간진동

수학에서 칸 콤플렉스와 칸 섬유화는 단순 집합론의 일부분이다.칸 섬유는 단순 집합에 대한 표준 모델 범주 구조의 섬유로, 따라서 기본적으로 중요하다.칸 콤플렉스는 이 모델 범주에서 섬유질 개체다.그 이름은 다니엘 칸을 기리기 위한 것이다.

정의들

표준 n-심플렉스 정의

각 n ≥ 0에 대해 $표준{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ -simplex$$, ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ n ${\$이$($가) 표현 가능한 단순 집합임을 상기하십시오.

${\displaystyle \Delta ^{n(i)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {\\Delta }}}([i]])}$

이 단순화된 집합에 기하학적 실현 펑터를 적용하면 좌표가 음이 아니고 합이 1인 모든$$ 점$($ 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)으로 구성된 ℝ의ⁿ⁺¹ 볼록한 하위 공간인 위상학적 표준 ${\$$displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n$}})에 공간 동형성을 부여한다.

경음기 정의

k-simplex의 경계에 해당하는 ${\displaystyle {\Delta n}^{}}$ {\$displaystyle \$$lambda _$${$$k$$}^{n}}$의 하위 콤플렉스를 가지고 있으며$,$ k-th 면은 제거되었다.이 공식적으로 다양한 방법으로, n지도의 이미지의 조합 예를 들어로Δ n− 1→Δ n{\displaystyle\Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}Δ n{\displaystyle\Delta ^{n}의 모든 다른 얼굴에}형태의 .[1]뿔 k2{\displaystyle \Lambda_{k}^{2}} 앉아 있Λ 해당하는 정의 될지 모른다. 에서측면 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 인접한 이미지 상단에 있는 검은색 V와 닮았다$$.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 단순 집합이면 맵

${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\to X}$

호환성 조건을 만족하는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$\}($${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle(n-1)$-심플라이스의$$ 집합에 해당하며, $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$에 한 개씩 명시적으로 이 조건을 다음과 같이 작성할 수 있다$.$$({\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (n-1)}$ -심플라이스를$$ 목록$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$s ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1}, s_{k+1},\dots ,s_{n})$로 작성하여$$ 다음 사항을 요구하십시오.

${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= d ${\displaystyle j_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1 ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle d_{i}s_{j}=d_{j-1s_{i}\,$ 모든 <j$>$에 대해$$, $j{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j}$, j, j,${\displaystyle \mathrm{display}}$ k, $displaystyle$i$,j\neq$^[2]

이러한 조건은 ${\displaystyle {\Delta n}^{}}$ ${\$ \$lambda _{$k}^{$n}}$ 안에 있는$$ ${\displaystyle {\lambda k}_{}^{}}$ k $\displaystyle$ $\Delta ^{n}}$의 $({\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$\Delta ^{$n}}}}}}$에 대해 충족된다$.$

Kan 진동 정의

A map of simplicial sets ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ is a Kan fibration if, for any ${\displaystyle n\geq 1}$ and ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$, and for any maps ${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$ and ${\displaystyle y:$$\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$ such that ${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$ (where ${\displaystyle i}$ is the inclusion of ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ in ${\displaystyle \Delta ^{n}}$), there exists a map ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$ such that $$${\displaystyle s}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s=x\circle i}$ 및 y$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ y$=f\circle$ x$\}.$ 이렇게 명시하면 "진동"이라는 이름을 사용할 때 위상에서의 섬유와 정의가 매우 유사하다(호모토피 리프팅 속성 참조).

기술적 설명

단순 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$ -simples$$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta n}{}^{}}$→ X ${\displaystyle \Delta ^{n}\to X}($요네다 보조정리 결과) 간의 대응성을 사용하여 이 정의를 단순성의 관점에서 작성할 수 있다.${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$의 이미지 :${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$→ Y ${\displaystyle fs:$$\Lambda _{k}^{n$}\$to Y}$은(는) 위에서 설명한 대로 경적이라고 생각할 수 있다.${\displaystyle y}$ ${\displaystyle yi}$을(를) 통해 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fs}$인자를$$ 묻는 것은 얼굴이 f ${\displaystyle fs}($ $$면과 함께)에서 $경적$을 구성하는 n$$ ${\$$displaystyle$ $n$$}$-simplex가$$ 있어야 한다는 요구와 일치한다$$.그러면 필요한 지도 $x{\displaystyle }$ :${\displaystyle {\Delta n}^{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\to X$$}$의 심플렉스($Simplex)$에 해당하며$$, 얼굴에는$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$의 경적음이 포함된다$.$오른쪽의 도표는 2차원의 예다.아래 다이어그램의 검은색 V는 파란색 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ -simplex로$$ 채워지기 때문에 위의 검은색 V가 그 아래쪽으로 매핑되면 $파란색{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$${\$displaystyle$2} -simplex가$$ 점으로 표시된 파란색 1 ${\displaystyle$1} -simplex와$$ 함께 존재해야 한다.^[3]

칸 섬유로 정의된 칸 복합체

단순 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$는$$1점 $단순{\displaystyle }$ 집합인 X${\displaystyle }$→${\displaystyle }${$\}$ {\$displaystyle$X\to$$\{*\}}}의 지도가 Kan pibration이면 Kan complex라고 불린다$$.단순 집합 모델 범주에서 {${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{*\}}$은(는) 단자 객체이므로 Kan 콤플렉스는 섬유상 물체와 정확히 동일하다.Equivalently, this could be stated as: if every map ${\displaystyle \alpha :\Lambda _{k}^{n}\to X}$ from a horn has an extension to ${\displaystyle \Delta ^{n}}$, meaning there is a lift ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}:$$\Delta ^{n}\to X}$ 그런 식으로$$

${\displaystyle \cHB ={\tilde {\cHB }\iota }$

포함 지도 $\iota {\displaystyle }$ :${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{\Delta }^{}}$ n ${\$ $그러면{\displaystyle }$ X ${\displaysty X}$는 Kan 복합체다.반대로, 모든 칸 단지는 이 부동산을 가지고 있기 때문에 칸 단지에 대한 간단한 기술적 조건을 제공한다.

예

단일 호몰로지로부터의 단순한 집합

중요한 예는 단수 펑터라고^{[4]pg 7} 불리는 단수형 호몰로지 정의에 사용되는 단수형의 구성에서 비롯된다.

S:톱 → s세트{S\displaystyle:{\text{.맨 위로}}s\to{\text{설정합니다}}}.

우주 X{X\displaystyle}을 감안할 때 표준 위상 n{n\displaystyle}-simplex(위에서 설명한)X{X\displaystyle}에서, X의 특이한 n{n\displaystyle}-simplex가 되기 위해 지속적인 지도를 정의해야 한다.

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

이 지도의 모든non-negative n{n\displaystyle}집합을 섭취하면 차등 set,을 준다.

S(X))∐ nSn(X){\displaystyle S(X)=\coprod_{n}(X)}.

한 단체의. 집합으로 이걸 만들려면, di:Sn(X)→ Sn− 1(X){\displaystyle d_{나는}:얼굴 지도를 정의해야 한다.S_ᆪ(X)\to S_ᆫ(X)}에 의해

${\displaystyle(d_{나는}f)(t_{0}일 경우 ,t_{n-1},\dots)=f(t_{0}일 경우 ,\dots{,t_{n-1}i-1},0,t_{나는},\dots ,t_)\,}.$

그리고 퇴화 지도 si:Sn(X)→ Sn+1(X){\displaystyle s_{나는}:.S_ᆪ(X)\to S_ᆫ(X)}에 의해

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$.

Since the union of any ${\displaystyle n+1}$ faces of ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ is a strong deformation retract of ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$, any continuous function defined on these faces can be extended to ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$, which shows that ${\displaystyle S(X)}$$[\displaystyle S(X)]$는 칸 콤플렉스다.^[5]

기하학적 실현과의 관계

단일한 펑터가 기하학적 실현 펑터에 바로 맞닿아 있다는 것을 주목할 필요가 있다.

${\displaystyle \cdot :s{\text{설정}\\to {\text{탑}}$

이형성증

${\displaystyle {\text{홈}_{\text{Top}}(X ,Y)\cong {\text{홈}_{s{\text{세트}}}(X,S(Y)}}$

단순화 그룹에 대한 단순화 집합

단순집단의 기초가 되는 단순집단이 항상 섬유질이라는^{[4]pg 12} 것을 알 수 있다.특히 단순한 아벨 집단의 경우 기하학적 실현은 에일렌베르크-마클레인 공간의 산물에 상당하는 호모토피다.

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

특히 공간분류를 포함한다.So the spaces ${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$, ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$, and the infinite lens spaces ${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$ are correspond to Kan comp간단한 집합의 어휘소사실, 이 세트는 체인 단지의 돌드-칸 통신과 단순한 아벨 집단의 근본적인 단순화 세트를 이용하여 명시적으로 건설될 수 있다.

소형 조로이드의 기하학적 구현

Another important source of examples are the simplicial sets associated to a small groupoid ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. This is defined as the geometric realization of the simplicial set ${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$ and is typically denoted ${\displaystyle B{\mathcal {G}}$$\}\}.$ $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$도 무한대 groupoid로$$ 교체할 수 있었을 텐데.무한대 조로이드의 기하학적 실현의 호모토피 범주는 호모토피 유형의 호모토피 범주와 동일하다고 추측된다.이것을 호모토피 가설이라고 한다.

비예: 표준 n-심플렉스

표준 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -simplex$$ ${\displaystyle {\Delta n}^{}}$ ${\$는 Kan 단지가 아닌 것으로 나타났다^{[6]pg 38}.일반적으로 카운터 예제의 구성은 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$라고 하는 저차원의 예를 보면 알 수 있다.$$${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{1} 전송$$$.$

$[0,0]&[0,1]\mapsto[0,0]&[0,1]\mapsto[0,1]\end{data}}}$

지도는 보존을 명령해야 하므로$$ 지도 ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{2$}\to \Delta ^{1$}로 확장할 수 없으므로 카운터 예를 제공한다.만약 지도가 있다면, 그것은 보내야 할 것이다.

${\displaystyle {\displaysty}0\mapsto 0\\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\ended{align}}}}$

하지만 이건 단순한 집합의 지도가 아니에요

범주형 속성

단순화된 농축 및 기능 복합체

단순 집합 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$의 경우 함수 콤플렉스 ${\displaystyle \mathbf{\text{Hom}}(X}$, Y${\displaystyle }$)$${\$displaystyle${\$textbf {Hom}(X,Y)}$이라고 하는 관련 단순 집합이 있으며$$$,$ 여기서 단순화는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\textbf {Hom}_{n}(X,Y)={\text{홈}_{s{\text{세트}}}(X\time \Delta ^{n}Y)}$

그리고 순서형 지도${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ :${\displaystyle }$[ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle ]}$→${\displaystyle }$[ n ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \theta :[m]\to [n]}$에 유도된 지도가 있다$$.

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}(X,Y)_{m}}}}}$

(Hom의 첫 번째 인자가 역교합성이므로) $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\time \Delta ^{n}\to Y}$을(를) 구성으로 전송하여$$ 정의함

${\displaystyle X\time \Delta ^{m}\x오른쪽 화살표 {1\time \time \delta ^{n}\x오른쪽 화살표 {f}Y}$

지수법

이 단지는 다음과 같은 기하급수적인 단순 집합의 법칙을 가지고 있다.

${\displaystyle {\text{ev}_{*}:{\text}홈}_{s{\text{세트}}}(K,{\textbf {Hom}(X,Y))\to {\text{홈}_{s{\text{세트}}(X\time K,Y)}$

지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle K}$→ ${\displaystyle \mathbf{\text{Hom}}}$ ${\displaystyle (X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f:$$합성$$지도$에 K$\to$ {\$textbf {Hom}(X,Y$)}

${\displaystyle X\time K\xrightarrow {1\time g}X\textbf {Hom}(X,Y)\xrightarrow {ev}Y}$

여기서 e ${\displaystyle v}$( ${\displaystyle x}$, f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle {\iota }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle ev(x,f)=f(x,\iota _{n})($x$$,\iota _{n}) for ${\displaystyle {\iota }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{\text{hom}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}([}$ n${\displaystyle ]}$ ,${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n])}$ ${\displaystyled \iota _{{$$n}$$Hom}}$_{\$Delta$}([$n],$ [n$])}$이(가$$) $n-simplex{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\Delta n}^{}}${\$displaystyle \Delta$^{n$\}\}\}$ ^.

칸 섬유 및 풀백

(Kan) 진동 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ 및 단순 세트$$ $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ L ${\displaystyle i:$$K\hook rightarrow$ L$\},$ 진동이^[4] 있다.

${\displaystyle {\textbf {Hom}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*}}}}}{\textbf {Hom}(K,Y)}{\textbf {Hom}(L,Y)}}}$

(여기서 ${\displaystyle \mathbf{\text{Hom}}}$ ${\$은(는) 단순 집합 범주의 함수 콤플렉스에 있음$$) 정류 다이어그램에서 유도됨

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

여기서 $∗{\$는 프리패시턴이 주는 풀백 맵이고, $∗{\$는 포스트패시턴이 주는 푸시포워드 맵이다.In particular, the previous fibration implies ${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$ and ${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$ are fibrations.

적용들

간 복합단지 호모토피 그룹

섬유상 단순 집합의 호모토피 그룹은 그것을 실현하는 위상 공간의 호모토피 그룹과 동의하는 방식으로 경적을 사용하여 조합적으로 정의될 수 있다.For a Kan complex ${\displaystyle X}$ and a vertex ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$, as a set ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ is defined as the set of maps ${\displaystyle \alpha :\Delta ^{n}\to X}$ of simplicial sets fitting into a certain commutative diagram:

${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=\left\{\alpha :\Delta ^{n}\to X:{\begin{matrix}\\\델타 ^{n}&gt;{\overset {\alpha }{\\\to }&x\\\uparrow x\\\\partial \Delta ^{n}&to &\delta ^{0}\end{matrix}\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\Delta n}^{}}$ ${\$이(가) 한 점에 매핑되어 있다는$$ 사실에 주목하십시오. 표준 단위 볼에 대한$$ 지수 ${\displaystyle {Bn}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}\partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle {Bn}^{}}$ ${\displaystyle S$$^{$$n}/\partial B^{n}}}$의 정의와 동일함

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathb {R}^{n}: x _{{eu}\leq 1\}}}$

그룹 구조를 정의하려면 조금 더 많은 작업이 필요하다.Essentially, given two maps ${\displaystyle \alpha ,\beta :\Delta ^{n}\to X}$ there is an associated ${\displaystyle (n+1)}$-simplice ${\displaystyle \omega :\Delta ^{n+1}\to X}$ such that ${\displaystyle d_{n}\omega :\Delta ^{n}\to X}$ gives their addition. 이 지도는 단순화된 호모토피 클래스까지 잘 정의되어 있어 그룹 구조를 제공한다.Moreover, the groups ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ are Abelian for ${\displaystyle n\geq 2}$. For ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$, it is defined as the homotopy classes ${\displaystyle [x]}$ of vertex maps ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$.

단순 집합의 호모토피 그룹

모델 범주를 사용하는 모든 $단순{\displaystyle }$ 세트 X ${\displaystyle X}$은(는) 단순 세트 $호모토피$ 범주에서$$X {\$displaystyle X}$에 해당하는$$ 섬유 대체 X ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle$ {$X}$을(를$)$ 가진다.그런 다음 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 호모토피 그룹을 다음과 같이 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X},{\hat {x})}$

여기서 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$$displaystyle$ ${\x}}$은(는)${\displaystyle }$x : ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}^{}}$0 → ${\displaystyle X}${\$displaystyle$ x$:\Delta$$^{$$0}\$$to$ X$}$에 대한 상승이다$.$이러한 섬유질 교체는 (투영 분해능 또는 평판 분해능과 같은) 체인 복합체의 분해능의 위상학적 아날로그라고 생각할 수 있다.

참고 항목

• 모델 카테고리
• 단순 호모토피 이론
• 단순농축분류
• 약한 Kan 복합체(준분류, ∞분류라고도 함)
• ∞-groupoid

참조

• 간단한 세트에 대한 기본적인 삽화

참고 문헌 목록

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Simplicial Homotopy Theory. Basel: Birkhäuser Basel. doi:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-0348-9737-2. MR 1711612.
• May, J. Peter (1992) [1967]. Simplicial objects in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51180-4. MR 1206474.