벌크 계수

물질의 부피 계수($\$$display{\displaystyle }$ K$\또는$ B$\display style$ B$)$는 해당 물질의 압축에 대한 부피 저항성을 나타내는 척도이다.이는 ^[1]부피의 상대적인 감소에 대한 극소 압력 증가의 비율로 정의됩니다.

예제:

• 일부 가스(증압: 부피가 빠르게 감소하므로 작은 $(\displaystyle$K$))$
• 다이아몬드(압력 증가: 볼륨 감소가 느림, 즉 $(\displaystyle$K$))$

K$(\displaystyle$ K$)$가 $높을수록{\displaystyle }$ 압축에 대한 체적 저항(압축에 대한 저항성이 높음)이 커집니다.

벌크 계수는 물질의 눈에 보이는 "벌크" (크기)의 변화에 대한 저항으로 생각할 수 있습니다.

다른 계수는 다른 종류의 응력에 대한 재료의 반응(변형)을 나타냅니다. 전단 계수는 전단(대각) 응력에 대한 반응을 나타내며 영 계수는 정상(세로 스트레칭) 응력에 대한 반응을 나타냅니다.유체의 경우 부피 계수만 의미가 있습니다.나무나 종이와 같은 복잡한 이방성 고체의 경우, 이 세 가지 모듈리에는 그 거동을 기술하기에 충분한 정보가 포함되어 있지 않으며, 완전한 일반화 후크의 법칙을 사용해야 한다.일정한 온도에서 부피 계수의 역수를 등온 압축률이라고 합니다.

정의.

벌크 $계수{\displaystyle }$ K$($$보통$$(\displaystyle$> $0$는 다음 방정식으로 정식으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}}$

$여기$서$$P(\$displaystyle$ P$)$는 압력, $(\displaystyle$ V$)$는 물질의 초기 부피, $/$(\$displaystyle dP/dV)$는 부피에 대한 압력의 도함수를 나타냅니다.부피가 밀도에 반비례하기 때문에 다음과 같이 된다.

${\displaystyle K=\rho {dP}{d\rho}}$

$여기$서 ${\$ { $displaystyle \rho$}는$$ 초기 밀도이고 ${\displaystyle d}$P / ${\displaystyle d}$ ${\$ { $displaystyle dP/d\rho$}는$$ 밀도에 대한 압력의 도함수를 나타냅니다.부피 계수의 역수는 물질의 압축성을 제공한다.일반적으로 벌크 계수는 등온 벌크 계수로 정의되지만 단열 벌크 계수로 정의될 수도 있습니다.

열역학적 관계

엄밀히 말하면 벌크 계수는 열역학량이며 벌크 계수를 지정하려면 압축 시 압력이 어떻게 변화하는지 지정해야 합니다. 즉, 항온($등온{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ T$)$과 항엔트로피($등온 K$ 및 $기타$ 변형이 가능합니다.이러한 차이는 특히 가스와 관련이 있다.

이상적인 기체의 경우 등엔트로픽 공정은 다음과 같습니다.

${\displaystyle PV^{\gamma}= 상수,\오른쪽 화살표 P\propto\frac {1}{V}\right)^{\gamma}\propto \rho ^{\gamma}}}$

$여기$서 $§(\displaystyle\display)$는 열 용량 비율입니다.따라서 등엔트로픽 벌크 $계수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ S$(\$는 다음과 같습니다.

${\displaystyle K_{S}=\gamma P}$

마찬가지로, 이상적인 가스의 등온 과정에는 다음이 있습니다.

${\displaystyle PV=const.,\오른쪽 화살표 P\propto {1}{V}\propto \rho,}$

따라서 등온 벌크 $계수{\displaystyle {}_{}}$ K $(\$$T}}$은(는)

${\displaystyle K_{}}$ T $=$(\$style K_{$T}=$P}$ 표시).

기체가 이상적이지 않은 경우, 이러한 방정식은 부피 계수의 근사치만 제공합니다.유체 중 부피 계수 K(\$displaystyle$ K$)$와 밀도$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle$$\rho)$는 뉴턴-라플라스 공식에 따라 $음속{\displaystyle }$ c$($압력파)를 결정한다.

$({displaystyle c=crack {K}{\rho }})}$

$솔리드$에서는 K $(\$$})$ 및 $K{\displaystyle {}_{}}$ $(\$$T}}$ 의$$ 값은 매우 비슷합니다.고체는 또한 횡파를 견딜 수 있습니다. 이러한 재료의 경우 파속도를 결정하기 위해 하나의 추가 탄성 계수(예: 전단 계수)가 필요합니다.

측정.

가해진 압력 하에서 분말 회절을 이용하여 벌크 계수를 측정할 수 있다.이것은 압력 하에서 부피를 변화시키는 능력을 보여주는 유체의 특성입니다.

선택한 값

일반 재료에 대한 대략적인 벌크 계수(K)

재료.	GPa에서의 벌크 계수	벌크 계수(Mpsi)
다이아몬드(4K로)	443	64개
알루미나[3]	162 ± 14	23.5
강철	160	23.2
석회암	65세	9.4
화강암	오십	7.3
유리(아래 표 그림 참조)	35 ~ 55	5.8
흑연 2H(단결정)[4]	34	4.9
염화나트륨	24.42	3.542
셰일	10개	1.5
분필	9개	1.3
고무[5]	1.5 ~ 2	0.22 ~ 0.29
사암	0.7	0.1

부피계수가 35GPa인 물질은 0.35GPa(~3500bar)의 외압을 받으면 부피의 1%가 손실된다.

기타 물질의 대략적인 벌크 계수(K)

물.	2.2 GPa(0.32 Mpsi) (높은 압력으로 값이 상승)
메탄올	823 MPa (20°C 및 1ATM에서)
항공사	142kPa (단열 벌크 계수(또는 등엔트로픽 벌크 계수))
항공사	101kPa (등온 벌크 계수)
고체 헬륨	50 MPa (대략)

현미경적 기원

원자간 전위 및 선형 탄성

선형 탄성은 원자간 상호작용의 직접적인 결과이기 때문에 결합의 확장/압축과 관련이 있다.그것은 ^[7]결정성 물질의 원자간 잠재력으로부터 도출될 수 있다.우선, 상호작용하는 두 원자의 잠재 에너지를 조사해보자.아주 먼 곳에서부터, 그들은 서로에게 매력을 느낄 것이다.그들이 서로 다가갈수록, 그들의 잠재 에너지는 줄어들 것이다.반면, 두 원자가 서로 매우 가까이 있으면, 반발 상호작용으로 인해 총 에너지가 매우 높아집니다.이러한 전위는 모두 최소 에너지 상태를 달성하는 원자간 거리를 보장한다.이는 총 힘이 0인 a 거리에서₀ 발생합니다.

$\displaystyle F=-{\partial U \over \display r}=0}$

여기서 U는 원자간 퍼텐셜이고 r은 원자간 거리입니다.이것은 원자들이 평형 상태에 있다는 것을 의미한다.

두 원자 접근법을 고체로 확장하려면 원자간 거리가 a이고 평형 거리가 a인₀ 하나의 원소의 1-D 배열과 같은 단순한 모델을 고려하십시오.잠재적 에너지-원자간 거리 관계는 a에서 최소에₀ 도달하는 두 원자 사례와 유사한 형태를 가진다. 이에 대한 테일러 팽창은 다음과 같다.

${\displaystyle u(a_{0})+\leftflash u \over \left r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2\leftflash ^{2}\over r^{2} u\over r^{right}_{r=a_{right}{r=a_0} {r=a_0}$

평형에서, 첫 번째 도함수는 0이므로 지배항은 2차 항이다.변위가 작을 경우 고차 항은 생략해야 합니다.표현은 다음과 같습니다.

${\displaystyle u(a_{0})+{1 \over2} \left parames ^{2} \over \parames r^{2}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}$

$(\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \display r}=\left parential u ^{2} \over \display r^{2}u\right)_{r=a_{0}(a-a_{0})$

이건 분명히 선형 탄성입니다.

유도 작업은 두 개의 인접한 원자를 고려하여 수행되므로 후크 계수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left ^{2}\over r^{2}u\right}_{r=a_{0}}}$

이 형태는 원자간 거리 대신 원자당 체적(δ)으로 쉽게 3차원 케이스로 확장될 수 있다.

${\displaystyle K=\Omega _{0}\leftfiles ^{2}\over \Omega ^{2}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

원자 반지름과의 관계

위에서 도출한 바와 같이, 부피 계수는 원자간 전위와 원자당 부피와 직접적으로 관련이 있다.우리는 K를 다른 특성과 연결하기 위한 원자간 잠재력을 더 평가할 수 있다.일반적으로 원자간 전위는 끌어당기는 항과 밀어내는 항이라는 두 개의 항을 가진 거리의 함수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}$

여기서 A > 0은 흡인항, B > 0은 반발항이다.n과 m은 보통 적분이고 m은 n보다 커서 반발의 단거리 성질을 나타낸다.평형 위치에서 u는 최소값이므로 1차 도함수는 0이다.

${\displaystyle \leftflocks u \over \leftflocks r}_{r_{0}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0}$

${\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}$

${{displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\오른쪽)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}\오른쪽)}$

r이 가까우면 n(일반적으로 1~6)이 m(일반적으로 9~12)보다 작다는 것을 기억하고 두 번째 항을 무시하고 두 번째 도함수를 평가합니다.

$\displaystyle \left r^{2} \over \display r^{2}u\right)_{r=a_{0}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}$

r과 δ의 관계를 회상합니다.

$\displaystyle \Omega = {4\pi \over 3)r^{3}$

$(\displaystyle \leftflock ^{2} \over \Omega ^{2}u\right)=\leftflock \Omega ^{2} \over \leftflict \locks r^{2}u\right)\light)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}}}$

${\displaystyle K=\Omega_{0}\leftfilength^{2}u\over\operr^{2}\right)_{\Omega=\Omega_{0}\propto r_{0}^{-n-3}}$

금속이나 이온 물질과 같은 많은 경우, 흡인력은 정전력이므로 n = 1은

${\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}$

이것은 유사한 결합 성질을 가진 원자에 적용된다.이 관계는 알칼리 금속과 많은 이온 ^[8]화합물 안에서 확인된다.

레퍼런스

추가 정보

• De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). "Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds". Scientific Data. 2: 150009. Bibcode:2013NatSD...2E0009D. doi:10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348.

변환 공식
균질 등방성 선형 탄성 재료는 이들 중 2개의 모듈리에 의해 고유하게 결정되는 탄성 특성을 가지고 있으며, 따라서 임의의 2개의 모듈리가 주어진 경우 3D 재료(표 제1부) 및 2D 재료(제2부) 모두에 대해 제공되는 이들 공식에 따라 다른 탄성 모듈을 계산할 수 있다.
3차원 공식	${\displaystyle K=}$	${\displaystyle E=}$	${\displaystyle\displayda =,}$	${\displaystyle G=}$	${\displaystyle \nu =,}$	${\displaystyle M=}$	메모들
${\displaystyle(K,E)}$			${\displaystyle {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\displaystyle\tfrac{3KE}{9K-E}}$	$(\displaystyle\tfrac{3K-E}{6K})$	${\displaystyle {3K(3K+E)}{9K-E}}$
${\displaystyle(K,,\lambda)}$		${\displaystyle {9K(K-\lambda)}{3K-\lambda }}$		${\displaystyle {3(K-\lambda)}{2}}$	$(\displaystyle\tfrac\lambda}{3K-\lambda}}$	$({displaystyle 3K-2\lambda})$
${\displaystyle(K,G)}$		${\displaystyle\tfrac{9KG}{3K+G}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}$		$(\displaystyle\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)})$	$\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}$
${\displaystyle(K,,\nu)}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu),}$	${\displaystyle {3K\nu}{1+\nu }}$	${\displaystyle {3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}}$		${\displaystyle {3K(1-\nu)}{1+\nu }}$
${\displaystyle(K,M)}$		${\displaystyle {9K(M-K)}{3K+M}}$	$(\displaystyle\tfrac{3K-M}{2})$	${\displaystyle {3(M-K)}{4}}$	${\displaystyle\tfrac{3K-M}{3K+M}}$
${\displaystyle(E,,\lambda)}$	${\displaystyle {E+3\lambda +R}{6}}$			${\displaystyle {E-3\lambda +R}{4}}$	${\displaystyle {tfrac {2\lambda}{E+\lambda +R}}$	${\displaystyle {E-\lambda +R}{2}}$	$({displaystyle R=sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }})$
${\displaystyle(E,G)}$	${\displaystyle\tfrac{EG}{3(3G-E)}}$		${\displaystyle {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\displaystyle\tfrac{E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {G(4G-E)}{3G-E}}$
${\displaystyle(E,,\nu)$	${\displaystyle\tfrac{E}{3(1-2\nu)}}$		${\displaystyle {E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}}$	${\displaystyle {E}{2(1+\nu)}}$		${\displaystyle {E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}}$
${\displaystyle(E,M)}$	$(\displaystyle\tfrac{3M-E+S}{6})$		$\ displaystyle \ tfrac { M - E + S } { 4}}}$	$(\displaystyle\tfrac{3M+E-S}{8})$	${\displaystyle\tfrac{E-M+S}{4M}}}$		$\displaystyle S=\pm {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ 두 가지 유효한 해결책이 있습니다. 플러스 기호는 ${\displaystyle 0}$으로$$이어집니다.\ $displaystyle \ nu$ \ $geq$ 0$$${\displaystyle 。}$ 빼기 부호는 ${\displaystyle 0}$으로$$이어집니다$.\displaystyle$\ $nu$ \$leq$ 0$$${\displaystyle 。}$
$\displaystyle(\lambda,,G)}$	$\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\displaystyle {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			$(\displaystyle\tfrac\lambda}{2(\lambda+G)})$	$(\displaystyle \lambda + 2G, )$
$\displaystyle(\displayda,\nu)}$	$(\displaystyle\tfrac(1+\nu){3\nu }}$	$(*displaystyle (1+\nu) (1-2\nu)) {\nu }$		${\displaystyle\tfrac(1-2\nu)}{2\nu }$		$(\displaystyle\tfrac(1-\nu){\nu }}$	${\displaystyle \mathrm{\nu }}$ ${\displaystyle =}$ 0 ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle \nu$=$$0 \$left$ rightarrow \sqda =$0$}인 경우에는 사용할 수 없습니다.
${\displaystyle(\lambda,,M)}$	${\displaystyle {M+2\lambda}{3}}$	${\displaystyle {(M-\lambda)(M+2\lambda)}{M+\lambda}}$		${\displaystyle {M-\lambda}{2}}$	$(\displaystyle\tfrac\lambda}{M+\lambda}})$
${\displaystyle(G,\nu)}$	${\displaystyle {2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu),}$	${\displaystyle {2G\nu}{1-2\nu }}$			${\displaystyle {2G(1-\nu)}{1-2\nu }}$
${\displaystyle(G,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\displaystyle {G(3M-4G)}{M-G}}$	${\displaystyle M-2G,}$		${\displaystyle {M-2G}{2M-2G}}$
${\displaystyle(\nu,,M)}$	${\displaystyle {M(1+\nu)}{3(1-\nu)}}$	${\displaystyle {M(1+\nu)(1-2\nu)}{1-\nu }}$	${\displaystyle {M\nu}{1-\nu }}$	${\displaystyle {M(1-2\nu)}{2(1-\nu)}}$
이차원 공식	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} =,}$	${\displaystyle E_{\mathrm {2D} =,}$	${\displaystyle \displayda _{\mathrm {2D} =,}$	${\displaystyle G_{\mathrm {2D} =,}$	$\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} =,}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} =,}$	메모들
$({displaystyle(K_{\mathrm {2D}}},E_{\mathrm {2D}})}$			$({displaystyle {tfrac {2K_{\mathrm {2D}}) {2K_{\mathrm {2D}}) {4K_{\mathrm {2D}}-E_{\mathrm {2D}}}})$	${\displaystyle {K_{\mathrm {2D}}E_{\mathrm {2D}}}{4K_{\mathrm {2D}}-E_{\mathrm {2D}}}}}$	${\displaystyle {tfrac {2K_{\mathrm {2D}}-E_{\mathrm {2D}}}{2K_{\mathrm {2D}}}}}$	$({displaystyle {tfrac {4K_{\mathrm {2D}}^{2}}) {4K_{\mathrm {2D}}-E_{\mathrm {2D}}}})$
$\displaystyle (K_{\mathrm {2D}},\lambda _{\mathrm {2D}})}$		$(\displaystyle {tfrac {4K_{\mathrm {2D}}-\lambda _{\mathrm {2D}}) {2K_{\mathrm {2D}}-\lambda _{\mathrm {2D}}}}}})$		${\displaystyle K_{\mathrm {2D}}-\lambda _{\mathrm {2D}}}$	$({displaystyle {tfrac {\mathrm {2D}}) {2K_{\mathrm {2D}}-\lambda_{\mathrm {2D}}}})$	${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D}}-\lambda _{\mathrm {2D}}}$
$({displaystyle(K_{\mathrm {2D}},G_{\mathrm {2D}})})$		${\displaystyle {tfrac {4K_{\mathrm {2D}}G_{\mathrm {2D}}}{K_{\mathrm {2D}}+G_{\mathrm {2D}}}}}}$	$\displaystyle K_{\mathrm {2D}}-G_{\mathrm {2D}}$		${\displaystyle {K_{\mathrm {2D}}-G_{\mathrm {2D}}}{K_{\mathrm {2D}}+G_{\mathrm {2D}}}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D}}+G_{\mathrm {2D}}}$
$\displaystyle (K_{\mathrm {2D}},\nu _{\mathrm {2D}})}$		${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D}}}(1-\nu _{\mathrm {2D} }),$	${\displaystyle {tfrac {2K_{\mathrm {2D}}\nu _{\mathrm {2D}}}{1+\nu _{\mathrm {2D}}}}}}$	${\displaystyle {K_{\mathrm {2D}}(1-\nu _{\mathrm {2D}})}{1+\nu _{\mathrm {2D}}}}}$		${\displaystyle {2K_{\mathrm {2D}}}}{1+\nu _{\mathrm {2D}}}}}$
$(\displaystyle(E_{\mathrm {2D}},G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {E_{\mathrm {2D}}G_{\mathrm {2D}}}}{4G_{\mathrm {2D}}-E_{\mathrm {2D}}}}}}$		${\displaystyle {2G_{\mathrm {2D}}(E_{\mathrm {2D}}-2G_{\mathrm {2D}}}}}}{4}G_{\mathrm {2D}}-E_{\mathrm {2D}}}}}}$		${\displaystyle {E_{\mathrm {2D}}}{2G_{\mathrm {2D}}}-1}$	${\displaystyle {4G_{\mathrm {2D} {{2}} {4}G_{\mathrm {2D}}-E_{\mathrm {2D}}}}}}$
$\displaystyle (E_{\mathrm {2D}},\nu _{\mathrm {2D}})}$	${\displaystyle {E_{\mathrm {2D}}}}{2(1-\nu _{\mathrm {2D}}}}}$		${\displaystyle {E_{\mathrm {2D}}\nu _{\mathrm {2D}}}}{(1+\nu _{\mathrm {2D}}}}}}{\nu _{\mathrm {2D}}}}}$	${\displaystyle {E_{\mathrm {2D}}}}{2(1+\nu _{\mathrm {2D}}}}}$		${\displaystyle {E_{\mathrm {2D}}}}{(1+\nu _{\mathrm {2D}}}}}}$
${\displaystyle(\lambda _{\mathrm {2D}},G_{\mathrm {2D}})}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D}}+G_{\mathrm {2D}}}$	$(\displaystyle { tfrac { 4G _ { \ mathrm { 2D } } \ mathrm { 2D } } ) { \ lambda _ { \ mathrm { 2D } } + 2G _ { \ mathrm { 2D } } } } } } }$			${\displaystyle {\mathrm {2D}}{\lambda _{\mathrm {2D}}}+2G_{\mathrm {2D}}}}}$	$\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D}}+2G_{\mathrm {2D}},}$
${\displaystyle(\lambda _{\mathrm {2D}},\nu _{\mathrm {2D}})}$	$({displaystyle {tfrac {\mathrm {2D}}) {2\nu _{\mathrm {2D}}}}) {2\nu _{\mathrm {2D}}}}$	$({displaystyle {tfrac {\mathrm {2D}}) (1+\nu _{\mathrm {2D}}) {\nu _{\mathrm {2D}}})$		$({displaystyle {tfrac {\mathrm {2D}}) {2\nu _{\mathrm {2D}}}}) {2\nu _{\mathrm {2D}}}}$		$(\displaystyle {tfrac {\mathrm {2D}}) {\nu _{\mathrm {2D}}})$	${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2}}_{}}$ D ${\displaystyle {=}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{D}}_{}}$ ${\displaystyle {=}_{}}$ \ $displaystyle$\ $nu$ _ { \ $mathrm${ 2$D$ } $= 0$ \ 왼쪽 $화살표$\ $sqda$ _ { \ $mathrm${ 2$D$ } =$0$}인 경우에는 사용할 수 없습니다.
$\displaystyle (G_{\mathrm {2D}},\nu _{\mathrm {2D}})}$	${\displaystyle {G_{\mathrm {2D}}(1+\nu _{\mathrm {2D}})}{1-\nu _{\mathrm {2D}}}}}$	${\displaystyle 2G_{\mathrm {2D}}}(1+\nu _{\mathrm {2D}}),$	${\displaystyle {tfrac {2G_{\mathrm {2D}}\nu _{\mathrm {2D}}}{1-\nu _{\mathrm {2D}}}}}}$			${\displaystyle {2G_{\mathrm {2D}}}}{1-\nu _{\mathrm {2D}}}}}$
${\displaystyle(G_{\mathrm {2D}},,M_{\mathrm {2D}})}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D}}-G_{\mathrm {2D}}}$	$({displaystyle {4G_{\mathrm {2D}})(M_{\mathrm {2D}}) {M_{\mathrm {2D}}}) {M_{\mathrm {2D}}}}}}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D}}-2G_{\mathrm {2D}},}$		${\displaystyle {M_{\mathrm {2D}}-2G_{\mathrm {2D}}}{M_{\mathrm {2D}}}}:$