홉프 분해

수학에서, Eberhard Hopf의 이름을 따서 명명된 Hopf 분해는 반전성 비성변환 T에 관하여 측정 공간(X, μ)의 표준적 분해, 즉 그 역수를 측정할 수 있고 null 집합에 null 집합을 운반하는 변환을 제공한다.Null 집합까지 X는 C와 D에 대한 T의 작용이 보수적이고 소멸적인 T-invariant 집합의 불연속조합 C ∐ D로 작성할 수 있다.따라서 τ이 T에 의해 유도된 A = L^∞(X)의 자동형이라면, A에는 pA가 보수적이고 (I–p)A가 소멸되는 독특한 τ-invariant 투영 p가 있다.

정의들

• 방황은 설정되고 방탕한 행동을 한다.X의 측정 가능한 부분집합 W는 그 특성 함수 q = χ_W^∞ in A = L(X)가 모든 n에 대해 qⁿ q(q) = 0을 만족하면 방황하고 있으므로, null 집합까지 T(W) 번역기가ⁿ 분리된다.어떤 작용은 X = wⁿ T(W) a. 즉 어떤 방랑 집합 W에 대해 소멸이라고 한다.
• 보수적인 행동.X에게 긍정적인 척도의 방황하는 하위 집합이 없다면, 그 행동은 보수적이라고 한다.
• 눌릴 수 없는 동작.측정할 수 있는 부분집합 Z가 T(Z) z Z를 만족시킬 때마다 Z \ TZ가 0을 측정한다면 어떤 작용은 억제할 수 없다고 한다.따라서 q = χ_Z 및 τ(q) ≤ q이면 τ(q) = q a.e.
• 반복되는 행동.작용 T는 q =(q) ∨(q²) ∨(q) ∨(q³) ∨ ... ... ... ... ... … q = χ_Y any if if if ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
• 무한히 반복되는 행동.작용 T는 어떤 q^m = χ (q) τ^{m + 1} (q) ∨ (q) ∨ (q) ∨ (q^m+2) ... … a.e = χ_Y 및 m ≥ 1에 대해 무한히 반복된다고 한다.

재발정리

정리.T가 null 집합을 보존하는 측정 공간(X, μ)의 반전성 변환인 경우, 다음 조건은 T(또는 그 역)에 동등하다.^[1]

1. T는 보수적이다;
2. T는 반복된다.
3. T는 무한히 반복된다.
4. T는 압축할 수 없다.

T는 T가⁻¹ 소멸할 경우에만 소멸하므로, T가⁻¹ 보수적일 경우에만 보수적이라는 것을 따른다.

T가 보수적인 경우, r = q q²³(q) ((q) ((q) ((q) ((q) ((q) ...(⋅) q²(1³)^⊥ ...(1 - q) ...(q) ...) ... … q < 1이면 반드시 r = 0이 되도록 방황하고 있다.따라서 q τ(q) τ²³(q) ∨(q) ∨(q) ∨(⋅) ⋅(q) ⋅(⋅)⋅) ⋅(⋅)⋅) ⋅(⋅)⋅( t) recur⋅)이 반복되도록 한다.

T가 재발하면 q q^k(q) τ²³(q) ∨(q) ∨(q) ∨(q) ∨(q) ∨(q) ⋅(q) ⋅(q) ⋅(q) induction^k+1(q) ⋅) ⋅(⋅) ⋅(q) ⋅(q)이라고 유도로 가정한다.그러면 τ^kk+1(q) ≤(q) q(q^k+2) ⋅(q) ⋅(q) ⋅(q) .. 따라서 q(q) q^k+1k+2(q) ∨(q) ⋅(q) ⋅(q) ⋅(q) ⋅(⋅)⋅(q) ⋅(q)⋅(⋅)⋅)⋅(⋅)⋅.그래서 결과는 k+1을 유지하며 따라서 T는 무한히 반복된다.반대로 무한히 반복되는 변환은 정의에 의해 반복된다.

이제 T가 재발한다고 가정해보자.T가 압축할 수 없음을 나타내려면 if(q) ≤ q, τ(q) ≤ q. 사실 이 경우 τⁿ(q)은 감소하는 순서임을 보여 주어야 한다.그러나 재발에 의해 q τ²(q) ∨(q) ∨(q) τ³(q) ∨(q) ⋅(q) q(q)이 and(q)이 q(q)이 and(q)이 되고, 따라서 q = q(q)이 된다.

마지막으로 T는 압축할 수 없다고 가정한다.T가 보수적이지 않으면 A에 τⁿ(p) 분리(직교)가 있는 p ≠ 0이 있다.그러나 q = p p(p) τ²(p) ⊕(p) ⋅ ⋅⋅⋅는 τ(q) < q를 q - τ(q) = p ≠ 0으로 만족시켜, 비압축성과 모순된다.그래서 T는 보수적이다.

홉프 분해

정리.If T is an invertible transformation on a measure space (X,μ) preserving null sets and inducing an automorphism τ of A = L^∞(X), then there is a unique τ-invariant p = χ_C in A such that τ is conservative on pA = L^∞(C) and dissipative on (1 − p)A = L^∞(D) where D = X \ C.^[2]

일반성의 상실 없이 μ는 확률 측정치라고 가정할 수 있다.T가 보수적이면 증명할 것이 아무것도 없는데, 그 경우 C = X. 그렇지 않으면 T에 대한 방랑 세트 W가 있기 때문이다.r = χ_W, q = ⊕(rⁿ)로 한다.따라서 q는 τ-invariant이고 방산적이다.더욱이 μ(q) > 0. 분명히 그러한 τ-invariant 방산 q′s의 직교직접합도 in-invariant이고 방산이며, q가 τ-invariant이고, r < q가 τ-invariant라면 r은 방산이다.따라서 q와₁ q가₂ τ-invariant이고 방산적인 경우, q₁ q₂ = q₁ q₂(1 - q₁)이기 때문에 q₁ ∨ q는₂ τ-invariant이고 방산적이다.이제 M을 모든 μ(q) q τ-invariant 및 소멸의 우월성이 되게 하라.μ(q_n)가 M으로 증가하도록 q_n τ-invariant 및 소멸을 취한다.q를_n q₁ ∨ ⋅⋅ ∨ q q_n q로 대체하면 q가_n q say로 증가하고 있다고 가정할 수 있다.연속성 q는 μ-invariant이고 μ(q) = M. 최대성 p = I - q는 보수적이다.고유성은 어떤 τ-in-variant r < p도 소멸되지 않고 모든 τ-in-variant r < q도 소멸되기 때문에 명확하다.

코롤러리.T에 대한 Hopf 분해는 T에⁻¹ 대한 Hopf 분해와 일치한다.

변환은 그 역이 소멸되는 경우에만 측정 공간에서 소멸되기 때문에 T와 T의⁻¹ 소멸 부분이 일치한다.그래서 보수적인 부분도 그렇다.

코롤러리.T에 대한 Hopf 분해는 n > 1에 대한 T에ⁿ 대한 Hopf 분해와 일치한다.

W가 T를 위한 방랑 세트라면 T를ⁿ 위한 방랑 세트다.그래서 T의 소멸 부분은 T의ⁿ 소멸 부분에 포함되어 있다.σ = τ으로ⁿ 한다.그 반전을 증명하기 위해서는 σ이 방탕하면 그 다음에 τ이 방탕하다는 것을 보여주는 것으로 충분하다.그렇지 않다면 홉프 분해법을 사용하여 σ은 소멸하고 τ은 보수적이라고 가정할 수 있다.p가 σ에 대한 0이 아닌 방황 투영법이라고 가정한다.그 다음 τ^a(p)와 τ^b(p)는 동일한 조합 등급 모듈로 n에서 다른 a와 b에 대해 직교한다.0이 아닌 제품과 최대 사이즈의 τ^a(p) 세트를 취한다.따라서 S ≤ n. 최대성에 의해 r은 모순인 τ을 방황하고 있다.

코롤러리.변위불능 변환 T가 측정 공간(X, μ)에서 인체공학적으로 작용하지만 비변환적으로 null 세트를 보존하고 B가 μ(B) > 0의 부분집합인 경우, B ∪ TB² ∪ ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅의 보완은 0을 측정한다.

인간성 및 비투명성은 T의 작용이 보수적이므로 무한히 반복된다는 것을 의미한다는 점에 유의한다.그러나^−m−m2 B then T(B^m) ∨ T^{m + 1}(B) ∨ T^m+2(B) ∨ ∨ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ m m m m m m m m m m m μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ ... ... ... μ μ μ μ ... ... ... μ

비가수 흐름에 대한 홉프 분해

(X, μ)는 측정 공간이고, S는_t 1-모수 자동화 그룹_t A = L^∞(X)을 유도하는 X의 비 정각 흐름이다.작용이 충실한 것으로 가정하여, σ은_t t = 0에 대해서만 정체성이 된다.각 S_t 또는 t ≠ 0으로 동등하게 σ에_t 대해 Hopf 분해가 있으므로, σ에_t 의해 고정된 p는_t pA에서_t 보수적이고 (1-p_t)A에서 소멸된다.

• s의 경우, t t 0은 s/t가 합리적이면 S와_s S의_t 보수적 부분과 소멸적 부분이 일치한다.^[3]

이는 비음향적 변형의 경우 T와ⁿ T의 보수적 부분과 소멸적 부분이 n 0 0에 대해 일치한다는 사실에서 비롯된다.

• S가₁ A = L^∞(X)에 소멸되어 있는 경우, A에는 불변측정 λ이 있고, A에는 p가 있다.

1. p > 모든 t > 0에 대하여 σ_t(p)
2. λ(p – σ_t(p) = 모든 t > 0에 대한 t
3. σ_t(p) $\uparrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \uparrow}$ 1은 -∞ 경향이 있고,${\displaystyle }$((p_t)$${\$displaystyle \downarrow}$은(는) +∞ 경향이 있는 경향이 있다$$.

Let T = S₁. T에 대한 방황 세트를 취하여 ⊕ τⁿ(q) = 1. μ를 등가 측정으로 변경하면 μ(q) = 1로 가정할 수 있으므로 μ는 qA에 대한 확률 측정으로 제한된다.이 측정치를ⁿ ((q)A로 이송하면, A에서 μ는 μ-invariant라고 가정할 수 있다.But then λ = ∫¹
₀ μ ∘ σ_t dt is an equivalent σ-invariant measure on A which can be rescaled if necessary so that λ(q) = 1. The r in A that are wandering for Τ (or τ) with ⊕ τⁿ(r) = 1 are easily described: they are given by r = ⊕ τⁿ(q_n) where q = ⊕ q_n is a decomposition of q. In particular λ(r) =1.더욱이 p가 p > τ(p)과 τ^–n(p) $\uparrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \uparrow }$1을$$ 만족한다면, λ(p– τ(p) = 1로 결과를 r = p – τ(p)에 적용한다.같은 주장은 반대로 r이 τ과 λ(r) = 1을 방황하고 있다면 then(rⁿ) = 1을 방황하고 있다는 것을 보여준다.

Q = q^k τ(q) ⊕ τ² ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 1 1 < for for for.그 다음 a = ∫(^∞
₀q_t) dt = ¹
₀σ_k≥0k+t(q) dt = ∫(¹
₀Q) dt = ((Q_t) dt를 0 ≤ a ≤ 1로 한다.definition(a) = ≤(a_s) = ^∞
_s0(q_t) dt이기 때문에, 정의_s s(a) ≤ a for s ≥ 0에 대한 a ≤.formulas(a_s)는 s가 + - 또는 -∞과 같이 0 또는 1의 경향을 보인다는 것은 동일한 공식이다.p = χ_[ε,1](a)를 0 < ε < 1로 설정한다.그러면 σ_s(p) = χ_[ε,1](σ_s)이다.≥ 0의 경우 σ_s(p) ≤ p가 바로 뒤따른다. 더욱이 σ_s(p) $\downarrow ({\displaystyle }$p) $\(p$) {\$displaystyle$ \downarrow$}$ 0(s)은$$ +∞ 경향이 있고, as(p)${\displaystyle }$p_s(p) ${\displaysty \uparrow}$은 s 경향이 - ∞이다.첫 번째 한계 공식은 0 ( ε σ_s σ ≤ σ σ_s ((a)이기 때문에 뒤따른다.이제 τ, σ_−tt, q⁻¹(q) 및 1 – ε 대신 τ⁻¹, q, q, q, – 대신 같은 추론을 적용할 수 있다.그런 다음 a와 p에 해당하는 수량이 1 - a와 1 - p임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 t는 tends의 경향이 있기 때문에 σ_−t(1-p) $\downarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \downarrow }$ 0이$$ 된다.따라서 as_s(p) $\uparrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \uparrow }$ s는$$ - ∞ 경향이 있다.특히 p ≠ 0, 1.

그래서 r = p - τ^k(p)은 τ과 λ(r) = 1. 따라서 s(r) = 1. s = 1/n, 따라서 모든 합리적인 s > 0에 대하여 λ(p -σ_s)(p) = s를 따른다. σ_s(p)은 연속적이고 감소하므로, 연속성에 의해서도 같은 공식은 모든 실제 s > 0에 대해서도 유지된다.따라서 p는 모든 단언 조건을 만족한다.

• t ≠ 0에 대한 S의_t 보수적이고 방산적인 부분은 t와 독립적이다.^[4]

앞의 결과는 S가_t X에서 t ≠ 0에 대해 소멸되어 있다면 모든 S가_s s ≠ 0에 대해 소멸되어 있다는 것을 보여준다. S와_t S는_s 고유성으로 다른 S의 소멸 부분을 보존한다.따라서 각각은 다른 한쪽의 방산 부분에 방산하므로 방산 부분은 일치한다.그래서 보수적인 부분은 동의한다.

참고 항목

• 에고다이컬 흐름

메모들

참조

• Aaronson, Jon (1997), An introduction to infinite ergodic theory, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 50, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0494-4
• Hopf, Eberhard (1937), Ergodentheorie (in German), Springer
• Krengel, Ulrich (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Math. Annalen (in German), 176: 181−190
• Krengel, Ulrich (1985), Ergodic theorems, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3