메이어-비에토리스 수열

메이어-비에토리스 수열(Mayer-Vietoris sequence)은 수학에서 위상 공간의 대수적 불변량을 계산하는 데 도움이 되는 대수적 도구로, 이들의 상동성 및 코호몰로지 군으로 알려져 있습니다. 그 결과는 두 명의 오스트리아 수학자 발터 메이어와 레오폴드 비에토리스 덕분입니다. 이 방법은 한 공간을 부분 공간으로 분할하는 것으로 구성되며, 이 경우 호몰로지 또는 코호몰로지 그룹이 더 쉽게 계산될 수 있습니다. 순서는 공간의 (co)호몰로지 그룹과 부분 공간의 (co)호몰로지 그룹을 연관시킵니다. 전체 공간의 (co)호몰로지 그룹, 부분 공간의 (co)호몰로지 그룹의 직접적인 합, 부분 공간의 교차점의 (co)호몰로지 그룹을 입력하는 자연스러운 긴 정확한 시퀀스입니다.

메이어-비에토리스 수열은 단순 상동성과 단일 상동성을 포함한 다양한 상동성 및 상동성 이론을 지지합니다. 일반적으로, 시퀀스는 Eilenberg-Steenrod 공리를 만족하는 이론에 대해 유지되며, 축소 및 상대(co) 상동성 모두에 대해 변형이 있습니다. 대부분의 공간의 (공)호몰로지는 정의에서 직접 계산할 수 없기 때문에 부분적인 정보를 얻기 위해 메이어-비에토리스 수열과 같은 도구를 사용합니다. 토폴로지에서 접할 수 있는 많은 공간은 매우 단순한 패치를 결합하여 구성됩니다. 교차점과 함께 전체 공간보다 간단한 (공) 상동성을 갖도록 두 개의 부분 공간을 신중하게 선택하면 공간의 (공) 상동성을 완전히 추론할 수 있습니다. 그런 점에서 메이어-비에토리스 수열은 기본 그룹에 대한 세이퍼트-반 캄펜 정리와 유사하며 차원 1의 상동성에 대해 정확한 관계가 존재합니다.

배경, 동기, 역사

공간의 기본 그룹이나 상위 호모토피 그룹과 마찬가지로 호몰로지 그룹은 중요한 위상 불변량입니다. 일부 (공)호몰로지 이론은 선형 대수의 도구를 사용하여 계산할 수 있지만, 다른 많은 중요한 (공)호몰로지 이론, 특히 단일 (공)호몰로지는 사소한 공간에 대한 정의에서 직접 계산할 수 없습니다. 단수 (공) 상동성의 경우, 단수 (공) 사슬 및 (공) 사이클 그룹은 너무 커서 직접 처리할 수 없는 경우가 많습니다. 좀 더 미묘하고 간접적인 접근이 필요하게 됩니다. Mayer-Vietoris 시퀀스는 두 부분 공간의 (co)호몰로지 그룹과 그 교차점을 연관시킴으로써 모든 공간의 (co)호몰로지 그룹에 대한 부분적인 정보를 제공하는 접근 방식입니다.

관계를 표현하는 가장 자연스럽고 편리한 방법은 정확한 시퀀스에 대한 대수적 개념을 포함합니다: 하나의 모피즘의 이미지가 다음 모피즘의 커널과 동일하도록 객체(이 경우 그룹)의 시퀀스와 그들 사이의 모피즘(이 경우 그룹 동형화)입니다. 일반적으로 공간의 (공)호몰로지 그룹이 완전히 계산되는 것은 허용되지 않습니다. 그러나 위상학에서 접하는 많은 중요한 공간은 위상 다양체, 단순 복합체 또는 CW 복합체로 매우 단순한 패치를 조각하여 구성되기 때문에 Mayer와 Vietoris와 같은 정리는 잠재적으로 광범위하고 심층적인 적용 가능성이 있습니다.

메이어는 1926년과 1927년 빈의 한 지역 대학에서 열린 자신의 강의에 참석했을 때 동료 비에토리스에 의해 위상수학을 소개받았습니다.^[1] 그는 추측된 결과와 해결책에 대한 방법에 대해 듣고 1929년에 베티 수에 대한 문제를 풀었습니다.^[2] 그는 자신의 결과를 두 원기둥의 결합으로 간주되는 토러스에 적용했습니다.^[3]^[4] 비에토리스는 이후 1930년에 상동성 그룹에 대한 전체 결과를 증명했지만 정확한 순서로 표현하지는 않았습니다.^[5] 정확한 수열의 개념은 Mayer와 Vietoris의 결과를 현대적인 형태로 표현한 Samuel Eilenberg와 Norman Steenrod의^[6] 1952년 저서 대수 위상학의 기초에서 인쇄물로만 나타났습니다.^[7]

단일 호몰로지에 대한 기본 버전

X를 위상 공간이라 하고, A, B를 내부가 X를 덮는 두 부분 공간이라 하자. (A와 B의 내부는 서로소일 필요가 없습니다.) 세쌍원소(X, A, B)에 대한 단일 호몰로지에서의 메이어-비에토리스 수열은 X, A, B 및 교점 A ∩B의 단일 호몰로지 군(계수군 정수 Z)과 관련된 길고 정확한 수열입니다. 축소되지 않은 버전과 축소된 버전이 있습니다.

축소되지 않은 버전

축소되지 않은 상동성의 경우, Mayer-Vietoris 수열은 다음과 같은 수열이 정확하다고 말합니다.^[9]

\codots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial_{*}}\,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\j_{*}\end{smallmatrix}\right)}\,H_{n}(A)\opplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}\,H_{n}(X)\,\xrightarrow {partial_{*}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \codots

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.

여기서 i : A ∩B ↪ A, j : A ∩B ↪ B, k : A ↪ X, l : B ↪ X는 $\oplus$ 포함 $맵$ 이고 ⊕ {\displaystyle \opplus}는 아벨리안 그룹의 직접 합을 나타냅니다.

경계도

차원을 낮추는 경계 맵은 다음과 같이 ∂ 정의될 수 있습니다. H_n(X)의 원소는 n-사이클 x의 상동성 클래스로, 예를 들어 중심 세분화에 의해 두 개의 n-체인 u와 v의 합으로 기록될 수 있으며, 그 이미지는 각각 A와 B에 있습니다. Thus ∂x = ∂(u + v) = 0 so that ∂u = −∂v. 이는 이 두 경계(n - 1) 사이클의 영상이 교차점 A ∩B에 포함되어 있음을 의미합니다. 그렇다면 ∂([x])는 H(A ∩B)의 ∂u 클래스로 정의할 수 있습니다. ∂u + ∂v = ∂x = ∂u' + ∂v'이므로 다른 분해 x = u' + v'를 선택해도 [∂u]에 영향을 미치지 않습니다. 이는 ∂u - ∂u' = ∂(v' - v)를 의미하므로 ∂u와 ∂u'는 동일한 상동성 클래스에 속하므로 ∂x' = ∂x = 0이기 때문에 다른 대표 x'를 선택하지도 않습니다. Mayer-Vietoris 시퀀스의 지도는 A와 B의 순서를 선택하는 것에 따라 달라집니다. 특히 A와 B가 바뀌면 경계 지도가 부호를 바꿉니다.

축소판

감소된 상동성의 경우 A와 B가 비어 있지 않은 교집합을 갖는다는 가정 하에 Mayer-Vietoris 시퀀스도 있습니다.^[11] 순서는 양의 치수에 대해 동일하며 끝은 다음과 같습니다.

\cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.

세이퍼트-반 캄펜 정리와의 유추

메이어-비에토리스 수열(특히 1차원의 상동성 그룹의 경우)과 세이퍼트-반 캄펜 정리 사이에는 유사점이 있습니다.^[10]^[12] $A$ ∩ B {\ $displaystyle$ A\cap B}가 경로 연결될 때마다 축소된 Mayer-Vietoris 시퀀스는 동형을 산출합니다.

H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})

정확하게 말하면,

{\displaystyle {\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}(i_{*},j_{*}).

이것은 정확히 세이퍼트-반 캄펜 정리의 아벨리안화된 문장입니다. $X {\displaystyle$ X}가 경로 연결되어 있을때 H $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ 이 기본 그룹 $\pi _{1}(X)$ π 1 $($ X) {\ $displaystyle \pi_{$ 1}( $X$ )}의 아벨리안화라는 사실과 비교해 보십시오.

기본 응용프로그램

k구

k-구 X = S의 호몰로지를 완전히 계산하기 위해서, A와 B는 (k - 1)차원 등적 구와 동등한 교집합 호모토피를 갖는 X의 두 반구라고 가정합니다. k차원 반구는 수축 가능한 k-디스크와 동형이기 때문에 A와 B에 대한 동형 군은 사소합니다. 감소된 상동성 그룹에 대한 Mayer-Vietoris 수열은 다음과 같이 산출됩니다.

\cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xright 화살표 {\overset {}{\partial_{*}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longright 화살표 0\longright 화살표 \cdots

정확성은 지도 ∂가 동형임을 즉시 암시합니다. 0-구(두 점)의 감소된 상동성을 기본 케이스로 사용하면 다음과^[14] 같습니다.

{\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k\\0&{\mbox{if }}n\neq\end{case}

δ는 크로네커 삼각주입니다. 구체에 대한 상동성 그룹에 대한 이러한 완전한 이해는 특히 거의 알려져 있지 않은 n > k의 경우 구체의 상동성 그룹에 대한 현재 지식과 극명한 대조를 이룹니다.^[15]

클라인병

메이어-비에토리스 수열의 조금 더 어려운 적용은 클라인 병 X의 상동성 그룹을 계산하는 것입니다. 하나는 X의 분해를 경계원을 따라 접착된 두 개의 뫼비우스 띠 A와 B의 결합으로 사용합니다(오른쪽 그림 참조). 그러면 A, B와 그들의 교집합 A ∩B는 원과 동치이므로, 수열의 중요하지 않은 부분은

0\rightarrow {\tilde {H}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \{\alpha}}\\mathbb {Z} \opplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}_{1}(X)\rightarrow 0

그리고 사소한 부분은 2보다 큰 차원에서 상동성이 사라지는 것을 의미합니다. 중심 지도 α는 뫼비우스 띠의 경계 원이 중심 원을 두 번 감싸므로 1에서 (2, -2)까지 보냅니다. 특히 α는 주사적이므로 차원 2의 상동성도 사라집니다. 마지막으로 (1, 0)과 (1, -1)을 Z의² 기준으로 선택하면 다음과 같습니다.

{\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \opplus \mathbb {Z}_{2})={\begin{case}\mathbb {Z} \opplus \mathbb {Z}_{2}&{\mbox{if}=1\0&{\mbox{if}}\n\neq 1\end{case}

쐐기합

X를 두 공간 K와 L의 쐐기합이라 하고, 또한 식별된 기저점이 열린 이웃 U ⊆ K와 V ⊆ L의 변형 후퇴라고 가정합니다. A = K ∪ V와 B = U ∪ L을 다음과 같이 하면 A ∪ B = X와 A ∪ B = U ∩ V는 구조에 의해 수축할 수 있습니다. 축소된 버전의 시퀀스는 (정확도에 의해) 산출됩니다.^[17]

{\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)

모든 차원에 대하여 n. 오른쪽 그림은 X를 두 개의 2구 K와 L의 합으로 보여줍니다. 이 특정한 경우, 2-구에 대한 위의 결과를 사용하면,

{\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplux \mathbb {Z}) =\left\{\mathbb {matrix}\mathbb {Z} \oplux \begin {Z} & {\mbox{if}} n=2\0&{\mbox{if}} n\neq 2\end{matrix}}\right.

정지

X가 공간 Y의 현가 SY일 때, A와 B는 각각 이중 원뿔의 상단과 하단의 '수직'의 X에서 여집합이 된다고 가정합니다. 그러면 X는 A ∪B 조합이고, A와 B는 계약이 가능합니다. 또한 교점 A ∩B는 Y와 동치입니다. 따라서 메이어-비에토리스 수열은 모든 n에 대해 산출됩니다.^[18]

{\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y)

오른쪽 그림은 1-sphere X를 0-sphere Y의 서스펜션으로 보여줍니다. 일반적으로 k-구는 (k - 1)-구의 현탁액이라는 점에 주목하면, 위와 같이 귀납법에 의해 k-구의 상동성 그룹을 쉽게 도출할 수 있습니다.

추후논의

상대형태

Mayer-Vietoris 시퀀스의 상대적인 형태도 존재합니다. 만약 Y가 X ⊂이고 C ⊂ A와 D ⊂ B의 내부의 결합이라면, 정확한 순서는 다음과 같습니다.

\codots \ to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots

자연성

$f:X_{1}\to X_{2}$ f : X $f:X_{1}\to X_{2}$ → X $f:X_{1}\to X_{2}$ {\ $displaystyle$ f $:X_$ {1}\to X_{2}}가 연속형 맵이라면, 상동성 그룹 f ∗의 표준 푸시포워드 맵이 존재한다는 점에서 상동성 그룹은 자연스럽습니다: H k (X 1) → H k (X 2) {\displaystyle f_{*}: $H_$ {k $}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})$ 즉 $(g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.$ ( $(g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.$ $∘$ $(g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.$ ) $∗$ $=$ $g$ $∗ ∘$ h $∗$ . {\displaystyle(g\circ h)_{*} $=$ g_{*}\circ h_{*}} 메이어-비에토리스 수열은 또한 다음과 같은 의미에서 자연스러운 것입니다.

{\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}}

그런 다음 Mayer-Vietoris 시퀀스의 연결 $모피즘인$ ∂ ∗, {\ $displaystyle \partial_$ {*}}은 $f$ ∗ ${\displaystyle$ f_{*}과 함께 커뮤테이션합니다. 즉, 다음 다이어그램은 커뮤테이션합니다(수평 맵은 일반적인 맵입니다).

{\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}

코호몰로지 버전

계수 그룹 G가 있는 단일 코호몰로지 그룹에 대한 Mayer-Vietor는 호몰로지 버전과 이중인 긴 정확한 시퀀스입니다. 다음과 같습니다.^[22]

\cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots

차원 보존 맵은 포함으로부터 유도된 제한 맵이고, (공동) boundary 맵은 상동성 버전과 유사한 방식으로 정의됩니다. 상대적인 공식도 있습니다.

G가 실수 R의 군이고 기저 위상 공간이 매끄러운 다양체의 추가 구조를 갖는 중요한 특수한 경우로서, 드 람 코호몰로지에 대한 메이어-비에토리스 수열은 다음과 같습니다.

\cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots

여기서 { $U,$ $V}$ 는 $X$ 의 열린 덮개 $,$ ρ는 제한 맵, δ는 차이입니다. $매핑된$ ∗ {\displaystyle $d$ ^{*}}는 위에서부터 $맵$ ∂ ∗ {\displaystyle \partial_{*}}와 유사하게 정의됩니다. 다음과 같이 간단히 설명할 수 있습니다. U ∩ $V$ 에서 $닫힌$ $형식$ ω로 표시되는 코호몰로지 클래스 [ω]의 경우 ω를 열린 커버 {U, V}에 종속되는 통일 $파티션$ 을 통해 $U$ - $\omega _{U}-\omega _{V}$ ω V {\displaystyle \omega_{U}-\omega_{V} 형식의 $\omega _{U}-\omega _{V}$ 로 표현합니다. $외부$ 도함수 $d$ ω와 d ω는 U ∩ V에 대해 $일치$ 하므로X에 대한 n+1 형태 σ를 함께 $정의$ 합니다. $하나$ 는 d $([$ ω]) = [σ]입니다.

콤팩트한 지원을 갖는 드 람 코호몰로지의 경우, 위 시퀀스의 "플립" 버전이 존재합니다.

$\cdots \to H_{c}^{n}(U\cap V)\,\xrightarrow {\delta } \,H_{c}^{n}(U)\oplus H_{c}^{n}(V)\,\xrightarrow {\Sigma } \,H_{c}^{n}(X)\,\xrightarrow {d^{*}} \,H_{c}^{n+1}(U\cap V)\to \cdots$

where $U$ , $V$ , $X$ are as above, $\delta$ is the signed inclusion map $\delta :\omega \mapsto (i_{*}^{U}\omega ,-i_{*}^{V}\omega )$ where ${\displaystyle i^{$ $U}:$ 콤팩트한 지원이 있는 폼을 $U$ ${\displaystyle$ U $}$ 의 폼으로 0만큼 확장하고, $\Sigma$ $σ$ ${\displaystyle \$ Sigma}가 합입니다.

파생

사슬 그룹의 짧은 정확한 서열(사슬 복합체의 구성 그룹)과 관련된 긴 정확한 서열을 고려합니다.

0\to C_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {\alpha }}\,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,{\xrightarrow {\beta }}\,C_{n}(A+B)\to 0

여기서 α(x) = (x, -x), β(x, y) = x + y, C(A + B)는 A의 사슬과 B의 사슬의 합으로 구성된 사슬군입니다. 이미지가 A 또는 B에 포함된 X의 단일 n-심플이 모든 상동성 그룹 H(X_n)를 생성한다는 사실입니다.^[24] 즉, H_n(A + B)는_n H(X)와 동형입니다. 이것은 단일 상동성에 대한 메이어-비에토리스 시퀀스를 제공합니다.

미분 형태의 벡터 공간의 짧은 정확한 시퀀스에 적용된 것과 동일한 계산

0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\opplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0

드 람 코호몰로지에 대한 메이어-비에토리스 수열을 산출합니다.^[25]

공식적인 관점에서, Mayer-Vietoris 시퀀스는 상동성에서 긴 정확한 시퀀스를 사용하여 상동성 이론에 대한 Eilenberg-Steenrod 공리로부터 유도될 수 있습니다.^[26]

다른 상동성 이론

Eilenberg-Steenrod 공리로부터 Mayer-Vietoris 시퀀스의 유도는 차원 공리를 필요로 하지 않기 때문에,^[27] 일반적인 코호몰로지 이론에 존재하는 것 외에도, 그것은 (위상 K-이론과 코보디즘과 같은) 특별한 코호몰로지 이론에 있습니다.

셰프코호몰로지

셰프 코호몰로지의 관점에서 메이어-비에토리스 수열은 체흐 코호몰로지와 관련이 있습니다. 특히, 체흐 코호몰로지를 계산하는 데 사용되는 열린 커버가 두 개의 열린 세트로 구성된 경우 체흐 코호몰로지와 양 코호몰로지(때로는 메이어-비에토리스 스펙트럼 시퀀스라고 함)를 연관시키는 스펙트럼 시퀀스의 퇴화에서 발생합니다.^[28] 이 스펙트럼 시퀀스는 임의의 토포이에 존재합니다.^[29]

참고 항목

메모들

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