단아바 정리

부차적 정리는 양자역학의 개념이다. Max Born과 Vladimir Fock(1928년)으로 인해 그것의 원래 형태는 다음과 같이 명시되었다.

주어진 섭동이 충분히 느리게 작용하고 있고, 고유값과 해밀턴의 나머지 스펙트럼 사이에 간극이 있는 경우 물리적 체계는 순간적인 고유 상태에 머물러 있다.^[1]

간단히 말해서, 점차적으로 변화하는 외부 조건의 영향을 받는 양자역학 시스템은 그 기능적 형태를 적응시키지만, 급변하는 조건의 영향을 받을 때는 기능적 형태가 적응할 시간이 부족하기 때문에 공간적 확률 밀도는 변하지 않는다.

2차 과정 대 2차 과정

비교
디아바틱	아디아바틱
급변하는 조건으로 인해 시스템은 프로세스 중에 구성을 조정할 수 없으므로 공간 확률 밀도는 변하지 않는다. 전형적으로 초기 상태와 동일한 기능 형태를 가진 최종 해밀턴주의 고유 상태는 없다. 시스템은 초기 확률 밀도를 재현하기 위해 합한 상태의 선형 조합으로 끝난다.	점진적으로 변화하는 조건을 통해 시스템이 구성을 조정할 수 있으므로 확률밀도는 프로세스에 의해 수정된다. 이 시스템이 초기 해밀턴인의 고유 상태에서 시작되면 최종 해밀턴인의 해당 고유 상태에서 종료된다.^[2]

At some initial time $t_{0}$ a quantum-mechanical system has an energy given by the Hamiltonian ${\hat {H}}(t_{0})$ ; the system is in an eigenstate of ${\hat {H}}(t_{0})$ labelled $\psi (x,t_{0$ $\psi (x,t_{0})$ 조건을 변경하면 해밀턴 ${\hat {H}}(t_{1})$ ${\hat {H}}(t_{1})$ ( ${\hat {H}}(t_{1})$ 1 $){\displaystyle {\hat{H}(t_{1}})$ 이 ${\hat {H}}(t_{1})$ 나중에 $t_{1}$ 1 ${\$ 1}}}가 최종 수정된다 $t_{1}$ 이 시스템은 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에 따라 최종 상태 $\psi (x,t_{1})$ ( $\psi (x,t_{1})$ , $\psi (x,t_{1})$ $\psi (x,t_{1})$ $){\displaystyle \psi (x,t_{1})$ 에 도달하기 위해 진화한다 $\psi (x,t_{1})$ 부차적 정리에서는 시스템 수정이 이루어지는 시간 $\tau =t_{1}-t_{0}$ $\tau =t_{1}-t_{0}$ = $\tau =t_{1}-t_{0}$ 1 $\tau =t_{1}-t_{0}$ - t $\tau =t_{1}-t_{0}$ ${\$ 에 따라 결정적으로 달라진다고 기술하고 있다.

For a truly adiabatic process we require $\tau \to \infty$ ; in this case the final state $\psi (x,t_{1})$ will be an eigenstate of the final Hamiltonian ${\hat {H}}(t_{1})$ , with a modified configuration:

\cHB(x,t_{1}) ^{2}\neq \cHB(x,t_{0}) ^{2}.

주어진 변화가 부차적 프로세스에 근접한 정도는 $\psi (x,t_{0})$ ( $\psi (x,t_{0})$ , $\psi (x,t_{0})$ $){\displaystyle \psi (x,t_{0})$ 와 $\psi (x,t_{0})$ 인접 상태 사이의 에너지 분리와 $\psi (x,t_{0})$ ( $\psi (x,t_{0})$ $\psi (x,t_{0})$ {0})의 진화의 특성 시간 척도(x , t $\psi (x,t_{0})$ )에 $\tau$ 대한 구간 $style$ {\ $displaystystyle \tau$ $}$ 의 비율에 따라 달라진다 $.$ $i (x,t_{0})}$ for a time-independent Hamiltonian, $\tau _{int}=2\pi \hbar /E_{0}$ , where $E_{0}$ is the energy of $\psi (x,t_{0})$ .

반대로, $\tau \to 0$ $\tau \to 0$ → $\tau \to 0$ {\ $displaystyle \tau \to$ 0 $}$ 에서 $\tau \to 0$ 우리는 무한히 빠른 또는 극명한 통로를 가지고 있다; 상태 구성은 변하지 않는다.

\property(x,t_{1}) ^{2}= \protection(x,t_{0}) ^{2}.

위에 주어진 Born과 Fock의 원래 정의에 포함된 이른바 "갭 조건"은 ${\hat {H}}$ 순서에 모호함이 없도록 H ${\hat {H}}$ ${\$ 의 스펙트럼이 ${\hat {H}}$ 불연속적이고 비디제너레이션적이라는 요건을 가리킨다( ${\hat {H}}(t_{1})$ 고유 ${\hat {H}}(t_{1})$ 의 H ${\hat {H}}(t_{1})$ ( ${\hat {H}}(t_{1})$ 1 ${\hat {H}}(t_{1})$ ) {\ $d$ )를 쉽게 파악할 수 있다). $isplaystyle {\hat{H}($ $\psi (t_{0})$ ${1}})$ 은 $\psi (t_{0})$ t $\psi (t_{0})$ ) ${\displaystyle \psi(t_{0}})$ 에 해당한다 ${\hat {H}}(t_{1})$ . $\psi (t_{0})$ 1999년 J. E. Avron과 A. 엘가트는 부차적인 정리를 개혁하여 틈새 없는 상황에 적응시켰다.^[3]

열역학에서 아디아바틱 개념과 비교

"유아바틱(adiabatic)"이라는 용어는 전통적으로 열역학에서 시스템과 환경 사이의 열 교환이 없는 공정을 설명하기 위해 사용되며(유아바틱 프로세스 참조), 이러한 공정이 보통 열 교환의 시간 척도보다 빠르다.(예를 들어, 압력 파장은 열 교환에 관해서도 부차적이므로 그렇지 않다) 단항성의 열역학이라는 맥락에서 단열학은 빠른 과정의 동의어로 자주 사용된다.

고전학 및 양자역학 정의는^[4] 거의 항상 평형 상태에 있는 과정(즉, 내부 에너지 교환 상호작용 시간 척도보다 느린 프로세스, 즉 "정상" 대기열은 준정적이고 압력파는 그렇지 않은 프로세스)인 준역학 개념에 가깝다. Mechanics의 맥락에서 단조로운 것은 종종 느린 과정의 동의어로 사용된다.

예를 들어 양자 세계에서는 전자와 광자 상호작용의 시간 척도가 전자와 광자 전파의 평균 시간 척도와 관련하여 훨씬 빠르거나 거의 즉각적이라는 것을 의미한다. 따라서 우리는 전자와 광자의 연속적 전파(즉, 평형 상태)와 상태 사이의 양자점프(즉, 순간)의 한 조각으로 상호작용을 모델링할 수 있다.

이러한 휴리스틱한 맥락에서 단조로운 정리는 본질적으로 양자 점프를 피하는 것이 바람직하며 시스템은 국가와 양자 수를 보존하려고 노력한다는 것을 말해준다.^[5]

퀀텀 기계적 개념인 아디아바틱 불변성과 관련이 있으며, 구양자 이론에 자주 사용되며 열 교환과는 직접적인 관계가 없다.

예제 시스템

단순진자

예를 들어 수직면에서 진동하는 진자를 생각해 보자. 지지대가 움직이면 진자의 진동 모드가 바뀐다. 지지대가 충분히 느리게 움직인다면 지지대에 대한 진자의 움직임은 변하지 않을 것이다. 외부 조건의 점진적인 변화는 시스템이 초기 특성을 유지하도록 적응할 수 있게 한다. 자세한 고전적 예는 아디아바틱 불변량 페이지와 여기에서 확인할 수 있다.^[6]

양자 조화 진동자

그림 1. 지상 상태 양자 고조파 발진기의 확률

|\psi (t)|^{2}

,

|\psi (t)|^{2}

( t

|\psi (t)|^{2}

)

|\psi (t)|^{2}

{\

스프링 상수의 부차적 증가로 인한 변화.

진자의 고전적 특성은 부차적 정리의 효과에 대한 완전한 설명을 배제한다. 추가적인 예로서 $스프링$ 상수k {\ $displaystyle$ k}이(가 $)$ 증가함에 $k$ 따라 양자 고조파 오실레이터를 고려하십시오. 고전적으로 이것은 스프링의 강성을 증가시키는 것과 같다; 양자 기계학적으로 그 효과는 시스템 해밀턴의 잠재적 에너지 곡선이 좁아지는 것이다.

If $k$ is increased adiabatically ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to 0\right)}$ then the system at time $t$ will be in an instantaneous eigenstate $\psi (t)$ of the current Hamiltonian ${\displaystyle {\hat {H}}(t$ ${\hat {H}}(t)$ 초기 고유상태인 ${\hat {H}}(0)$ ${\hat {H}}(0)$ ( ${\hat {H}}(0)$ ) ${\displaystyle {\hat{\hat$ 에 해당함. 단일 양자수로 기술된 양자 고조파 오실레이터와 같은 시스템의 특수한 경우, 이는 양자수가 변하지 않음을 의미한다. 그림 1은 초기에는 접지 상태인 $n=0$ = $n=0$ {\ $displaystyle n=0$ 에서 잠재적 에너지 곡선이 압축될 때 고조파 오실레이터가 어떻게 접지 상태로 유지되는지 보여준다. 즉, 서서히 변화하는 조건에 적응하는 상태의 기능적 형태.

급격히 증가한 스프링 상수의 경우, 시스템은 변화하는 조건에 맞춰 기능적 형태를 조정할 시간이 없는 ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to \infty \right)}$ 이차 프로세스 ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to \infty \right)}$ t ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to \infty \right)}$ → ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to \infty \right)}$ ) ${\$ 를 거친다. While the final state must look identical to the initial state $\left( \psi (t) ^{2}= \psi (0) ^{2}\right)$ for a process occurring over a vanishing time period, there is no eigenstate of the new Hamiltonian, ${\hat {H}}(t)$ , that res초상을 방불케 하다 최종 상태는 초기 상태의 형태를 재현하기 위해 합한 ${\hat {H}}(t)$ ${\hat {H}}(t)$ ${\hat {H}}(t)$ ( ${\hat {H}}(t)$ ) ${\hat{H}(t)$ 의 여러 다른 고유물의 선형 중첩으로 구성된다.

피한 곡선 교차

그림 2. 외부 자기장을 받는 2단계 시스템에서 회피된 에너지 수준 교차. Note the energies of the diabatic states,

1\rangle

and

2\rangle

and the eigenvalues of the Hamiltonian, giving the energies of the eigenstates

\phi _{1}\rangle

and

\phi _{2}\rangle

(the adiabatic states). (사실 이 그림에서는

|\phi _{1}\rangle

|\phi _{1}\rangle

|\phi _{1}\rangle

\pi _{1}\rangele

과

|\phi_1\rangle

|\phi _{2}\rangle

|\phi _{2}\rangle

|\phi _{2}\rangle

\pi \{2}\rangele

이(가) 전환되어야 한다

|\phi _{2}\rangle

.)

보다 광범위하게 적용할 수 있는 예를 위해 외부 자기장에 따라 2-레벨 원자를 고려한다.^[7] 브라-켓 표기법을 사용하여 $|2\rangle$ $⟩[\displaystyle 1\rangele }$ 및 $|1\rangle$ $⟩[\displaystyle 2\rangele }$ 로 표시된 상태는 각각 특정 지오메트리를 갖는 원자 각도 모멘텀 상태로 생각할 수 있다. 이 주들이 분명해질 이유들로 인해 앞으로 이분법적 주(diabatic state)라고 일컬어질 것이다. 시스템 파동 기능은 다음과 같은 이아바틱 상태의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

\psi \rangele =c_{1}(t) 1\rangele +c_{2}(t) 2\rangele .

필드가 없는 상태에서 이아바틱 상태의 에너지 분리는 $\hbar \omega _{0}$ $\hbar \omega _{0}$ ${\$ \hbar \ $omega_{0}$ 과 같다 $\hbar \omega _{0}$ 상태 $|1\rangle$ ⟩ $1\rangele$ 의 에너지는 자기장 증가(저장 탐색 상태)에 따라 증가하며 $|1\rangle$ 상태 $|2\rangle$ ⟩ ${\displaystytyle 2\wiquestyle }$ 은 $|2\rangle$ wiquestyproget wieconduction state wiecon wiecon.증가하는 자기장(높은 자기장을 추구하는 상태) 자기장 의존도가 선형이라고 가정하면, 적용된 필드를 가진 시스템의 해밀턴 행렬을 작성할 수 있다.

\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\mu B(t)-\hbar \hbar \omega _{0}/2&a\a^{*}&\hbar \ma _{0}/2-\mu B(t)\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 $[\displaystyle \mu }$ 은 원자의 자기 모멘트로 $\mu$ , 두 분광 상태에 대해 동일하다고 가정하며, $a$ 은 두 상태 사이의 어떤 시간 독립적 결합이다 $a$ . The diagonal elements are the energies of the diabatic states ( $E_{1}(t)$ and $E_{2}(t)$ ), however, as $\mathbf {H}$ is not a diagonal matrix, it is clear that these states are not eigenstates of the new Hamiltonian that includes the magnetic field 기부금

The eigenvectors of the matrix $\mathbf {H}$ are the eigenstates of the system, which we will label $\phi _{1}(t)\rangle$ and $\phi _{2}(t)\rangle$ , with corresponding eigenvalues

{\begin{argin}\varepsilon _{1}(t)&=-{\frac {1}{1}2}}:{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega_{0}-2\mu B(t)^{2}}\\[4pt]\varepsilon _{2}(t)&=+{\frac {1}{1}:{2}}:{\sqrt{4a^{2}+(\hbar \omega_{0}-2\mu B(t)^{2}}}.\end{정렬}}

It is important to realise that the eigenvalues $\varepsilon _{1}(t)$ and $\varepsilon _{2}(t)$ are the only allowed outputs for any individual measurement of the system energy, whereas the diabatic energies $E_{1}(t)$ and $E_{2}(t)$ $E_{2}(t)$ 은(는) $|1\rangle$ $|1\rangle$ $1\rangele$ 및 $|2\rangle$ $|2\rangle$ $2\rangele$ 에서 시스템 $E_{2}(t)$ 에너지에 대한 예상 값에 해당한다 $|2\rangle$

그림 2는 자기장의 값에 대한 2차 및 2차 에너지의 의존성을 보여준다. 0이 아닌 결합의 경우 해밀턴인의 고유값은 퇴보할 수 없으므로 교차하지 않는다. If an atom is initially in state $\phi _{2}(t_{0})\rangle$ in zero magnetic field (on the red curve, at the extreme left), an adiabatic increase in magnetic field ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to 0\right)}$ will ensure the system remains in an eigenstate of 해밀턴 $|\phi _{2}(t)\rangle$ $|\phi _{2}(t)\rangle$ ( $|\phi _{2}(t)\rangle$ ) $|\phi _{2}(t)\rangle$ $\phi _{2}(t)\rangele$ 프로세스 전체에 $|\phi _{2}(t)\rangle$ 걸쳐(빨간색 곡선을 따라). A diabatic increase in magnetic field ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to \infty \right)}$ will ensure the system follows the diabatic path (the dotted blue line), such that the system undergoes a transition to state $\phi _{1}(t_{1})\rangle$ . For finite magnetic 필드 슬루 레이트 ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ < ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ t ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ < ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ ) ${\$ 는 두 고유상태 중 하나에서 시스템을 찾을 확률은 유한할 것이다 ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ . 이러한 확률을 계산하는 방법은 아래를 참조하십시오.

이러한 결과는 원자나 분자 집단의 에너지 상태 분포를 제어하기 위해 원자 및 분자 물리학에서 매우 중요하다.

수식문

순간 고유스테이트 $|n(t)\rangle$ ( $|n(t)\rangle$ ) $|n(t)\rangle$ $n(t)\rangele$ 및 해당 $|n(t)\rangle$ 에너지 E $E_{n}(t)$ ( $E_{n}(t)$ ) $E_{n}(t)$ 을(를) 가진 $H(t)$ 천천히 변화하는 해밀턴 $H(t)$ ) ${\displaystystyle H(t)$ 아래에서 양자 시스템이 초기 상태에서 진화한다 $E_{n}(t)$

\cHB\rangele =\sum _{n}c_{n(0)n(0)\rangele

최후까지

\t)\rangele =\sum _{n}c_{n(t) n(t)\rangele ,

계수가 위상 변화를 겪는 경우

c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{i\teta_{n}e^{n(t)^{i\reason _{n}(t)}}}}}

역동적인 위상과 함께

\teta _{m}(t)={\frac {-1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{m}(t')dt'}

기하학적 위상

{\dot{m}(t)=i\int_{0}^{t}\langle m(t'){\dot{m}(t')\angle dt'.}

In particular, $c_{n}(t) ^{2}= c_{n}(0) ^{2}$ , so if the system begins in an eigenstate of $H(0)$ , it remains in an eigenstate of $H(t)$ during the evolution with a change of phase only.

교정쇄

현대 양자역학의 사쿠라이

이 증거는 부분적으로 현대 양자역학에서 사쿠라이가 준 것에 의해 영감을 받았다.^[8] 가정으로 즉각적인 고유스테이트 $|n(t)\rangle$ ( $|n(t)\rangle$ ) $|n(t)\rangle$ ${\displaystyle$ n $(t)\rangele$ }과 $|n(t)\rangle$ $E_{n}(t)$ E $E_{n}(t)$ ( $E_{n}(t)$ ) $E_{n}(t)$ {\ $displaystyle E_{n}(t$ 은 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.

H(t) n(t)\rangele =E_{n}(t) n(t)\rangele

항상

t

{\displaystyle

t

t

따라서 국가 확장에 활용할 수 있는 근거가 된다.

\t)\rangele =\sum _{n}c_{n(t) n(t)\rangele ,

t

든지 t

{\displaystyle

t

t

시스템의 진화는 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에 의해 좌우된다.

i\hbar {\\psi }}}\rangele =H(t) \psi(t)\rangele ,

여기서

{\dot {}}=d/dt

=

{\dot {}}=d/dt

/

{\dot {}}=d/dt

{\daptyle {\}=d/dt}(

분화 § 뉴턴 표기법 참조). Insert the expansion of

\psi (t)\rangle

, use

H(t) n(t)\rangle =E_{n}(t) n(t)\rangle

, differentiate with the product rule, take the inner product with

m(t)\rangle

and use orthonormality of the 얻어야 할 고유물.

i\hbar {\c}_{m}(t)+i\hbar \sum _{n}{n}(t)\langle m(t){\dot{n}(t)\rangele =c_{m}(t){m}(t)}(t)}(t).

이 결합된 1차 미분방정식은 정확하며 고유상태와 시간차이유전유전성분 사이의 $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ 내부생산물 $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ ( $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ ) $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ ( t $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ ) $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ ${\displaystyle \langle m(t){\dot{n}}(t)\rangele$ }의 관점에서 계수의 시간진화를 표현한다. 그러나 시간 구분 해밀턴 ${\dot {H}}(t)$ ${\dot {H}}(t)$ ( $){\dot{H}}($ t)의 매트릭스 요소 $m\neq n$ 에서 $m\neq n$ m $m\neq n$ {\ $det{H$ }( $t)$ 에 대한 내측 제품을 다시 추출할 수 있다 ${\dot {H}}(t)$ 그렇게 하기 위해 제품 규칙을 이용하여 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식의 양쪽을 구별한다.

{\dottyle{\hot}(t)n(t)\rangele +H(t) {\dot{n}}\rangele ={\dot{E}}{n(t)\rangele +{n(t){\dot{n}}}}{n(t) {\dot{n(t)\rangele .}

$|m(t)\rangle$ m $|m(t)\rangle$ ( $|m(t)\rangle$ ) $|m(t)\rangle$ $m(t)\rangle$ 과(와) 내부 제품을 취하여 $|m(t)\rangle$ $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ ( $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ ) H $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ ( ) $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ = $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ m $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ ( $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ ) $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ m $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ ( t $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ ) $displaystyle \langle m(t) H(t)=$ 를 사용한다.찾을 $E_{m}(t)\langle m(t) }$ 및 정형화 $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$

\langle m(t) {\dot {n}(t)\rangle m(t) {\dot {H}(t) n(t)\rangele{E_{m}-E_{n(t)}}}}\qquad(m\neq n)

이 값을 계수의 미분 방정식에 삽입하여 구하십시오.

{\dot {c}}_{m}(t)+\left({\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)+\langle m(t) {\dot {m}}(t)\rangle \right)c_{m}(t)=\sum _{n\neq m}{\frac {\langle m(t) {\dot {H}} n(t)\rangle }{E_{m}(t)-E_{n}(t)}}c_{n}(t).

이 미분방정식은 계수의 시간 진화를 기술하지만, ${\dot {H}}(t)$ 은 H ${\dot {H}}(t)$ ( ${\dot {H}}(t)$ ) ${\dot {H}}(t)$ {\ $displaystyle$ {\ $dot{H}(t)}}$ 의 매트릭스 원소 측면에서 ${\dot {H}}(t)$ 부차적 정리에 도달하려면 우측을 소홀히 한다. 이것은 해밀턴 ${\dot {H}}(t)$ ${\dot {H}}(t)$ ( ${\dot {H}}(t)$ ) ${\displaystyle {\dot{H}(t$ $)}$ 의 변화율이 작고 ${\dot {H}}(t)$ 에너지 사이에 $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ 유한한 간격 $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ ( t $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ ) $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ - $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ ( $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ ) ${\displaystyle E_{m}(t)-E_{n$ }( $t)$ 0이 있는 $경우에 유효$ 하다. 이것은 부차적인 근사치로 알려져 있다. 근사치 하에서는

{\dot스타일 {\c}_{m}(t)=i\좌측(-{\frac {E_{m}(t)}{\hbar }}{\hbar }}}}}{\dot {m}(t)\langle \rangele \{m}(t)}

그것은 정확히 부차적 정리까지 통합되어 있다.

c_{m}(t)=c_{m}(0)e^{i\teta_{m}e^{m}e^{i\i_{m}(t)}}}}

정리의 진술에 정의된 단계와 함께.

동적 위상 $\theta _{m}(t)$ m $\theta _{m}(t)$ ( $\theta _{m}(t)$ ) $\teta _{m}(t)$ 은 실제 에너지에 대한 적분을 포함하기 때문에 실제적이다 $\theta _{m}(t)$ . 기하학적 위상 $\gamma _{m}(t)$ ( $\gamma _{m}(t)$ ) $\gamma _{m}(t)$ 도 실제인지 $\gamma _{m}(t)$ 확인하려면 고유상태의 정규화 $\langle m(t)|m(t)\rangle =1$ ( t ) m $\langle m(t)|m(t)\rangle =1$ ( $\langle m(t)|m(t)\rangle =1$ t ) $\langle m(t)|m(t)\rangle =1$ 1 $\langle m(t)\rangele =1$ 을 구별하고 제품 규칙을 사용하여 다음 다음 다음, 다음,

0={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}\langle m(t) m(t)\rangle {\Bigr )}=\langle {\dot {m}}(t) m(t)\rangle +\langle m(t)) {\dot {m}}(t)\rangle =\langle m(t)) {\dot {m}}(t)\rangle ^{*}+\langle m(t)) {\dot {m}}(t)\rangle =2\,\operatorname {Re} {\Bigl (}\langle m(t)) {\dot {m}}(t)\rangle {\Bigr )}.

Thus, $\langle m(t)) {\dot {m}}(t)\rangle$ is purely imaginary, so $i\langle m(t)) {\dot {m}}(t)\rangle$ and thus the geometric phase $\gamma _{m}(t)$ are purely real.

단수 근사치

부차적 근사치의^[9]^[10] 상세한 내용을 담은 증명. 우리는 다음과 같이 정리의 진술을 공식화하려고 한다.

시간 범위 T에서

{\hat {H}}

천천히 변화하는 해밀턴

{\hat {H}}

{\hat {H}}

{\

\Psi (t)

{H}}

의

\Psi (t)

경우 초기 조건

\Psi (0)=\psi _{n}(0)

(

\Psi (0)=\psi _{n}(0)

0

\Psi (0)=\psi _{n}(0)

) =

\Psi (0)=\psi _{n}(0)

( 0 ) = ψn (

\Psi (0)=\psi _{n}(0)

)

\Psi (0)=\psi _{n}}}}}}}

의 솔루션

.

여기서

\psi _{n}(t)

(

\psi _{n}(t)

)

\psi _{n}(t)

은 순간

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

방정식 H ^ (

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

)

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

(

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

)

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

= E

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

(

){\displaystyle {\H}(t

)\n}(t

_{

n}(

t)=

의 고유 벡터다

\psi _{n}(t)

.

E_{n}(t)\psi _{n}(t)}

은(는) 다음과 같이 근사할 수 있다

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

.

\left\{\PSI(t)-\psi _{\text{adiabatic}}}\right\\ \cHB({\frac {1}{T})}

여기서 부차적 근사치는 다음과 같다.

\databatic}{\text{adiabatic}(t)\rangle =e^{i\ta_{n}e^{i\i\regate _{n}t} \regl

그리고

\teta _{n}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{n}(t')dt'

\property_{n}(t)=\int_{0}^{t}\nu_{n}(t')dt'

베리 페이즈라고도 한다.

\nu _{n}(t)=i\langle \langle \nu _{n}(t) {\dot{\n(t)\rangele

그리고 이제 우리는 정리를 증명할 것이다.

시간 의존적 슈뢰딩거 방정식 고려

i\hbar {\partial t}\partial t} \psi(t)\rangele ={\hat {H}({\tfrac {t}{T}) \psi(t)\rangele }

{\hat {H}}(t).

( t

{\hat {H}}(t).

)

{\hat {H}}(t).

. {\

displaystyle {\\hat{

H}}(

t).

}

We would like to know the relation between an initial state

\psi (0)\rangle

and its final state

\psi (T)\rangle

at

t=T

in the adiabatic limit

T\to \infty .

$\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$ = $\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$ $\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$ [ $\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$ , $\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$ $\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$ ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {$ t}로 첫 번째 재정의 시간 ${$ $T}}\in [0,1$

i\hbar {\partial \lambda }\partial \lambda }\psi(\lambda )\rangele =T{\hat {H}(\lambda )\psi(\lambda )\rangele .

At every point in time

{\hat {H}}(\lambda )

can be diagonalized

{\hat {H}}(\lambda ) \psi _{n}(\lambda )\rangle =E_{n}(\lambda ) \psi _{n}(\lambda )\rangle

with eigenvalues

E_{n}

and eigenvectors

|\psi _{n}(\lambda )\rangle

(

|\psi _{n}(\lambda )\rangle

)

|\psi _{n}(\lambda )\rangle

{\displaystyle \psi _{n

}(\

lambda )\rangele

|\psi _{n}(\lambda )\rangle

eigenvectors는 언제든지 완전한 기초를 형성하므로 다음과 같이

|\psi (\lambda )\rangle

|\psi (\lambda )\rangle

(

|\psi (\lambda )\rangle

)

\displaysty \psi (\lambda )\rangele }

을 확장할 수 있다.

\displaystyle \cHB\rangele =\sum _{n}c_{n}(\nda ) \cHB_{n(\nda )\rangele e^{iT\theta _{n}(\lambda )}}

어디에

\theta _{n}(\lambda )=-{\frac {1}{\hbar }\int _{0}^{\lambda }{{n}(\lambda ')d\lambda '.}

위상

\theta _{n}(t)

(

\theta _{n}(t)

)

\theta _{n}(t)

을(를) 동적 위상 계수라고 한다

\theta _{n}(t)

. 슈뢰딩거 방정식으로 대체함으로써 계수 변동에 대한 또 다른 방정식을 얻을 수 있다.

i\hbar \sum _{n}({\dot {c}_{n}) \psi _{n}}{\psi }}{\n}\rangele +ic_{n} \psi _{n}\psi _{n}\{n}\dot{n}}e^T\theta _{n}=\sum _{n}c_{n}}TE_{n} \psi _{n}\rangele e^{iT\theta _{n}}.

{\dot {\theta }}_{n}

{\dot {\theta }}_{n}

{\

라는 용어는

-E_{n}/\hbar

-

-E_{n}/\hbar

/ {

-E_{n}/\hbar

{\

displaystyle -E_{n}/\hbar

을

{\dot {\theta }}_{n}

주므로 왼쪽의 세 번째 용어는 오른쪽과 함께 취소되어 남게 된다.

\sum _{n}{n}{\dot{c}_{n} \n} \nangle e^{i}T\theta _{n}=-\sum _{n}c_{n} {\dot {\psi }}{n}\rangele e^{iT\theta _{n}}.

Now taking the inner product with an arbitrary eigenfunction $\langle \psi _{m}$ , the $\langle \psi _{m} \psi _{n}\rangle$ on the left gives $\delta _{nm}$ , which is 1 only for m = n and otherwise vanishes. 남은 부분이 주어져 있다.

{\detstyle {\dot{c}_{m}=-\sum _{n}\langle \psi _{m}{\dot {\psi }}}{n}\rangele e^{iT(\ta _{n}-\ta _{n}-\m}}}}}).}

$T\to \infty$ → $∞{\displaystyle T\to \inflt}$ 의 $T\to \infty$ $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ e $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ ( $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ ) $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ {\ $displaystyle$ e $^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}}}}$ 는 더 빠르게 진동하고 $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ 직관적으로 우측의 거의 모든 항을 억제할 것이다. 유일한 예외는 $\theta _{n}-\theta _{m}$ - $\theta _{n}-\theta _{m}$ m ${\$ 이(가) 임계점에 있을 $\theta _{n}-\theta _{m}$ 때 입니다 $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ 즉, $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ ( $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ ) $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ = $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ ( $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ ) ${\displaystyle E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )}.$ $m=n$ 는 m $m=n$ = $m=n$ $m=n$ 에 대해 사소한 사실이다 $m=n$ 부차적 정리에서는 $m\neq n$ $m=n$ $m\neq n$ $m\n$ 을(를) 유지할 수 없으므로 m = ${\displaystyle$ $m$ $=n}$ 용어만 $m=n$ 제한 $T\to \infty$ → $T\to \infty$ {\ $to$ 에 남게 된다 $m\neq n$

이것을 좀 더 엄격하게 보여주기 위해서 우리는 $m=n$ m = $m=n$ {\ $displaystyle$ m= $n}$ 용어를 $m=n$ 제거할 필요가 있다. 이 작업은 정의로 수행할 수 있다.

d_{m}(\chmda )=c_{m}(\m})(\m}{0}^{0}^{\langle \langle \langle \i1}{m}}}}\langle d_}={m}(\langleda ){m}{-i}.

당사는 다음을 얻는다.

{\dot {d}_{m}=-\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}}{m}\langle e^{nT(\theta _{n}-\theta _{m}-i}-i(감마 _{m}-\gamma_{n}).}

이 방정식은 다음과 같이 통합될 수 있다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(1)-d_ᆰ(0)&,=-\int _{0}^{1}\sum _{mn\neq}d_{n}\langle\psi _{m}{\dot{\psi}}_{n}\rangle e^{iT(\theta_{n}-\theta_{m})-i(\gamma_{m}-\gamma_{n})}d\lambda \\&,=-\int _{0}^{1}\sum _ᆻ(d_{n}-d_{n}(0))\langle\psi _{m}{\dot{\psi}}_{n}\rangle e^{iT(\theta_{n}-\theta_{m})-i(\gamma_{m}-\gamma_{.n})}d\lambda -\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m} {\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \end{aligned}}}

벡터 기호로 쓰거나

{\dvec{\vec}(1)-{\vec{d}(0)=-\int _{0}^{1}{\hat{A}(T,\lambda )-{\vec{d}(0)-{\vec{lambda - {\lambda}-{vec {\lamba}.}

여기서

{\hat {A}}(T,\lambda )

{\hat {A}}(T,\lambda )

(

{\hat {A}}(T,\lambda )

,

{\hat {A}}(T,\lambda )

)

{\hat {A}(T,\lambda )

은 행렬이며

{\hat {A}}(T,\lambda )

\alpha _{m}(T)=\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m} {\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda

푸리에 변형된 형태야 Riemann-Lebesgue 보조정리기에서 T

T\to \infty

→

{\vec {\alpha }}(T)\to 0

→

{\vec {\alpha }}(T)\to 0

(

{\vec {\alpha }}(T)\to 0

)

{\vec {\alpha }}(T)\to 0

→

{\vec {\alpha }}(T)\to 0

{\

displaystyle

{\vec {\alpha }(T)\

to

\

ft }

로

{\vec {\alpha }}(T)\to 0

나타난다

T\to \infty

마지막 단계와 같이 위의 방정식의 양쪽에서 표준을 취한다.

\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert +\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert \Vert {\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0)\Vert d\lambda

그리고 그룬월 부등식을 적용해서

{\displaystyle \vert{\vec{d}(1)-{\vec{d}(0)\vert \leq \vert {\vec {\alpha }}}}\vert e^{0}^{0}^{0}}\hat {A}(T,\lambda )\vert d\lambda }}}.

Since

{\vec {\alpha }}(T)\to 0

it follows

\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \to 0

for

T\to \infty

. This concludes the proof of the adiabatic theorem.

해밀턴의 고유성은 단수 한계에서 서로 독립적으로 진화한다. 시스템이 고유 상태 $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ ( 0 $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ ) $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ = $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ ( $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ ) $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ ${\displaystyle \psi (0)\rangele$ = $\psi _{n}(0)\rangele}}}$ 에서 준비되는 경우, 진화 $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ 시간은 다음과 같다.

\displaystyle \cHB(\data )\rangle = \cHB_{n}(\cHBDA )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )}e^{i\gamma _{n}(\lambda )}.}

따라서 단항적 과정의 경우, n번째 고유상태에서 시작하는 시스템도 시간 독립적 프로세스에 대해 하는 것과 같은 n번째 고유상태로 남아 몇 개의 위상인자만을 골라낸다. 새로운 위상 계수 $\gamma _{n}(t)$ ( $\gamma _{n}(t)$ ) $\gamma _{n}(t)$ 는 고유 기능에 대한 적절한 게이지 선택에 의해 취소할 수 있다 $\gamma _{n}(t)$ . 그러나 단, 부차적 진화가 주기적인 경우, $\gamma _{n}(t)$ ( $\gamma _{n}(t)$ t ) $\gamma _{n}(t)$ 은(는) 베리 위상이라고 알려진 게이지-상변위 물리량이 된다 $\gamma _{n}(t)$ .

매개 변수 공간의 일반적 증거

파라메트릭 해밀턴 $H({\vec {R}}(t))$ → $H({\vec {R}}(t))$ ( t $H({\vec {R}}(t))$ ) $H({\vec {R}}(t))$ ) $H({\vec{R})(t)$ 로부터 시작합시다 $H({\vec {R}}(t))$ 여기서 느린 것의 정의는 본질적으로 고유수에 의한 에너지 거리에 의해 정의된다(불확실성 원리를 통해 항상 훨씬 낮아야 하는 시간 척도를 정의할 수 있다). 고려된 시간 척도).

이러한 방법으로 우리는 천천히 변화하는 동안 고유물이 에너지에서 명확하게 분리되어 있다는 것을 명확히 확인한다(예: TKNN 공식에서와 같이 밴드의 경우에 이것을 일반화할 때도 밴드는 명확하게 분리되어 있어야 한다). 그것들이 서로 교차하지 않는 한, 그 상태들은 순서가 정해지고 이런 의미에서 이것은 또한 위상적 질서라는 이름의 의미들 중 하나이다.

슈뢰딩거의 순간 방정식이 있다.

H({\vec{R}}(t) \psi _{m}(t)\rangele =E_{m}(t) \psi _{m}(t)\rangele }

그리고 순간적 고유상태:

\langle \cHB _{m}(t) \rangele =\mn}

일반 솔루션:

\PSI (t)=\sum a_{n}(t) \psi _{n}(t)\rangele

전체 Schrödinger 방정식을 연결하고 일반 고유 벡터로 곱하기:

\langle \psi _{m}(t) i\hbar \partial _{t}\Psi \langle \psi _{\vec{R}(t) H({\vec{R})(t) \Psi (t)\rangele }

{\dot {a}}_{m}+\sum _{n}\langle \psi _{m}(t) \partial _{\vec {R}} \psi _{n}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}a_{n}=-{\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)a_{m}

그리고 만약 우리가 부차적인 근사치를 소개한다면:

\langle \psi _{m}(t) \psi _{n}{n}\psi _{n}\n}\dot {\bec {R}a_{n} \ll a_{m}}}}}

각

m\neq n

m\neq n

m\neq n

에

m\neq n

대해 다음과 같이 하십시오.

{\dot스타일 {\a}_{m}=-\langle \psi _{m}(t) \partial _{\vec}(t)\partial _{\vec{{R}a}-{\vec}a}-{\frac {i}{\m}(t){{{{m}a}}a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{nm_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

그리고

a_{m}(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}^{t_{0}}{t}(t')}e^{i\gma_{m}a}(t_{0})

어디에

\gamma _{m}(t)=i\int _{t_{0}}^{t}\langle \psi _{m}(t) \partial _{\vec {R}} \psi _{m}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}dt'=i\int _{C}\langle \psi _{m}({\vec {R}}) \partial _{\vec {R}} \psi _{m}({\vec {R}})\rangle d{\vec {R}}

그리고 C는 매개변수 공간에 있는 경로로,

이는 정리의 진술과 동일하지만 총파함수의 계수 및 초기 상태의 측면에서 볼 때 다음과 같다.^[11]

우리가 일반적인 매개변수 집합을 고려했을 때 이것은 다른 증거들보다 약간 더 일반적이며, 우리는 베리 단계가 매개변수 공간에서 지역 기하학적 양으로 작용한다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 국부 기하학적 양의 통합은 가우스-보넷 정리의 경우와 같이 위상학적 불변제를 제공할 수 있다.^[12] 실제로 경로 C가 닫히면 Berry 단계가 게이지 변환을 지속하여 물리적 양이 된다.

응용 프로그램 예

종종 고체 결정체는 이온의 강체 격자에 의해 생성되는 평균적으로 완벽하게 주기적인 전위로 움직이는 독립된 발란스 전자의 집합으로 모델링된다. 아디아바틱 정리를 통해 우리는 대신에 Born-Oppenheimer 근사치에서와 같이 결정체를 가로지르는 발란스 전자의 운동과 이온의 열 운동을 포함할 수 있다.^[13]

이는 다음 범위의 많은 현상을 설명한다.

열역학: 특정 열의 온도 의존성, 열팽창, 용해
운송 현상: 도체의 전기 저항성의 온도 의존성, 절연체의 전기 전도성의 온도 의존성, 저온 초전도성의 일부 특성
광학: 이온 결정을 위한 적외선에서의 광 흡수, 브릴루인 산란, 라만 산란

2차 통과 대 2차 통과 조건 도출

우리는 이제 좀 더 엄격한 분석을 추구할 것이다.^[14] 브라켓 표기법을 사용하여 시간 $t$ $t$ 시스템의 상태 벡터를 작성할 수 있다 $t$ .

\psi (t)\rangele =\sum _{n}c_{n}^{A}e^{-iE_{n}t/\hbar } \phi _{n}\rangele ,

여기서 앞에서 언급한 공간파동 기능은 위치 연산자의 고유점에 상태 벡터를 투영하는 것이다.

\displaystyle \cHB(x,t)=\langle x \cHB(t)\angle .}

$\tau$ $\tau$ 이 $\tau$ (가) 매우 크고(부차적 또는 점진적 변화) 매우 작은(다이아바틱 또는 갑작스러운 변화) 제한 사례를 검토하는 것이 유익하다.

$t_{0}$ 값 ${\hat {H}}_{0}$ ${\hat {H}}_{0}$ ${\hat {H}}_{0}$ ${\$ $displaystyle$ $t_{0$ 의 초기 값 H ^ 0 ${\$ $displaystyle$ t_ ${0}$ 에서 $t_{1}$ 값 ${\hat {H}}_{1}$ ${\hat {H}}_{1}$ 1 ${\$ { $H}{$ 1}:{1}:{1 $t_{1}$ 여기서 $\tau =t_{1}-t_{0}$ = $\tau =t_{1}-t_{0}$ $t_{1}$ - $\tau =t_{1}-t_{0}$ $\tau =t_{1}-t_{0}$ { $displaystysty$ }을 연속적으로 변경하는 시스템을 생각해 보십시오 $.$ $\tau =t_{1}-t_{0$ 시스템의 진화는 시간 진화 연산자에 의해 슈뢰딩거 그림에서 설명할 수 있으며 적분 방정식으로 정의된다.

{{U}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{}{\hbar }\int_{0}^{t}{\hat {H}}{{0}^}{\hat {U}(t'){0}dt,},},}},

슈뢰딩거 방정식에 해당된다.

i\hbar {\frac {\partial t}{\\hat {U}(t,t_{0})={\hat {H}{{U}(t,t_{0}),

초기 조건 ${\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1$ ${\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1$ ${\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1$ ${\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1$ ) ${\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1$ = 1 ${\displaystyle {\u}(t_{0},t_{0}}}=1$ $t_{0}$ $t_{0}$ {\ $displaystyt t_{0}}}}}$ 에서 시스템파 함수에 대한 지식으로 볼 때 $t_{0}$ $이후$ 시간 t {\ $displaystytyt}$ 까지의 시스템 진화를 얻을 수 있다 $t$ .

\psi(t)\rangele ={\hat {U}(t,t_{0}) \psi(t_{0})\rangele .

주어진 공정의 특이성을 결정하는 문제는 $\tau$ ${\displaystyle$ ${\{U}(t_{1}, t_{$ $0})$ 에 ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ U^ ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ (t ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ , ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ $){\displaystyle$ {\U}(t_ $},$ t_{0})의 의존도를 설정하는 것과 동등하다 $\tau$

주어진 공정에 대한 부차적 근사치의 타당성을 판단하기 위해, 시스템이 시작된 상태가 아닌 상태에서 시스템을 찾을 확률을 계산할 수 있다. 브라-켓 표기법 및 $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ 0 $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ ( $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ ) $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ { { { { $\\displaystyle 0\rangele \equiv \psi (t_{0})\rangele$ $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ 을 사용하여 다음 사항을 확인하십시오.

\zeta =\langle 0 {\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}){\hat {U}}(t_{1},t_{0}) 0\rangle -\langle 0 {\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}) 0\rangle \langle 0 {\hat {U}}(t_{1},t_{0}) 0\rangle .

${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ , ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ ) ${\displaystyle {\hat {U}(t_{1},t_{0})$ 을(를) 확장할 수 있다.

{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1+{1 \over i\hbar }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt+{1 \over (i\hbar )^{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt'\int _{t_{0}}^{t'}dt''{\hat {H}}(t'){\hat {H}}(t'')+\cdots .

섭동적 한계에서 우리는 처음 두 용어만을 취해서 $[\displaystyle \zeta$ }에 대한 방정식으로 대체할 수 있다 $\zeta$

{1 \over \tau }\int _{t_{0}^{1}{\hat{H}}{{H}}}{\hat {H}dt(t)\equiv{\bar {H}}}

$t_{0}\to t_{1}$ 해밀턴(Hamiltonian)이며, t $t_{0}\to t_{1}$ 0 → $t_{0}\to t_{1}$ $t_{0}\to t_{1}$ ${\$ 1} 간격에 걸쳐 평균을 구함 $t_{0}\to t_{1}$

\zeta =\langle 0 (1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})(1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}}) 0\rangle -\langle 0 (1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}}) 0\rangle \langle 0 (1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}}) 0\rangle .

제품을 확장하고 적절한 취소를 한 후, 당사는 다음과 같은 상황을 겪게 된다.

\jeta ={\frac \\tau ^{2}}:{{\hbar ^{2}}:\langle 0{\langle -}{{H}}{\langle 0}{\langle \langle 0{\langle {\h}}{\rangele \rigle \rigle \rigle \rigle \rigle \right)),}}}}}}}}}}

부여

\zeta ={\frac {\tau ^{2}\delta {\h}^{2}}:{\hbar ^{2}},

여기서 $\Delta {\bar {H}}$ $\Delta {\bar {H}}$ 의 ${\$ 는 관심 간격 동안 해밀턴이 평균한 시스템의 평균 제곱 편차다 $\Delta {\bar {H}}$ .

갑작스러운 근사치는 $\zeta \ll 1$ $\zeta \ll 1$ ${\displaystyle \zeta \ll 1}($ 시작되는 상태가 아닌 상태에서 시스템을 찾을 확률 0)이 될 때 유효하므로 유효조건은 다음과 같다.

\tau \ll {\hbar \over \Delta {\bar {H}},

하이젠베르크 불확실성 원칙의 시간 에너지 형태에 대한 진술이다.

분음운항로

제한 $\tau \to 0$ → $\tau \to 0$ $\tau \to 0$ 에서 우리는 $\tau \to 0$ 무한히 빠른 또는 극명한 통로를 가지고 있다.

\lim _{\tau \to 0}{\\hat {U}(t_{1},t_{0})=1.

시스템의 기능적 형태는 변경되지 않는다.

\langle x \langle x \langle x \langle ^{2}=\왼쪽 \langle x \langle (t_{0})\rangle \right ^{2}.

이것은 때때로 갑작스러운 근사치라고 불린다. 주어진 공정에 대한 근사치의 유효성은 시스템 상태가 변하지 않을 확률로 특징지어질 수 있다.

P_{D}=1-\zeta .

단교성 통로

$\tau \to \infty$ $\tau \to \infty$ → $\tau \to \infty$ $\tau \to \inforty$ 에서 $\tau \to \infty$ 우리는 무한히 느리게 또는 adiabic 통과를 한다. 시스템은 변화하는 조건에 맞춰 그 형태를 조절하면서 진화한다.

\langle x \langle x \langle x \langle ^{2}\neq \langle x \langle (t_{0})\rangle ^{2}.

시스템이 초기 고유 상태 ${\hat {H}}(t_{0})$ ${\hat {H}}(t_{0})$ ( t ${\hat {H}}(t_{0})$ ) ${\displaystyle {\H}(t_{0})$ 인 경우 ${\hat {H}}(t_{0})$ 기간 $\tau$ { $\tau$ {\ $displaystyle \tau }$ 이(가) 지난 후 해당하는 고유 ${\hat {H}}(t_{1})$ H ${\hat {H}}(t_{1})$ ( ${\hat {H}}(t_{1})$ t ${\hat {H}}(t_{1})$ ) ${\displaystystyle {\H}(t_{1$ })로 전달된다 ${\hat {H}}(t_{1})$

이것을 부차적 근사치라고 한다. 주어진 공정에 대한 근사치의 유효성은 시스템의 최종 상태가 초기 상태와 다를 확률에서 결정될 수 있다.

P_{A}=\zeta .

부차 통과 확률 계산

란도-제너 공식

1932년에 단열 전환 확률 계산을 문제에 대한 분석적 해결책 따로 레프 란다우와 클래런스 Zener,[15]으로 그time-varying 구성 요소는 단열이 아닌 해밀턴. 기질에(이제는 그 연결 장치indepe은 관련 주 늘어나지 않는 linearly 변화하는 섭동이 특별한 경우를 출판되었다.nden시간 t).

이 접근방식의 주요 장점은 란다우-제너 속도:

v_{\text{LZ}}={{\frac {\partial t}{\partial t}{\partial t}E_{1}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}}}에 걸쳐 \\proproc {\partial },

여기서

q

q

은 섭동 변수(전기 또는 자기장, 분자 결합 길이 또는 시스템에 대한 다른 섭동)이며

q

E

E_{1}

{\

E_{2}

E_{2}

{\

2}}은 두 개의

E_{2}

분광(크로싱) 상태의 에너지다.

v_{\text{LZ}}

v

v_{\text{LZ}}

{\

LZ}}

은

v_{\text{LZ}}

(는) 편향적 전환 확률이 크며 그 반대의 경우도 마찬가지 입니다.

Landau-Zener 공식을 사용하여 2차 전환의 $P_{\rm {D}}$ $P_{\rm {D}}$ ${\$ 을 $P_{\rm {D}}$ 를) 제공한다.

{\reasoned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar  \over \left {\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right }={a^{2}/\hbar  \over \left {\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right }\\&={a^{2} \over \hbar  \alpha  }\\\end{aligned}}

수치적 접근법

섭동 변수의 비선형 변화 또는 이항 상태 간의 시간 의존적 결합을 포함하는 전환의 경우, 시스템 동적 운동 방정식은 분석적으로 해결할 수 없다. 2차 전이 확률은 일반 미분방정식에 대한 광범위한 수치해결 알고리즘 중 하나를 사용하여 얻을 수 있다.

해결할 방정식은 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에서 얻을 수 있다.

i\hbar {\dot{c}^{A}(t)=\mathbf {H} _{A}(t){\c}^{A}(t),

여기서 ${\underline {c}}^{A}(t)$ ${\underline {c}}^{A}(t)$ ${\underline {c}}^{A}(t)$ ( ${\underline {c}}^{A}(t)$ ) ${\displaystyle {\c}^{A}(t)$ 는 ${\underline {c}}^{A}(t)$ 단열 상태 진폭을 포함하는 벡터, $\mathbf {H} _{A}(t)$ $\mathbf {H} _{A}(t)$ ( t $\mathbf {H} _{A}(t)$ ) $\mathbf {H} _{A$ _{A}( $t)}$ 는 $\mathbf {H} _{A}(t)$ 시간 의존적인 단열 해밀턴식이며,^[7] 과속은 시간 파생물을 나타낸다.

전환 후 상태 진폭 값과 사용한 초기 조건을 비교하면 2차 전환 확률을 산출할 수 있다. 특히, 2국가 시스템의 경우:

P_{D}=c_{2}^{A}(t_{1}) ^{2}

|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1

|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1

|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1

( t

|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1

)

|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1

=

|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1

c_{1}^{A}(t_{0}) ^{2}=1

로 시작한 시스템의 경우

|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1

참고 항목

참조

^ M. Born and V. A. Fock (1928). "Beweis des Adiabatensatzes". Zeitschrift für Physik A. 51 (3–4): 165–180. Bibcode:1928ZPhy...51..165B. doi:10.1007/BF01343193. S2CID 122149514.
^ T. Kato (1950). "On the Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics". Journal of the Physical Society of Japan. 5 (6): 435–439. Bibcode:1950JPSJ....5..435K. doi:10.1143/JPSJ.5.435.
^ J. E. Avron and A. Elgart (1999). "Adiabatic Theorem without a Gap Condition". Communications in Mathematical Physics. 203 (2): 445–463. arXiv:math-ph/9805022. Bibcode:1999CMaPh.203..445A. doi:10.1007/s002200050620. S2CID 14294926.
^ Griffiths, David J. (2005). "10". Introduction to Quantum Mechanics. Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
^ Barton Zwiebach (Spring 2018). "L15.2 Classical adiabatic invariant". MIT 8.06 Quantum Physics III. Archived from the original on 2021-12-21.
^ Barton Zwiebach (Spring 2018). "Classical analog: oscillator with slowly varying frequency". MIT 8.06 Quantum Physics III. Archived from the original on 2021-12-21.
^ ^a ^b S. Stenholm (1994). "Quantum Dynamics of Simple Systems". The 44th Scottish Universities Summer School in Physics: 267–313.
^ Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim (2020-09-17). Modern Quantum Mechanics (3 ed.). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108587280. ISBN 978-1-108-58728-0.
^ Zwiebach, Barton (Spring 2018). "L16.1 Quantum adiabatic theorem stated". MIT 8.06 Quantum Physics III. Archived from the original on 2021-12-21.
^ "MIT 8.06 Quantum Physics III".
^ Bernevig, B. Andrei; Hughes, Taylor L. (2013). Topological insulators and Topological superconductors. Princeton university press. pp. Ch. 1.
^ Hadane. "Nobel Lecture" (PDF).
^ Messiah, Albert (1999). "XVII". Quantum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-40924-4.
^ C. Zener (1932). "Non-adiabatic Crossing of Energy Levels". Proceedings of the Royal Society of London, Series A. 137 (6): 692–702. Bibcode:1932RSPSA.137..696Z. doi:10.1098/rspa.1932.0165. JSTOR 96038.

[Born-Fock-1] M. Born and V. A. Fock (1928). "Beweis des Adiabatensatzes". Zeitschrift für Physik A. 51 (3–4): 165–180. Bibcode:1928ZPhy...51..165B. doi:10.1007/BF01343193. S2CID 122149514.

[Kato-2] T. Kato (1950). "On the Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics". Journal of the Physical Society of Japan. 5 (6): 435–439. Bibcode:1950JPSJ....5..435K. doi:10.1143/JPSJ.5.435.

[Avron-Elgart-3] J. E. Avron and A. Elgart (1999). "Adiabatic Theorem without a Gap Condition". Communications in Mathematical Physics. 203 (2): 445–463. arXiv:math-ph/9805022. Bibcode:1999CMaPh.203..445A. doi:10.1007/s002200050620. S2CID 14294926.

[Griffiths-4] Griffiths, David J. (2005). "10". Introduction to Quantum Mechanics. Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.

[:1-5] Barton Zwiebach (Spring 2018). "L15.2 Classical adiabatic invariant". MIT 8.06 Quantum Physics III. Archived from the original on 2021-12-21.

[:2-6] Barton Zwiebach (Spring 2018). "Classical analog: oscillator with slowly varying frequency". MIT 8.06 Quantum Physics III. Archived from the original on 2021-12-21.

[Stenholm-7] S. Stenholm (1994). "Quantum Dynamics of Simple Systems". The 44th Scottish Universities Summer School in Physics: 267–313.

[8] Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim (2020-09-17). Modern Quantum Mechanics (3 ed.). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108587280. ISBN 978-1-108-58728-0.

[9] Zwiebach, Barton (Spring 2018). "L16.1 Quantum adiabatic theorem stated". MIT 8.06 Quantum Physics III. Archived from the original on 2021-12-21.

[10] "MIT 8.06 Quantum Physics III".

[11] Bernevig, B. Andrei; Hughes, Taylor L. (2013). Topological insulators and Topological superconductors. Princeton university press. pp. Ch. 1.

[12] Hadane. "Nobel Lecture" (PDF).

[Bottani-13] © Carlo E. Bottani (2017–2018). Solid State Physics Lecture Notes. pp. 64–67.

[Messiah-14] Messiah, Albert (1999). "XVII". Quantum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-40924-4.

[Zener-15] C. Zener (1932). "Non-adiabatic Crossing of Energy Levels". Proceedings of the Royal Society of London, Series A. 137 (6): 692–702. Bibcode:1932RSPSA.137..696Z. doi:10.1098/rspa.1932.0165. JSTOR 96038.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Search