나사 이론

나사 이론은 강체 신체의 운동학 및 역학에서 발생하는 힘과 모멘트 또는 각도 및 선형 속도와 같은 벡터 쌍의 대수적 계산이다.^[1][2] 수학적 틀은 1876년 로버트 스타웰 볼 경에 의해 운동학 및 운동학(강성체역학)에 응용하기 위해 개발되었다.^[3]

나사 이론은 선들이 공간 이동의 나사 축과 힘의 작용 선을 형성하는 강체 신체 역학의 중심인 선들의 기하학을 위한 수학적 공식화를 제공한다. 선의 Plucker 좌표를 형성하는 벡터 쌍은 단위 나사를 정의하며, 일반 나사는 실수와 벡터 쌍을 ^[3]곱하여 얻는다.

나사 이론의 중요한 결과는 벡터를 사용한 점의 기하학적 계산이 벡터를 나사로 교체하여 얻은 선에 대해 평행 기하학적 계산을 한다는 것이다. 이것을 이적 원리라고 한다.^[4]

나사 이론은 로봇 역학,^[5][6] 기계 설계, 계산 기하학, 멀티바디 역학에서 중요한 도구가 되었다. 이것은 부분적으로 강체-신체 운동을 보간하는 데 사용된 나사와 이중 쿼터니온 사이의 관계 때문이다.^[7] 스크류 이론에 기초하여 병렬 메커니즘(병렬 조작기 또는 병렬 로봇)의 유형 합성에 대해서도 효율적인 접근법이 개발되었다.^[8]

근본적인 정리로는 푸앵소트의 정리(Louis Poinsot, 1806)와 샤슬스의 정리(Michel Chasles, 1832년)가 있다. 펠릭스 클라인은 나사 이론을 타원 기하학과 그의 에를랑겐 프로그램의 응용으로 보았다.^[9] 그는 또한 타원형 기하학, 그리고 케일리-클레인 미터법으로 유클리드 기하학의 신선한 관점을 알아냈다. 나사에 적용되는 폰 스토트 원뿔과 미터법에 대칭 행렬의 사용은 하비 립킨에 의해 설명되어 왔다.^[10] 다른 저명한 기여자들로는 줄리어스 플뤼커, W. K. 클리포드, F. M. 디멘트버그, 케네스 H가 있다. 헌트,^[11] J. R. 필립스

기본개념

강체 신체의 공간적 변위는 선에 대한 회전과 나사 변위라고 불리는 같은 선에 따른 번역으로 정의할 수 있다. 이것을 차슬스의 정리라고 한다. 나사 변위를 정의하는 6개의 매개변수는 이 선을 따라 회전각과 선형 미끄럼틀과 함께 나사축을 정의하는 플뤼커 벡터의 4개의 독립된 구성 요소로서 나사라고 불리는 벡터 쌍을 형성한다. 비교를 위해, 공간 변위를 정의하는 6개의 매개변수는 회전과 변환 벡터의 3가지 구성요소를 정의하는 3개의 오일러 각에 의해서도 주어질 수 있다.

나사

나사는 공간적 강체신체 움직임 연구에서 발생하는 힘과 토크와 선형 및 각속도 등 3차원 벡터 쌍으로 구성된 6차원 벡터다. 나사의 구성요소는 공간에 있는 선의 Plucker 좌표와 이 선에 대한 선과 모멘트를 따라 벡터의 크기를 정의한다.

렌치

뉴턴의 법칙을 강체 신체에 적용할 때 발생하는 힘과 토크 벡터는 렌치라고 불리는 스크루에 조립될 수 있다. 힘은 적용 지점과 작용 라인을 가지고 있기 때문에 공간에 있는 라인의 플뤼커 좌표를 정의하고 피치를 0으로 한다. 반면에 토크는 우주에서 선에 구속되지 않는 순수한 순간이며 무한 피치 스크류다. 이 두 개의 크기 비율은 나사의 피치를 규정한다.

트위스트

트위스트는 한 축 주위의 각도 속도로서 강체 신체의 속도를 나타내며, 이 축을 따르는 선형 속도를 나타낸다. 신체의 모든 지점은 축을 따라 속도의 구성요소가 동일하지만, 축으로부터의 거리가 클수록 이 축에 수직인 평면의 속도도 커진다. 따라서 움직이는 강체에서 속도 벡터에 의해 형성된 헬리코이드 장은 점들이 트위스트 축으로부터 반경 방향으로 더 멀리 떨어져 나간다.

고정 프레임에서 일정한 나사 운동 트레이스 나선형을 겪는 신체 내 지점. 이 스크류 모션이 0 피치를 가지면 궤적 궤적 궤적들이 트레이스 원을 그리며, 그 움직임은 순수한 회전이다. 스크류 모션이 무한 피치를 갖는 경우 궤적은 모두 같은 방향의 직선이다.

나사 대수

나사를 주문된 쌍으로 두십시오.

${\displaystyle {\mathsf {S}=(\mathbf {S},\mathbf {V}),}$

여기서 S와 V는 3차원 실제 벡터다. 이러한 순서 쌍의 합과 차이는 성분별로 계산된다. 나사는 종종 이중 벡터라고 불린다.

이제 이중 스칼라라 불리는 순서의 실수 쌍 â = (a, b)를 소개한다. 이러한 숫자의 덧셈과 뺄셈을 성분으로 하고 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle {\hat{a}{\hat {c}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).\!}$

이중 스칼라 â = (a, b)에 의한 나사 S = (S, V)의 곱셈은 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle {\hat{a}}{\mathsf{S}}=(a,b)(\mathbf {S},\mathbf {V})=(a\mathbf {S}, a\mathbf {V} +b\mathbf {S}).\!}$

마지막으로 나사의 점 및 교차 제품을 다음 공식으로 소개하십시오.

${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$

그건 이중 스칼라야

${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).}$

그건 나사야 나사의 점과 교차 생산물은 벡터 대수학의 정체성을 만족시키고 벡터 대수에서 직접 평행한 계산을 허용한다.

이중 스칼라 ẑ = (φ, d)가 이중 각도를 정의하도록 한 다음 사인(Sine)과 코사인(Cosine)의 무한 시리즈 정의가 관계를 산출한다.

${\displaystyle \sin {\z}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi )\,\,\\cos {\z}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),\!}$

이중 스칼라야 일반적으로 이중 변수의 함수는 f(ẑ) = (f(φ), df′(φ)로 정의되는데 여기서 f(φ)는 f(φ)의 파생이다.

이러한 정의는 다음과 같은 결과를 허용한다.

• 단위 나사는 선의 Plucker 좌표로서 관계를 만족한다.
  $${\displaystyle {\mathsf{S} = {\sqrt {{\mathsf {S}\cdot {\mathsf{S}}}=1;}$$

  
• ẑ = (φ, d)를 이중 각도로 하고 여기서 φ은 S와 T의 축이 공통 정규를 중심으로 하는 각도, d는 공통 정규를 따라 이 축들 사이의 거리라고 한다.
  $${\displaystyle {\mathsf {S}\cdot {\mathsf {T}= {\mathsf {S}{\mathsf {T}} \cos {\hat {z};}$$

  
• N은 S와 T의 축에 대한 공통 정규를 정의하는 단위 나사로, and = ( (, d)는 이들 축 사이의 이중 각이다.
  $${\displaystyle {\mathsf{S}\time {\mathsf{T}}= {\mathsf {S}{\mathsf {T}} \sin {\z}{\mathsf {N}}.}$$

  

렌치

나사의 일반적인 예는 단단한 몸에 작용하는 힘과 관련된 렌치다. P를 힘 F의 적용 지점이 되게 하고 P를 고정 프레임에서 이 지점을 찾는 벡터가 되게 한다. 렌치 W = (F, P×F)는 나사. 모든 힘 F_i, i = 1, ...,n, 강체 신체에 작용하는 모든 힘으로부터 얻어지는 결과적인 힘과 순간은 단순히 개별 렌치 W의_i 합, 즉 W의 합이다.

${\displaystyle {\mathsf {R}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf{W}_{i}=\sum _{i}{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}}}}\time \mathbf {F}_{{i}}}}).}$

두 개의 동일하지만 반대되는 힘 F와 -F가 각각 A 지점과 B 지점에서 작용하면 결과가 나타난다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

이것은 폼의 나사를 보여준다.

${\displaystyle {\mathsf{M}}=(0,\mathbf {M}),}$

순수한 순간으로 해석될 수 있다.

트위스트

강성 신체의 트위스트를 정의하기 위해서는 공간적 변위의 매개변수화된 집합인 D(t)=([A(t)],d(t)에 의해 정의된 움직임을 고려해야 한다. 여기서 [A]는 회전 행렬이고 d는 변환 벡터다. 따라서 이동 신체 좌표에 고정된 p점이 고정된 프레임의 곡선 P(t)를 추적하게 된다.

${\displaystyle \mathbf {P}(t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d}(t).}$

P의 속도는

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{dA(t)}{dt}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v}(t),}$

여기서 v는 이동 프레임의 원점 속도, 즉 dd/dt이다. 이제 p = [A^T](P - d)를 이 방정식으로 대체하여,

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

여기서 [Ω] = [dA/dt][A^T]는 각속도 행렬이고 Ω은 각속도 벡터다.

나사

${\displaystyle {\mathsf{T}=({\vec {\omega },\mathbf {v} +\mathbf {d} \time {\vec {\\omega }),\!}$

움직이는 신체의 비틀림이다. 벡터 V = v + d × Ω은 고정 프레임의 원점에 해당하는 신체 내 점의 속도다.

중요한 두 가지 특별한 경우가 있다: (i) d가 일정할 때, 즉 v = 0이고, 그 다음에 트위스트는 한 선에 대한 순수한 회전이고, 그 뒤 트위스트는 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathsf{L}=(\omega,\mathbf {d} \times \omega),}$

및 (ii) [Ω] = 0일 때, 즉 몸이 회전하지 않고 v 방향으로만 미끄러지는 경우, 트위스트는 다음에 의해 주어지는 순수한 미끄럼이다.

${\displaystyle {\mathsf {T}=(0,\mathbf {v}).}$

회전관절

회전축의 경우, 회전축이 점 q를 통과하고 벡터 Ω을 따라 방향을 잡도록 한 다음, 이음매의 트위스트가 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}\omega \\q\times \omega \end{Bmatrix}}.}$

프리즘관절

프리즘 조인트의 경우, 벡터 v 포인팅이 미끄럼의 방향을 정의하도록 한 다음, 조인트에 대한 트위스트가 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\\v\end{Bmatrix}}.}$

나사의 좌표 변환

나사의 좌표 변환은 선상의 Plucker 벡터의 좌표 변환부터 시작하여 쉽게 이해할 수 있으며, 선상의 점 좌표 변환으로부터 차례로 얻어진다.

신체의 변위를 D = ([A], d로 정의하도록 한다. 여기서 [A]는 회전 행렬이고 d는 변환 벡터다. Plucker 좌표가 있는 두 점 p와 q로 정의되는 본체의 선을 고려한다.

${\displaystyle {\mathbf {q}=(\mathbf {q} -\mathbf {p},\mathbf {p} \mathbf {q}),}$

그런 다음 고정 프레임에서 변환된 점 좌표 P = [A]p + d 및 Q = [A]q + d가 생성된다.

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

따라서 공간적 변위는 다음과 같이 주어진 선의 플뤼커 좌표에 대한 변환을 정의한다.

${\displaystyle {\begin}\mathbf {Q} -\mathbf {P}\\\mathbf {P} \time \mathbf {Q} \end{Bmatrix}={\begin{bmatrix}}A&0\\\DA&A\end{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

매트릭스 [D]는 교차 제품 연산을 수행하는 스큐 대칭 매트릭스, 즉 [D]y = d × y이다.

공간변위 D = ([A], d)에서 구한 6×6 매트릭스는 이중 매트릭스로 조립할 수 있다.

${\displaystyle [{\hat {A}]=([A], [DA]),}$

나사 s = (s.v)에서 작동하여,

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

이중 행렬[A] = ([A], [DA])은 결정인자 1을 가지며 이중 직교 행렬이라고 한다.

리 대수학의 원소로서 트위스트

매개변수화된 4x4 동질 변환에 의해 정의된 강체 본체의 움직임을 고려한다.

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

이 표기법은 P = (X, Y, Z, 1)와 P = (X, Y, Z)를 구별하지 못하는데, 문맥상으로는 바라건대 명확하다.

이 움직임의 속도는 신체 내 지점의 궤적 속도를 계산하여 정의된다.

${\displaystyle {\textbf {V}_{P}=[{\dot {T}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

점은 시간과 관련하여 파생상품을 나타내며, p는 일정하기 때문에 그 파생상품은 0이다.

P의 궤적 P(t)로 작동하여 P의 속도를 얻기 위해 p의 역변환을 속도 방정식으로 대체한다.

${\displaystyle {\textbf {V}_{P}=[{\dot {T}(t)]^{-1}{\textbf {P}}=[S]{\textbf {P},}$

어디에,

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

[Ω]이 각도 속도 매트릭스임을 상기한다. 매트릭스 [S]는 동질 변환의 리 그룹 SE(3)의 리 대수 se(3)의 요소다. [S]의 성분은 트위스트 스크루의 성분으로, 이러한 이유로 [S]를 트위스트라고도 부르기도 한다.

매트릭스[S]의 정의로부터, 우리는 일반적인 미분 방정식을 공식화할 수 있다.

${\dottyle [{\dot{T}(t)]=[S][T(t)],}$

그리고 일정한 트위스트 매트릭스[S]가 있는 움직임[T(t)]을 요청한다. 해법은 매트릭스 지수 입니다.

$[\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

이 공식은 SE(n)의 초기 구성 g(0)과 se(n)의 트위스트 ξ이 주어진 경우, 새로운 위치 및 방향으로의 균일한 변환을 공식으로 계산할 수 있도록 일반화할 수 있다.

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta)g(0),}$

여기서 θ은 변환의 매개변수를 나타낸다.

반사식 나사

변환 기하학에서 변환의 요소 개념은 반사(수학)이다. 평면 변환에서 번역은 평행선에서의 반사를 통해 얻으며, 회전은 교차선 쌍에서의 반사를 통해 얻는다. 유사한 개념에서 나사 변환을 생성하려면 공간상의 평면을 사용해야 한다. 평행 평면은 나사 회전을 생성하는 교차 평면의 교차선인 나사 축에 수직이어야 한다. 따라서 평면의 네 가지 반사가 나사 변환에 영향을 미친다. 반전 기하학의 전통은 투영 기하학의 일부 사상을 차용하고 분석 기하학에 의존하지 않는 변환의 언어를 제공한다.

동음이의어

나사 변위에 의해 영향을 받는 회전이 있는 번역의 조합은 지수 매핑으로 설명할 수 있다. 변형 기하학에서의 이러한 생각은 1세기 이상 전에 소푸스 리에 의해 발전되었다. 이보다 앞서 윌리엄 로완 해밀턴은 exp(a r)=cosa a + r sin a로 단위 쿼터니온의 버시or 형식을 보였다. 그 생각은 또한 오일러의 공식이 복잡한 평면에서 단위 원을 파라메트리징하는 데 있다.

이중 숫자에 대한 ε² = 0, exp(aε) = 1 + aε, 지수 시리즈의 다른 모든 항은 사라진다.

Let F = {1 + εr : r ∈ H}, ε² = 0. F는 어떤 벡터 쿼터니온 r과 s에 대해서도 회전 q → p qp와 번역(1 + εr) = 1 + ε (r + s) = 1 + ε (r + s) 하에서는 안정적이라는 점에 유의한다. F는 이중 쿼터니온의 8차원 공간에 있는 3평형이다. 이 3-플랫 F는 공간을 나타내며 F로 제한된 동음이의어는 공간의 나사 변위다.

a를 축 r에 대한 원하는 턴의 각도의 절반으로 하고, 나사 축의 변위의 절반으로 한다. 그런 다음 z = exp((a + bε)r ) 및 z* = exp(a - bε)r을 형성한다. 이제 동음이의어는

${\displaystyle [q\ :\1]{\pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}=[qz\ :\z^{*}]\pmitsim [(z^{*}})^{-1}qz\ :\\ 1]}$

z*의 역행은

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon }}^{-1}=e^{br\varepsilon }},}$

그래서, 동음이의어는 q를

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

이제 모든 쿼터니온 벡터 p, p* = -p에 대해 필요한 회전과 번역이 적용되는 곳에 q = 1 + pε f F로 두십시오.

윌리엄 킹돈 클리포드가 운동학을 위한 이중 쿼터니온의 사용을 시작했으며 알렉산드르 코텔니코프, 에두아르 연구(조메트리 데 디나멘), 빌헬름 블래쉬케가 그 뒤를 이었다. 그러나 소푸스 리의 관점이 다시 떠올랐다.^[12] 1940년 줄리안 쿨리지(Julian Coolidge)는 기하학적 방법의 역사 261페이지에서 나사 변위용 이중 쿼터의 사용을 설명했다. 그는 1885년 아서 부치하임의 공헌에 주목한다.^[13] 쿨리지의 설명은 해밀턴이 실제 쿼터니온을 위해 사용했던 도구들에 근거했을 뿐이다.

분명히 이중 쿼터니온의 링의 유닛 그룹은 리 그룹이다. 부분군은 매개변수 a와 b s에 의해 생성되는 Lie 대수(여기서 a, b r R, r, s ∈ H)를 가진다. 이 6개의 매개변수는 단위인 단위 구를 생성한다. 물론 F와 3-sphere의 버퍼가 포함된다.

경직된 몸에 작용하는 힘의 작용

힘₁ F, F₂ ...의 집합을 고려하십시오. F는_n X₁, X에₂ 작용한다... 단단한_n 몸통에 X. X_i, i = 1, ...,n의 궤도는 회전[A(t)]과 체내 기준점의 번역 d(t)에 의해 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d}(t)\quad i=1,\ldots,n,}$

여기서 x는_i 움직이는 본체의 좌표다.

각 점 X의_i 속도는

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\time (\mathbf {X}) _{i}-\mathbf {d}+\mathbf {v},},}$

여기서 Ω은 각도 속도 벡터, v는 d(t)의 파생 모델이다.

각 점의 변위 Δr_i=vΔt에_i 대한 힘에 의한 작업은 다음과 같다.

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

각 점의 속도를 이동 본체의 비틀림 측면에서 정의하여 얻는다.

${\displaystyle \delta W=\sum \{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\vec {\omega }}}\time (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d}+\mathbf {v}\data t.}$

이 방정식을 확장하고 Ω과 v의 계수를 수집하여 얻으십시오.

${\displaystyle{\begin{정렬}\delta W&, =\left(\sum_{i=1}^{n}\mathbf{F}_{나는}\right)\cdot \mathbf{d}\times{\vec{\omega}}\delta t+\left(\sum_{i=1}^{n}\mathbf{F}_{나는}\right)\cdot \mathbf{v}\delta t+\left(\sum_{i=1}^{n}\mathbf{X}_{나는}\mathbf{F}_{나는}\times \right)\cdot{\vec{\omega}}\delta t\\[4pt]&, =\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf{.F}_{나는}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{정렬}}}$

움직이는 차체의 트위스트와 그에 작용하는 렌치를 소개한다.

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

그런 다음 일이 형식을 취한다.

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T}^{\circle }+\mathbf {W}^{\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

6×6 매트릭스 [π]는 나사를 이용한 작업 계산의 단순화를 위해 사용된다.

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circle }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf{W}}\mathsf {T}\delta,},}$

어디에,

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix},}$

그리고 [I]는 3×3 아이덴티티 매트릭스다.

상호 나사

트위스트에 대한 렌치의 가상 작업이 0이면 렌치의 힘과 토크는 트위스트에 대한 구속력이다. 렌치와 트위스트는 역수라고 하는데, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \delta W={\mathsf{W}[{\Pi ]{\mathsf {T}\delta t=0,}$

그 다음 나사 W와 T는 상호적이다.

로봇공학에서의 트위스트

로봇 시스템의 연구에서 트위스트의 구성요소는 흔히 작업 계산에서 6×6 매트릭스[ []의 필요성을 제거하기 위해 전치되는 경우가 많다.^[4] 이 경우 트위스트는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathsf{T}}=(\mathbf {d} \time {\vc {\omega }+\mathbf {v},{\vec {\\omega }),}$

그래서 일의 계산이 형식을 취한다.

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}\cdot {\check {\mathsf {T}\delta t.}$

이 경우라면

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}\cdot {\check {\mathsf {T}\delta t=0,}$

그 다음 렌치 W는 트위스트 T와 역수가 된다.

참고 항목

• 나사 축
• 뉴턴-오일러 방정식은 나사를 사용하여 단단한 몸의 움직임과 하중을 묘사한다.
• 트위스트(수학)
• 트위스트(합리적 삼각법)

참조

외부 링크

• 조 루니 윌리엄 킹던 클리퍼드 런던 오픈 대학교 디자인 및 혁신 학부.
• Ravi Barnavar는 로보틱스, 기하학 및 제어에 대한 노트