단순구

Simplicial sphere

기하학 및 조합학에서 단순(또는 조합) d-sphere는 d-차원 구체에 대한 단순 복합 동형성이다.일부 단순화된 구들은 볼록한 폴리토페스의 경계로 발생하지만, 더 높은 차원에서는 대부분의 단순화된 구들을 이런 방법으로 얻을 수 없다.

현장에서 중요한 개방적 문제 중 하나는 피터 맥뮬런에 의해 공식화된 g-컨jecture로, 단순화된 영역의 서로 다른 차원의 가능한 얼굴 수에 대해 질문한다.2018년 12월, g-컨벤션은 카림 아디프라시토에 의해 합리적인 호몰로지 영역의 보다 일반적인 맥락에서 증명되었다.[1][2]

예

특성.

정점이 n인 단순 2-sphere는 3n - 6 가장자리와 2n - 4면이라는 오일러의 공식에 따른다.n = 4의 경우는 사면체에 의해 실현된다.이심분할을 반복적으로 수행함으로써, 어떤 n 4 4에 대해서도 단순한 구역을 구성하기 쉽다.더욱이, Ernst Steinitz는 R에서3 볼록 폴리토프의 1-스켈레타(또는 에지 그래프) 특성을 부여하여, 모든 단순화된 2-sphere가 볼록 폴리토프의 경계임을 시사했다.

브란코 그룬바움(Branko Grünbaum)은 비폴리토폴적 단순구(즉, 폴리토프의 경계가 아닌 단순구)의 예를 구성했다.길 칼라이는 사실 "대부분" 단순화된 영역이 다층적이지 않다는 것을 증명했다.가장 작은 예는 차원 d = 4이고 f0 = 8 꼭지점이 있다.

상한 정리는 f0 = n 정점을 갖는 모든 단순 d-sphere의 i-faces 수 f에i 대한 상한을 제공한다.이러한 추측은 1970년[3] 피터 맥뮬런에 의해 단순한 볼록 폴리토프에 대해, 그리고 1975년 리처드 스탠리에 의해 일반 단순화에 대해 입증되었다.

1970년 맥멀런이 공식화한 g-컨벤션은 단순 d-space의 f-벡터 완전한 특성화를 요구한다.즉, 단순 d-sphere에 대해 각 차원의 얼굴 수의 가능한 순서는 무엇인가?다면체의 경우 1979년 빌레라와 리(존재)와 스탠리(필요성)에 의해 증명된 g테오렘이 답안을 제시한다.일반적 단순화에도 같은 조건이 필요하다는 추측이 나왔다.이 추측은 2018년 12월 카림 아디프라시토에 의해 증명되었다.[1][2]

참고 항목

참조

  1. ^ a b Adiprasito, Karim (2019). "Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity". arXiv:1812.10454.
  2. ^ a b Kalai, Gil (2018-12-25). "Amazing: Karim Adiprasito proved the g-conjecture for spheres!". Combinatorics and more. Retrieved 2018-12-25.
  3. ^ McMullen, P. (1971). "On the upper-bound conjecture for convex polytopes". Journal of Combinatorial Theory, Series B. 10: 187–200. doi:10.1016/0095-8956(71)90042-6.