일반화된 기능연필법

매트릭스필기법이라고도 하는 일반화된 기능연필법(GPOF)은 신호를 추정하거나 복잡한 지수법으로 정보를 추출하는 신호처리 기법이다.프레니, 오리지널 펜슬-오브-기능 방식과 유사하기 때문에 견고성과 연산 효율성이 뛰어나 일반적으로 선호되고 있다.^[1]

이 방법은 원래 잉보 화와 타판 사르카르에 의해 개발된 것으로, 사르카르의 과거 연구 결과를 바탕으로 일시적인 반응에 의한 전자파 시스템의 행동을 추정하기 위해서였다.^[1]^[2]이 방법은 전기 공학에 응용이 많고, 특히 계산 전자석, 마이크로파 공학 및 안테나 이론의 문제와 관련이 있다.^[1]

방법

수학적 근거

과도 전자파 신호는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[3]

y(t)=x(t)+n(t)\관련 \sum _{i=1}^{M}R_{i}e^{s}+n(t);0\leq t\leq T,

어디에

y(t)

y(t)

)

y(t)

은

y(t)

(는) 관찰된 시간 영역 신호,

n(t)

(

n(t)

)

n(t)

이

n(t)

(가) 신호 노이즈,

x(t)

(

x(t)

)

x(t)

이

x(t)

(가) 실제 신호,

R_{i}

R_{i}

{\

은

R_{i}

(는

)

잔류물(

R_{i}

{\

displaystyle

R_

{i}),

s_{i}

s_{i}

{\

는

s_{i}

s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}

i

s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}

= -

s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}

i +

s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}

s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}

i

s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}

{\

displaystyle s_{i}=-\i1\i}+j\omega _{i

로 정의되는 시스템의 극이다.

\alpha _{i}

\alpha _{i}

{\

는

\alpha _{i}

감쇠 계수 및

\omega _{i}

\omega _{i}

{\

는 각도 주파수다

\omega _{i}

.

$T_{s}$ $T_{s}$ ${\$ 의 기간으로 샘플링한 동일한 시퀀스는 다음과 같이 기록할 수 있다 $T_{s}$

{\displaystyle y[k

T_{s}]=x[k

T_{s}]+n[k

T_{s}]\ 관련 \sum _{i=1}^{M}R_{i}z_{i}^{k}+n[k

T_{s}];k=0

,

...,N-1;i=1,2,...,M

여기서 $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ = $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ ( - $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ i $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ + $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ i $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ ) $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ ${\$ _ ${i}+j\omega _{i})$ Z 트랜스포메이션의 아이덴티티로 $z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}$ $T_{s}}}.$ 일반화된 기능 연필은 최적의 $M$ $M$ 및 $z_{i}$ $z_{i}$ ${\$ s를 추정한다 $z_{i}$ ^[4]

무소음 분석

무소음 케이스의 경우 2개 $(N-L)\times L$ - $(N-L)\times L$ ) $(N-L)\times L$ L ${\displaystyle$ ( $N-L)\time L}$ 행렬, Y $Y_{1}$ ${\$ 및 $Y_{2}$ $Y_{2}$ ${\$ 2}} $개가$ 생성된다.^[3]

[Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L-1)&x(N-L)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L};

[Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L}

여기서 $L$ $L$ 은(는) 연필 파라미터로 정의된다 $L$ . $Y_{1}$ $Y_{1}$ ${\$ 및 $Y_{1}$ $Y_{2}$ $Y_{2}$ ${\$ }}개를 다음과 같은 행렬로 분해할 수 있다 $Y_{2}$ .^[3]

[Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]

[Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]

어디에

[Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(N-L-1)}&z_{2}^{(N-L-1)}&\cdots &z_{M}^{(N-L-1)}\end{bmatrix}}_{(N-L)\times M};

[Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}

${\textstyle [Z_{0}]}$ ${\textstyle [Z_{0}]}$ ${\textstyle [Z_{0}]}$ ${\textstyle [Z_{0}]}$ ${\textstyle [Z_{0}]}$ 및 ${\textstyle [Z_{0}]}$ [ ${\textstyle [B]}$ ${\textstyle$ [B]}은 $($ 는) 순차적으로 배치된 ${\textstyle z_{i}}$ i ${\$ 및 ${\textstyle R_{i}}$ ${\$ 값을 ${\textstyle R_{i}}$ 갖는 ${\textstyle M\times M}$ ${\textstyle M\times M}$ ${\textstyle M\times M}$ ${\\textstyptes$ M} ${\textstyle M\times M}$ 대각 ${\textstyle M\times M}$ 행렬이다 ${\textstyle [B]}$ .^[3]

${\textstyle M\leq L\leq N-M}$ ≤ ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$ ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$ N ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$ - ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$ ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$ 인 경우 ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$ 매트릭스 연필의 일반화된 고유값

[Y_{2}]-\lambda [Y_{1}]=[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]

$\lambda =z_{i}$ 의 극은 yield = $\lambda =z_{i}$ $\lambda =z_{i}$ ${\$ 이다 $\lambda =z_{i}$ 그런 다음 일반화된 고유벡터 $p_{i}$ $p_{i}$ ${\$ 를 다음과 같은 정체성으로 얻을 수 있다 $p_{i}$ .^[3]

[Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};

(\displaystyle i=1, ...,M}

[Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};

(\displaystyle i=1, ...,M}

여기서 $^{+}$ + ${\$ 는 의사-반향이라고도 하는 무어-펜로스의 역수를 나타낸다 $^{+}$ .단수 값 분해를 사용하여 의사-반전을 계산할 수 있다.

노이즈 필터링

시스템에 노이즈가 있는 경우 ${\textstyle [Y_{1}]}$ [ Y ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{1}]$ 와 ${\textstyle [Y_{2}]}$ [ ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ 이 ${\textstyle [Y_{1}]}$ (가) 일반 데이터 매트릭스 ${\textstyle [Y]}$ [ ${\textstyle [Y]}$ ${\textstyle [Y]}$ ${\textstyle [Y]$ 에 결합된다 ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y]}$ ^[3]

[Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y(1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(N-L-1)&y(N-L)&\cdots &y(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times (L+1)}

여기서 $y$ $y$ 은 $y$ (는) 노이즈 데이터다.효율적인 필터링을 위해 N ${\textstyle {\frac {N}{3}}}$ ${\$ { $N}{3}}$ 과(와 ${\textstyle {\frac {N}{3}}}$ ) ${\textstyle {\frac {N}{2}}}$ 2 ${\$ ${\textstyle [Y]}$ [ ${\textstyle [Y]}$ ${\textstyle [Y]}$ ${\textstyle]에서$ 단수 ${\textstyle [Y]}$ 값 분해:

[\displaystyle [Y]=[U][\Sigma ][V]^{{H}}

In this decomposition, ${\textstyle [U]}$ and ${\textstyle [V]}$ are unitary matrices with respective eigenvectors ${\textstyle [Y][Y]^{H}}$ and ${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$ and ${\textstyle [\Sigma ]}$ is a diagonal matrix with singular values of ${\textsty$ $le [Y$ 위첨자 ${\textstyle H}$ ${\textstyle H}$ 은 ${\textstyle H}$ 결합 전치점을 나타낸다.^[3]^[4]

그런 다음 필터링을 위해 ${\textstyle M}$ 변수 M ${\textstyle M}$ 을(를) 선택하십시오 ${\textstyle M}$ .필터링 임계값보다 낮은 ${\textstyle M}$ ${\textstyle M}$ 이후의 단수 값은 0으로 설정되며, 임의의 단수 값 ${\textstyle \sigma _{c}}$ ${\textstyle \sigma _{c}}$ ${\$ 의 경우 임계값은 다음 공식으로 표시된다.^[1]

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

=

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

-

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

{\

${\textstyle \sigma _{max}}$ ${\textstyle \sigma _{max}}$ ${\textstyle \sigma _{max}}$ ${\$ 와 ${\textstyle \sigma _{max}}$ p는 각각 최대 단수값과 유의한 소수점이다. $p$ 까지 정밀한 유의미한 자릿수를 갖는 데이터의 경우 ${\textstyle 10^{-p}}$ - ${\textstyle 10^{-p}}$ ${\$ 이하의 단수값을 노이즈로 간주한다 ${\textstyle 10^{-p}}$ .^[4]

${\textstyle [V_{1}']}$ and ${\textstyle [V_{2}']}$ are obtained through removing the last and first row and column of the filtered matrix ${\textstyle [V']}$ , respectively; ${\textstyle M}$ columns of ${\textstyle [\Sigma ]}$ represent ${\textstyle [\Sigma$ ${\textstyle [\Sigma ']}$ 필터링된 ${\textstyle [Y_{1}]}$ [ ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{1}]$ 및 ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ 행렬은 ${\textstyle [Y_{2}]}$ 다음과 같이 구한다.^[4]

[\displaystyle [Y_{1}]=[U][\Sigma ']][V_{1}']^{{H}}

[Y_{2}]=[U][\시그마]]V_{2}']^{{H}

프리필터링은 소음과 싸우고 신호 대 잡음 비(SNR)를 향상시키는 데 사용될 수 있다.^[1]BPMP(Band-pass Matrix Pency) 방법은 FIR 또는 IIR 대역 통과 필터를 통해 GPOF 방식을 수정한 것이다.^[1]^[5]

GPOF는 최대 25 dB SNR을 처리할 수 있다. GPOF와 BPMP의 경우 추정치의 변동은 Cramér-Rao 바인딩에 대략 도달한다.^[3]^[5]^[4]

잔류물 계산

복합극의 잔류물은 최소 제곱 문제를 통해 얻는다.^[1]

{\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M}\end{bmatrix}}

적용들

이 방법은 일반적으로 분광형 그린의 기능이 복합 지수들의 합으로 근사치되는 모멘트 방법에 대한 이산형 복합 영상 방법에서 소머펠트 통합의 평가에 사용된다.^[1]^[6]또한 이 방법은 안테나 분석, 마이크로파 집적회로에서의 S-모수 추정, 파동 전파 분석, 이동 표적 표시 및 레이더 신호 처리 등에 사용된다.^[1]^[7]^[8]

참고 항목

참조

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