기초등가성

모델 이론에서 수학적 논리학의 한 가지, 동일한 시그니처 two의 두 구조 M과 N은 동일한 1차 σ-sents를 만족하면 원소등가라고 한다.null

N이 M의 하부구조라면 더 강한 조건이 필요한 경우가 많다.이 경우 N의 M초등 하부 구조 변수와 모든 일차 σ-formula φ(a1,…,)a1,…, M의 사정이라면 N은 초등의 하부 구조를 만일 그것이 M.에서는 사실은 N에서 N, 만약 h(N)e.은 → MM에 N의 초등던 1가지 이슈 때문이었습니다라고 불린다 그때 MN읬던 1가지 이슈 때문이었습니다 h:N초등 확장명이라 부른 것은 사실이라고 불린다lemM의 하부 구조

Tarski-Vaught 시험을 통과한다면 M의 하부 구조 N은 기초적인 것이다: M에 해결책을 가지고 있는 N에 매개변수가 있는 모든 1차 공식 φ(x, b₁, … b_n)도 M에서 평가할 때 N에 해결책을 가지고 있다.두 구조가 에렌페우흐트-프라우제 경기와 원소적으로 동등하다는 것을 증명할 수 있다.null

원소등가 구조

동일한 서명 σ의 두 구조 M과 N은 σ을 초과하는 모든 1차 문장(자유 변수 없는 공식)이 M에서 참인 경우, 즉 M과 N이 동일한 완전한 1차 이론을 갖는 경우에만 원소적으로 동등하다.M과 N이 원소적으로 동일하면 M ≡ N이라고 쓴다.

1차 이론은 그 모델들 중 어느 하나라도 원소적으로 동등한 경우에만 완성된다.null

예를 들어, 하나의 이진 관계 기호가 있는 언어를 고려하십시오.통상적인 순서를 가진 실제 숫자의 모델 R과 통상적인 순서를 가진 합리적인 숫자의 모델 Q는 모두 '<'를 무한의 밀도 높은 선형 순서로 해석하기 때문에 원소적으로 동등하다.이는 Wwo equival-Vaught 테스트에서 알 수 있듯이 무한의 밀도 선형 순서의 이론이 완전하기 때문에 기본적인 동등성을 보장하기에 충분하다.null

보다 일반적으로 무한 모델을 가진 어떤 1차 이론도 비이성적이고 원소적으로 동등한 모델을 가지고 있는데, 이는 뢰웬하임-스콜렘 정리를 통해 얻을 수 있다.따라서 예를 들어 페아노 산술의 비표준 모형이 있는데, 이 모형은 숫자 0, 1, 2 등만이 아닌 다른 객체를 포함하고 있지만, 원소적으로는 표준 모형과 동등하다.null

기본 하부 구조 및 기본 확장

N과 M이 동일한 서명 signature(x, …, x_n)의 구조인 경우, N은 M의 기본 하부 구조로, 자유 변수₁ x, …, x를_n 포함한 모든 1차₁ σ-포뮬라 φ(x₁, …, x)과 모든 요소 a, N, φ(a₁, …, a_n)이_n M:에 포함되는 경우에만 N을 보유한다.

N은 M의 하부구조라는 것을 따른다.

N이 M의 하부구조라면 N과 M 모두 N의 모든 요소에 대한 새로운 상수 기호와 함께 σ으로 구성된 서명 σ에_N 있는 구조로 해석할 수 있다.N이 M의 하부 구조인 경우에만 N이 M의 기본 하부 구조로, N과 M이 element 구조와_N 원소적으로 동등한 경우 N은 M의 기본 하부 구조로 되어 있다.null

N이 M의 기본 하부구조라면 N ⪯${\displaystyle \preceq }$이라고 쓰고 M은 N:M $⪰{\displaystyle }$ ${\displaystyle \succeq }$의 기본 확장이라고 말한다.

하향 뢰웬하임-스콜렘 정리는 아무리 계산 가능한 서명으로 어떤 무한의 1차 구조에 대해 카운트 가능한 기본 하부 구조를 제공하며, 상향 뢰웬하임-스콜렘 정리는 임의적으로 큰 카디널리티의 무한 1차 구조의 기초 확장을 제공한다.null

타르스키-바우트 시험

Tarski-Vaught 시험(또는 Tarski-Vaught 기준)은 구조물 M의 하부구조 N이 기초 하부구조물이 되기 위해 필요하고 충분한 조건이다.그것은 큰 구조물의 기초 하부 구조 구축에 유용할 수 있다.null

M을 서명 σ의 구조로 하고 N을 M의 하부 구조로 한다.Then N is an elementary substructure of M if and only if for every first-order formula φ(x, y₁, …, y_n) over σ and all elements b₁, …, b_n from N, if M ${\displaystyle \models }$ ${\displaystyle \exists }$x φ(x, b₁, …, b_n), then there is an element a in N such that M ${\displaystyle \models }$ φ(a, b₁, …, b_n).null

초등 임베딩

구조 N을 동일한 서명 σ의 구조 M에 기본적으로 내장하는 것은 지도 h: N → M이며, 모든 1차 주문 σ-포뮬라 x₁(x, …, x_n) 및 모든₁ 요소 a, … n, a_n, a, a, n,

N $\models {\displaystyle }$ ${\displaystyle \models }$ $M$$$( {\$displaystyle \models }$ $\phi$(h(a₁), …, h(a_n)인_n 경우에만 해당된다₁.

모든 초등 임베딩은 강한 동형상이며, 그 이미지는 기초 하부 구조다.null

기초 임베딩은 모델 이론에서 가장 중요한 지도다.세트 이론에서, 영역은 V(세트 이론의 우주)인 초등 임베딩은 대형 추기경 이론에 중요한 역할을 한다(Critical point 참조).null

참조

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3.
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6.
• Monk, J. Donald (1976), Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, New York • Heidelberg • Berlin: Springer Verlag, ISBN 0-387-90170-1