코호모토피 집합

수학, 특히 대수적 위상학에서, 코호모토피 집합은 뾰족한 위상 공간의 범주에서 집합과 함수의 범주에 이르는 연속적인 지도에 이르는 특별한 반변 함수 집합이다.그들은 호모토피 그룹과 이중적이지만, 덜 연구되었다.

개요

뾰족한 위상 공간 X의 p번째 코호모토피 세트는 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \pi ^{p}(X)=[X,S^{p}}

X $(\displaystyle$ X $)$ 에서 $X$ $S^{p}$ S $S^{p}$ (\ $displaystyle$ S $^{p$ 로의 연속 매핑의 포인트 호모토피 클래스 집합. p=1의 경우 이 집합은 아벨 군 구조를 가지며 $,$ $X$ (\ $displaystyle$ X $)$ 가 $X$ CW 복합체일 경우 첫 번째 코호몰로지 $H^{1}(X)$ $(\display$ H $)$ 과 동형상된다 $.$ 원 S $({$ S $^{1})$ 은 $S^{1}$ $K(\mathbb {Z} ,1)$ K $,$ 1)의 Eilenberg-MacLane 공간({ $displaystyle$ K $(\mathbb {Z$ 이므로, 실제로 X $({displaystyle$ X})가 $X$ 최대 $P$ 의 CW 복합체라면, $[X,S^{p}]$ 코호몰로지 $H^{p}(X)$ $H^{p}(X)$ p ( $H^{p}(X)$ $){$ $displaystyle$ H $^{p}(X$

세트 $[X,S^{p}]$ $[X,S^{p}]$ p $]{displaystyle [X,S^{p}}}$ 도 $[X,S^{p}]$ X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 서스펜션 $\Sigma Y$ Y(\ $displaystyle \Sigma$ Y $\Sigma Y$ 인 경우 q(q $(\displaystyle$ S $^{$ $q$ 등 $q\geq 1$ 스러운 그룹 구조를 가집니다.

X가 CW복합체와 동등한 호모토피가 아닌 $H^{1}(X)$ $($ )은 [ $[X,S^{1}]$ $]($ $X)$ 과 $[X,S^{1}]$ 동형상이 아닐 수 있습니다 $.[X, S1$ ](X, $S^{1$ 은 최초의 $H^{1}(X)$ 코호몰로지 그룹을 인정하는 바르샤바 서클에 의해 반례가 제시됩니다.항등도^[1]

특성.

코호모토피 세트에 대한 몇 가지 기본적인 사실, 다른 것보다 더 명확한 사실:

$\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ p 및 q에 대해 $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ p ( $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ q $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ ) $=$ $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ ( $S p$ ){ $displaystyle$ \ $pi ^{$ p}(S $^{$ q})=\ $pi _{q$ } $(S^{$ p $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ }})
$q=p+1$ $q=p+1$ p + $q=p+1$ { $displaystyle$ $q$ $=$ p + $p>2$ $q=p+1$ } $p>2$ 및 $>$ 2 { $\pi ^{p}(S^{q})$ p $\pi ^{p}(S^{q})$ $\pi ^{p}(S^{q})$ { $p>2$ $displaystyle \pi$ ^{ $p}(S^{q})$ 의 $\pi ^{p}(S^{q})$ $q=p+1$ $\mathbb {Z} _{2}$ ))) $\mathbb {Z} _{2}$ ( $displaystyle \mathbbb$ { $Z} _{2$ 와 같습니다. (이 결과를 증명하기 위해 Lev Pontaginistry는 코보디즘의 개념을 개발했습니다.
f $f,g\colon X\to S^{p}$ $f,g\colon X\to S^{p}$ : $f,g\colon X\to S^{p}$ $→$ $f,g\colon X\to S^{p}$ p {\ $displaystyle f,g\to S^{p}$ x $f,g\colon X\to S^{p}$ f ( $\|f(x)-g(x)\|<2$ ) - $\|f(x)-g(x)\|<2$ ( $\|f(x)-g(x)\|<2$ ) ${\$ $\|f(x)-g(x)\|<2$ ( \ $displaystyle \ f$ ( $x$ ) - $g$ ( $\|f(x)-g(x)\|<2$ $)\ <$ 2} 이면 [f $\|f(x)-g(x)\|<2$ $=$ [ $g$ ], homopy 가 매끄러운 경우
X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ $경우$ , 콤팩트한 평활 $\pi ^{p}(X)$ δp $X)$ { $displaystyle \pi$ ^{ $p$ $}($ X $\pi ^{p}(X)$ )}는 평활 지도 $X\to S^{p}$ $X\to S^{p}$ p { $displaystyle X\to$ S^{p $X\to S^{p}$ 의 호모토피 클래스 집합과 동일하며, 이 경우 모든 연속 지도가 평활 지도에 의해 평활하게 근사할 수 있습니다.opic.
X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ m(\ $displaystyle$ m)-m인 $m$ $경우$ $p>m$ $\pi ^{p}(X)=0$ $=$ 0 $(\displaystyle \pi$ ^{ $p}(X$ )= $0)$ ( $p>m$ > $p>m$ m { $displaystyle$ p $> m$ ）。
X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 경계를 가진 m $(\displaystyle$ m $)$ 매니폴드인 $m$ $경우$ 세트 $∂$ 는 $\pi ^{p}(X,\partial X)$ 내부 $디스플레이$ X $(\$ displaystyle $\pi ^{p},\partial$ X)의 코디멘티즘 클래스 세트와 원칙적으로 바이젝션됩니다 $X\setminus \partial X$
X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ 안정적인 코호모토피 그룹이 콜리밋입니다.