페르미의 황금률

문제성명

황금률은 슈뢰딩거 방정식의 직접적인 결과로서, 해밀턴의 섭동 H'에서 가장 낮은 순서로 해결되었다.총 해밀턴인은 "원래" 해밀턴 H와₀ 동요의 합이다.${\displaystyle H=H_{0}+H'(t)}$. In the interaction picture, we can expand an arbitrary quantum state’s time evolution in terms of energy eigenstates of the unperturbed system ${\displaystyle n\rangle }$, with ${\displaystyle H_{0} n\rangle =E_{n} n\rangle }$.

최종 상태의 이산 스펙트럼

우리는 먼저 최종 상태가 별개의 경우를 고려한다.The expansion of a state in the perturbed system at a time t is ${\displaystyle \psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar } n\rangle }$. The coefficients a_n(t) are yet unknown functions of time yielding the probability amplitudes in the Dirac picture.이 상태는 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 준수한다.

${\displaystyle H \psi(t)\rangele =i\hbar {\frac {\partial t}{\partial t}}\psi(t)\rangele .}$

해밀턴과 주를 확장해 보면, 첫 순서로,

${\displaystyle \left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t) n\rangle e^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}$ where E_n and n⟩ are the stationary eigenvalues and eigenfunctions of H₀.

이 방정식은 계수 a ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle a_{n}(t)}$의 시간 진화를 지정하는 미분 방정식의 시스템으로 다시 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {da_{k}(t)}{dt}=\sum _{n}\langle K'n_n'n\rangele a_{n(t)e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n}/hbar}/})}}}\hbar }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이 방정식은 정확하지만, 일반적으로는 실제로 해결할 수 없다.

t = 0에서 점등하는 약한 상수 섭동 H'에 대해서는 섭동 이론을 사용할 수 있다.즉, ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= 0 ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ H$'=0$이면 n${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{\Delta n}}_{}}$, i ${\$이(가) 분명한데, 이 말은 단순히 시스템이 초기 상태 $i{\displaystyle }$ ${\displaystysty i}$에 머무른다는 것이다$.$

상태 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k\neq$i$\}$의 ${\displaystyle {경우}_{}}$, k${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle a_{k}(t)}$이(가) H ${\displaystyle \prime }$ $[\displaystyle$ H$'\neq$ 0$}$으로 인해 0이 아닌 상태가 되며$,$ 약한 동요로 인해 작은 것으로 가정한다.The coefficient ${\displaystyle a_{i}(t)}$ which is unity in the unperturbed state, will have a weak contribution from ${\displaystyle H'}$. Hence, one can plug in the zeroth-order form ${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$ into the above equation to get the first correction for진폭 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$) ${\displaystyle a_{k}(t$

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {da_{k}(t)}{dt}=\langle k' i^{\langle k' e^{\mathrm {i}t(E_{k}-E_{i}/\hbar }}}}}}}}$

그 본질은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=\int _{0}^{t}\langle k'(t') i\rangle e^{\mathrm {i}\omega_{ki}t'}dt}$

a_i(0) = 1, a_k(0) = 1, a(0) = 0인 상태에서 a_k(t)가 있는 상태로 전환되는 경우, $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ i${\displaystyle {}_{}(}$ (${\displaystyle E_{}}$k - ${\displaystyle E_{}}$i${\displaystyle }$) / ${\displaystyle \hslash }${\$displaystyle \omega$ _${ki}\equiv(E_{k}-{i}/\hbar$로 설정.

초기 상태(ith)에서 최종 상태(fth)로 전환될 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle w_{fi}= a_{f}(t) ^{{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}\왼쪽 \int_{0}^{t}\langle f'h'(t') i\랑글 e^{nangle e^{i}\mathrmatmatema _{{{{{{{{fi}}}}}}}}}}}}}}dt}오른쪽 ^{d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

임의의 섭동은 다른 주파수의 주기적 섭동으로 구성될 수 있기 때문에$$ 주어진 주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}에 대한 주기적 섭동이 중요하다.Since ${\displaystyle H'(t)}$ must be Hermitian, we must assume ${\displaystyle H'(t)=Fe^{-\mathrm {i} \omega t}+F^{\dagger }e^{\mathrm {i} \omega t}}$, where ${\displaystyle F}$ is a time independent operator.이^[7] 경우의 해결책은

${\displaystyle a_{f}(t)=-\langle f F i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}-\langle f F^{\dagger } i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}+\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}+\omega )}}.}$

This expression is valid only when the denominators in the above expression is non-zero, i.e., for a given initial state with energy ${\displaystyle E_{i}}$, the final state energy must be such that ${\displaystyle E_{f}-E_{i}\neq \pm \hbar \omega .}$ Not only the denominators must be non-zero, but al${\displaystyle {따라서}_{}}$ f ${\$가 작아야 하므로$$ 작지 않아야 한다.

최종 상태의 연속 스펙트럼

이후로 연속 스펙트럼은 discrete 주파수 위에 놓여 있는, Ef− E나는;0}일 경우와 이전의 섹션이 확실하다 0{\displaystyle E_{f}-E_{나는}&gt입니다., 주연은 에너지 Ef{\displaystyle E_{f}에 의해}은 공명 에너지 E근처에 위치해 있는 나는 +ℏω{\displaystyle E_{나는}+\hbar \omega}, 즉, 때 연주된다. ω${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega _{fi}\대략 \omega$ $\}.$ 이 경우 ${\displaystyle f_{}}$( $){\displaystyle a_{f}(t)$의 첫 번째 용어만 유지하는 것으로 충분하다$.$ 이러한 동요가 $시간{\displaystyle }$t = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyt=0}$부터 켜진다고 가정하면, 우리는 다음과 같다$.$

${\displaystyle a_{f}(t)=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\int _{0}^{t}\langle f H'(t') i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t'}dt'=-\langle f F i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}-1}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}}$

${\displaystyle f_{}}$ ${\$의 제곱 계수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle a_{f} ^{2}=4 \langle F i\rangle ^{2}{\frac {\sin ^{2}(\omega _{fi}-\omega)t/{\hbar ^{2}(\omega _{fi}-\omega)^{2}}:$

large $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 경우$$이 값은

${\displaystyle a_{f} ^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}} \langle F i\angle ^{2}\delta (E_{f}-E_-\hbar \omega )t,}$

$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대한 선형 의존$.$

ih 상태에서 최종 상태로 전환될 확률은 간격 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ f ${\$${\displaystyle {Ef}_{}}$ ${\$ 주위에 불분명한 원소의 상태 밀도$)$로 놓여져 있는 d ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ f$${\$displaystyle dw_{f}= a_{f}{2}dnu_{f$따라서 단위 시간당 전환 확률은 다음과 같다.

${\dplaystyle {\frac {dw_{fi}}{dt}={\frac {2\pi }{\hbar }}}}\langle F i\angle ^{2}\delta (E_{f}-E_-\hbar \omega)d\nu _{f}.}$

시간 의존은 사라졌고, 황금률의 끊임없는 부패율이 뒤따른다.^[8]상수로서 방사능의 기하급수적인 입자 붕괴 법칙에 기초한다.(그러나_k 지나치게 오랜 시간 동안 a(t) 용어의 세속적인 성장은 최저 수위의 섭동 이론을 무효화하는데, 이 이론에는 ≪ a가_ki 필요하다.)

다음은 코헨-탄누드지의 치료를 패러프한 것이다.^[10]이전과 같이 총 해밀턴인은 "원래" 해밀턴 H와₀ 섭동의 합이다.${\displaystyle H}$= ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$.우리는 여전히 임의의 양자 상태의 시간 진화를 방해받지 않는 시스템의 에너지 고유상태의 관점에서 확장할 수 있지만, 이것들은 이제 이산상태와 연속상태로 구성되어 있다.우리는 상호작용이 연속체 상태의 에너지에 따라 다르지만 다른 양자수는 아니라고 가정한다.디락 그림의 관련 주들의 확장은 다음과 같다.

${\displaystyle \psi (t)\rangele =a_{i}e^{-\mathrm {i}\i}\mathrme _{i}t} i\rangele +\int_{C}d\epsilona a_{-\e^{-\mathrmathrmet} \epsilon \e} \eptilon \e} \i} \i} \i} \egrle.} \epsilon \egilon \egl$

where ${\displaystyle \omega _{i}=\epsilon _{i}/\hbar ,\omega =\epsilon /\hbar }$ and ${\displaystyle \epsilon _{i},\epsilon }$ are the energies of states ${\displaystyle i\rangle , \epsilon \rangle }$. The integral is over the continuum ${\displaystyl$$e \epsilon \in C$ 즉,${\displaystyle }$\${\displaystyle epsyle}$ {\$displaystyle \epsilon \rangele }$이(가) 연속체 안에 있다.

시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식으로 대체

${\displaystyle H \psi(t)\rangele =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial t}{\partial t}}} \psi(t)\rangele }$

and${\displaystyle i}$ $displaystyle \langle i}$ 생산에$$ 의해 사전 설정됨

${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}=-\mathrm {i}\{C}d\epsilon \Oba \i_}e^{-\mathrm {i}(\omega -\\i}t}a_{\epsilon },},},}}}},}}}}},}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle H{}^{}ϵ⟩}$ / ${\displaystyle \hslash }$ { { / $\displaystyle \Oomega _{i\epsilon }=\langle$i$H' \epsilon$\langle $\hbar$ $},$$$$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ $displaysty \langle$ \langle $\lpsilon$}.

${\displaystyle {\frac {da_{\epsilon }(t)}{dt}=-\mathrm {i}\Oba _{i}e^{\mathrm {i}(\omega -\i}t)a_{i}(t)}.}$

정상화${\displaystyle }$isation ${\displaystyle ϵ}$ ${\displaystyle {=}^{}}$ ${\displaystyle =}$ =${\displaystyle \Delta }$( (${\displaystyle {}^{})}$ -${\displaystyle ϵ}$ )$${\$displaystyle \langle$ \$epsilon$'\$epsilon \range$=\$delta (\epsilon '-\epsilon )}.$ 후자를 통합하고 전자로 대체했다$.$

${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\epsilon \Omega _{i\epsilon }\Omega _{\epsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').}$

$여기$서 t ${\d$ ${\displaystyle \mathrm{디스플레이}}$ 스타일 $t}$의 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle d}$ t ${\디스플레이$ 스타일 $da_{i}/dt}$이(가) ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$디스플레이$ $스타일 a_$${i}$에 항상 의존한다는$$ 것을 알 수 있다$.$ 즉${\displaystyle {,}^{}}$ 비 마코비안이다.우리는 마르코프 근사치를 만든다. 즉, $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle a_$${i$$}$에만 의존한다($$이것은 위에서 ${\displaystyle {사용}_{}}$한 i ${\$≈1의 근사치보다 덜 제한적이며 섭동이 강하도록 허용)

${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}=\int_{C}d\epsilon \Oba_{i}(t) ^{2}a_{i}(t)\int_{0}^{dTe^{-\mathrmatrm {i} \Delta T}.}$

여기서 $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ = ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ ${\$ T$=t-t$$'}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$Δ = ${\displaystyle \Omega }$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $T{\displaystyle }${\$displaystytle T}$에 대한 통합$,$

${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\epsilon \Omega _{i\epsilon } ^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},}$

오른쪽의 분수는 초기 Dirac 델타 함수인데, $즉{\displaystyle }$ t →${\displaystyle \Delta }$ ( $\Delta {\displaystyle }$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \delta (\epsilon -\epsilon _{i}}}$를 t${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyt t\inft }($실제 부분은 중요하지 않은 에너지 이동으로 이어지는 상상의 부분을 무시함)로 함수를 의미한다.$$마침내

${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}=-2\pi \hbar \hbar \Oba \{i\epsilon _{i}}}^{2}a_{i}(t)}$

which has solutions: ${\displaystyle a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \epsilon _{i}}t/2)}$, i.e., the decay of population in the initial discrete state is ${\displaystyle P_{i}(t)= a_{i}(t) ^{2}=\exp(-\Gamma _{$$i\to \epsilon _{i}t}$ 여기서$$

${\displaystyle \Gamma _{i}}{i}=2\pi \hbar \Oba \Oba _{i}}^{2}={\frac {2\pi }}}}}}\langle i H' \epsilon \range ^{2}}:$