승수 계단식 계단식

수학에서, 승수 캐스케이드는^[1][2] 반복적이고 승수적인 무작위 과정을 통해 생성된 점들의 프랙탈/다중추분포다.

모델 I(왼쪽 그림):

${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,1,1,0\rbrace }}$

모델 II(중간 그림):

${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,0.75,0.5\rbrace }$

모델 III(오른쪽 그림):

${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,0.5,0.25\rbrace }}$

위의 플롯은 승화 계단식 다곡선의 예들이다.이러한 분포를 생성하려면 몇 가지 단계를 수행해야 한다.첫째로, 우리는 우리의 기본 확률밀도장이 될 세포 격자를 만들어야 한다.

둘째로, 격자의 여러 수준을 만들기 위해 반복적인 과정이 뒤따른다. 각 반복에서 세포는 네 개의 동일한 부분(세포)으로 분할된다.Each new cell is then assigned a probability randomly from the set ${\displaystyle \lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace }$ without replacement, where ${\displaystyle p_{i}\in [0,1]}$. This process is continued to the Nth level.예를 들어, 그러한 모델을 레벨 8까지 만들 때 우리는 4개의⁸ 셀 배열을 생산한다.

셋째, 세포는 다음과 같이 채워진다.우리는 세포가 점유될 확률을 세포 자체의 p와_i 모든 부모의 p의 산물(최대 레벨 1)으로 삼는다.몬테카를로 거부 체계는 다음과 같이 원하는 셀 집단을 얻을 때까지 반복적으로 사용된다. x와 y 셀 좌표를 무작위로 선택하고 0과 1 사이의 무작위 숫자를 할당한다. 그런 다음 (x, y) 셀은 할당된 숫자가 (오후: 채워지지 않음) 이하인지 또는 (아웃콤) 이하인지에 따라 채워진다.셀의 직업적 확률을 채운다.

위의 그림을 만들기 위해 우리는 확률밀도 필드를 256 × 256의 공간에 5,000 포인트로 채웠다.

확률 밀도 필드의 예:

프랙탈은 일반적으로 스케일 인바리어스가 아니므로 표준 프랙탈로 간주할 수 없다.그러나 그것들은 다면적인 것으로 간주될 수 있다.레니(일반화된) 치수는 이론적으로 예측할 수 있다.$N{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infit$ $\},$

${\displaystyle D_{q}={\frac {\log _{2}\왼쪽(f_{1}^{1}^{q}+f_{2}^{q}+f_{3}}^{q}+f_{4}^{q}\오른쪽){1-q},}$

여기서 N은 그리드 정교화 수준이며,

${\displaystyle f_{i}={\frac {p_{i}}{\sum _{i}}.}$

참고 항목

위키미디어 커먼즈에는 프랙탈과 관련된 미디어가 있다.

• 프랙탈 치수
• 하우스도르프 차원
• 척도 불변도

참조