다분할계

멀티프랙탈 시스템은 단일 지수(프랙탈 차원)가 역학을 설명하기에 충분하지 않은 프랙탈 시스템의 일반화이다. 대신, 연속적인 지수 스펙트럼(특이점 스펙트럼)이 필요하다.^[1]

다분할 시스템은 자연계에서 흔히 볼 수 있습니다.그것들은 해안선의 길이, 산악 지형,^[2] 완전히 발달된 난류, 실제 장면, 심장 박동 역학,^[3] 인간의^{[4][failed verification]} 걸음걸이와 활동,^[5] 인간의 뇌 활동,^{[6][7][8][9][10][11][12]} 그리고 자연 광도 ^[13]시계열을 포함한다.모델은 유체 역학의 난류에서 인터넷 트래픽, 금융, 이미지 모델링, 텍스처 합성, 기상학,^{[citation needed]} 지구 물리학 등에 이르기까지 다양한 맥락에서 제안되어 왔다.순차적(시계열) 데이터의 다분율 기원은 Twedie 지수 분산 ^[14]모델뿐만 아니라 Twedie ^[15]지수 분산 모델이라고 알려진 통계 분포 계열의 수렴을 갖는 중심 한계 정리와 관련된 수학적 수렴 효과에 기인한다.첫 번째 수렴 효과는 단분율 시퀀스를 생성하고, 두 번째 수렴 효과는 단분율 ^[16]시퀀스의 프랙탈 차원 변화를 담당합니다.

멀티프랙탈 분석은 종종 프랙탈 및 라쿠나리티 분석의 다른 방법과 함께 데이터 세트를 조사하는 데 사용됩니다.이 기술은 패턴에서 추출된 데이터 세트를 왜곡하여 데이터 세트에 따라 확장성이 어떻게 달라지는지를 보여주는 멀티프랙탈 스펙트럼을 생성합니다.복합 네트워크의 ^[17]생성 규칙과 기능을 해독하기 위해 멀티프랙탈 분석이 사용되었습니다.지진 예측 및 의료 ^[18][19][20]영상 해석 등 다양한 실제 상황에서 다분율 분석 기술이 적용되고 있다.

정의.

멀티프랙탈 $시스템$의$$\\$display$s에서는 모든 점 주변의 동작이 로컬 전원 법칙에 의해 설명됩니다.

$(\displaystyle svec {x}+{\vec {a}}-svec\vec {x})\sim a^{hvec\vec {x}}).}$

$지수{\displaystyle }$ h${\displaystyle (x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ $)({display style$ h$({\vec$$${$x})$는 $점{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x$$→({$display$style {$x$^{[citation needed]} 주변의 국소 특이성 또는 규칙성의 정도를 나타내기 때문에 특이성 지수라고 합니다.

동일한 특이성 지수를 공유하는 모든 점으로 구성된 앙상블을 지수 h의 특이성 매니폴드라고 하며 특이성 스펙트럼의 프랙탈 차원 $D{\displaystyle (h)}$ : ${\displaystyle$D($h):}$의 프랙탈 집합입니다.$)$ {$displaystyle$ D$(h)}$ $대$ h({$displaystyle$ h$$$\})$^{[citation needed]} 곡선은 특이점 스펙트럼이라고 불리며 $변수{\displaystyle }$s의 통계적 분포를 완전히 $나타냅니다$.

실제로 물리 $X의$$$멀티프랙탈 거동은 특이점 $스펙트럼{\displaystyle }$ D$(h$에 의해 직접 특징지어지지 않습니다.데이터 분석에서는 멀티스케일 $지수{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle q}$ ${\displaystyle ),}$ ( ${\displaystyle \text{r}}$ ), r ( \ $displaystyle \zeta ( q$ ), q \ $in${$mathbb$R$$$}}$에 접근할 수 있습니다.신호는 일반적으로 $스케일$에 따라$$다중 해상도$$양에 대한 멱법 동작을 산출하는 척도 불변성 $특성$을 준수한다. 연구 대상 ${\displaystyle {물체}_{}}$에$$따라 T X ($a$로 표시된 다중 해상도 수량은 $크기$가 $\d$인$상자$에서 로컬 평균이 될 수 있다.$isplaystyle$a$\},$ $거리$에 따른 그라데이션 a${displaystyle$a$\},$ $스케일{\displaystyle }$a{$displaystyle$ a$\}$ 등의 웨이브릿 계수.다분할 객체의 경우 일반적으로 다음과 같은 형식의 ^{[citation needed]}글로벌 멱함수 배율을 관찰합니다.

$\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta(q)}\ }$

적어도 일정 범위의 척도와 일정 범위의 $차수$에 대해$$q.\$displaystyle$q$.$ 그러한 동작이 관찰되면 척도 불변성, 자가 유사성 또는 다중 스케일링을 ^[21]말할 수 있다.

견적

이른바 멀티프랙탈 형식주의를 사용하면 Legendre 변환을 통해 특이점 $스펙트럼{\displaystyle }$ D$)\$$displaystyle D($$h)}$와 멀티스케일 지수${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$($q)$ 사이에 대응 관계가 있음을 알 수 있다.D ${\displaystyle (h}$) { $displaystyle$D ($h$ ) } $ination$ ( 、 analysis （ q$）$ \ $displaystyle \zeta ( q$ )의 추정은 로그 다이어그램에서 통계 평균과 선형 회귀를 사용하는 것에 의존합니다.Once the ${\displaystyle \zeta (q)}$ are known, one can deduce an estimate of ${\displaystyle D(h),}$ thanks to a simple Legendre transform.^{[citation needed]}

멀티프랙탈 시스템은 종종 곱셈 캐스케이드와 같은 확률적 프로세스에 의해 모델링된다.${\displaystyle \S }$ (${\displaystyle q}$) \ $displaystyle$\$zeta ( q$ )는$$ 통계적으로 해석됩니다.이것은, 「${\displaystyle {tx}_{}}$a)의 분포의 진화를 나타내는 것으로, 「$tx$$」(a)$는$,$ 「$tx$」(a)가$$ 큰 사이즈에서 $작은$ 스케일로 변화하기 $때문$입니다.이 진화는 종종 통계적 간헐성이라고 불리며 가우스 ^{[citation needed]}모델로부터의 이탈을 암시한다.

승수 캐스케이드로서의 모델링은 다분할 특성 추정으로 이어진다.Roberts & Cronin 1996 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFRobertsCronin 1996 (도움말) 이 방법은 비교적 작은 데이터 세트에서도 합리적으로 잘 작동합니다.데이터 세트에 대한 승수 캐스케이드의 최대 적합성은 전체 스펙트럼을 추정할 뿐만 아니라 ^[22]오류에 대한 합리적인 추정치를 제공한다.

상자 수를 통해 다분할 척도 추정

멀티프랙탈 스펙트럼은 디지털 영상의 박스 카운트에서 결정할 수 있습니다.우선, 박스 카운트 스캔을 실시해, 픽셀이 어떻게 분포하고 있는지를 판단합니다.그 후, 이 「매스 분포」는 일련의 ^[23][24][25]계산의 기초가 됩니다.주요 아이디어는 멀티프랙탈의 경우 상자$i{\displaystyle }$(\$displaystyle$ i$)$에 표시되는 다수의 $픽셀{\displaystyle }$ m$(\displaystyle$$$m$)$의 $확률{\displaystyle }$P(\$displaystyle$ $\epsilon$가 상자 $크기{\displaystyle }$$$$0$(\displaystyle \epsilon})에 따라 달라지며, 이는 Eq.0.0(B: 모노)와 같이 이미지를 전환합니다.반면 프랙탈은 집합에 걸쳐 지수가 유의하게 변화하지 않습니다.)${\displaystyle }$P$\displaystyle$P는$$ Eq.2.0과 같이 박스 카운팅 픽셀 분포에서 계산됩니다.

$\displaystyle P_{[i,\epsilon]}\varpropto \epsilon ^{-\alpha _{i}}\varpropto {i}}{\log {P_{i,\epsilon}}}}{\log {epsilon^-1}}}}}$

(Eq.0.0)

$ϵ${$displaystyle$ \ silon$$} = ${\displaystyle \mathrm{세트}}$를 조사하는 임의의 척도(박스 수에서 상자 크기)

$\displaystyle$ i$$=$$ 세트 위에$놓여{\displaystyle }$ 있는 각 상자의 색인(\$displaystyle\ilon)$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$ = the number of pixels or mass in any box, ${\displaystyle i}$, at size ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{}}$ { $displaystyle$N _ { \ $epsilon }$ =$$ $각{\displaystyle }$ ${\$ \ $displaystyle$\ $silon }$에 대해 0 픽셀을 초과하는 상자의 합계

${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {ϵ}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}{}_{}}$m [${\displaystyle i_{}}$ , ${\displaystyle {]}_{}}$ ] $=$ { { $displaystyle M$_ { \ $epsilon$ } = \$sum$_ { i$$= { $\ epsilon$}} $m_{$ [ i , \ $epsilon$ ] $=$이 $디스플레이$ $스타일$\$epsilon }$의 모든 상자에 있는 픽셀의 총 질량 또는 합계

(Eq.1.0)

${\displaystyle P_{}}$[${\displaystyle i_{}}$ , ${\displaystyle {]}_{}}$ ] ${\displaystyle \frac{{=}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{m_{}}{}}$[ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ , ${\displaystyle \frac{{]}_{}}{}}$ ]$M$ $=$ { $displaystyle$ $P_{$ [$i$, \ $epsilon ]}$= { M$_${ \ $epsilon$$$} $=$ $}$ 상자$$$$ 크기의 총 질량에 $대한{\displaystyle }$ 이 질량의 확률

(제2.0호)

${\displaystyle }$P$\displaystyle$P는$$ Eq.3.0 및 Eq.3.1과 같이 특정 방식으로 왜곡되었을 때 픽셀 분포가 어떻게 동작하는지 관찰하는 데 사용됩니다.

${\displaystyle Q}${\$displaystyle$ Q$}$ =$$ 데이터 세트를 왜곡하기 위한 지수로 사용할 임의의 범위의 값

${\displaystyle I_{{}_{}}}$( ${\displaystyle {Q_{}}_{}}$) [ ${\displaystyle {{]}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}}$ N ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}{}_{}^{}}$P [${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {]}_{}^{}}$ ]${\displaystyle {}_{}^{}}$ $=$ { \ $displaystyle I_{$ ( Q ) } $_${ \ $sum$_ { i$$= { \ $epsilon$ } = { N$_$ { \ epsilon } } $=$ { P$_$ { i , \ $epsilon$} } } = { P _ { i _ { i } } } } } } } } } } } } } } } = } $of$ of of$$ of

(제3.0호)

• $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${ $displaystyle$ Q $=$$1$ $\}$ 、 Eq.3.0은 ${\displaystyle {모든}_{}}$ 확률의 합인1 이며, ${\displaystyle \mathrm{Q}}$ $=$ 0 { $displaystyle$ Q $=$ 0$$} 의 경우 모든 항은 1 이므로 합계는 카운트된 $상자{\displaystyle {}_{}}$ 수 N$$（ \ $displaystyle$ N _ { \ $epsilon$ 와 같습니다.

${\displaystyle {\mu }_{{}_{}}}$(${\displaystyle {Q_{}}_{}}$) [${\displaystyle {i_{}}_{}}$ , ${\displaystyle {{]}_{}}_{}}$ ] ${\displaystyle \frac{{=}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{P_{}^{}}{}}$[ ${\displaystyle \frac{{i_{}}_{}}{}}$ , ${\displaystyle \frac{{]}_{}^{}}{}}$ ]$Q$ (${\displaystyle \frac{{{}_{}}_{}}{}}$Q )[${\displaystyle \frac{{{}_{}}_{}}{}}$]$$ { $display$\$mu$ _ { ($Q$ ) }$_$ { { [ i , \ epsilon ] } =$scfrac${$P$_ { [ i , \ $epsilon ]$ }^{ $Q$} { I$_$ { }

(제3.1호)

이러한 왜곡 방정식은 다음과 같이 세트의 치수에 대한 다른 값을 찾기 위해 스케일링 또는 분해되거나 $일련$의 $†(\style \epsilon)$ 크기로$$ 분할되어 Q에 의해 왜곡되었을 때 세트가 어떻게 동작하는지 설명하는 데 사용됩니다.

• Eq.3.0의 중요한 특징은 Eq.4.0의 지수$$δ(\$displaystyle\tau)$까지 상승한 스케일에 따라 달라질 수도 있다는 것입니다.

${\displaystyle I_{(Q)}_{[\epsilon ]}\varpropto \epsilon ^{\tau _{(Q)}}}$

(제4.0호)

${\displaystyle {\mathrm{따라서}}_{}}$Eq.3.0 로그의 회귀선 경사면에서 $Eq4{\displaystyle }$.$1$을 기준으로 각 Q$\$displaystyle$$Q의 로그 \$epsilon$$\}$에 대한 일련의 값을 구할 수 있습니다.

${\displaystyle _{(Q)}= 제한 _{\ilon \to 0}{\left[{\frac {I_{(Q)}}}_{\epsilon }}}}{\log {\ilon }}}\right}}}$

(제4.1호)

• 일반화 치수의 경우:

${\displaystyle D_{(Q)}= 제한 _{\silon \to 0}{\left[{\frac {I_{(Q)}}_{\epsilon }}}}{\log {\silon ^{-1}}}}}}}}{\log {\light}}}}}}}{-1-{-}}$

(제5.0호)

${\displaystyle D_{(Q)}={frac_{(Q)}}{Q-1}}$

(제5.1호)

$\displaystyle _{(Q)}_{}=D_{(Q)}\left(Q-1\right)}$

(제5.2호)

$\displaystyle _{(Q)}=\alpha _{(Q)}Q-f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

(제5.3호)

• ${\displaystyle {\alpha }_{}}$($${ $displaystyle \alpha _${ ( Q$$) }}는 로그_{${\displaystyle \epsilon }$,Q} A 대 로그$log{\displaystyle }$ { \ $displaystyle \epsilon }$의 회귀선의 기울기로 추정됩니다.

$\displaystyle A_{\epsilon,Q}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon}}{{i,\epsilon}_{Q}}{P_{i,\epsilon}}_{Q}}}}$

(Eq.6.0)

• $다음$으로 f${\displaystyle {({}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{(Q}_{}}_{}}$) $){$ $displaystyle f_{\left(\alpha$ _${(Q)}\right)}}}$ 가$$ Eq.5.3 에서 검색됩니다.

• $평균$ "${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {Q_{}}_{}}$$$) {$display$ \ $tau$ _ { ( Q${\displaystyle {{}_{}}_{}}$)${\displaystyle {{}_{}\}{}_{}}_{}}$ [ $]$ { $displaystyle$\ $tau$ _ { ( $Q$) } $_${ \ [ \ $epsilon ]}$ 대$$$$" { $displaystyle$\$epsilon$}" 의 로그 회귀선의 기울기로 추정됩니다.

${\displaystyle _{(Q)_{\epsilon}}={sum _{i=1}^{N_{\epsilon}}{P_{[i,\epsilon]}}{N_{\epsilon }}}}{N_{\epsilon}}}}}$

(제6.1호)

실제로 확률 분포는 데이터 집합이 샘플링되는 방법에 따라 달라지므로,^[23] 적절한 샘플링이 보장되도록 최적화 알고리즘이 개발되었습니다.

적용들

다분할 분석은 물리,^[26] 정보 및 생물 과학을 포함한 많은 분야에서 성공적으로 사용되어 왔습니다.예를 들어 철근콘크리트 전단벽 ^[27]표면의 잔류균열 패턴 정량화 등이 있다.

데이터 세트 왜곡 분석

멀티프랙탈 분석은 다양한 유형의 데이터셋을 ^[28][5][8]특징짓기 위해 여러 과학 분야에서 사용되어 왔다.본질적으로 멀티프랙탈 분석은 패턴에서 추출된 데이터 세트에 왜곡 계수를 적용하여 각 왜곡에서 데이터가 어떻게 동작하는지 비교합니다.이는 그림과 ^[23]같이 "왜곡 렌즈"를 통해 데이터 집합을 보는 것과 유사한 멀티프랙탈 스펙트럼으로 알려진 그래프를 사용하여 수행된다.실제로 여러 유형의 멀티프랙탈 스펙트럼이 사용된다.

D_Q 대 Q

한 가지 실용적인 멀티프랙탈 스펙트럼은 D 대 Q의_Q 그래프이며, 여기서_Q D는 데이터셋에 대한 일반화 차원이고 Q는 임의의 지수 집합이다.따라서 일반화된 차원은 데이터셋의 차원 집합을 나타냅니다(상자 수를 사용하여 일반화된 차원을 결정하기 위한 자세한 계산은 아래에 설명되어 있습니다).

치수순서

D 대 Q 그래프의_Q 일반적인 패턴을 사용하여 패턴의 스케일링을 평가할 수 있습니다.그래프는 일반적으로 감소하고 있으며, Q=0을 중심으로 S자형이며, 여기서_(Q=0) D d_(Q=1) D d_(Q=2) D이다.그림에서 알 수 있듯이, 이 그래픽 스펙트럼의 변화는 패턴을 구별하는 데 도움이 될 수 있다.영상에는 비-프랙탈 세트, 모노-프랙탈 세트 및 멀티프랙탈 세트의 이진 영상에 대한 멀티프랙탈 분석의 D 스펙트럼이 표시됩니다_(Q).샘플 영상의 경우와 마찬가지로 비프랙탈 및 모노프랙탈은 멀티프랙탈보다 평평한 D 스펙트럼을_(Q) 갖는 경향이 있습니다.

일반화된 차원은 또한 중요한 특정 정보를 제공합니다.D는_(Q=0) 용량 치수와 같으며, 여기 그림에 표시된 분석에서 박스 계수 치수입니다.D는_(Q=1) 정보 차원, D는_(Q=2) 상관 차원입니다.이는 멀티프랙탈의 "멀티"와 관련되며, 멀티프랙탈은 D 대 Q 스펙트럼에서_(Q) 다중 차원을 가지지만 모노프랙탈은 해당 ^[23][24]영역에서 다소 평탄한 상태를 유지한다.

f(α) 대 α

또 다른 유용한 멀티프랙탈 스펙트럼은 f$)\displaystyle$ f$(\alpha)$ $대$ α(\$displaystyle \alpha)$ $그래프$이다(계산 참조).이러한 그래프는 일반적으로 Q=0에서 프랙탈 치수에 가까운 최대값까지 상승한 다음 하강한다.D 대 Q 스펙트럼과 마찬가지로_Q 비, 모노 및 멀티 프랙탈 패턴을 비교하는 데 유용한 전형적인 패턴을 보여준다.특히 이러한 스펙트럼의 경우, 비-프랙탈 및 단일 프랙탈은 특정 값에 수렴하는 반면, 멀티프랙탈 패턴의 스펙트럼은 일반적으로 더 넓은 영역에 걸쳐 혹을 형성한다.

우주에서의 종 다양성 분포의 일반화 차원

생태학에서의 D 대 Q의 적용_q 중 하나는 종의 분포를 특징짓는 것이다.전통적으로 상대적인 종의 풍부성은 개인의 위치를 고려하지 않고 지역에 대해 계산된다.상대적인 종의 풍부함에 대한 동등한 표현은 생물 다양성의 중립 이론, 메타커뮤니티 역학 또는 틈새 ^[29][30]이론에서 관찰된 것과 같은 다른 생태 메커니즘을 감지하기 위해 일반화된 치수를 사용하여 분석될 수 있는 ^[29]종 등급이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 부분 브라운 운동
• 디트렌딩 변동 분석
• 트위디 분포
• 마르코프 스위칭 멀티프랙탈
• 가중평면확률격자(WPSL)^[31]

레퍼런스

추가 정보

• Veneziano, Daniele; Essiam, Albert K. (June 1, 2003). "Flow through porous media with multifractal hydraulic conductivity". Water Resources Research. 39 (6): 1166. Bibcode:2003WRR....39.1166V. doi:10.1029/2001WR001018. ISSN 1944-7973.

외부 링크

• Stanley H.E., Meakin P. (1988). "Multifractal phenomena in physics and chemistry" (Review). Nature. 335 (6189): 405–9. Bibcode:1988Natur.335..405S. doi:10.1038/335405a0. S2CID 4318433.
• Arneodo, Alain; Audit, Benjamin; Kestener, Pierre; Roux, Stephane (2008). "Wavelet-based multifractal analysis". Scholarpedia. 3 (3): 4103. Bibcode:2008SchpJ...3.4103A. doi:10.4249/scholarpedia.4103. ISSN 1941-6016.
• 멀티프랙탈 시각화 영화