델타 집합

수학에서 흔히 반심형 집합이라고 불리는 Δ-set S는 위상학적 공간의 구성과 삼각측량, 그리고 그러한 공간의 관련 대수적 불변량 계산에도 유용한 결합 물체다.Δ-set은 단순 복합체보다 다소 일반적이지만 단순 집합만큼 일반적이지는 않다.

예를 들어, 1차원 ${\displaystyle {원\mathrm{}}^{}}$ S 1${\$ S$^{1$}를 삼각측량한다고 가정해 보자$.$ 단순화 콤플렉스로 그렇게 하려면 최소한 두 개의 꼭지점(예: 상단과 하단에 하나씩), 그리고 이들을 연결하는 두 개의 가장자리가 필요하다.그러나 델타 집합은 보다 단순한 삼각측량을 허용한다: ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S$^{1}$를 두 엔드포인트가 식별된 간격 [0,1]으로$$ 생각하면, 우리는 하나의 꼭지점 0과 0 사이의 단일 가장자리 루프를 갖는 삼각측량을 정의할 수 있다.

정의 및 관련 데이터

형식적으로 Δ-set은 지도와 함께$$${\displaystyle }${${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_n^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 집합이다.

${\displaystyle d_{i}\colon S_{n+1}\오른쪽 화살표 S_{n}}$

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ i$=0,1,\ldots,n+1$}을$($를) 사용하여 ${\displaystyle \mathrm{만족}}$하는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle d_{i}\filename d_{j}=d_{j-1}\filename d_{i}}$

가 $[\displaystyle$i$]를$할 때마다

이 정의는 단순화 콤플렉스의 개념을 일반화하는데, ${\displaystyle {여기}_{}}$서$$Sn {\$displaystyle S_{$n}}는$$ n-심플라이스 집합이고, $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 페이스 맵이다$$.'낙후'가 부족하기 때문에 단순한 세트만큼 일반적이지 않다."

Δ-sets S와 T가 주어진다면 Δ-sets의 지도는 set-maps의 집합이다.

${\displaystyle \{f_{n}\colon S_{n}\오른쪽 화살표 T_{n}\}{n=0}^{\inful }}}}}}}}$

그런

${\displaystyle f_{n}\d_{i}=d_{i}\displaystyle f_{n+1}.$

방정식의 양쪽이 정의될 때마다이 개념으로 우리는 Δ-set의 범주를 정의할 수 있는데, Δ-set의 개체는 Δ-set이고, 형태는 Δ-set의 맵이다.

각 Δ 집합은 다음과 같이 정의되는 해당 기하학적 실현을 가진다.

${\displaystyle S =\left(\coprod _{n=0}^{\n}}\time \Delta ^{n}\right)/{\\sim }}}}$

라고 선언하는 곳.

${\displaystyle(\sigma,d^{i}t)\심(d_{i}\sigma,t)\quad {\text{{}}}모든 }}}\sigma \in S_{n}}t\delta ^{n-1}.}$

여기서 ${\displaystyle {\Delta n}^{}}$ ${\$은(는) 표준 n-simplex를 나타내며$$,

${\displaystyle d^{i}\colon \Delta ^{n1}\오른쪽 화살표 \Delta ^{n}}$

i-th face 포함.기하학적 실현은 지분의 위상이 있는 위상학적 공간이다.

Δ-set S의 기하학적 실현은 자연 여과가 있다.

${\displaystyle S _{0}\subset S _{1}\subset \cdots \subset S ,}$

어디에

${\displaystyle S _{N}=\left(\coprod _{n=0}^{N}S_{n}\time \Delta ^{n}\right)/{\\sim }}}}}$

"제한된" 기하학적 실현이다.

관련 펑커

위에서 설명한 Δ-set의 기하학적 실현은 Δ-set의 범주에서 위상학적 공간의 범주에 이르는 공변성 펑터를 정의한다.기하학적 실현은 위상학적 공간에 Δ-set을 가져가고, 기하학적 실현 사이에 유도된 연속적 지도를 운반한다.

S가 Δ-set인 경우, 연관된 자유 아벨리안 체인 콤플렉스가 있으며$,{\displaystyle }$ 이 콤플렉스는 (${\displaystyle Z}$ S${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$) ${\displaystyle (\mathb {Z}S,\partial$)이고$,$ n번째 그룹은 자유 아벨리안 그룹이다.

${\displaystyle(\mathb {Z}S)_{n}=\mathb {Z} \langle S_{n}\angle ,}$

설정된 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$에 의해 생성되며$,$ 이 n번째 차동 정의는

${\displaystyle \d_{0}-d_{1}+d_{1}+d_{2}-\cdots +(-1)^{n}d_{n}.}$

이것은 Δ-set의 범주에서 아벨 그룹들의 체인 콤플렉스의 범주에 이르는 공변량 펑터를 정의한다.Δ-set은 방금 설명한 체인 콤플렉스로 운반되고, Δ-sets의 맵은 체인 콤플렉스의 맵으로 운반되며, Δ-sets의 맵은 자유 아벨리아 그룹의 보편적 특성을 이용하여 표준 방식으로 확장하여 정의된다.

위상학적 공간 X를 지정하면 다음과 같이$$ Δ-set $s{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathrm {sing} (X)}$을(를) 구성할 수 있다.X의 단수 n-심플렉스 는 연속 지도다.

${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\오른쪽 화살표 X.}$

정의

${\displaystyle \mathrm {sing} _{n}^{}(X)}$

X에 있는 모든 단수 n단추의 집합이 되고, 정의한다.

${\displaystyle d_{i}\colon \mathrm {sing} _{i+1}(X)\오른쪽 화살표 \mathrm {sing} _{i}(X)}$

에 의해

${\displaystyle d_{i}(\displayma )=\disma \chba d^{i}}$

여기서 $다시{\displaystyle {}^{}}$ d ${\displaystyle i^{}}$ ${\$는 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -th$$ face map이다.이것이 사실 Δ-set임을 확인할 수 있다.위상학적 공간의 범주에서 Δ-set 범주에 이르는 공변량 펑터를 정의한다.위상학적 공간은 방금 설명한 Δ-set에 전달되며, 연속적인 공간 지도가 Δ-sets의 지도에 전달되며, 이는 단수 n-simplices로 지도를 구성하여 주어진다.

예

이 예는 위에서 설명한 구성을 예시한다.기하학적 실현이 단위 원 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\$인$$Δ-set S를 만들어 이 공간의 호몰로지 계산에 사용할 수 있다.$S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$를 엔드포인트와의 간격이라고$$ 생각하여 정의하십시오.

${\displaystyle S_{0}=\{v\},\quad S_{1}=\{e\}}$

${\displaystyle s_{}}$ n =${\displaystyle {}_{}\varnothing }$ ${\displaystyle S_{n}=\varnothing }$을(를) 사용하여 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle n\geq 2$d ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$1 → ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle d_{0},d_{1},colon S_{$1}\colon S_${1$}\$rightarrow S_{0},}$만 가능한 지도는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle d_{0}(e)=d_{1}(e)=v.\cHB }$

이것이 Δ-set인지, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S $\cong$ S$^{1$ 이제 관련 체인 콤플렉스$({\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$) ${\displaystyle (\mathb {Z}S,\partial )}$은(으)로$$ 간단하게 확인할 수 있다.

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathb {Z} \langle e\rangle {\stackrel {\partial _{1}{\longrightarrow }}\langle v\langle \longrightarrow 0,}$

어디에

${\displaystyle \cHB _{1}(e)=d_{0}(e)-d_{1}(e)=v-v=0.}$

실제로 모든 n에 대해$$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}\mathrm{forn}{}_{}}$= 0 ${\displaystyle \partial _{n}=0}.$이 체인 콤플렉스의 호몰로지 역시 계산이 간단하다.

${\displaystyle H_{0}(\mathb {Z}S)={\frac {\ker \partial _{0}{\mathrm {im} \partial _{1}=\mathb {Z} \langlev\rangecong \mathb {Z},},}}}}$

${\displaystyle H_{1}(\mathb {Z}S)={\frac {\ker \partial _{1}{1}{\mathrm {im} \partial _{2}}=\mathb {Z} \langlecong \mathb {Z} \mathb {Z}}}}}}}}}}}}$

다른 모든 호몰로지 집단들은 분명히 하찮은 것이다.

장단점

이러한 방식으로 Δ-sets를 사용할 때의 한 가지 장점은 결과적인 체인 콤플렉스가 단일한 체인 콤플렉스보다 일반적으로 훨씬 단순하다는 것이다.상당히 단순한 공간의 경우, 모든 그룹이 미세하게 생성되는 반면, 단일한 체인 그룹은 일반적으로 계산적으로 생성되지도 않는다.

이 방법의 한 가지 단점은 Δ 집합의 기하학적 실현이 실제로 문제의 위상학적 공간에 대한 동형체라는 것을 증명해야 한다는 점이다.이는 Δ 집합의 복잡성이 증가함에 따라 계산상의 난제가 될 수 있다.

참고 항목

• 단순화 단지
• 단순 세트
• 단수 호몰로지

참조

• Friedman, Greg (2012). "Survey Article: An elementary illustrated introduction to simplicial sets". Rocky Mountain Journal of Mathematics. 42 (2): 353–423. arXiv:0809.4221. doi:10.1216/rmj-2012-42-2-353. MR 2915498.
• Ranicki, Andrew A. (1993). Algebraic L-theory and Topological Manifolds (PDF). Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 102. Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-42024-2.
• Ranicki, Andrew; Weiss, Michael (2012). "On The Algebraic L-theory of Δ-sets". Pure and Applied Mathematics Quarterly. 8 (2): 423–450. arXiv:math.AT/0701833. doi:10.4310/pamq.2012.v8.n2.a3. MR 2900173.
• Rourke, Colin P.; Sanderson, Brian J. (1971). "Δ-Sets I: Homotopy Theory". Quarterly Journal of Mathematics. 22 (3): 321–338. Bibcode:1971QJMat..22..321R. doi:10.1093/qmath/22.3.321.