을 개발했다.이 방법들은 대수 기하학과 위상 사이의 경계에 있는 다른 영역에서 사용되었다.예를 들어 반지의 안드레-퀼렌 호몰로지(André-Quilen homology)는 이러한 방식으로 정의되고 연구된 "아벨라벨 호몰로지(non-abelian homology)"이다.

대수학 K-이론과 안드레-퀼렌 호몰로지 둘 다 대수학 데이터를 사용하여 단순 집합을 기록한 다음 이 단순 집합의 호모토피 그룹을 취한다.

단순한 방법은 공간이 루프 공간이라는 것을 증명하고 싶을 때 종종 유용하다.The basic idea is that if $G$ is a group with classifying space $BG$ , then $G$ is homotopy equivalent to the loop space $\Omega BG$ . If $BG$ itself is a group, we can iterate the procedure, and $G$ 이중 루프 공간 Ω $\Omega ^{2}B(BG)$ ( $\Omega ^{2}B(BG)$ ) $\Oomega^{2}B(BG)$ 에 해당하는 호모토피. $\Omega ^{2}B(BG)$ G $G$ 이 $G$ (가) 아벨 그룹인 경우, 우리는 실제로 이것을 무한 반복할 수 있으며, $G$ $G$ 이 $G$ 무한 루프 공간임을 얻을 수 있다.

$X$ $X$ 이(가) 아벨 그룹이 아니더라도 $X$ 위의 아이디어를 사용하여 $X$ $X$ 이 $X$ (가) 무한 루프 공간임을 증명할 수 있을 정도로 충분히 상통적인 구성을 가지고 있는 경우가 발생할 수 있다.이런 식으로 위상학적 공간으로 여겨지는 반지의 이론인 $K$ $대수학$ K $K$ 이 무한 루프 공간임을 증명할 수 있다.

최근 몇 년 동안, 단순 집합은 상위 범주 이론과 파생 대수 기하학에서 사용되어 왔다.준범주는 형태론의 구성이 호모토피까지만 정의되는 범주로 생각할 수 있으며, 상위 호모토피들의 구성에 관한 정보도 보존된다.준범주는 한 가지 추가 조건인 약한 칸 조건을 만족시키는 단순한 집합으로 정의된다.

참고 항목

메모들

^ Eilenberg, Samuel; Zilber, J. A. (1950). "Semi-Simplicial Complexes and Singular Homology". Annals of Mathematics. 51 (3): 499–513. doi:10.2307/1969364. JSTOR 1969364.
^ Gelfand & Manin 2013
^ Guers & Jardine 1999, 페이지 7

참조

Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Simplicial Homotopy Theory. Progress in Mathematics. Vol. 174. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-7643-6064-1. MR 1711612.
Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. (2013). Methods of Homological Algebra. Springer. ISBN 978-3-662-12492-5.
Allegretti, Dylan G.L. "Simplicial Sets and van Kampen's Theorem" (PDF). CiteSeerX 10.1.1.539.7411. (간단한 세트에 대한 기본적인 소개).
Quillen, Daniel (1973). "Higher algebraic K-theory: I". In Bass, Hyman (ed.). Higher K-Theories. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 341. Springer-Verlag. pp. 85–147. ISBN 3-540-06434-6.
Segal, Graeme B. (1974). "Categories and cohomology theories". Topology. 13 (3): 293–312. doi:10.1016/0040-9383(74)90022-6.

추가 읽기

Riehl, Emily. "A leisurely introduction to simplicial sets" (PDF).
nLab의 단순 세트

[1] Eilenberg, Samuel; Zilber, J. A. (1950). "Semi-Simplicial Complexes and Singular Homology". Annals of Mathematics. 51 (3): 499–513. doi:10.2307/1969364. JSTOR 1969364.

[2] Gelfand & Manin 2013

[3] Guers & Jardine 1999, 페이지 7

[1]

[2]

[3]

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