수학 , 특히 다선 대수학 에서 dynadior 또는 dynadious tensor 는 벡터 대수학 에서 적합한 표기법으로 쓰여진 2차 텐서 다.
두 개의 유클리드 벡터 를 곱하는 방법은 수없이 많다. 도트 제품 은 벡터 두 개를 가져와 스칼라 를 반환하고 교차 제품 은 유사벡터 를 반환한다. 이 두 가지 모두 다양한 중요한 기하학적 해석을 가지고 있으며 수학, 물리학 , 공학 에서 널리 사용되고 있다. 디아디드 제품은 두 개의 벡터를 취하며 이 맥락에서 디아디드라고 불리는 두 번째 오더 텐서를 반환한다. 다이디악드는 일반적으로 그것을 기하학적으로 해석하는 직접적인 방법은 없지만, 물리적 또는 기하학적 정보를 포함하는 데 사용될 수 있다.
디아디드 제품은 벡터 덧셈 에 비해 분배적 이며, 스칼라 곱셈 과 연관 된다. 따라서 디아디드 제품은 두 피연산자에서 모두 선형이다. 일반적으로 두 개의 다이애디컬을 더하여 다른 다이애디컬을 얻을 수 있고, 숫자에 곱하여 디애디컬을 스케일링할 수 있다. 그러나, 그 제품은 상쇄적 이지 않다; 벡터의 순서를 바꾸면 다른 디아디치(diadius)가 된다.
다이오드 대수학 의 형식주의는 벡터의 다이오드 생산물을 포함하기 위한 벡터 대수학의 확장이다. 디아디드 제품은 또한 도트와 교차 제품을 다른 벡터와 연관시켜 도트, 크로스, 디아디드 제품을 결합하여 다른 스칼라, 벡터 또는 다이애딕을 얻을 수 있다.
벡터의 수치 구성요소를 행과 열 벡터 로 배열할 수 있고, 제곱 행렬 의 2차 텐서 구성요소를 배열할 수 있기 때문에 행렬 대수학 의 일부 측면도 있다. 또한 도트, 십자가, 디아디드 제품은 모두 매트릭스 형태로 표현할 수 있다. 디아디컬 표현은 행렬 등가물과 매우 유사할 수 있다.
벡터를 가진 디아디치의 도트 생산물은 또 다른 벡터를 주고, 이 결과의 도트 생산물을 취하면 디아디치에서 파생된 스칼라가 나온다. 주어진 디아디치가 다른 벡터에 미치는 영향은 간접적인 물리적 또는 기하학적 해석을 제공할 수 있다.
다이디치 표기법은 1884년 요시야 윌러드 깁스 에 의해 처음 제정되었다. 오늘날에는 표기법과 용어가 비교적 구식이다. 물리학에서 그것의 용도는 연속체 역학 과 전자기학 을 포함한다.
이 글에서 대문자 굵게 표시된 변수는 동적(다이아드 포함)을 나타내고 소문자 굵게 표시된 변수는 벡터를 나타낸다. 대체 표기법은 각각 이중 및 단일 오버 또는 언더바를 사용한다.
정의 및 용어 디아디드, 아우터 및 텐서 제품 디아드는 순서 가 2이고 순위 가 1인 텐서 (dyad)이며, 두 벡터 (일반적으로 복합 벡터 )의 디아디드 제품인 반면, 디아디치는 순서 가 2인 일반 텐서 (전체 순위일 수도 있고 아닐 수도 있음)이다.
이 제품에는 다음과 같은 몇 가지 용어 및 공명이 있다.
{\ displaystyle \mathbf {a} 및 {\ displaystyle \mathbf {b} 곱 은 b {\ displaysty \mathbf {a} \mathbf {b}}( the outer product column vectors a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} } a ⊗ b {\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} } a b T {\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}} T {\displaystyle {\mathsf {T}}} 전치 (戰治)를 의미한다.{\ displaystyle \mathbf {a} 및 {\ displaystyle \mathbf {b} 텐서 곱 product b {\ displaystyle \mathbf {a}\otimes \mathbf {b}, 디아디치적인 맥락에서 그들은 모두 같은 정의와 의미를 가지고 있으며, 비록 텐서 제품 이 용어의 보다 일반적이고 추상적인 사용의 한 예이긴 하지만 동의어로 사용된다.
Dirac의 브래지어-켓 표기법은 다이애드와 다이애딕을 직관적으로 명확하게 사용한다. 케이힐(2013) 을 참조한다. [dubious – discuss
입체 유클리드 공간 등가 사용법을 설명하려면 다음을 고려하여 3차원 유클리드 공간 을 고려하십시오.
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b 1 i + b 2 j + b 3 k {\displaystyle {\signified}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3} }\mathbf {k} \\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3} }}\mathbf {k} \end{aigned}}} i , j , k (e 1 , e 2 , e 라고도3 함)가 이 벡터 공간 에서 표준 기준 벡터 인 경우 두 벡터가 된다(카르트 좌표 참조). 그러면 a 와 b 의 diadic 제품을 합으로 나타낼 수 있다.
a b = a 1 b 1 i i + a 1 b 2 i j + a 1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a 2 b 2 j j + a 2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a 3 b 2 k j + a 3 b 3 k k {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}} 또는 3×3 행렬(외부 제품 또는 a 와 b 의 텐서 제품의 결과):
a b ≡ a ⊗ b ≡ a b T = ( a 1 a 2 a 3 ) ( b 1 b 2 b 3 ) = ( a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 ) . {\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}. } 다이아드 는 디아디드(합 또는 균등하게 행렬의 입력 )의 성분으로, 기본 벡터 스칼라 쌍의 디아디드 곱하기 산물 이다.
표준 기준(및 단위) 벡터 i, j , k 가 다음과 같이 표현한다.
i = ( 1 0 0 ) , j = ( 0 1 0 ) , k = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}} (전치될 수 있음), 표준 기반(및 단위) 다이애드 는 다음과 같은 표현을 가지고 있다.
i i = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , i j = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) , i k = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) j i = ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) , j j = ( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) , j k = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) k i = ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) , k j = ( 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ) , k k = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{ii}&={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \mathbf{ij}&={\begin{pmatrix}0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \mathbf{ik}&={\begin{pmatrix}0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}}\\\mathbf{ji}및^{\begin{시.atrix}0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \mathbf{jj}&={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0\end{ Pmatrix}},&, \mathbf{jk}&={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}}\\\mathbf{해법.}&={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \mathbf{kj}&={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0\end{pmatrix}},&, \mathbf{kk}&={\begin{pmatrix}0&, 0&am.p/&0\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}}\end{정렬}}} 표준 기준의 간단한 숫자 예제의 경우:
A = 2 i j + 3 2 j i − 8 π j k + 2 2 3 k k = 2 ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) + 3 2 ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) − 8 π ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) + 2 2 3 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) = ( 0 2 0 3 2 0 − 8 π 0 0 2 2 3 ) {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{A}&=2\mathbf{ij}+{\frac{\sqrt{3}}{2}}};=2{\begin{pmatrix}0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}}+{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0\\0&, 0&{kk}\\[2pt]& \mathbf, 0\end{pmatrix}}-8\pi{\be{ji}-8\pi\mathbf{jk}+{\frac{2{\sqrt{2}}}{3}\mathbf.gin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}}+{\frac{2{ \sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} N차원 유클리드 공간 유클리드 공간이 N차원이라면
a = ∑ i = 1 N a i e i = a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a N e N b = ∑ j = 1 N b j e j = b 1 e 1 + b 2 e 2 + … + b N e N {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}} 여기서 e 와i e 는j e 의i i 는 a 와i 같이 벡터의 성분이 아닌 특정 벡터를 선택함)의 표준 기준 벡터로서, 대수적 형태에서 그들의 dynadi 제품은 다음과 같다.
a b = ∑ j = 1 N ∑ i = 1 N a i b j e i e j . {\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{{n}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}. } 이것은 디아디치의 논이온 형태라고 알려져 있다. 매트릭스 형태의 외부/텐서 제품은 다음과 같다.
a b = a b T = ( a 1 a 2 ⋮ a N ) ( b 1 b 2 ⋯ b N ) = ( a 1 b 1 a 1 b 2 ⋯ a 1 b N a 2 b 1 a 2 b 2 ⋯ a 2 b N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a N b 1 a N b 2 ⋯ a N b N ) . {\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{ N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}. } diadic 다항식 A는 diadic이라고도 하며, 여러 벡터 i a 와j
A = ∑ i a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + … {\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots } N다이아드 이하로는 줄일 수 없는 디아디아가 완성되었다고 한다. 이 경우 성형 벡터는 비복사형이다. [dubious – discuss 첸(1983년) 을 참조한다.
분류 다음 표는 동역학을 분류한다.
결정인자 애드주게이트 매트릭스 와 그 순위 영 = 0 = 0 = 0; 순위 0: 모든 0 선형 = 0 = 0 ≠ 0; 순위 1: 0이 아닌 원소 1개 이상과 모든 2 × 2 하위 결정 0(단일 다이오드) 플라나르 = 0 ≠ 0 (단일 이음매) ≠ 0; 순위 2: 0이 아닌 최소 1개 × 2 하위 결정 사항 완성하다 ≠ 0 ≠ 0 ≠ 0; 순위 3: 0이 아닌 결정인자
정체성 다음과 같은 정체성은 텐서 제품의 정의에 따른 직접적인 결과물이다.[1]
스칼라 곱셈 과 호환 가능: ( α a ) b = a ( α b ) = α ( a b ) {\displaystyle(\mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a}(\mathbf {b})=\mathbf {b}} 모든 스칼라 α {\displaystyle \cHB } . 벡터 덧셈 에 대한 분배: a ( b + c ) = a b + a c ( a + b ) c = a c + b c {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}} 디아치 대수 디아디치 및 벡터 제품 벡터에 정의된 제품에서 생성된 벡터와 디아디치에는 네 가지 연산이 있다.
왼쪽 맞다 도트 제품 c ⋅ ( a b ) = ( c ⋅ a ) b {\displaystyle \mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c}\c} \cdot \mathbf \a}\mathbf {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}" ( a b ) ⋅ c = a ( b ⋅ c ) {\displaystyle \left(\mathbf {a}\mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)} 크로스 제품 c × ( a b ) = ( c × a ) b {\displaystyle \mathbf {c} \ref(\mathbf {ab} \right)=\ref(\mathbf {c}\mathbf {a} \right)\mathbf {b}}} ( a b ) × c = a ( b × c ) {\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right)\mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \mathbf {c} \right)}
디아디드 및 디아디드 제품 디아디디드에게 다른 디아디디드에게 5번의 수술이 있다. a , b , c , d 를 벡터가 되게 하라. 다음:
도트 십자형 도트 도트 제품 ( a b ) ⋅ ( c d ) = a ( b ⋅ c ) d = ( b ⋅ c ) a d {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}}
더블 도트 제품 a b ⋅ ⋅ c d = ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) {\displaystyle \mathbf {ab} {}_{\,\centerdot }^{\,\cdot }\mathbf {cd} =\lef(\mathbf {a}\cd}\cdot \mathbf {d}\c}오른쪽)
또는
( a b ) ⋅ ⋅ ( c d ) = c ⋅ ( a b ) ⋅ d = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) {\displaystyle {\displaystyle}\왼쪽(\mathbf {ab}\오른쪽) {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}}
도트-크로스 제품 ( a b ) ⋅ × ( c d ) = ( a ⋅ c ) ( b × d ) {\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right) {}_{\,\centerdot }^{\mathbf {c}\좌(\mathbf {d} \우)=\좌(\mathbf {a}\cdot \mathbf {c} \우)\좌(\mathbf {b} \mathbf {d} \우)}
십자형 크로스 도트 제품 ( a b ) × ⋅ ( c d ) = ( a × c ) ( b ⋅ d ) {\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right) {}_{\mathbf {cd} \cd}^{\,\centerdot }\왼쪽(\mathbf {c} \a} \mathbf {c} \ref(\mathbf {b}\cdot \mathbf {d} \right)}
더블 크로스 제품 ( a b ) × × ( c d ) = ( a × c ) ( b × d ) {\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right) {}_{\mathbf {cd}^{}}\좌(\mathbf {cd} \우)=\좌(\mathbf {a} \mathbf {c} \우)\좌(\mathbf {b} \mathbf {d} \우)}
내버려 두는
A = ∑ i a i b i , B = ∑ j c j d j {\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}}\quad \quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {d} _{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 두 가지 일반적인 동역자가 있다.
도트 십자형 도트 도트 제품 A ⋅ B = ∑ j ∑ i ( b i ⋅ c j ) a i d j {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{j}\sum _{i}\{i}\cdot \mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}}}}}}}}}}}}}{j}}}}}}}}{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
더블 도트 제품 A ⋅ ⋅ B = ∑ j ∑ i ( a i ⋅ d j ) ( b i ⋅ c j ) = ∑ j ∑ i ( a i ⋅ c j ) ( b i ⋅ d j ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\ \&=\sum _{j}\sum _{i}\왼쪽(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c}_{j}\오른쪽)\왼쪽(\mathbf {b} _{i}\cd}\ended}}}}}}}}}}}}
도트-크로스 제품 A ⋅ × B = ∑ j ∑ i ( a i ⋅ c j ) ( b i × d j ) {\displaystyle \mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}
십자형 크로스 도트 제품 A × ⋅ B = ∑ j ∑ i ( a i × c j ) ( b i ⋅ d j ) {\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)}
더블 크로스 제품 A × × B = ∑ i , j ( a i × c j ) ( b i × d j ) {\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}
더블 도트 제품 더블 도트 제품을 정의하는 방법에는 두 가지가 있다; 어떤 규칙을 사용할지 결정할 때 주의해야 한다. 나머지 디아딕트 제품에 대해 유사한 매트릭스 연산이 없으므로, 그 정의에 모호한 점이 나타나지 않는다.
트랜스포즈 기능이 있는 특별한 더블닷 제품이 있다.
A ⋅ ⋅ B T = A T ⋅ ⋅ B {\displaystyle \mathbf {A}{}_{\centerdot }^{\\centerdot }^{T}=\mathbf {A}^{\\mathsf{T}}}{\centerdot }^{\centerdot }}}}\mathbf {B}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 또 다른 정체성은 다음과 같다.
A ⋅ ⋅ B = ( A ⋅ B T ) ⋅ ⋅ I = ( B ⋅ A T ) ⋅ ⋅ I {\displaystyle \mathbf {A}{}_{\centerdot }^{\\centerdot }{B} =\왼쪽(\mathbf {A}\cdot \mathbf {B}^{\mathsf {T}\right) {}_{\centerdot }^{\centerdot }}\mathbf {I} =\좌측(\mathbf {B}\cdot \mathbf {A}^{\mathsf {T}\우측) {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {I}} 더블 크로스 제품 우리는 두 벡터 a 와 b 로 형성된 다이애드의 경우 이중 교차 제품이 0임을 알 수 있다.
( a b ) × × ( a b ) = ( a × a ) ( b × b ) = 0 {\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right) {}_{\mathbf {ab} \ref(\mathbf {ab} \right)=\ref(\mathbf {a} \right)\ref(\mathbf {b} \mathbf {b} \mathbf {b} \reight)=0} 그러나, 정의에 따르면, 다이디치 더블 크로스 제품 자체는 일반적으로 0이 아닐 것이다. 예 를 들어, 6개의 서로 다른 벡터로 구성된 다이디악 A
A = ∑ i = 1 3 a i b i {\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}}} 0이 아닌 자기 이중 교차 제품을 가지고 있다.
A × × A = 2 [ ( a 1 × a 2 ) ( b 1 × b 2 ) + ( a 2 × a 3 ) ( b 2 × b 3 ) + ( a 3 × a 1 ) ( b 3 × b 1 ) ] {\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _ {3}\mathbf {b} _{1}\right)\right]} 텐서 수축 스퍼 또는 팽창 계수 는 각 다이디치 제품을 벡터의 도트 곱으로 대체함으로써 좌표 단위로 디아디치의 공식 팽창에서 발생한다.
A = A 11 i ⋅ i + A 12 i ⋅ j + A 13 i ⋅ k + A 21 j ⋅ i + A 22 j ⋅ j + A 23 j ⋅ k + A 31 k ⋅ i + A 32 k ⋅ j + A 33 k ⋅ k = A 11 + A 22 + A 33 {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{A}=\qquad&.A_{11}\mathbf{나는}\cdot \mathbf{나는}+A_{12}\mathbf{나는}\cdot \mathbf{j}+A_{13}\mathbf{나는}\cdot\mathbf{k}\\{}+{}&을 말한다.A_{21}\mathbf{j}\cdot \mathbf{나는}+A_{22}\mathbf{j}\cdot \mathbf{j}+A_{23}\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}\\{}+{}&을 말한다.+A_{32}\mathbf{k}\cdot{나는}A_{31일}\mathbf{k}\cdot \mathbf. \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{ligned}}}}}}}}} 지수 표기법에서 이것은 다이디악드에 대한 지수의 수축이다.
A = ∑ i A i i {\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i} A_{i}{}^{i}}}}}} 3차원에서만 회전계수 는 모든 디아디드 제품을 교차제품 으로 교체하여 발생한다.
⟨ A ⟩ = A 11 i × i + A 12 i × j + A 13 i × k + A 21 j × i + A 22 j × j + A 23 j × k + A 31 k × i + A 32 k × j + A 33 k × k = A 12 k − A 13 j − A 21 k + A 23 i + A 31 j − A 32 i = ( A 23 − A 32 ) i + ( A 31 − A 13 ) j + ( A 12 − A 21 ) k {\displaystyle{\begin{정렬}\langle \mathbf{A}\rangle =\qquad&.{나는}\times{k}\\{}+{}& \mathbf{나는}\times{j}+A_{13}\mathbf \mathbf A_{11}\mathbf{나는}\times,{나는}+A_{12}\mathbf \mathbf.{j}\times{k}\\{}+{}& \mathbf{j}\times{j}+A_{23}\mathbf \mathbf A_{21}\mathbf{j}\times,{나는}+A_{22}\mathbf \mathbf.A_{31일}\mathbf{k}\times{나는}+A_ \mathbf. {k}\times{k}\\[6pt]=\qquad 및 \mathbf{32}\mathbf{k}\times,{j}+A_{33}\mathbf \mathbf.A_{12}\mathbf{k}-A_{13}\mathbf{j}-A_{21}\mathbf{k}\\{}+{}&을 말한다.A_{23}\mathbf, \left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf{나는}+\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf{j}+\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf{k}\\\end{알{j}-A_{32}\mathbf{나는}\\[6pt]=\qquad 및 +A_{31일}\mathbf{나는}. 구릿빛}} 지수 표기법에서 이것은 Levi-Civita 텐서 A 의 수축이다.
⟨ A ⟩ = ∑ j k ϵ i j k A j k . {\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{jk}{\epsilon _{i}^{jk}} A_{jk}} 유니트 디아딕트 I 에 의해 표시된 디아디드 단위가 존재하는데, 어떤 벡터 a 에 대해서도,
I ⋅ a = a ⋅ I = a {\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} 3 벡터 a , b c 를 기준으로 하여 역수 기준 a ^, ^,c ^ {\ displaystyle {\hatsbf {a}},{\hatsbf {b},{\hat {\mathbf {c}}}}}} .
I = a a ^ + b b ^ + c c ^ {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hatsbf {b} {\mathbf {b} {\mathbf {c} {\hatbf {c} {\hatbf {c}}}} 표준 기준으로는
I = i i + j j + k k {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {i} +\mathbf {jj} +\mathbf {k}} 명시적으로 디아디치 단위 오른쪽에 있는 도트 제품은
I ⋅ a = ( i i + j j + k k ) ⋅ a = i ( i ⋅ a ) + j ( j ⋅ a ) + k ( k ⋅ a ) = i a x + j a y + k a z = a {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{나는}\cdot \mathbf{를}&=(\mathbf{나는}\mathbf{나는}+\mathbf{j}\mathbf{j}+\mathbf{k}\mathbf{k})\cdot\mathbf{를}\\&, =\mathbf{나는}(\mathbf{나는}\cdot \mathbf{})+\mathbf{j}(\mathbf{j}\cdot \mathbf{})+\mathbf{k}(\mathbf{k}\cdot \mathbf{})\\&, =\mathbf{j}a_{y}+\ma a_{)}+\mathbf{나는}.thbf{k}a_{ z}\\&=\mathbf {a} \end{aigned}} 그리고 왼쪽으로
a ⋅ I = a ⋅ ( i i + j j + k k ) = ( a ⋅ i ) i + ( a ⋅ j ) j + ( a ⋅ k ) k = a x i + a y j + a z k = a {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{를}\cdot \mathbf{나는}&=\mathbf{를}\cdot(\mathbf{나는}\mathbf{나는}+\mathbf{j}\mathbf{j}+\mathbf{k}\mathbf{k})\\&, =(\mathbf{}\cdot \mathbf{나는})\mathbf{나는}+(\mathbf{}\cdot \mathbf{j})\mathbf{j}+(\mathbf{}\cdot \mathbf{k})\mathbf{k}\\&, =a_{)}\mathbf{{j}+a_ +a_{y}\mathbf{나는}.z}\mathbf{k } \\&=\mathbf {a} \end{arged}} 해당 행렬은
I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0\\0&0&1\\end{pmatrix}}} 이것은 텐서 제품의 언어를 사용하여 보다 신중한 기초 위에 올려질 수 있다('의 논리적 내용이 무엇을 의미할 수 있는지 설명)에 적용될 수 있다. V 가 유한차원 벡터 공간 이라면 V 의 디아디치 텐서는 이중 공간 을 가진 V의 텐서 제품에서 기초 텐서다.
The tensor product of V and its dual space is isomorphic to the space of linear maps from V to V : a dyadic tensor vf is simply the linear map sending any w in V to f (w )v . When V is Euclidean n -space, we can use the inner product to identify the dual space with V itself, making a dyadic tensor an elementary tensor product of two vectors in Euclidean 우주 공간
이런 의미에서 단위 디아디치 ij 는 3공간에서 자체로 ai 1 + aj 2 + ai 를3 2 보내는 기능이고 jyj 는 이 합계를 aj 에게2 보낸다. 이제 그것은 (정확한) 감각 ii + jyj + kk 가 정체성이라는 것을 알 수 있다. 그 효과는 그 기초에 있는 벡터의 계수에 의해 스케일링된 표준기준으로 각 단위 벡터를 합하는 것이기 때문에 ai 1 + aj 2 + ak 를3 그 자체로 보낸다.
단위 동적 특성 ( a × I ) ⋅ ( b × I ) = b a − ( a ⋅ b ) I I × ⋅ ( a b ) = b × a I × × A = ( A ⋅ ⋅ I ) I − A T I ⋅ ⋅ ( a b ) = ( I ⋅ a ) ⋅ b = a ⋅ b = t r ( a b ) {\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{}\mathbf{나는}\times \right)\cdot \left(\mathbf{b}\mathbf{나는}\right \times)&, =\mathbf{영혼}-\left(\mathbf{}\cdot \mathbf{b}\right)\mathbf{나는}\\\mathbf{나는}{}(\mathbf{에어로빅}\right)&, =\mathbf{b}\times{{를}\\\mathbf{나는}{}_{\times}^{\times}\mathbf \mathbf.A}&=(\m athbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}} 여기서 "tr"는 흔적 을 나타낸다.
예 벡터 투영 및 거부 0이 아닌 벡터 a 는 항상 두 개의 수직 구성 요소로 분할될 수 있다. 하나는 단위 벡터 n 의 방향에 평행(높음)이고 다른 하나는 수직(높음)이다.
a = a ∥ + a ⊥ {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\mathbf {a}+\mathbf {a} _{\perp }}}}}} 병렬 구성 요소는 벡터 투영 에 의해 발견되며, 이는 dynadius nn 을 사용한 a 의 도트 곱과 동일하다.
a ∥ = n ( n ⋅ a ) = ( n n ) ⋅ a {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathbf {n}=\mathbf {n}\cdot \mathbf {a}=(\mathbf {n} )\cdot \mathbf {a}}} 수직 구성 요소는 벡터 제거 에서 발견되며, 이는 dynadi I nn a 의 도트 생성물과 동일하다.
a ⊥ = a − n ( n ⋅ a ) = ( I − n n ) ⋅ a {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n}(\mathbf {n})=(\mathbf {I} -\mathbf {n})\cdot \mathbf {a}}}}}}}} 회전 디아디악트 2d 회전 디아디악
J = j i − i j = ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} = {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}}} 2d 단위의 90° 반시계방향 회전 연산자 . 벡터 r = xi yj 로 좌점화하여 벡터를 만들 수 있으며,
( j i − i j ) ⋅ ( x i + y j ) = x j i ⋅ i − x i j ⋅ i + y j i ⋅ j − y i j ⋅ j = − y i + x j , {\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,} 요컨대
J ⋅ r = r r o t {\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot}}}}}}} 또는 행렬 표기법
( 0 − 1 1 0 ) ( x y ) = ( − y x ) . {\displaystyle {\pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}{pmatrix}{pmatrix}x\y\end{pmatrix}={\matrix}-y\x\end{pmatrix}}. } 어떤 각도 θ 에 대해, 평면에서 반시계방향 회전을 위한 2d 회전 디아디치는 다음과 같다.
R = I cas θ + J 죄를 짓다 θ = ( i i + j j ) cas θ + ( j i − i j ) 죄를 짓다 θ = ( cas θ − 죄를 짓다 θ 죄를 짓다 θ cas θ ) {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}} 여기서 I 와 J 는 위와 같으며, 2d 벡터 a = aix aj 의y 회전은
a r o t = R ⋅ a {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a}} 3d 회전 벡터 a 의 일반적 인 3d 회전은, 단위 벡터 Ω의 방향으로의 축과 각도 θ 을 통한 반시계방향의 축을 중심으로, 다이디치 형태의 Rodrigues의 회전식 을 이용하여 수행될 수 있다.
a r o t = R ⋅ a , {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \} 로테이션 디아디치가 있는 곳
R = I cas θ + 죄를 짓다 θ Ω + ( 1 − cas θ ) ω ω , {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\sin \\cos \\boldsymbol {\Oomega}+(1-\cos \cos \cosmbol {\\\bega}} 그리고 카르테시아어 입력 Ω은 다이디치 입력도 형성한다.
Ω = ω x ( k j − j k ) + ω y ( i k − k i ) + ω z ( j i − i j ) , {\displaystyle {\boldsymbol {\i1}=\mathbf {kj} -\mathbf {jk} -\mathbf {ki}+\mathbf _{z}(\mathbf {j} - mathbf {ij}\mathbf}\mathbf}\j}\mathbf}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Ω 이 a 에 미치는 영향은 교차 제품이다.
Ω ⋅ a = ω × a {\displaystyle {\boldsymbol {\Oomega}\cdot \mathbf {a} = {\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {a}}} 열 벡터로 교차 제품 행렬 을 이루는 디아디드 입니다.
로렌츠 변환 특수상대성이론 에서 단위 벡터 n 방향으로 속도 v를 가진 로렌츠 부스트 는 다음과 같이 표현할 수 있다.
t ′ = γ ( t − v n ⋅ r c 2 ) {\displaystyle t'=\lift(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r}{c^{2}}}\오른쪽)} r ′ = [ I + ( γ − 1 ) n n ] ⋅ r − γ v n t {\displaystyle \mathbf {r}'=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {n}\cdot \mathbf {r} -\gammathbf {n}t} 어디에
γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \frac ={\frac {1}{\sqrt{1-{\dfrac {v^{2}}:}}}} 로렌츠 요인 이다.
관련 용어 일부 저자들은 디아디치 (diadic )[2] 용어 로 일반화한다.
참고 항목 메모들 참조 P. Mitiguy (2009). "Vectors and dyadics" (PDF) . Stanford , USA. Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector analysis, Schaum's outlines . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7 A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics . Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6 Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Dyadics and other vector operators", Methods of theoretical physics, Volume 1 , New York: McGraw-Hill , pp. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8 MR 0059774 Ismo V. Lindell (1996). Methods for Electromagnetic Field Analysis . Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6 Hollis C. Chen (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8 K. Cahill (2013). Physical Mathematics . Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211 외부 링크 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004e10c7876a31cff93419b2d7711a762379f08f)
![{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e3124661942d3e4aeac239dd80a5fde39d766d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f5453a39750ad2240a5ef1cb4259f2cf5f4907)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd209c1d383ed8a3009424fdf877bcec006f9fad)
![\mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7530f1fd9a93b9f35538c12c2086c93a15684b2d)
