디트렌드변동분석

확률적 프로세스, 혼돈 이론 및 시계열 분석에서 디트렌드 변동 분석(DFA)은 신호의 통계적 자기선호도를 결정하는 방법이다.긴 메모리 프로세스(예: 전력 법칙 붕괴 자기 상관 함수) 또는 1/f 노이즈로 보이는 시계열을 분석하는 데 유용하다.

획득한 지수는 기본 통계량(평균 및 분산 등) 또는 역학(시간에 따라 변화)이 아닌 신호에도 DFA를 적용할 수 있다는 점을 제외하면 허스트 지수와 유사하다.자기 상관 및 푸리에 변환과 같은 스펙트럼 기법에 기초한 측정과 관련이 있다.

펑 외 연구진은 1994년 DFA를 2020년^[1] 기준으로 3000회 이상 인용한 논문에서 비역위성의 영향을 받는 (일반) 변동 분석(FA)의 연장에 대해 소개했다.

계산

Consider a bounded time series $x_{t}$ of length $N$ , where $t\in \mathbb {N}$ , and let its mean value be denoted $\langle x\rangle$ . Integration or summation converts this into an unbounded process $X_{t}$ :

X_{t}=\sum _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\angle )

$X_{t}$ $X_{t}$ ${\$ 은(는) 누적 합계 또는 종단이라고 한다 $X_{t}$ .이 프로세스는 예를 들어, 백색 소음 프로세스를 무작위 보행로 변환한다.

다음으로 $X_{t}$ $X_{t}$ ${\$ 은(는) 길이 $n$ $n$ 샘플의 $n$ 시간 창으로 구분되며, 각 $X_{t}$ 시간 창 내에서 제곱 오차를 최소화하여 국소 최소 제곱 직선 적합(로컬 트렌드)을 계산한다. $Y_{t}$ $Y_{t}$ ${\$ 를 직선 적합치의 결과 조각 순서 표시 $Y_{t}$ .그런 다음 추세로부터의 근평균 제곱 편차인 변동을 다음과 같이 계산한다.

F(n)={\sqrt{1}{{{N}\sum _{t=1}^{{N}}\left(X_{t}-Y_{t}\오른쪽)^{2}}.

마지막으로, 변동 측정에 따른 이 변위 측정 프로세스는 서로 다른 창 크기 $n$ ${\displaystyle n$ 에 대해 반복되며, $n$ $n$ 에 $F(n)$ F $F(n)$ ( $F(n)$ ) $F(n)$ 의 로그 로그 그래프가 작성된다 $n$ .^[2]^[3]

이 로그 그래프의 직선은 $F(n)\propto n^{\alpha }$ ( n $F(n)\propto n^{\alpha }$ ) $F(n)\propto n^{\alpha }$ ${\$ 로 표현되는 통계적 자기선호도를 나타낸다 $F(n)\propto n^{\alpha }$ 스케일링 지수 $\alpha$ $\alpha$ 은(는) 최소 제곱을 사용하여 $F(n)$ $F(n)$ ( $F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ 에 $n$ 대한 n $n$ 의 로그 로그 그래프에 적합한 직선 기울기로 계산된다 $\alpha$ .이 지수는 허스트 지수를 일반화한 것이다.N 길이 N의 상관없는 무작위 보행에서 예상되는 변위는 ${\sqrt {N}}$ ${\$ 처럼 증가하기 때문에 1 ${\tfrac {1}{2}}$ ${\$ }}의 ${\tfrac {1}{2}}$ 지수가 상관없는 백색 소음에 해당할 것이다 ${\tfrac {1}{1}:{2}}$ ${\sqrt {N}}$ 지수가 0과 1 사이일 경우 결과는 소수 가우스 노이즈로, 정확한 값은 일련의 자기 상관에 대한 정보를 제공한다.

$\alpha <1/2$ < 1 $\alpha <1/2$ / $\alpha <1/2$ ${\displaystyle \property <1/2$ } $:$ 반 상관 관계
$\alpha \simeq 1/2$ $\alpha \simeq 1/2$ 1 $\alpha \simeq 1/2$ / $\alpha \simeq 1/2$ ${\displaystyle \alpha \simeq$ 1 $/2}$ $\alpha \simeq 1/2$ 상관 없음, 백색 노이즈
$\alpha >1/2$ > $\alpha >1/2$ / 2 ${\displaystyle \property >1/2$ } $:$ 상관 관계
$\alpha \simeq 1$ $\alpha \simeq 1$ $\alpha \simeq 1$ $\alpha \simeq 1$ : 1/f-migration, 핑크 노이즈
$\alpha >1$ > $\alpha >1$ ${\displaystyle \cHB$ >1} $:$ 비간격, 무한대
$\alpha \simeq 3/2$ $\alpha \simeq 3/2$ 3 $\alpha \simeq 3/2$ / $\alpha \simeq 3/2$ ${\displaystyle \alpha \simeq 3/2$ } $\alpha \simeq 3/2$ : 브라운 소음

초자연적 경향에 대한 일반화

고차 추세는 다항식 적합으로 선형 적합을 대체하는 고차 DFA에 의해 제거할 수 있다.^[4]설명한 경우, 선형 적합치( $i=1$ = $i=1$ $i=1$ )가 프로파일에 적용되므로 이를 DFA1이라고 한다.상위 순서의 추세를 제거하기 위해 DFA $i$ $i$ 은 $i$ 는) 순서 $i$ $i$ 의 다항식 적합치를 사용한다 $i$

$x_{i}$ $x_{i}$ ${\$ 에서 $x_{i}$ $X_{t}$ t $X_{t}$ {\ $displaystyle X_{t}$ 까지의 합계(통합) 때문에 $X_{t}$ 프로파일의 평균의 선형 추세는 초기 시퀀스의 일정한 추세를 나타내며, $x_{i}$ 은 x $x_{i}$ {\ $displaystyle x_{i}}$ 에서 그러한 일정한 추세(단계)만 제거한다 $x_{i}$ 일반적으로 i ${\disp$ $i$ 의 DFA $laystyle i}$ 은 $i-1$ 는) 순서 i - $i-1$ $i-1$ 의 $i$ 추세를 제거한다 $i-1$ $x_{i}$ i ${\$ 의 평균에서 선형 추세를 보려면 최소한 $x_{i}$ DFA2가 필요하다.

허스트 R/S 분석은 원래 시퀀스에서 일정한 추세를 제거하므로, 디트렌딩에서는 DFA1과 동일하다.

다른 순간으로 일반화

변동함수 $F(n)$ ) $F(n)$ {\ $displaystyle$ F $(n)}$ 에서 $F(n)$ 제곱(루트)이 사용되므로, DFA는 두 번째 모멘트 플리큐션의 스케일링 동작을 측정하며, 이는 $\alpha =\alpha (2)$ = $\alpha =\alpha (2)$ ( $\alpha =\alpha (2)$ ) $\alpha =\alpha(2)$ 을 의미한다 $\alpha =\alpha (2)$ 다원적 일반화(MF-DFA)^[5]는 가변 모멘트 $q$ $q$ 을 $q$ (를) 사용하고 $($ $\alpha (q)$ {\ $displaystyle$ \alpha( $q)}$ 을(를) 제공한다 $\alpha (q)$ 칸텔하르트 외.는 이 스케일 지수를 고전적 허스트 지수의 일반화로서 의도하였다.고전적 허스트 지수는 고정 사례 $H=\alpha (2)$ = $H=\alpha (2)$ ( $H=\alpha (2)$ ) $H=\alpha(2)$ 의 $H=\alpha (2)$ 경우 두 번째 모멘트 - $H=\alpha (2)-1$ 에 해당하며 $H=\alpha (2)-1$ ^[6]^[7]^[5] 비스테이션 $H=\alpha (2)-1$ H = $H=\alpha (2)-1$ ( $H=\alpha (2)-1$ ) $H=\alpha (2)-1$ - 1 ${\displaysty$ H $=\alpha(2)-1}$ 의 경우 두 번째 모멘트에서 1을 뺀 모멘트에 해당한다.

기본적으로 스케일링 지수는 시스템의 스케일과 독립적일 필요가 없다. $\alpha$ $\alpha$ 의 경우, α {\displaystyle q}에서 추출한 $\alpha$ $q$ 전원 $q$ $q$

F_{q}(n)=\좌측({\frac {1}{N}\sum _{t=1}^{N}\좌측(X_{t}-Y_{t}\우측)^{q}{1/q

여기서 이전 DFA는 $q=2$ = 2 ${\displaystyle q=2$ 다원적 시스템은 함수 $F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}$ ( $F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}$ $F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}$ ( $F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}$ $){\$ 다원적성을 파악하기 위해 다원적 탈원적변동 분석은 하나의 가능한 방법이다.^[8]

응용 및 연구

DFA 방법은 DNA 시퀀스,^[9]^[10] 뉴런 진동,^[7] 음성 병리 검출,^[11] 다양한 수면 단계에서 심장 박동 변동과 같은 많은 시스템에 적용되어 왔다.^[12]

추세가 DFA에 미치는 영향은 연구되어 왔다.^[13]

특정 유형의 신호에 대한 다른 방법과의 관계

권한-법률 결정 자기 상관 관계가 있는 신호의 경우

In the case of power-law decaying auto-correlations, the correlation function decays with an exponent $\gamma$ : $C(L)\sim L^{-\gamma }\!\$ . In addition the power spectrum decays as $P(f)\sim f^{-\beta }\!\$ . The three exponents are r의기양양한:^[9]

$\displaystyle \cHB =2-2\cHB }$
$\beta =2\alpha -1$ = $\beta =2\alpha -1$ $\beta =2\alpha -1$ - $\beta =2\alpha -1$ ${\displaystyle \cHB$ =2 $\cHB -1$ 및
$\gamma =1-\beta$ = $\gamma =1-\beta$ - $\gamma =1-\beta$ ${\displaystyle \gamma =1-\beta$ $\gamma =1-\beta$

그 관계는 비너-킨친의 정리를 이용하여 도출될 수 있다.전력 스펙트럼 방법과 DFA의 관계는 잘 연구되었다.^[14]

따라서 $\alpha$ $\alpha$ 은(는) 전력 스펙트럼 $\beta$ {\ $displaystyle \beta }$ 의 기울기에 연결되며 $\alpha$ $\beta$ , $\alpha =(\beta +1)/2$ = $\alpha =(\beta +1)/2$ ( $\alpha =(\beta +1)/2$ + 1 $\alpha =(\beta +1)/2$ ) $\alpha =(\beta +1)/2$ / 2 ${\displaystyle \alpha$ = $(\beta +1)/2}$ 의 관계에 의한 소음 색상을 설명하는 데 사용된다 $\alpha =(\beta +1)/2$

분수 가우스 노이즈의 경우

For fractional Gaussian noise (FGN), we have $\beta \in [-1,1]$ , and thus $\alpha \in [0,1]$ , and $\beta =2H-1$ , where $H$ is the Hurst exponent. $\alpha$ 에 $\alpha$ $\alpha$ 대한 α {\displaystyle \ $alpha }$ 은(는) $H$ $H$ 과(와) 같다 $H$ ^[15]

분절 브라운 모션의 경우

For fractional Brownian motion (FBM), we have $\beta \in [1,3]$ , and thus $\alpha \in [1,2]$ , and $\beta =2H+1$ , where $H$ is the Hurst exponent. $\alpha$ FBM의 경우 $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ 은(는 $)$ $H+1$ + $H+1$ {\ $displaystyle H+1$ }과 같다 $H+1$ ^[6] 이 맥락에서 FBM은 FGN의 누적 합계 또는 적분이기 때문에 전력 스펙트럼의 지수는 2만큼 차이가 난다.

해석상의 함정

라인 장착에 따라 달라지는 대부분의 방법과 마찬가지로 DFA 방법으로 숫자 $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ 을(를) 항상 찾을 수 있지만, 이것이 반드시 시계열이 자기 유사하다는 것을 의미하지는 않는다.자체 유사성을 위해서는 로그 그래프 상의 포인트가 창 크기 $L$ {\ $displaystyle L}$ 의 매우 광범위한 범위에 걸쳐 충분히 일치해야 한다 $L$ 더욱이 최소 스쿼어보다는 MLE를 포함한 기법의 조합이 스케일링, 즉 파워 로 지수를 더 잘 근사하게 한다는 것이 입증되었다.^[16]

또한, 분할 치수와 허스트 지수를 포함하여 자기 유사 시계열에 대해 측정할 수 있는 스케일링 지수 같은 수량이 많다.따라서 DFA 스케일링 지수 $\alpha$ $\alpha$ 은(는) 하우스도르프 차원의 모든 바람직한 특성을 공유하는 프랙탈 치수가 아니다 $\alpha$ . 예를 들어, 특정 경우에는 시계열의 그래프에 대한 박스 카운팅 차원과 관련이 있다고 보여질 수 있다.

참고 항목

참조

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외부 링크

신경생리학 바이오마커 툴박스를 사용하여 Matlab에서 변형된 변동 분석을 계산하는 방법에 대한 자습서.
매우 큰 데이터 집합에서 DFA 스케일링 지수를 신속하게 계산하기 위한 FastDFA MATLAB 코드
Physionet DFA 및 C 코드의 계산에 대한 좋은 개요.
MFDFA Python 구현 (멀티프랙탈) 디트렌딩 변동 분석.

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