스펙트럼(토폴로지)

수학의 한 분야인 대수적 위상에서 스펙트럼은 일반화된 코호몰로지 이론(브라운의 대표성 정리에서 따옴)을 나타내는 개체다. 이것은, 코호몰로지 이론으로 볼 때,

$E$ $CW}^{op}\to {\text{Ab$

공간 $X$ $X$ 에 $k$ 대한 도 $k$ {\ $displaystyle k}$ 의 코호몰로지 이론을 평가하는 것은 $X$ 공간 E $E^{k}$ ${\$ displaystyle E $^{k$ 에 대한 지도 호모토피 클래스를 계산하는 것과 동등하게 $E^{k}$ $E^{k}$ 공간 E k ${\$ $displaystystyle E$ $^{$ k}

${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ ${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ ( X ${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ ) ${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ [ ${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ , E ${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ ${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ ${\$ .

여러 가지 다른 범주의 스펙트럼이 있어 기술적 어려움이 많지만,^[1] 모두 안정적 호모토피 범주로 알려진 동일한 호모토피 범주를 결정한다. 이것은 스펙트럼이 안정적인 호모토피 이론을 위한 자연적 보금자리를 형성하기 때문에 스펙트럼 도입의 핵심 포인트 중 하나이다.

스펙트럼의 정의

정의에는 많은 변화가 있다: 일반적으로 스펙트럼은 $X_{n}$ $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ 지도 $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ $X_{n}$ $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ X $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ → $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ n $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ + 1 ${$ { ∧ $style style$ ^ $1 wed } to \$ → → → → + $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ 1 1 1 1 $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ 1 { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { {

The treatment here is due to Frank Adams (1974): a spectrum (or CW-spectrum) is a sequence $E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ of CW complexes together with inclusions $\Sigma E_{n}\to E_{n+1}$ of the suspension ${\displaystyle \Sigma E_{n$ 2 $}}:$ $E_{n+1}$ + $E_{n+1}$ ${\$ 의 서브 콤플렉스로서 $\Sigma E_{n}$ $E_{n+1}$

다른 정의는 대칭 스펙트럼과 단순 스펙트럼을 참조한다.

스펙트럼의 호모토피 그룹

스펙트럼의 가장 중요한 불변성 중 하나는 스펙트럼의 호모토피 그룹이다. 이 그룹들은 서스펜션 맵의 구조가 그 정의에 필수적이기 때문에 안정된 호모토피 그룹의 정의를 반영한다. 스펙트럼 $E$ $E$ 이(가) 지정된 경우 호모토피 그룹 $\pi _{n}(E)$ $\pi _{n}(E)$ $\pi _{n}(E)$ $\pi _{n}(E)$ 을(를) 콜리밋으로 $\pi _{n}(E)$ 정의하십시오 $E$ .

${\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}$

서스펜션 맵의 구성에서 맵이 유도되는 경우

$\Sigma :E_{n}\to \Sigma E_{n}}$

그리고 구조도

$\Sigma E_{n}\to E_{n+1}:{n+1$

스펙트럼은 음의 k에 대해 $\pi _{k}$ $\pi _{k}$ ${\$ 가 0이면 $\pi _{k}$ 결합성이 있다고 한다.

예

에일렌베르크-마클레인 스펙트럼

Consider singular cohomology $H^{n}(X;A)$ with coefficients in an abelian group $A$ . For a CW complex $X$ , the group $H^{n}(X;A)$ can be identified with the set of homotopy classes of maps from $X$ to $K(A,n)$ ( $K(A,n)$ , $K(A,n)$ ) ${\displaystyle K(A,n$ 호모토피가 도 $n$ $n$ 에 집중된 Eilenberg-MacLane 공간 $n$ 우리는 이것을 다음과 같이 쓴다.

$[X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)}$

그런 다음 해당 $스펙트럼$ H $A$ $HA$ 에 n{\ $displaystyle$ n} $-th$ space $K(A,n)$ , $K(A,n)$ ) $K(A,n)$ {\ $displaystyle K(A,n)}$ 이 있으며 $HA$ $K(A,n)$ 이를 Eilenberg-MacLane 스펙트럼이라고 한다. 이 구조를 사용하여 모든 링 $R$ $R$ 을 스펙트럼 $R$ 범주에 포함시킬 수 있다는 점에 유의하십시오. 이 임베딩은 파생 대수 기하학의 모델로서 사용된 스펙트럼 기하학의 기초를 형성한다. 이 임베딩에서 발견되는 중요한 특성 중 하나는 이형성이다.

${\begin{aigned}\pi _{i}(R/I)\wedge _{R}H(R/J)&\cong H_{i}\좌(R/I\otimes ^{\mathbf {}{}R/J\rig)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{arged}}$

스펙트럼 범주를 보여주는 것은 스매시 제품이 파생 텐서 제품 역할을 하는 정류 링의 파생 정보를 추적한다. 더욱이 에일렌베르크-마클레인 스펙트럼은 교호작용 고리에 대한 위상학적 호치차일드 호몰로지 등의 이론을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 이는 고전적인 호치차일드 호몰로지(Hochschild homology)의 보다 정밀한 이론을 제시한다.

위상복합 K이론

두 번째 중요한 예로서 위상학적 K-이론을 생각해 보자. 적어도 X 콤팩트의 경우, $K^{0}(X)$ 0 $K^{0}(X)$ ( $K^{0}(X)$ ) $K^{0}(X)$ 은 X에 있는 복잡한 벡터 번들의 모노이드의 그로텐디크 그룹으로 정의된다 $K^{0}(X)$ . 또한 $K^{1}(X)$ $K^{1}(X)$ ( $K^{1}(X)$ ) $K^{1}(X)$ 은 X의 중단에 있는 벡터 번들에 해당하는 그룹이다 $K^{1}(X)$ . 위상학 K-이론은 일반화된 코호몰로지 이론이므로 스펙트럼을 부여한다. 제로스페이스는 $\mathbb {Z} \times BU$ $\mathbb {Z} \times BU$ $\mathbb {Z} \times BU$ $\mathbb {Z} \times BU$ $\mathb {Z} \time BU$ 이고 ${\mathbb {Z}}\times BU$ , 첫 번째 $U$ 은 U{\ $displaystyle$ $U$ $}$ 이다 $U$ $U$ 서 U ${\displaysty$ U $}$ 은 $U$ 무한 유니터리 그룹이고 B $U$ ${\displaysty BU}$ 은 그 분류 공간이다 $BU$ . By Bott periodicity we get $K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)$ and $K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)$ for all n, so all the spaces in the topological K-theory spectrum are given by either $\mathbb {Z} \times BU$ or $U$ $[\displaystyle U$ 복잡한 벡터 번들 대신 실제 벡터 번들을 이용한 해당 구조가 있어 8주기 스펙트럼을 제공한다.

구 스펙트럼

스펙트럼의 대표적인 예로는 구 스펙트럼 $\mathbb {S}$ ${\$ 이(가) 있다 $\mathbb {S}$ 이는 구 스펙트럼의 안정적인 호모토피 그룹에 의해 호모토피 그룹이 주어지는 스펙트럼이다.

$\pi _{n}(\mathb {S} )=\pi _{n}^{\mathb {S}}}}}}}$

우리는 이 스펙트럼을 $\mathbb {S} _{i}=S^{i}$ = $\mathbb {S} _{i}=S^{i}$ i {\ $displaystyle \mathb$ {S} _ ${i}=$ 로 명시적으로 기록할 수 있다. $S$ 여기서 $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ = $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ { 0 $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ ${\displaystyle \mathb {S} _{0}=\{0,$ 1 $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ 스매시 제품이 이 스펙트럼에 제품 구조를 제공한다는 점에 유의하십시오.

$S^{n}\웨지 S^{m}\simeq S^{n+m}$

$\mathbb {S}$ ${\$ 에 링 구조를 유도한다 $\mathbb {S}$ 더욱이 대칭 스펙트럼 범주를 고려할 경우, 이는 정류 링 범주의 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ ${\$ { $Z}$ 과 유사한 초기 개체를 형성한다.

톰 스펙트럼

스펙트럼의 또 다른 표준적인 예는 다양한 거미줄 이론을 대표하는 톰 스펙트럼에서 나온다. 여기에는 진짜 거미줄 $M$ $O$ ${\displaystyle MO$ 복잡한 거미줄 M $U$ ${\displaystyle MU$ 액자형 거미줄 M $S$ $p$ $i$ $i$ ${\displaystyle MSpin$ $},$ 끈 거미줄 M $S$ t $t$ r $i$ $g$ ${\displaystystym$ MString $MString$ 등이 포함된다. 실제로 위상학 그룹 $G$ ${\displaystyle$ G $}$ 에 대해 Thom 스펙트럼 $M$ $G$ $MG$ 이(가) 있다 $G$ $MG$

서스펜션 스펙트럼

스펙트럼은 공간으로 구성될 수 있다. $\Sigma ^{\infty }X$ 로 표시된 $X$ 공간 $X$ {\ $displaystyle$ $X$ $}$ 의 서스펜션 스펙트럼은 $X_{n}=S^{n}\wedge X$ X $X_{n}=S^{n}\wedge X$ = $X_{n}=S^{n}\wedge X$ $X_{n}=S^{n}\wedge X$ = $X_{n}=S^{n}\wedge X$ n $X_{n}=S^{n}\wedge X$ $Sigma ^{\$ $n}=S^{n$ }=S^{ $n}\wedge$ X $}($ $구조$ 지도가 ID임)이다. 예를 들어 0-sphere의 서스펜션 스펙트럼은 위에서 설명한 구체 스펙트럼이다. 이 스펙트럼의 호모토피 그룹은 $X$ $X$ 의 안정적인 호모토피 그룹이다 $X$

$\pi _{n}(\Sigma^{\\infit }X)=\pi _{n}^{n}^{\mathb {S}}(X)$

현수 스펙트럼의 구성은 모든 공간이 공동동질학 이론으로 간주될 수 있음을 의미한다. 사실, 그것은 functor를 정의한다.

$\Sigma ^{\npty ^:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}$

CW 콤플렉스의 호모토피 범주에서 스펙트럼의 호모토피 범주까지. 형태는 다음에 의해 주어진다.

$[\Sigma ^{\infit }X,\Sigma ^{\infit }Y]={\underset {\\do n}{\\operatorname {colim}{}}}}}}}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

프로이덴탈 서스펜션 정리에 의해 결국 안정화된다. 이 말은 우리가 의미하는 바는

$\left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots$ and ${\displaystyle \left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[$ $\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]}$

일부 유한 정수 $N$ $N$ 에 대해 $N$ CW $복합체$ X $X$ 의 경우 역구축 $\Omega ^{\infty }$ ∞ ${\$ 이 있으며 $X$ , 이 $\Omega ^{\infty }$ ω은 $스펙트럼$ E ${\displaystystyle E}$ 을 취하고 공간을 $E$ 형성한다.

$\Oomega ^{\infit }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim}{}}\Oomega ^{n}E_{n}}}}}$

스펙트럼의 무한 루프 공간이라고 불린다. $CW$ 복합 X ${\displaystyle$ X $}$ 의 경우

$\Oomega ^{\infit }\Sigma ^{\infit }X={\underset {\\do }{\operatorname {colim}{}}\Oomega ^{n}\Sigma ^{n}X$

그리고 이 구조는 모든 $n$ ${\displaystyle$ $n$ $n$ 에 $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ X $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ → $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ X ${\displaystyle$ X $\to \Oomega ^{n}\Sigma ^{n}X}$ 가 포함되므로 지도를 제공한다.

$\displaystyle X\to \Oomega ^{\nft }\Sigma ^{\nft }X}$

주입식이야 불행하게도 이 두 구조물은 스매시 제품이 추가되면서 스펙트럼 이론에 상당한 복잡성을 초래한다. 왜냐하면 스펙트럼에는 이러한 구조와 관련된 5개의 공리 목록을 만족시키는 단일 범주의 스펙트럼이 존재할 수 없기 때문이다.^[1] 위의 부속물은 공간과 스펙트럼의 호모토피 범주에서만 유효하지만 특정 스펙트럼 범주(호모토피 범주가 아님)에서 항상 유효하지는 않다.

Ω-스펙트럼

Ω-스펙트럼은 구조물 지도( $X_{n}\to \Omega X_{n+1}$ → $X_{n}\to \Omega X_{n+1}$ $X_{n}\to \Omega X_{n+1}$ n $X_{n}\to \Omega X_{n+1}$ + $X_{n}\to \Omega X_{n+1}$ ${\$ 의 부선이 약한 등가성인 스펙트럼이다. 링의 K 이론 스펙트럼은 Ω-스펙트럼의 예다.

링 스펙트럼

링 스펙트럼은 스매시 제품의 관점에서 링 공리를 설명하는 다이어그램이 "최대 호모토피피"( $S^{0}\to X$ $S^{0}\to X$ → ${\displaystyle S^{0}\to$ X $})$ 에 해당하는 $S^{0}\to X$ 스펙트럼 X이다. 예를 들어 위상학 K 이론의 스펙트럼은 링 스펙트럼이다. 모듈 스펙트럼은 유사하게 정의될 수 있다.

더 많은 예시를 보려면 코호몰로지 이론 목록을 참조하십시오.

스펙트럼의 함수, 맵 및 호모토피

물체가 스펙트럼인 세 가지 자연 범주가 있으며, 그 형태는 함수 또는 지도 또는 아래에 정의된 호모토피 등급이다.

두 스펙트럼 E와 F 사이의 함수는 toE_n_n → E_n+1 및 σF_n → F_n+1 지도로 통근하는 E에서_n F까지의 지도의 시퀀스다.

스펙트럼 $E_{n}$ ${\$ 이 주어진 경우 서브스펙트럼 $F_{n}$ $F_{n}$ ${\$ 도 스펙트럼인 서브콤플렉스의 시퀀스다 $F_{n}$ $E_{n}$ $E_{j}$ $E_{j}$ ${\$ 의 각 i 셀이 $E_{j+1}$ j $E_{j+1}$ + 1 ${\$ 의 (i + 1) 셀에 중단됨에 $E_{j}$ 따라 $E_{j+1}$ 공동최종 서브스펙트럼은 부모 스펙트럼의 각 셀이 한정된 정지 후 결국 하위스펙트럼에 포함되는 서브스펙트럼이다. $그런$ 다음 $f:E\to F$ 의 $f:E\to F$ 를 $f:E\to F$ 하여 스펙트럼을 범주로 전환할 수 있다 $.$ $E$ 은(는) $E$ $E$ 의 $G$ $공동최종$ $하위점$ G {\displaystyle $G}$ 에서 $E$ $F$ $F$ 까지의 함수로서, 두 개의 그러한 기능이 일부 공동최종 하위점에서 일치할 경우 동일한 지도를 나타낸다 $F$ 직관적으로 그러한 스펙트럼 맵은 정의되는 모든 곳에 있을 필요는 없으며, 결국 정의될 뿐이며, 공동 최종 하위 스펙트럼에서 일치하는 두 개의 맵은 동등하다고 한다. 이것은 주요 도구인 스펙트럼(및 맵)의 범주를 제공한다. 이 범주에 포인트 CW 콤플렉스의 범주가 자연스럽게 포함되는데, 이 범주는 N번째 콤플렉스가 $\Sigma ^{n}Y$ $\Sigma ^{n}Y$ 인 $서스펜션$ $스펙트럼$ 에 Y {\ $displaystyle Y}을(를)$ 가져간다 $Y$ $\Sigma ^{n}Y$

스펙트럼 $E$ ${\displaystyle E$ $}$ 과 $E$ (와 $)$ 뾰족한 $콤플렉스$ X {\ $(E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X$ X}의 스매시 $X$ 제품은 ( $(E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X$ X $(E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X$ ) $(E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X$ = E n $\$ X {\ $displaystyle ($ E $\wedge X)_{n$ }\ $n}\$ wedge X}(스매시 제품의 연관성은 실제로 스펙트럼이라는 것을 즉시 산출한다. A homotopy of maps between spectra corresponds to a map $(E\wedge I^{+})\to F$ , where $I^{+}$ is the disjoint union $[0,1]\sqcup \{*\}$ with $*$ taken to be the basepoint.

안정적인 호모토피 범주 또는 (CW) 스펙트럼의 호모토피 범주는 물체가 스펙트럼이고 형태는 스펙트럼 간 맵의 호모토피 등급인 범주로 정의된다. 스펙트럼에 대한 많은 다른 정의는 일부는 매우 다르게 나타나며 동등한 안정적 호모토피 범주로 이어진다.

마지막으로 ( $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ ) n $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ = $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ + 1 ${\$ 에 의해 스펙트럼의 정지를 정의할 수 있다 $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ 이 번역 중단은 ( $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$ - 1 $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$ ) $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$ = $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$ $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$ - 1 ${\$ 를 설정하여 중단시킬 수도 있으므로, 되돌릴 수 없다 $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$

스펙트럼의 삼각형 호모토피 범주

안정적인 동위 범주:지도가 트랙 추가 호모토피 그룹을 규정하는 데 사용된 변형을 사용하여 추가될 수 있는 첨가제다. 따라서 수업을 1주파수 또 다른 형태가abelian 그룹까지 동위. 더군다나 그 안정된 호모토피 범주)(보그 트는(1970년)곳에서 삼각형을 이루면 이동 중단 그리고는 기품 있는 삼각형에 의해 스펙트럼의 매핑 콘 시퀀스에 의해게 된다.

X→ Y→ Y∪ CX(Y∪ CX)∪ CY(Σ X{\displaystyle X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow(Y\cup 수포 작용제)\cup CY\cong \Sigma X}→.

스매시 스펙트럼 제품

스펙트럼의 사라과 제품 CW단지의 사라과 제품을 연장한다. 그것은monoidal 범주에; 다른 말로 그것을abelian 단체의(파생)텐서 제품처럼 행동한 안정된 호모토피 범주를 만든다. 대 히트작 제품이 큰 문제는 그것과 교환 연상 homotopy까지 밖에 만든 정의에서 방법은 분명하다. 스펙트럼의 대칭 스펙트럼 같은 많은 최근의 정의, 그리고 지도들의 수준에서는, 호모토피 클래스에를 전달하기 전에 대칭monoidal 구조를 제공하 이 문제를 해결하다.

그 으깨 제품은triangulated 구성과 호환된다. 특히 스펙트럼과 뛰어난 삼각형의 사라과 제품은 저명한 삼각 지대이다.

스펙트럼의 일반화된 호몰로지 및 코호몰로지

우리는 이 주어진 스펙트럼의(안정적인)동위 그룹 정의할 수 있다.

π와 E=[Σ nS, E]{\displaystyle\displaystyle \pi_{n}[\Sigma ^{n}\mathbb{S},E]},.

여기서 $\mathbb {S}$ ${\$ 은 $\mathbb {S}$ (는) 구 스펙트럼이고 $[X,Y]$ [ $[X,Y]$ , Y $[X,Y]$ $[X,Y]$ 은(는) $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 에서 $X$ Y ${\displaysty Y}$ 까지의 지도 호모토피 클래스 집합이다 $Y$ 우리는 다음을 $[X,Y]$ 통해 스펙트럼 E의 일반 호몰로지 이론을 정의한다.

E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathb {S},E\wedge X]}

그리고 그 일반화된 코호몰로지 이론을 정의한다.

[\displaystyle \displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].}

여기서 $X$ $X$ 은 스펙트럼 또는 (그 서스펜션 스펙트럼을 사용하여) 공간이 될 수 있다 $X$ .

스펙트럼이 있는 기술적 복잡성

스펙트럼으로 작업하고 스펙트럼 범주를 정의하는 동안 표준적인 복잡성 중 하나는 이러한 각 범주가 $스펙트럼$ Q ${\displaystyle Q$ }의 무한 루프 공간에 관한 명백한 다섯 가지 공리를 충족할 수 없다는 사실에서 비롯된다.

$Q:{\text{상단}_{*}\to {\text{탑}_{*}$

보내기

$QX=\mathop {\text{colim} _{\to n}\Oomega ^{n}\Sigma ^{n}X$

보조 펑커 1쌍 $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ : $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ ∗ $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ : $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ {\ $displaystyle \Sigma ^{\ft }:{\text{$ $Top}}}_{*}\왼쪽 화살표 {\text{Spectra}}_{*}:$ $\Oomega ^{\infit$ $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ 및 스매시 제품 $\wedge$ $\wedge$ 은 $\wedge$ (는) 공간 범주 및 스펙트럼 범주 모두에 해당된다. ${\text{Top}}_{*}$ ${\text{Top}}_{*}$ ${\$ $Top}}_{*}$ 은(는) 기반, 콤팩트하게 생성되고 약한 하우스도르프 공간의 범주를 나타내며 ${\text{Top}}_{*}$ , ${\text{Spectra}}_{*}$ 은 ${\text{Spectra}}_{*}$ 스펙트럼의 범주를 나타내며, 스펙트럼의 특정 모델로는 결코 다음과 같은 5개의 공리를 충족할 수 없다.^[1]

${\text{Spectra}}_{*}$ $∗{\$ 은 스매시 제품 $∧{\displaystyle \wedge}$ 에 대한 대칭 단면체 범주다 ${\text{Spectra}}_{*}$ .
펑터 ${\$ 은(는) Ω ${\$ 에 대해 왼쪽(왼쪽)으로 표시한다 $\Sigma ^{\infty }$ .
스매시 제품 $\wedge$ $\wedge$ 의 단위는 구 스펙트럼 $\Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S}$ $\Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S}$ ∞ $\Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S}$ = S ${\$ } $S^{0}=\mathb {S}}}}}}}$ 이다 $\wedge$ $.$
Either there is a natural transformation $\phi :\left(\Omega ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Omega ^{\infty }E'\right)\to \Omega ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)$ or a natural transformation $\gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)$ $\gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)$ which commutes with the unit object in both categories, and the commutative and associative isomorphisms in both categories.
There is a natural weak equivalence $\theta :\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\to QX$ for ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\text{$ $상단$ 통근 다이어그램:
${\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta }\\Oba ^{\nft }\Sigma ^{\infit }X\\\\\\mathord{=}}\downarrow \theetta \X&\end{i}}}}$
여기서 $\eta$ $\eta$ 은 $\eta$ (는) 부속의 단위 맵이다.

이 때문에 스펙트럼 연구는 사용 중인 모델에 따라 골절된다. 개요를 보려면 위에 인용한 기사를 확인하십시오.

역사

스펙트럼의 개념의 한 버전은 1958년 Elon Lages Lima의 박사학위 논문에서 소개되었다. 그의 고문 에드윈 스패니어는 1959년에 이 주제에 대해 더 많은 글을 썼다. 스펙트럼은 마이클 아티야와 조지 W에 의해 채택되었다. 1960년대 초 일반화된 동종학 이론에 대한 연구의 백두. 1964년 J. Michael Boardman의 박사 논문은 CW 콤플렉스의 범주가 불안정한 경우에 있는 것처럼 안정적인 호모토피 이론에서 유용한 것처럼 그들 사이의 스펙트럼 범주와 지도(호모토피 클래스만이 아님)에 대한 실행 가능한 정의를 내렸다. (이것은 본질적으로 위에서 설명한 범주로, 여전히 많은 용도로 사용되고 있다: 다른 회계에 대해서는 애덤스(1974년)나 레이너 보그트(1970년)를 참조하라. 그러나 1990년 이후 중요한 이론적 진보가 이루어져 스펙트럼의 형식적 특성이 크게 개선되었다. 결과적으로, 최근의 많은 문헌은 스펙트럼의 수정된 정의를 사용한다. 마이클 맨델 외 연구진 참조. (2001) 이러한 새로운 접근법의 통일된 처리를 위해.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c Lewis, L. Gaunce (1991-08-30). "Is there a convenient category of spectra?". Journal of Pure and Applied Algebra. 73 (3): 233–246. doi:10.1016/0022-4049(91)90030-6. ISSN 0022-4049.

Lima, Elon Lages (1959), "The Spanier–Whitehead duality in new homotopy categories", Summa Brasil. Math., 4: 91–148, MR 0116332
Lima, Elon Lages (1960), "Stable Postnikov invariants and their duals", Summa Brasil. Math., 4: 193–251
Vogt, Rainer (1970), Boardman's stable homotopy category, Lecture Notes Series, No. 21, Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus, MR 0275431
Whitehead, George W. (1962), "Generalized homology theories", Transactions of the American Mathematical Society, 102 (2): 227–283, doi:10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

외부 링크

스펙트럼 시퀀스 - 앨런 해처(Allen Hatcher)는 스펙트럼에 대한 탁월한 소개와 아담스 스펙트럼 시퀀스를 구성하기 위한 응용 프로그램을 포함하고 있다.
대칭 스펙트럼에 관한 주제 없는 책 프로젝트
"Are spectra really the same as cohomology theories?".

[:0-1] Lewis, L. Gaunce (1991-08-30). "Is there a convenient category of spectra?". Journal of Pure and Applied Algebra. 73 (3): 233–246. doi:10.1016/0022-4049(91)90030-6. ISSN 0022-4049.

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