본론적 공간

수학에서, 특히 기능적 분석에서, 생물학적 공간은, 어떤 의미에서, 위상학적 공간은 연속성의 문제를 다루는데 필요한 최소한의 구조량을 가지는 것과 같은 방식으로, 집합과 선형 지도의 경계 문제를 다루는데 필요한 최소한의 구조량을 갖는 공간의 한 유형이다.선천적 공간은 선천적 공간으로부터 국부적으로 볼록한 공간에 이르는 선형 지도가 경계가 있는 선형 연산자일 경우에만 연속적이라는 속성에 의해 구별된다.

태생적 공간은 맥키에 의해 처음 연구되었다.부르바키(Bourbaki)가 프랑스어로 '경계(bounded)'를 뜻하는 'borné(본레)'를 따서 지은 이름이다.

본론 및 경계 지도

집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 Bornology는 다음$$ 조건을 모두 충족하는$$ ${\displaystyle$ ${\mathcal {B}$의 하위 집합 $모음$입니다.

1. ${\displaystyle }$$B{\displaystyle }$ ${\$은$($는) X${\displaystyle }$; ${\displaystyle X;},$ $즉$ X${\displaystyle }$=${\displaystyle }$= B ${\$ X$=\컵 {\mathcal};$
2. ${\displaystyle \mathcal{B}}$ ${\$ ${\mathcal {B}$ 포함 조건에서 안정적임$$. 즉, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ B$${\$displaystyle B\$in {\$mathcal$ {$B$$}$과 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \subseteq }$ B$,$ {\$displaystyle A$\$in$ {\${\displaystyle mathcal}$};
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is stable under finite unions; that is, if ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ then ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$;

$B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle {\mathcal {B}$ 컬렉션의 요소는 B ${\$이(가) 이해되면$$ $B{\displaystyle \mathcal{}}$ {\$displaystyle {\mathcal {B}$ 경계 집합 또는 단순 경계 집합이라고 한다$$.쌍$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle(X,{\mathcal{B})}$을(를) 경계 구조 또는 선천적 집합이라고 한다$$.

A base or fundamental system of a bornology ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a subset ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ such that each element of ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a subset of some element of ${\displaystyle {\mathcal$$$${$$B}_{0}}.}$ $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$X}의$$ 하위 집합 $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle$ {\$mathcal {S}$을(를) 포함하는 가장$$ 작은 출생학은 $S{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {S}$에서 생성된 출생학이라고 한다$$.$}$^[1]

If ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ and ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ are bornological sets then their product bornology on ${\displaystyle X\times Y}$ is the bornology having as a base the collection of all sets of the form ${\displaystyle B\times C,}$ where ${\displaystyle B\in \mathcal{B}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ and ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$^[1] A subset of ${\displaystyle X\times Y}$ is bounded in the product bornology if and only if its image under the canonical projections onto ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are both bounded.

경계 지도

If ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ and ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ are bornological sets then a function ${\displaystyle f:X\to Y}$ is said to be a locally bounded map or a bounded map (with respect to these bornologies) if it maps ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-bouC{\displaystyle{{C\mathcal}에 X의 Nded 하위 집합{X\displaystyle}}}Y의-bounded 하위 집합;{\displaystyle Y.}그것은, 만약 f(B)⊆ C.{\displaystyle f\left({\mathcal{B}}\right)\subseteq{{C\mathcal}}.}[1]외에 1{\displaystyle − 만약 f{\displaystyle f}은 bijection와 f.$f^{-1}$도 경계되고$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$도 선천적 이형성이라고 한다.

벡터 본론

Let ${\displaystyle X}$ be a vector space over a field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ where ${\displaystyle \mathbb {K} }$ has a bornology ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ A bornology ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on ${\displaystyle X}$ is called a vector born벡터 덧셈, 스칼라 곱셈, 균형 잡힌 선체 형성(즉, 두 개의 경계 세트의 합이 경계된 경우 등)에서 안정적이라면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 올로이.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 위상학적 벡터 공간(TV)이고 B$${\$displaystyle${\$mathcal {B}$이(가) X${\displaystyle }$,$${\$displaystyle$ X$,}$에 대한 출생학인 경우 다음이 동등하다$$.

1. ${\displaystyle \mathcal{B}}$ ${\$은(는) 벡터 본론이다.
2. $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 경계$$ 세트의 유한 총량 및 균형 $선체$는 B$${\$displaystyle${\$mathcal {B}$ 경계$$;^[1]
3. The scalar multiplication map ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ defined by ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ and the addition map ${\displaystyle X\times X\to X}$ defined by ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ are both bounded when their domains carry their제품 본론(^[1]즉, 경계 하위 집합을 경계 하위 집합에 매핑함)

A vector bornology ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is called a convex vector bornology if it is stable under the formation of convex hulls (i.e. the convex hull of a bounded set is bounded) then ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ And a vector bornology ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is called separated if th$e{\displaystyle }$ 전용 경계 벡터 하위 공간 X ${\displaystyle$ X$}$은(는) 0차원 사소한$$ 공간${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}.}$ ${\displaystyle \{0\}$이다.$}$

일반적으로 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 실제 숫자 또는 복잡한 숫자 중 하나인데$$, $이{\displaystyle \mathcal{}}$ 경우 $X{\displaystyle }$ ${\$ $X}$의 벡터본학 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle$ ${\mathcal {B}$이(가) 볼록스 집합으로 구성된 베이스를 갖는$$ 경우 볼록 벡터본학이라고 한다$$.

태생의 하위 집합

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 경계 집합을 모두 흡수하는 경우 bornivor, bornivore라고 불린다$$.

벡터 본론에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 모든 경계 균형 세트를 흡수하면 선천적으로$$, 볼록한 벡터 $본론$에서 A$${\$displaystyle A}$은 모든 경계 디스크를 흡수하면 탄생한다.

동일한 벡터 공간에 있는 두 개의 TVS 토폴로지는 동일한 출생자를 가진 경우에만 동일한 경계 하위 집합을 가진다.^[2]

국소적으로 볼록한 메트리즈 가능 위상 벡터 공간의 모든 선천적 부분집합은 기원의 이웃이다.^[3]

맥키 컨버전스

A sequence ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in a TVS ${\displaystyle X}$ is said to be Mackey convergent to ${\displaystyle 0}$ if there exists a sequence of positive real numbers ${\displaystyle r_{\bullet }=\left$$(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ diverging to ${\displaystyle \infty }$ such that ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ converges to ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X.}$^[4]

위상 벡터 공간의 본론

Every topological vector space ${\displaystyle X,}$ at least on a non discrete valued field gives a bornology on ${\displaystyle X}$ by defining a subset ${\displaystyle B\subseteq X}$ to be bounded (or von-Neumann bounded), if and only if for all open sets ${\displaystyle U\subseteq X}$ containing zero the리로 0{\displaystyle r>0}B⊆ rU.{\displaystyle B\subseteq rU.}만약 X{X\displaystyle}은 국내에서 볼록 위상 벡터 공간 만일 X{X\displaystyle}의 모든 연속 semi-norms는 B에 한정된다 그 다음에 B⊆ X{\displaystyle B\subseteq X}경계를 이루고 있다.{\displayst r을 존재한다.Byle$}$

위상학적 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 경계 하위 집합 집합을 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 본원학 또는 폰 노이만 본원학이라고 한다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬로 볼록한 위상 벡터 공간인$$ 경우, $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}의 흡수 $디스크{\displaystyle }$ D ${\displaysty D$}이(가) Minkowski의 기능이 로컬로 경계(resp. inraborous)^[3]된$$ 경우에만 생성된다.

유도 위상

If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a convex vector bornology on a vector space ${\displaystyle X,}$ then the collection ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$ of all convex balanced subsets of ${\displaystyle X}$ that are bornivorous forms a neighborhood basis at the origin for$B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 의해 유도된 위상이라고 하는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 국소 볼록 위상$.$^[3]

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) TVS일$$ 경우$,{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}과( X ,${\displaystyle \tau }$)의 폰 노이만 출생학에 의해 유도된 로컬 볼록 위상($X,\tau)$에 부여된$$ 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이다.$}$^[3]

준태생적 공간

S에 의해 소개된 준생아적 공간.1968년 이아헨.^[5]

연속 이중 $′{\$을(를) 갖는 위상학적 벡터 공간$({\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle$ X$^{\prime$}}}}을(를) 포함하는 위상학적 벡터 공간(TV$$, X , τ )은 다음과 같은 동등한 조건 중 하나라도 있으면 준본적 공간이라고^[5] 부른다.

1. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 다른 TVS로 가는$$ 모든 경계 선형 연산자는 연속적이다.^[5]
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 완전한 측정 가능한 TVS로 향하는$$ 모든 경계 선형 연산자는 연속적이다.^[5][6]
3. 선천적인 끈의 모든 매듭은 기원의 이웃이다.^[5]

모든 가성측정 가능한 TV는 준생아적이다.^[5] 모든 출생 세트를 기원의 이웃으로 하는 TVS${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, $){\displaystyle (X,\tau )}$는 준생아 공간이다.^[7]$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 준본질 TVS인 경우, $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$보다 강한 X$$ ${\displaystyle X}$의 가장 우수한 로컬 볼록 위상은 X ${\displaystytle$ X$}$을(가) 로컬 볼록 출생 공간으로 만든다$$$$.

본론적 공간

기능 분석에서 국소적으로 볼 수 있는 위상학적 벡터 공간은 그 위상이 자연적인 방법으로 그 본론으로부터 회복될 수 있다면 그 위상학적 공간이다.

모든 국소적으로 볼 수 있는 준생아 공간은 태생적으로 존재하지만 준생아 공간이 아닌 태생적 공간이 존재한다.^[5]

연속 듀얼 $′{\$이(가) 있는 위상학적 벡터 공간$({\displaystyle \mathrm{TV})(X}$ ,${\displaystyle }${$$) {\$displaystyle ($X,\$tau )}}}$은 국소적으로 볼록하고 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 선천적 공간이라고 불린다$$.

1. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 설정된 모든 볼록, 균형, 태생성은 0의$$ 동네다.^[3]
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 로컬 볼록 TVS로 가는$$ 모든 경계 선형 연산자는 연속적이다.^[3]
   • 도메인에서 $0$ ${\displaystyle$ 0$}$에 $수렴$하는 시퀀스를 코도메인의 경계 하위 집합에 매핑하는 경우에만 선형 맵이 경계된다는 점을 기억하십시오.^[3]특히 출발지에서 순차적으로 연속되는 모든 선형 지도가 경계로 되어 있다.
3. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 세미노름된 공간에 이르는$$ 모든 경계 선형 연산자는 연속적이다.^[3]
4. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 Banach 공간으로 가는$$ 모든 경계 선형 연산자는 연속적이다.^[3]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff 로컬 볼록 공간인 경우 다음 목록에 추가하십시오.^[6]

5. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 폰 노이만 탄생학이 유도하는 국소 볼록 위상은 $주어진{\displaystyle }$ 위상${\displaystyle }$, , ${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$과 같다$$$.$
6. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 경계 세미놈은 연속적이다$$.^[3]
7. $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$과 동일한 (von-Neumann) 출생학을 가진$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 다른 Hausdorff 로컬 볼록 위상 벡터 공간 토폴로지는 반드시 $\tau {\displaystyle }$. ${\displaystyle \tau$.}보다 동일하다$$.
8. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 정규화된 공간의 유도 한계다.^[3]
9. ${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 폐쇄 및 경계 디스크에 따라 D ${\displaystyle X}($또는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$^[3]의 경계 디스크에 따라$$ 달라지므로$$$$ X {\displaystystyle $X}$은 정규 ${\displaystyle {공간}_{}}$ X D ${\$의 유도 한계임.
10. ${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) Mackey 토폴로지 $\tau {\displaystyle ({}^{}}$, X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \tau(X,X^{\prime }})$를 운반하며$$$$,^[3] X ${\displaysty X}$의 모든 경계 선형 함수는 연속적이다$$.
11. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$에는 다음 속성이 모두 있음$$:
    • ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 볼록 순서 또는 C 순서로서, 이는$$ 모든 볼록이 순차적으로 $열리는{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 부분 집합이 열려 있음을 의미한다$$.
    • ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 순차적으로 출생하거나 S-bornological이며, 이는 $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle X}$의 모든 볼록 및 출생 부분 집합이 순차적으로 열린다는$$ 것을 의미한다.
    여기서 모든 시퀀스가 결국 $A$ .${\displaystyle$ $0}$에 속하는 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 집합 $A$가 순차적으로 열린다고 한다$.$$}$

로컬 볼록한 출생 공간에서 로컬 볼록한 TVS로 순차적으로 연속되는 모든 선형 연산자는 연속적이다.^[3] 여기서 선형 연산자는 원점에서 순차적으로 연속되는 경우에만 순차적으로 연속된다는 것을 상기한다.따라서 선천적 공간으로부터 국부적으로 볼록한 공간에 이르는 선형 지도의 경우 연속성은 출발지에서의 순차적 연속성과 동등하다.더 일반적으로, 우리는 심지어 다음과 같은 것들을 가지고 있다.

• $국소적$으로 볼록한 볼록한 공간 Y$$ ${\displaystyle X}$의 null 시퀀스를 Y ${\displaystyle Y}$의 경계 부분 집합에$$ 매핑하는$$ 로컬 볼록 $공간$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 대한 선형 지도 $F{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystystyle$ Y$}은 반드시$ 연속적이다$$.

충분한 조건

맥키-울람 정리의 결과로서, "모든 실용적 목적을 위해, 태생적 공간의 산물은 태생적"이다.^[8]

다음의 위상 벡터 공간은 모두 태생적이다.

• 지역적으로 볼록한 가성계 TV는 모두 태생적이다.^[3][9]
  • 그러므로 모든 규범화된 공간과 프레셰트 공간은 태생적이다.
• 모든 엄격한 LF-공간은 태생적이다.
  • 이것은 메트리지 않는 태생적인 공간들이 있다는 것을 보여준다.
• 지역적으로 볼록한 출생 공간의 셀 수 있는 산물은 태생적이다.^[10][9]
• Hausdorff 지역적으로 볼록한 출생 공간의 인수는 태생학적이다.^[9]
• 하우스도르프 국부적으로 볼록하게 태어난 공간의 직접적 합과 귀납적 한계는 태생학적이다.^[9]
• 프레셰트 몬텔 공간은 선천적으로 강한 이중성을 가지고 있다.
• 모든 반사적인 프리쳇 공간의 강한 이중성은 태생적이다.^[11]
• 메트리저블 국소 볼록한 공간의 강한 이중성이 분리될 수 있다면, 그것은 태생적이다.^[11]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 한정된 코디네이션이 있는$$ Hausdorff 로컬 볼록한 출생 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 벡터 하위 공간은 선천적이다$$.^[3][9]
• 벡터 공간의 가장 훌륭한 국소 볼록 위상은 태생적이다.^[3]

카운터 예제

강한 비데올로기가 아닌 선천적 LB-공간이 존재한다.^[12]

국부적으로 볼록한 출생 공간의 폐쇄된 벡터 하위공간이 반드시 선천적인 것은 아니다.^[3][13]국소적으로 볼록한 선천적 공간의 폐쇄된 벡터 서브공간이 존재하며, 이 공간은 완전하지만(그래서 순차적으로 완전함) 바레인이 되거나 선천적으로 되지 않는다.^[3]

선천적 공간은 바레인이 필요 없고 바레인이 있는 공간은 바레인이 필요하지 않다.^[3]국소적으로 볼록한 모든 초음파 공간은 차단되기 때문에,^[3] 선천적인 공간이 반드시 초음파 공간은 아니라는 것을 따른다.

특성.

• 국소적으로 볼록한 출생 공간의 강한 이중 공간이 완성된다.^[3]
• 지역적으로 볼록한 모든 생물학적 공간은 기괴하다.^[3]
• 모든 하우스도르프는 순차적으로 완전한 출생 TVS는 울트라본학적이다.^[3]
  • 따라서 모든 경쟁자인 하우스도르프 출생 공간은 초자연적이다.
  • 특히 모든 프레셰트 공간은 울트라본학적이다.^[3]
• 국지적으로 볼록한 초음파 공간의 유한한 산물은 초음파학이다.^[3]
• 모든 하우스도르프 출생 공간은 준거성이다.^[14]
• 연속적인 ${\displaystyle {}^{}}$ X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ,$${\$displaystyle$ $X$$^{\prime }}$을(를) 갖는$$ 선천적 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$이$(가)$ 주어진$$ 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 위상은 Mackey 토폴로지 ${\displaystyle }$($$, $X$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \tau \preprefto$.$}$
  • 특히 태생적 공간은 맥키 공간이다.
• 모든 준완전(즉, 닫히고 경계된 하위 집합이 모두 완성됨) 출생 공간은 제한된다.그러나 바레인이 없는 선천적인 공간들이 존재한다.
• 모든 태생적 공간은 규범화된 공간의 귀납적 한계(그리고 그 공간도 준완전하다면 바나흐 공간)이다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 연속적인 $이중{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$.$${\$displaystyle$ X$^{\prime }}$이(가) 있는 지역 볼록한 공간으로$$ 두십시오. 그렇다면$$ 다음 사항은 동등하다.
  1. ${\displaystyle \beta (X{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle X}$) ${\$은(는) 태생학적이다.
  2. ${\displaystyle \beta (X{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle X}$) ${\$은(는) 준봉쇄형이다.
  3. ${\displaystyle \beta (X{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle X}$) ${\$은(는) 바레인으로 되어 있다$$.
  4. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 구분된 공간이다.
• $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle L:X\to Y}$이(가) 로컬 볼록 공간 사이의 선형 지도이고$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 선천적인 것이라면$$ 다음과 같다.
  1. ${\displaystyle L}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to$ Y$}$은(는) 연속적이다.
  2. ${\displaystyle L}$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle L:X\to$ Y$}$은(는) 순차적으로 연속된다$$.^[3]
  3. $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$) ${\displaystyle L(B)}$로 $경계$된 모든$$ $집합$에 대해 ${\displaystyle \mathrm{경계}}$는 지정된다$$.
  4. If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a null sequence in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=\left(L\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a null sequence in ${\dis$$플레이 스타일 Y.}$
  5. If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a Mackey convergent null sequence in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=\left(L\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a bounded subset$Y{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ Y$.}$의
• Suppose that ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are locally convex TVSs and that the space of continuous linear maps ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ is endowed with the topology of uniform convergence on bounded subsets of ${\displaystyle X.}$ If ${\displaystyle X}$ is a bornological s속도 및 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 완료되면 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}X}$; Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$은(는) 완전한 TVS이다$$.^[3]
  • 특히 국지적으로 볼록한 출생 공간의 강한 이중성이 완성된다.^[3]그러나, 그것은 태생적으로 될 필요는 없다.

하위 집합

• 로컬 볼록한 출생 공간에서는 모든 볼록 출생 세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(${\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$은$($는$)$ 디스크일 필요는 없다$)$^[3] $0$의 주변이다$$.
• 국소적으로 볼록한 메트리즈 가능 위상 벡터 공간의 모든 선천적 부분집합은 기원의 이웃이다.^[3]
• 선천적 공간의 폐쇄적인 벡터 서브스페이스는 태생적으로 될 필요가 없다.^[3]

울트라본학 공간

위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 디스크를 모든 Banach 디스크를 흡수하면 infravornous라고 한다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록하고 하우스도르프인 경우, 디스크가 모든 소형 디스크를 흡수하는 경우에만 무절제한 디스크다.

국소 볼록한 공간을 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 울트라본학이라고 한다.

1. 모든 불온한 디스크는 원산지의 이웃이다.
2. ${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$${\displaystyle X$$}$은$($는) $X$의 모든 소형 디스크에 따라 다르기$$$$ $때문$에 X ${\displaystyle D_{}}${\$displaystyle$ $X_{D}$ 공간의 귀납 한계임$.$
3. 각 Banach 디스크에서 경계되는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미놈은 반드시 연속적이다.
4. 모든 로컬 볼록 $공간{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 선형 $맵{\displaystyle }$ U${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $u$$:X\to Y,}$에 대해 $u{\displaystyle }${\$displaystyle$ u$}$이(가) 각 Banach 디스크에서 경계된 경우$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystystyle u}$은 연속적이다$$.
5. 모든 Banach 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 및$$ 모든 선형 $맵{\displaystyle }$ U${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle$ $u$$:X\to Y,}$에 대해 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ u$}$이(가) 각 Banach 디스크에 경계되어 있으면$$$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystystyle u}$은 연속적이다$$.

특성.

울트라본 공간의 유한한 산물은 울트라본학이다.초음파상 공간의 귀납적 한계는 초음파상이다.

참고 항목

• Bornology – 경계를 일반화하는 수학적 개념
• Bornivorous 세트 – 모든 경계 서브셋을 흡수할 수 있는 세트
• 경계 집합(위상 벡터 공간) – 경계도의 일반화
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 선형 지도 공간
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간
• 벡터본학

참조

참고 문헌 목록

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