모나드 술어 미적분

논리학에서, 단수 술어 미적분(단수 1차 논리라고도 함)은 시그니처의 모든 관계 기호가 단수이고 함수 기호가 없는 1차 논리의 단편입니다.따라서 모든 원자식은 P$)\displaystyle$ P$(x$ $형식$입니다. $여기$서 P$(\displaystyle$ P$)$는 관계 $기호$이고 x$(\displaystyle$ x$)$는 변수입니다.

단항 술어 미적분은 둘 이상의 인수를 갖는 관계 기호를 허용하는 다항 술어 미적분과 대조될 수 있다.

표현력

다항 관계 기호의 부재는 단항 술어 미적분으로 표현될 수 있는 것을 심각하게 제한한다.완전 술어 미적분과는 달리, 그것은 매우 약하기 때문에 결정 가능하다.단일 술어 미적분의 주어진 공식이 논리적으로 유효한지를 결정하는 결정 절차가 있다(빈 영역이 아닌 모든 ^[1][2]영역에 대해 참).단, 단일 이진 관계 기호를 단일한 논리에 추가하면 논리를 결정할 수 없게 됩니다.

용어 논리와의 관계

19세기 아우구스투스 드 모르간과 찰스 샌더스 피어스, 그리고 1879년 프레게의 베그리프쉬리프트가 관계 논리에 대한 연구를 하기 전까지는 단일한 논리를 넘어설 필요성이 인정되지 않았다.이 세 사람의 작업 이전에, 용어 논리(음행 논리)는 형식 연역적 추론에 적합하다고 널리 여겨졌다.

논리학 용어의 추론은 모두 단항 술어 미적분으로 표현될 수 있다.예를 들어 인수

모든 개는 포유동물이다.

어떤 포유류도 새는 아니다.

그러므로, 어떤 개도 새가 아니다.

단항 술어 미적분의 언어로 기술할 수 있다

$\displaystyle [(\forall x,D(x)\rightarrow M(x)\land \neg (\exists y,M(y)\land B(y))]\오른쪽 화살표 \neg (\exists z,D(z)\land B(z))}$

$여기$서 D$(Displaystyle$ D$),$ M$(Displaystyle$ M$)$ $및$ B$(Displaystyle$ B$)$는 각각 개, 포유동물, 새의 술어를 나타냅니다.

반대로, 단항 술어 미적분은 용어 논리보다 훨씬 더 표현적이지 않다.단항 술어 미적분의 각 공식은 양식이 형식의 닫힌 하위 공식에만 나타나는 공식과 같다.

$\displaystyle \forall x,P_{1}(x)\lor \cdots \lor P_{n}(x)\lor \neg P'_{1}(x)\lor \cdots \lor \neg P'_{m}(x)$

또는

$\displaystyle \exists x,\neg P_{1}(x)\land \cdots \neg P_{n}(x)\land P'_{1}(x)\land \cdots \land P'_{m}(x)$

이러한 공식은 용어 논리학에서 고려된 기본적인 판단을 약간 일반화한다.예를 들어, 이 형식에서는 "모든 포유류는 초식동물 또는 육식동물(또는 둘 다)",${\displaystyle \mathrm{}}$( reasoning x ),${\displaystyle }$(${\displaystyle x),}$ (${\displaystyle x),}$ (x ), (${\displaystyle x}$ $),$ (x ), (\$display$ style $(\forall$ x$,\neg$ M$(x)\lor$ H$(x)\lor$ C$(x$ 등의 문장이 가능합니다.아리스토텔레스의 삼단논법만.

명제논리를 주어진 대로 받아들이면, 단항 술어 미적분의 모든 공식은 마찬가지로 논리라는 용어로 공식화될 수 있는 무언가를 표현한다.한편, 전통적인 논리에서의 다중 일반성의 문제에 대한 현대적 관점은 한정 변수를 관련짓는 다항적 술어가 없다면 수량화자는 유용하게 내포될 수 없다고 결론짓는다.

변종

위에서 설명한 형식 체계는 때때로 순수한 단수 술어 미적분이라고 불리며, 여기서 "순수"는 함수 문자의 부재를 의미한다.단일한 함수 문자를 허용하면 로직이 표면적으로만^{[citation needed]} 변경되지만 단일 이진 함수 문자를 허용해도 로직이 결정되지 않습니다.

Monadic 2차 논리는 공식에서 더 높은 수준의 술어를 허용하지만, 2차 수량화를 단일 술어로 제한한다. 즉, 허용되는 2차 변수만 하위 집합 변수이다.

각주