고전적 중앙력 문제

고전 역학에서 중심 힘 문제는 하나의 중심 전위장에서 입자의 운동을 결정하는 것이다. 중심력은 입자로부터 우주의 고정된 지점인 중심을 향해 직접 가리키는 힘(아마도 음의 힘)이며, 그 크기는 물체의 중심까지의 거리에만 의존한다. 많은 중요한 경우, 삼각함수와 같이 잘 연구된 기능 측면에서 문제를 분석적으로 해결할 수 있다.

많은 자연적으로 발생하는 힘이 중심이기 때문에 이 문제의 해결은 고전 역학에게 중요하다. 뉴턴의 만유인력의 법칙과 쿨롱의 법칙에 의해 각각 기술된 중력과 전자성이 그 예다. 고전물리학에서 좀 더 복잡한 문제들(두 신체를 연결하는 선을 따라 힘을 가진 두 신체의 문제 등)이 중심적인 힘 문제로 축소될 수 있기 때문에 문제 또한 중요하다. 마지막으로, 중앙력 문제에 대한 해결책은 종종 태양계 행성들의 움직임을 계산하는 것과 같이 진정한 운동의 좋은 초기 근사치를 만든다.

기본 사항

중심력 문제의 본질은 중심력 F의 영향을 받아 움직이는 입자의 위치 r을^{[note 1]} 시간 t의 함수 또는 힘의 중심과 임의의 축에 상대적인 각도 φ의 함수로서 해결하는 것이다.

중심력의 정의

위치 P(빨간색으로 표시)에서 신체에 작용하는 매력적인 중심력. 정의에 따르면, 중심 힘은 고정된 점 O(매력적인 경우)를 향하거나 그것으로부터 멀리(거부되는 경우)를 향해야 한다.

보수적인 중심 세력 F는 두 가지 결정적인 속성을 가지고 있다.^[1] 첫째로, 그것은 입자를 우주의 고정된 지점인 힘의 중심에서 직접 또는 직접적으로 멀리쪽으로 이동시켜야 하며, 이 지점에는 종종 O라고 표시되어 있다. 즉, 중심력은 입자의 현재 위치와 O를 결합하는 선을 따라 작용해야 한다. 둘째로, 보수적인 중심 힘은 오직 O와 움직이는 입자 사이의 거리 r에만 의존한다; 그것은 시간이나 다른 위치의 설명자에 명시적으로 의존하지 않는다.

이 두 가지 정의는 다음과 같이 수학적으로 표현될 수 있다. 힘 O의 중심은 좌표계의 원점으로 선택할 수 있다. 입자의 현재 위치에 O를 결합하는 벡터 r을 위치 벡터라고 한다. 그러므로 중심적인 힘은 수학적 형태를^[2] 가져야 한다.

\mathbf {F} =F(r){\hatsbf {r}}

여기서 r은 벡터 규모 r(힘 중심까지의 거리)이고 r r = r/r은 해당 단위 벡터다. 뉴턴의 두 번째 운동 법칙에 따르면, 중심력 F는^{[note 2]} 입자의 질량 m에 의해 크기가 조정되는 평행 가속도를 발생시킨다.

\mathbf{F} =F(r){\hatbf {r}}}}}}}=m=m\ddot {\mathbf {r}}}}

매력적인 힘에 대해 F(r)는 음성이며, 중심까지의 거리를 줄이는 작용을 하기 때문이다. 반대로 반발력에 대해서는 F(r)가 양이다.

전위 에너지

중심력이 보수적인 힘인 경우, 중심력의 크기 F(r)는 항상 시간 독립적 잠재적 에너지 함수 U(r)^[3]의 파생어로 표현될 수 있다.

F(r)=-{\frac {dU}{dr}}

그러므로, 입자의 총 에너지 즉 운동 에너지와 잠재적 에너지 U의 합은 일정하며, 에너지는 보존된다고 한다. 이를 보여주기 위해 힘에 의해 수행된 W 작업은 초기 위치와 최종 위치에만 의존하고, 그들 사이에 놓인 경로에는 의존하지 않는다는 것으로 충분하다.

W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})

동등하게, 힘 필드 F의 컬이 0인 것으로 충분하다; 구면 좌표의 컬에 대한 공식을 사용한다.

\nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}}\왼쪽({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}}\오른쪽){\hat {\boldsymbol {\theta}-{\frac {1}{r}\왼쪽({\frac {\partial F}{\partial \thea }}\오른쪽){\hat {\\hatsymbol {\\varphi }}=0

부분파생물은 중심력에 대해 0이기 때문에, 크기 F는 각 구면 좌표 θ과 on에 의존하지 않는다.

스칼라 전위 V(r)는 원점까지의 거리 r에만 의존하므로 구형 대칭을 가진다. 이 점에서 중심력 문제는 일반 상대성에서의 슈바르츠실트 지질학 및 구형 대칭의 전위적 입자의 양자역학적 처리와 유사하다.

일차원적 문제

만약 입자의 초기 속도 v가 위치 벡터 r과 정렬된다면, 그 움직임은 r에 의해 정의된 선에 영원히 머무른다. 이는 힘(그리고 뉴턴의 두 번째 법칙에 의해서도 가속도 a)이 r과 일치하기 때문에 뒤따른다. 이 운동을 결정하려면 방정식을 푸는 것으로 충분하다.

m{\dot{r}=F(r)

한 가지 해결 방법은 총 에너지의 보존을 이용하는 것이다.

{\dot}{r} ={\big}{dr}{dt}}{\big}={\sqrt{2}{{m}}{\sqrt{E_{\text}-U(r)}}}}}

상호 작용과 통합을 통해 얻을 수 있는 이점:

t-t_{0} ={\sqrt {\frac {m}{2}}:\frac {dr }{\sqrt{E_{\text{tott}-U(r)}}}}}}}}

글의 나머지 부분에 대해서는 입자의 초기 속도 v가 위치 벡터 r과 정렬되지 않은 것으로 가정한다. 즉, 각운동량 벡터 L = r × m v는 0이 아니다.

균일 원형 운동

초기 반지름 r과 속도 v가 구심력에 대한 방정식을 만족한다면 모든 중심 힘은 균일한 원형 운동을 생성할 수 있다.

{\frac {mv^{2}}:{r}=F(r)

만약 이 방정식이 초기 순간에 충족된다면, 그것은 항상 나중에 충족될 것이다; 입자는 속도 v에서 반지름 r의 원 안에서 영원히 계속 움직일 것이다.

고전적인 두 신체 문제와의 관계

두 신체의 x와₁ x₂ 위치는 상대적 분리 r과 질량 R의_cm 중심 위치를 기준으로 표현할 수 있다.

중앙력 문제는 하나의 입자가 힘의 중심인 부동한 지점 O로부터 끌어당기거나 밀어내는 이상적인 상황("일체 문제")에 관한 것이다.^[4] 그러나 물리력은 일반적으로 두 신체 사이에 있다; 그리고 뉴턴의 제3법칙에 따르면, 첫 번째 신체가 두 번째 신체에 힘을 가하면 두 번째 신체는 첫 번째 신체에 동등하고 반대되는 힘을 가한다. 그러므로 두 몸 사이에 힘이 있으면 두 몸 모두 가속된다; 완전히 움직이지 않는 힘의 중심은 없다. 그러나 한 몸체가 다른 몸체보다 압도적으로 더 큰 경우 다른 몸체에 비해 가속도가 무시될 수 있으며, 더 큰 몸체의 중심은 대략 고정된 것으로 처리될 수 있다.^[5] 예를 들어, 태양은 수성 행성보다 압도적으로 더 거대하다. 따라서, 태양은 움직일 수 없는 힘의 중심지로서 근사하게 추정될 수 있다. 따라서 태양은 태양에 의해 가해지는 힘에 반응하여 수성의 움직임에 대한 문제를 줄일 수 있다. 그러나 실제로는 태양도 수성 행성이 가하는 힘에 반응하여 움직인다(약간만 움직인다).

모든 고전적인 2체질 문제는 동등한 1체질 문제로 전환된다. 등가체 1개의 질량 μ는 두 개의 원래 체질의 감소된 질량과 같으며, 그 위치 r은 위치의 차이와 같다.

그러나 그러한 근사치는 불필요하다. 뉴턴의 운동 법칙은 어떤 고전적인 2체질 문제도 그에 상응하는 정확한 1체질 문제로 변환되도록 한다.^[6] 이를 증명하기 위해 x와₁ x를₂ 두 입자의 위치로 하고 r = x₁ - x를₂ 상대 위치로 한다. 뉴턴의 두 번째 법칙에 따르면

{\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}

마지막 방정식은 뉴턴의 제3법칙에서 유래한다. 첫 번째 신체에 대한 두 번째 신체의 힘(F₂₁)은 두 번째 신체의 힘과 동일하고₁₂ 반대다. 따라서 r에 대한 운동 방정식은 형식으로 쓸 수 있다.

{\ddot}\mathbf {r}}}}}}=\mathbf {F}}

여기서

[\displaystyle \mu

}은

(

는

\mu

) 감소된 질량이다.

\mu ={\frac {1}{1}{1}:{m_{1}}+{\frac {1}{1}{2}}:}={\frac {1}{m_{1}m_{2}}:{m_{1}+m_{2}}{2}}}}}

특수한 경우로서, 두 신체가 중심적인 힘에 의해 상호 작용하는 문제는 하나의 신체의 중심적인 힘 문제로 축소될 수 있다.

질적 특성

플라나르

평면 모션의 예 각운동량 벡터 L은 일정하므로 위치 벡터 r과 속도 벡터 v는 L에 수직인 황색 평면에 위치해야 한다.

중심 힘 F에 따른 입자의 움직임은 항상 초기 위치와 속도에 의해 정의된 평면에 유지된다.^[7] 이것은 대칭으로 볼 수 있다. 위치 r, 속도 v 및 힘 F가 모두 동일한 평면에 있으므로, 이 평면에 수직인 가속은 결코 존재하지 않는다. 이는 평면의 "위"와 "아래" 사이의 대칭을 깨기 때문이다.

이것을 수학적으로 증명하기 위해서는 입자의 각운동량이 일정하다는 것을 보여주기에 충분하다. 이 각운동량 L은 방정식으로 정의된다.

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}}

여기서 m은 입자의 질량이고 p는 선형 운동량이다.^{[note 3]} 따라서 각운동량 벡터 L은 입자의 위치 벡터 r과 속도 벡터 v에 의해 정의된 평면에 항상 수직이다.^{[note 4]}

일반적으로 각운동량 L의 변화율은 순토크 r × F와^[8] 같다.

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,

첫 번째 용어 m v × v는 항상 0이다. 왜냐하면 벡터 교차 제품은 같은 방향이나 반대 방향을 가리키는 두 벡터에 대해 항상 0이기 때문이다. 그러나 F가 중심력일 때는 벡터 r과 F가 동일하거나 반대 방향으로 가리키기 때문에 나머지 용어 r × F도 0이다. 따라서 각운동량 벡터 L은 일정하다. 그러면

\mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot(\mathbf {p}) \cdot(\mathbf {r} \times \mathbf {r} \mathbf {r}}=0

결과적으로, 입자의 위치 r (따라서 속도 v)은 항상 L에 수직인 평면에 위치한다.^[9]

극좌표

평면 내 점 P의 위치 벡터 r은 중심으로부터의 거리 r(원점 O) 및 방위각 angle으로 지정할 수 있다. 벡터의 x와 y 카르테시안 성분은 각각 r cos φ과 r sin φ이다.

동작은 평면이고 힘은 방사형이기 때문에 극좌표로 전환하는 것이 관례다.^[9] 이러한 좌표에서 위치 벡터 r은 방사상 거리 r과 방위각 φ의 단위로 표현된다.

\mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\sin \varphi )

시간에 관한 첫 번째 파생물을 취하면 입자의 속도 벡터 v가 산출된다.

\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf{r}}}{dt}={\dot{r}(\cos \varphi ,\sin \varphi )+r+r{\dot {\\varphi }}}}}

마찬가지로, 입자 위치 r의 두 번째 파생상품은 가속도 a와 같다.

\mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )

속도 v와 가속 a는 방사상 및 방위상 단위 벡터 단위로 표현할 수 있다. 방사형 단위 벡터는 위에서 설명한 바와 같이 위치 벡터 r을 그 크기 r로 나누어 얻는다.

\mathbf {\hat {r} =(\cos \varphi ,\sin \varphi )

방위 단위 벡터는 다음과 같이^{[note 5]} 주어진다.

{\hatsymbol {\\varphi }}=(-\sin \varphi ,\cos \varphi )

따라서 속도는 다음과 같이 기록될 수 있다.

{\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat{r} +r}{\varphi }{\not{r}}}={\mathbf{\r}}+r{\varphi}}}{\hat{\bmbol}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\mathbait {\mathbait {\hat {\maxym

가속도가 같은 반면

\mathbf {a} =a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})\mathbf {\hat {r}} +(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}

특정 각운동량

특정 각운동량 h는 속도 v 곱하기 r과_⊥ 같으며, 위치 벡터 r의 구성 요소는 속도 v. h의 방위 성분 v의_φ 방사상 거리 r과 같다. 이 공식은 모두 rv cos β와 같다.

F = 뉴턴의 두 번째 운동 법칙에 의한 ma이고 F는 중심 힘이기 때문에 가속도의 방사상 성분만 0이 될 수 있고, 각 성분 a는_φ 0이 되어야 한다.

a_{\varphi }=2{\\dot{r}}{\dot{\varphi }}{\varphi }}}}{\dot {\varphi }}}

그러므로

{\frac {d}{d}}\왼쪽(r^{2}{\dot {\varphi }}\오른쪽)=r(2{{\dot{r}}{\varphi }}}}}=r(2{\dot{\varphi }}})=ra_{\varphi}=0

괄호 안의 이 표현은 보통 h로 표시된다.

h=r^{2}{\dot {\varphi }}=rv_{\varphi }=\왼쪽 \mathbf {r} \timees \mathbf {v} \right = vr_{\perp }={\frac {L}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

속도에 수직인 반지름 벡터의 구성 요소인 v 곱하기_⊥ r과 같다. h는 각운동량의 크기 L을 입자의 질량m으로 나눈 값과 같기 때문에 특정 각운동량의 크기다.

간결성의 경우 각속은 Ω으로 표기되기도 한다.

\omega ={\dot {\barphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}

단, Ω이 일정하다고 가정해서는 안 된다. h가 일정하기 때문에 Ω은 공식에^[10] 따라 반경 r에 따라 변화한다.

\omega ={\frac {h}{r^{2}

h는 일정하고 r은² 양이기 때문에 φ 각도는 중앙력 문제에서 단조롭게 변화하여 지속적으로 증가(h 양의)하거나 지속적으로 감소(h 음의)한다.^[11]

등면적 속도

A 영역은 동일하므로 ½rvt_⊥, 면적 속도 dA/dt(A가 입자에 의해 휩쓸려 나가는 속도)는 ½rv_⊥ = ½h와 같다.

또한 h의 크기는 면적 속도의 두 배와 같으며, 이는 중심에 상대적인 입자에 의해 영역이 휩쓸려 나가는 비율이다.^[12] 따라서, 면적 속도는 어떤 종류의 중심 힘에 의해 작용하는 입자에 대해 일정하다. 이것이 케플러의 두 번째 법칙이다.^[13] 반대로, 보수적인 힘 F에 따른 움직임이 평면이고 반경 r과 속도 v의 모든 초기 조건에 대해 일정한 면적 속도를 갖는 경우 방위 가속도 a는_φ 항상 0이다. 따라서 뉴턴의 두 번째 법칙 F = ma에 따르면 힘은 중심적인 힘이다.

면적 속도의 항상성은 균일한 원형 및 선형 운동으로 설명할 수 있다. 균일한 원형 운동에서 입자는 반지름 r의 원주 둘레를 중심으로 일정한 속도 v로 움직인다. 각도 속도 Ω = v/r은 일정하기 때문에, 시간 Δt는 Ω Δt와 같으므로,² 동일한 면적 Δt는 동일한 시간 Δt로 쓸려 나간다. 균일한 선형 운동(즉, 힘이 없을 때의 운동, 뉴턴의 첫 번째 운동 법칙에 의한 운동)에서 입자는 일정한 속도, 즉 선을 따라 일정한 속도 v로 움직인다. 한 시간 Δt에서 입자는 면적 1⁄2VΔtr(충격 파라미터)를 쓸어낸다.^{[note 6]} r_⊥ 거리는 입자가 선을 따라 움직일 때 변하지 않는다; 중심 O에 대한 선의 가장 가까운 접근 거리(충격 매개변수)를 나타낸다. 속도 v도 마찬가지로 불변하기 때문에 면적 속도 1⁄2vr는_⊥ 운동 상수로서 입자는 같은 시간에 같은 영역을 쓸어낸다.

원형 섹터의 면적 A는 1⁄2r³² = 1⁄2rΩt² = 1⁄2rvt이다_φ. 따라서 면적 속도 dA/dt는 ½rv_φ = ½h와 같다. 균일한 원형운동의 경우 r과 v는_φ 일정하므로 dA/dt도 일정하다.

등가 평행력장

변수의 변환에 의해 모든 중앙력 문제는 동등한 병렬력 문제로 변환될 수 있다.^[14]^{[note 7]} 일반적인 x 및 y 데카르트 좌표 대신 새로운 시간 좌표인 and = x/y 및 η = 1/y 두 개의 새로운 위치 변수가 정의된다.

{\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}:

ξ과 η에 해당하는 운동 방정식은 다음과 같다.

{\frac {d\xi }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h

{\dfrac {d\eta}{d\tau}}{d\tau{d}}={d}{d}{dt}\좌우회\frac{1}{{{1}}}{dt}{dot}}}}}{dot}}}{y^}}}}}}}}}}}{{{dot}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

ξ의 변화율은 일정하기 때문에, 2차 파생상품은 0이다.

{\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}=0

이것이 ξ방향의 가속이고, 뉴턴의 제2법칙에 의한 F=ma이기 때문에 ξ방향의 힘은 0이 된다. 따라서 힘은 평행력 문제의 기준이 되는 η 방향을 따라 있을 뿐이다. 명시적으로 η 방향의 가속도는 동일하다.

{\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)

Y 방향의 가속도가 같기 때문에

{\ddot{y}={\frac{1}{m}}}F_{y}={\frac {1}{m}F(r)\,{\frac {y}{r}}}}

여기서 F는_y 중심력의 y 성분을 나타내며, y/r은 y축과 방사형 벡터 r 사이의 각도의 코사인이다.

일반용액

비넷 방정식

중심력 F는 반지름을 따라만 작용하기 때문에 가속도의 반경 성분만 0이 아니다. 뉴턴의 두 번째 운동 법칙에 따르면, F의 크기는 입자의 질량 m과 방사형 가속도의^[15] 크기를 곱한 것과 같다.

F(r)=m{\ddot}-mr\mr\mr\omega^{2}=m{d^{2}r}{dt^{2}}-{\mh^{2}}:{r^{3}}}}}}}}}}}

이 방정식은 통합 계수 ${\frac {dr}{dt}}$ d ${\frac {dr}{dt}}$ ${\frac {dr}{dt}}$ ${\frac {dr}{dt}}$ {\ $displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$ 을(를) 가진다.

{\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\frac {dr}{dt}}\,dt\\&=m\left({\frac {dr}{dt}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\right)\,dt\\&={\frac {m}{2}}\,d\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}

수익률 통합

\int^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\왼쪽({\frac {d}{dt}\오른쪽)^{2}+\좌측({\frac {h}{r}}\오른쪽)^{2

h가 0이 아니면 독립변수를 t에서 to으로 변경할^[16] 수 있다.

{\dplaystyle {\frac {d}{d}{d}}=\frac {d}{d\varphi }}}={\frac {h}{r^{2}}:{\frac {d}{d\varphi }}}}}}}}}}}

새로운^[17] 운동 방정식 제시

\int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]

변수를 역반경으로 변경 u = 1/r^[17] 수율

\left({\frac {du}{d\varphi }}}}오른쪽)^{2}=C-u^{2}-G\left(우측)

(1)

여기서 C는 통합의 상수이고 함수 G(u)는 다음에 의해 정의된다.

G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}\int ^{\frac {1}{u}F(r)\,dr

이 방정식은 ϕ에 의해 차별화되면 qu이 된다.

{\dplaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}F(1/u)}}

이것은 비넷 방정식이라고 알려져 있다. 통합 (1)을 통해 ϕ에^[18] 대한 해결책 도출

\varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{1}{r}{\frac {du}{\sqrt{C-u^{2}-G(u)}}}}}}}}}}}}}}

여기서 ϕ은₀ 통합의 또 다른 상수다. 이러한 최종 통합이 알려진 기능 측면에서 해결될 수 있다면 중앙력 문제는 "통합할 수 있다"고 한다.

입자의 궤도

시스템 E의_tot 총 에너지는 잠재적 에너지와 운동에너지의^[19] 합과 같다.

E_{\mathrm {tot} }={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {mh^{2}}{2r^{2}}}+U(r)

총 에너지는 일정하므로 r의 변화율을 계산할^[20] 수 있다.

{\dot}={\frac {dr}{dt}={\\sqrt {\\\prac{2}}{{m}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot}-{}-U(r)-{{2r^{2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

방위각 φ에^[17] 관해서 r의 파생상품으로 변환될 수 있다(이전처럼).

{\frac}{dr}{d\varphi }}={\frac {r^{2}}:{h}{\frac {dr}{dt}}}}}

각도 모멘텀 공식 L=mh를 통합하고 사용하면 공식^[21] 생성

\varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}

각운동량이 효과적인 잠재적 에너지에^[22] 기여한다는 것을 나타낸다.

{\displaystyle U_{\mathrm {eff}}}}=U(r)+{\frac {L^{2}}:{2mr^{2}}:

통합 변수를 역반경으로 변경하면 적분이^[23] 생성됨

\varphi =\varphi _{0}+\int ^{{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}:E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}

위 상수 C = 2mE_tot/L² 및 G(u) = 2mU(1/u)/L를² 총 에너지 E와_tot 잠재적 에너지 U(r)의 관점에서 표현한다.

회전점 및 닫힌 궤적

유효전위 에너지가 총 에너지와^[24] 같을 때마다 r의 변화율은 0이다.

{\displaystyle E_{\mathrm {tot}}}}=U(r)+{\frac {L^{2}}:{2mr^{2}}:

이 방정식이 충족되는 점을 터닝 포인트라고 한다.^[24] 회전점 양쪽의 궤도는 대칭이다. 즉, 방향 전환점에서 방위각 각도가 = = 0으로 정의되면 반대 방향인 r(() = r(--)에서 궤도가 같다.^[25]

반지름 r이_min r과_max r 사이에 경계로 되어 있는 것과 같은 두 개의 전환점이 있는 경우, 운동은 이 반지름의 고리 안에 포함된다.^[24] 반경이 한 방향 전환점에서 다른 방향 전환점까지 다르므로 방위각 angle의 변화는 동일하다^[24].

\Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt{2m}\int_{r_{\max }}{\frac {r^{dr}{{r^{2}{\sqrc}{E-U(r)-{{L^{2}}:

Δφ가 2㎛의 합리적인 분율과 같다면, 즉,^[24] 궤도는 스스로^{[note 8]} 닫힐 것이다.

\Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}

여기서 m과 n은 정수다. 이 경우 반경은 정확히 m회 진동하는 반면 방위각 φ은 정확히 n회 회전한다. 그러나 일반적으로 Δφ/2π은 그렇게 이성적인 숫자가 아니므로 궤도는 폐쇄되지 않을 것이다. 그럴 경우 입자는 결국 환원체 내의 모든 점들에 임의로 가깝게 통과하게 된다. 두 가지 유형의 중심력은 항상 닫힌 궤도를 생성한다: F(r) = αr(선형 힘)과 F(r) = α/r²(역제곱 법칙). 베르트랑에서 알 수 있듯이 폐쇄 궤도를 보장하는 것은 이 두 개의 중앙 세력뿐이다.^[26]

일반적으로 각운동량 L이 0이 아닌 경우, 유효전위 에너지가 r이 0으로 가는 한계에서 음의 무한대로 가지 않는 한 L²/2mr² 항은 입자가 원점으로 떨어지는 것을 방지한다.^[27] 따라서 하나의 전환점이 있다면 궤도는 일반적으로 무한대로 간다. 전환점은 최소 반지름의 지점에 해당한다.

특정 솔루션

케플러 문제

고전적인 중력은 중심적인 힘이다. 그 중앙력 문제를 풀면, 경계된 입자가 케플러의 제2법칙에 기술된 것과 같이 동등한 시간 내에 동일한 영역이 휩쓸려 나가는 타원 궤도를 따른다는 것을 알 수 있다.

고전 물리학에서 많은 중요한 힘은 중력이나 전기와 같은 역제곱 법칙을 따른다. 이와 같은 역제곱 중심력의 일반적인 수학적 형태는 다음과 같다.

F={\frac {\alpha }{r^{2}}=\alpha u^{2}}:

상수

\alpha

{\displaystyle \alpha

\alpha

에 대해, 매력적인 힘에 대해서는 음수이고, 혐오스러운 힘에 대해서는 양수다.

고전적인 중앙력 문제의 이 특별한 경우를 케플러 문제라고 한다. 역제곱력의 경우 위에서 도출한 이닛 방정식은 선형이다.

{\frac{d^{2}u}{d\varphi ^{2}}+u=-{\frac{\frac{}{mh^{2}}.

이 방정식의 해법은

u(\varphi )=-{\frac {}{mh^{2}}:\좌측[1+e\cos \좌측(\varphi -\varphi _{0}\우측)\우측]}

이것은 궤도가 편심도의 원뿔 부분임을 보여준다. 여기서, φ은₀ 초기 각도, 힘의 중심은 원뿔 부분의 초점에 있다. 사인용 반각 공식을 사용하면 이 용액도 다음과 같이 쓸 수 있다.

u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1}\sin ^{2}\lefted\fract\\\varphi _{0}{0}{2}}\오른쪽)

Blue ellipse with the two foci indicated as black points. Four line segments go out from the left focus to the ellipse, forming two shaded pseudo-triangles with two straight sides and the third side made from the curved segment of the intervening ellipse.

모든 중심력에 대해서는, 두 개의 파란색 타원형 섹터로 나타낸 것처럼 케플러 문제의 입자는 동일한 시간 내에 동일한 영역을 쓸어낸다. 힘의 중심은 타원 궤도의 중심 중 하나에 위치한다.

여기서 u와₁ u는₂ 상수이고 u는₁ u보다₂ 크다. 용액의 두 버전은 방정식에 의해 관련된다.

{\displaystyle u_{1}+u_{2}}={\frac {-2\pair }{mh^{2}}:

그리고

e={\frac {u_{2}-u_{1}:{u_{1}{u_{2}+u_{1}}}}

sin² 함수는 항상 0보다 크므로₂ u는 u의 가능한 최대값이며 r의 가능한 최소값, 즉 가장 가까운 접근 거리(periapsis)의 역값이다. 반경 거리 r은 음수가 될 수 없으므로, 그 역 u도 될 수 없으므로, u는₂ 양수여야 한다. u도₁ 양수일 경우 u의 가능한 최소값으로, r의 가능한 최대값인 가장 먼 접근 거리(apoapsis)에 해당한다. u가₁ 0이거나 음수일 경우 u의 가능한 최소값은 0(궤도가 무한대로 간다)이다. 이 경우 relevant의 관련 값만 u를 양성으로 만드는 값이다.

매력적인 힘(α < 0)의 경우, 궤도는 각각 u가₁ 양인지, 음인지 또는 0인지에 따라 타원형, 하이퍼볼라 또는 파라볼라로, 이는 1보다 작거나 1보다 크거나 같은 편심 e에 해당한다. 반발력(α > 0)의 경우 u는₂ 정의상 양이고 그 합은 음이므로, u는₁ 음수여야 한다. 따라서 궤도는 하이퍼볼라다. 당연히 힘이 없으면(α=0) 궤도는 직선이 된다.

정확한 해결책을 가진 중앙 힘

u(1/u)에 대한 비넷 방정식은 거의 모든 중심력 F(1/u)에 대해 숫자로 풀 수 있다. 그러나 소수의 힘만이 알려진 기능 면에서 u에게 공식으로 나타난다. 위에서 도출한 바와 같이 φ에 대한 솔루션은 u에 걸쳐 일체형으로 표현될 수 있다.

\varphi _{0}+{{0}{\frac {L}{\sqrt {2m}\int ^{{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrmatrm}{{{{{{L^}{2m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

이러한 통합이 알려진 기능 측면에서 해결될 수 있다면 중앙력 문제는 "통합할 수 있다"고 한다.

If the force is a power law, i.e., if F(r) = α rⁿ, then u can be expressed in terms of circular functions and/or elliptic functions if n equals 1, -2, -3 (circular functions) and -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 and -7/3 (elliptic functions).^[28] 마찬가지로, 전력 법칙의 가능한 선형 조합은 6개만이 원형 및 타원 함수의^[29]^[30] 관점에서 해결책을 제공한다.

F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}

F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7

F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D

F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}

F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}

F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}

처음 두 힘 유형의 다음과 같은 특별한 경우는 항상 원형 기능을 야기한다.

F(r)=Ar^{-3}+Br

F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}

특별한 경우

F(r)=Ar^{-5

뉴턴은 공국의 7번 명제에서 유인점을 통과하는 원형 궤도에 의해 암시된 힘으로 언급되었다.

회전 궤도

미디어 재생

뉴턴의 회전 궤도의 정리 삽화. 녹색 행성은 푸른 행성의 세 궤도(k=1/3)마다 하나의 (하원) 궤도를 완성한다. 이 애니메이션의 GIF 버전은 여기에서 찾을 수 있다.

r이라는⁻³ 용어는 위의 모든 힘 법칙에서 발생하며, 역관 힘의 추가가 알려진 함수의 측면에서 문제의 용해성에 영향을 미치지 않음을 나타낸다. 뉴턴은 초기 조건에서의 조정으로 그러한 힘을 추가하면 입자의 방사상 움직임에 영향을 주지 않고 그 각도 운동을 일정한 요인 k로 곱한다는 것을 보여주었다. 뉴턴의 정리의 연장은 마호메드와 바우다에 의해 2000년에 발견되었다.^[30]

입자가 임의의 중심 힘 F₁(r) 아래로 이동하고 있다고 가정하고, 입자의 반지름 r과 방위각 φ을 시간 t의 함수로 r(t) 및 φ₁(t)로 표시하도록 한다. 이제 동일한 방사형 운동 r(t)을 공유하지만 각 속도가 첫 번째 입자의 속도보다 k배 빠른 동일한 질량 m의 두 번째 입자를 생각해 보십시오. 즉, 두 입자의 방위각은 φ₂(t) = k φ₁(t) 등식으로 관계가 있다. 뉴턴은 두 번째 입자에 작용하는 힘이 첫 번째 입자에 작용하는 힘 F₁(r)에 더하여 역관 중심력과 같다는^[31] 것을 보여주었다.

F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}:{mr^{3}}\왼쪽(1-k^{2}\오른쪽)

여기서 L은₁ 첫 번째 입자의 각운동량의 크기다.

k가² 1보다 크면 F-F는₂₁ 음수가 되기 때문에 추가된 역큐브 힘이 매력적이다. 반대로 k가² 1보다 작을 경우 F-F는₂₁ 양수가 되며, 추가된 역큐브 힘은 반발한다. k가 3과 같은 정수라면 두 번째 입자의 궤도는 첫 번째 입자 궤도의 조화라고 하고, 반대로 k가 ½과 같은 정수의 역이라면 두 번째 궤도는 첫 번째 궤도의 하위 고조파라고 한다.

역사적 발전

그림 10: B 지점에서 작용하는 힘이 중심 힘인 경우에만 이동 입자가 같은 시간에 동일한 영역을 쓸어버린다는 뉴턴의 기하학적 증거 여기서 삼각형 OAB는 삼각형 OBC, OBK와 동일한 면적을 가진다.

뉴턴의 기원

고전적인 중심력 문제는 아이작 뉴턴이 그의 철학적인 자연주의 공리학에서 기하학적으로 해결했는데, 이 과정에서 뉴턴은 그의 운동 법칙을 소개했다. 뉴턴은 연속 운동을 불연속 운동으로 변환하기 위해 도약대 통합과 동등한 것을 사용했고, 그래서 기하학적 방법이 적용될 수 있었다. 이 접근법에서 입자의 위치는 균일한 간격으로만 고려된다. 그림 10의 입자는 시간 t = 0의 A 지점, 시간 t = Δt 지점 B 지점, 시간 t = 2Δt 지점 C 지점 등 항상 t = Δt 지점, 여기서 n은 정수다. 속도는 이 시간점들 사이에서 일정하다고 가정한다. 따라서 벡터 r_AB = r - r은_B_A 속도 벡터 v_AB(빨간색 선)의 Δt와 같으며, r_BC = r_C - r은_B VΔt(파란색 선)와 같다. 속도는 지점들 사이에서 일정하기 때문에 힘은 각각의 새로운 위치에서 즉각적으로 작용한다고 가정한다. 예를 들어, 지점 B에서 입자에 작용하는 힘은 v에서_AB v로_BC 속도를 즉시 변화시킨다. 차이 벡터 Δr = r - r은_BC_AB ΔVΔt(녹색 선)와 같으며, 여기서 Δv = v_BC - v는_AB B 지점에서 힘에 의한 속도 변화다. 가속도 a는 Δv에 평행하고 F = ma이므로 힘 F는 Δv와 Δr에 평행해야 한다. F가 중심력일 경우 중심 O에서 지점 B까지 벡터 r과_B 평행해야 하며, 이 경우 Δr도 r과_B 평행이다.

B 지점에서 힘이 작용하지 않으면 속도는 변하지 않고 입자는 시간 t = 2Δt에 K 지점에 도달한다. 삼각형 OAB와 OBK의 영역은 동일한 베이스(r_AB)와 높이(r_⊥)를 공유하기 때문에 동일하다. Δr이 r과_B 평행하면, 삼각형 OBK와 OBC도 마찬가지로 동일하며, 이는 동일한 베이스(r_B)를 공유하고 높이가 변하지 않기 때문이다. 그 경우, 삼각형 OAB와 OBC의 영역은 동일하고, 입자는 동일한 시간에 동일한 영역을 쓸어낸다. 반대로, 그러한 모든 삼각형의 영역이 같다면 Δr은 r과_B 평행해야 하며, 여기서부터 F는 중심 힘이라는 것을 따른다. 따라서 입자는 F가 중심적인 힘인 경우에만 동일한 시간 내에 동일한 영역을 쓸어낸다.

운동 방정식의 대체 파생

라그랑기 역학

방사상 힘에 대한 공식은 또한 라그랑기 역학을 사용하여 얻을 수 있다. 극좌표에서, 잠재적 에너지장 U(r)에서 단일 입자의 라그랑지안 L은 다음과 같이 주어진다.

L={\frac{1}{2}}m{{\dot{r}^{2}}+{\frac{1}{1}{1}{2}}mr^{2}{\dot{\varphi{2}}-U(r)

그러면 라그랑주의 운동 방정식

{\frac {d}{dt}\왼쪽({\frac {\partial L}{\partial L}{\dot{r}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}}}}

형식을 취하다

m{\dot{r}=mr{\dot{\varphi }}}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}}{r^{3}}+F(r)

반지름 힘의 크기 F(r)는 반지름 방향에서 잠재적 에너지 U(r)의 음의 파생물과 같기 때문이다.

해밀턴 역학

방사상 힘 공식도 해밀턴 역학을 사용하여 도출할 수 있다. 극좌표에서 해밀턴인은 다음과 같이 쓸 수 있다.

H={\frac {1}{1}{2m}\왼쪽(p_{r}^{2}+{p_{\varphi }^{2}}:{r^{2}}\오른쪽)+U(r)

방위각 φ은 해밀턴어에서는 나타나지 않기 때문에, 그것의 결합운동력_φ p는 운동의 상수다. 이 결합운동량은 φ에 대한 운동방정식의 해밀턴식 등식에서 알 수 있듯이 각운동량의 크기 L이다.

{\dplaystyle {\frac {d\varphi }{dt}={\frac {\partial p_{\varphi }}}}={\frac {p_{\varphi }}}}}{mr^{mr^}}}}}}}:{\frac {mr^{mr^{d}2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

r에 대한 해당 운동 방정식은

{\frac {dr}{dt}={\frac {\partial h}{r}}={\frac {p_{r}}{m}}}}}}

시간에 관한 r의 두 번째 파생물을 취하고 p에_r 대한 해밀턴의 운동 방정식을 사용하면 방사상 힘 방정식이 발생한다.

{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{r}}{dt}}=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)

해밀턴-자코비 방정식

궤도 방정식은 해밀턴-자코비 방정식에서 직접 도출할 수 있다.^[32] 방사상 거리 r과 방위각 φ을 좌표로 채택하여 중심력 문제에 대한 해밀턴-자코비 방정식을 작성할 수 있다.

{\frac{1}{2m}\왼쪽({\frac {dS_{dr}}{dr}\오른쪽)^{2}+{1}{{1}{2mr^{2}}}\{{\mr^}}\{d\varphi }}{d\varphi }^{2}+U(r)=)=E_{\mathrm {tot}}}

여기서 S = S_φ(φ) + S_r(r) - Et는_tot 해밀턴의 주요 기능이며, E와_tot t는 각각 총 에너지와 시간을 나타낸다. 이 방정식은 φ 방정식을 시작으로 일반 미분 방정식의 연속적 통합으로 해결할 수 있다.

{\frac {dS_{\barphi }}}{d\varphi }}}=p_{\varphi }=L

여기서 p는_φ 각운동량 L의 크기와 동일한 운동 상수다. 따라서 S_φ(φ) = Lφ과 해밀턴-자코비 방정식은 달라진다.

{\frac{1}{2m}\왼쪽({\frac {dS_{dr}}}\right)^{2}+{{2mr^{2}}+U(r)=E_{\mathrm {tot}}}

S_r 수율에 대한 이 방정식 통합

S_{r}(r)={\sqrt{2m}\intdr{\sqrt {E_{\mathrm {tot}}}-{\frac{{{2mr^{2}}:}}}}}}}

L과 관련하여 S의 파생물을 취하면 위에서 도출한 궤도 방정식이 산출된다.

\varphi _{0}={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}

참고 항목

일반 상대성에서의 아날로그인 슈바르츠차일드 지질학
세속적으로 대칭되는 전위에서의 입자, 양자
수소와 같은 원자, 양자역학의 케플러 문제
역제곱 전위

메모들

^ 이 글에서 볼드체 활자는 r과 F와 같은 수량이 벡터라는 것을 나타내기 위해 사용되는 반면, 보통 숫자는 기울임꼴로 쓰여진다. 간단히 말해서, 벡터 v는 진도 v (또한 쓰여진 v )와 방향을 가진 수량이다. 벡터는 종종 그들의 구성요소에 의해 지정된다. 예를 들어 데카르트 좌표에서 위치 벡터 r = (x, y)는 x 좌표와 y 좌표의 순서 쌍으로 설명된다.
^ 이 글에서 유도체에 대한 뉴턴의 표기법("점 표기법")은 공식을 읽기 쉽게 하기 위해 가끔 사용된다. 다른 의미는 없다. 이 표기법에서 변수 위에 점 하나가 있는 것은 시간과 관련된 첫 번째 파생상품을 의미한다. ${\dot{r}}={\frac {dr}{dt}}$ 마찬가지로 변수 위에 이중 점은 시간과 관련하여 두 번째 파생상품을 의미한다. ${\dt^{r}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}$
^ 여기서 시간 기호 ×는 단순한 곱셈이 아니라 벡터 교차 곱셈을 나타낸다.
^ a와 b가 3차원 벡터인 경우, 그들의 벡터 크로스 제품 c = a × b는 항상 a와 b에 의해 정의된 평면에 수직이다.
^ 방위각 단위 벡터에 대한 이 공식은 계산에 의해 검증될 수 있다. 그 크기는 1과 같다. ${\hatsymbol {\barphi }}\cdot {\\cdot {\barphi }}=(-\sin \varphi )^{2}+(\cos \varphi )^{2}=1$ 그리고 r을 가진 그것의 닷-제품은 0이다. ${\hatsymbol {\barphi }\cdot \mathbf {\r} =-\sin \varphi \cos \varphi \sin \varphi =0$ 따라서 방사형 벡터 r에 수직인 단위 벡터다.
^ 삼각형의 넓이는 밑면의 절반과 높이를 곱한 것과 같다. 이 경우 베이스는 VΔt에 의해 주어지며 높이는 충격 매개변수 r과_⊥ 같다.
^ 평행력 문제는 힘이 한 방향을 따라 정확히 0인 문제다.
^ 닫힌 궤도는 정확히 같은 속도로 유한한 시간 후에 출발 위치로 되돌아가는 궤도를 말한다. 따라서, 그것은 정확히 같은 동작을 반복해서 실행한다.

참조

^ 골드스타인, 페이지 71, 랜도와 리프시츠, 페이지 30, 소머펠트, 페이지 39, 시몬, 페이지 121.
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^ 골드스타인, 페이지 71, 랜도와 리프시츠, 페이지 30, 휘태커, 페이지 77.
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^ 골드스타인, 페이지 70–71; 랜도와 리프시츠, 페이지 29; 시몬, 페이지 182–185; 휘태커, 페이지 76–77.
^ 골드스타인, 페이지 72, 랜도와 리프시츠, 페이지 30, 휘태커, 페이지 77.
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^ 골드스타인, 페이지 73, 랜도와 리프시츠, 페이지 30–31, 소머펠트, 페이지 39–40, 시몬, 페이지 124, 127.
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^ 골드스타인, 페이지 73, 랜도와 리프시츠, 페이지 30–31, 소머펠트, 페이지 36, 39, 시몬, 페이지 127–128.
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^ 휘태커 93-94페이지
^ 골드스타인, 페이지 73.
^ 골드스타인, 페이지 75, 86
^ ^a ^b ^c 골드스타인, 페이지 86.
^ 휘태커, 페이지 80 8081.
^ 골드스틴, 페이지 4
^ 골드스틴, 페이지 75.
^ 골드스타인, 페이지 87.
^ 골드스타인, 76-82쪽
^ 골드스타인, 페이지 88.
^ ^a ^b ^c ^d ^e 랜도와 리프시츠, 32페이지
^ 랜도와 리프시츠, 32~33쪽
^ 골드스틴, 페이지 601–605.
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^ ^a ^b Mahomed FM, Vawda F (2000). "Application of Symmetries to Central Force Problems". Nonlinear Dynamics. 21: 307–315. doi:10.1023/A:1008317327402.
^ 뉴턴, 프린키아, 제1권 IX절, 제안서 43–45, 페이지 135–147.
^ 골드스타인, 페이지 454–457; 랜도와 리프시츠, 페이지 149–151; 미스너, 쏘른 및 휠러, 페이지 644–649; 소머펠트, 페이지 235–238.

참고 문헌 목록

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Misner, C. W., Thorne, K., and Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
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Symon KR (1971). Mechanics (3rd ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
Whittaker, E. T. (1937). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies (4th ed.). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-521-35883-5.

외부 링크

D에 의한 2체 중심력 문제 뉴저지 공과대학교 E. 게리
A의 Central-Force 필드에서 동작. 세인트 마이클스 칼리지의 브리자드
케이스 웨스턴 리저브 대학 G. W. 콜린스, II의 중앙군 영향권 운동
매사추세츠 공과대학교 W. H. G. Lewin의 비디오 강의

[1] 이 글에서 볼드체 활자는 r과 F와 같은 수량이 벡터라는 것을 나타내기 위해 사용되는 반면, 보통 숫자는 기울임꼴로 쓰여진다. 간단히 말해서, 벡터 v는 진도 v (또한 쓰여진 v )와 방향을 가진 수량이다. 벡터는 종종 그들의 구성요소에 의해 지정된다. 예를 들어 데카르트 좌표에서 위치 벡터 r = (x, y)는 x 좌표와 y 좌표의 순서 쌍으로 설명된다.

[4] 이 글에서 유도체에 대한 뉴턴의 표기법("점 표기법")은 공식을 읽기 쉽게 하기 위해 가끔 사용된다. 다른 의미는 없다. 이 표기법에서 변수 위에 점 하나가 있는 것은 시간과 관련된 첫 번째 파생상품을 의미한다. ${\dot{r}}={\frac {dr}{dt}}$ 마찬가지로 변수 위에 이중 점은 시간과 관련하여 두 번째 파생상품을 의미한다. ${\dt^{r}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}$

[10] 여기서 시간 기호 ×는 단순한 곱셈이 아니라 벡터 교차 곱셈을 나타낸다.

[11] 와 b가 3차원 벡터인 경우, 그들의 벡터 크로스 제품 c = a × b는 항상 a와 b에 의해 정의된 평면에 수직이다.

[14] 방위각 단위 벡터에 대한 이 공식은 계산에 의해 검증될 수 있다. 그 크기는 1과 같다. ${\hatsymbol {\barphi }}\cdot {\\cdot {\barphi }}=(-\sin \varphi )^{2}+(\cos \varphi )^{2}=1$ 그리고 r을 가진 그것의 닷-제품은 0이다. ${\hatsymbol {\barphi }\cdot \mathbf {\r} =-\sin \varphi \cos \varphi \sin \varphi =0$ 따라서 방사형 벡터 r에 수직인 단위 벡터다.

[19] 삼각형의 넓이는 밑면의 절반과 높이를 곱한 것과 같다. 이 경우 베이스는 VΔt에 의해 주어지며 높이는 충격 매개변수 r과_⊥ 같다.

[21] 평행력 문제는 힘이 한 방향을 따라 정확히 0인 문제다.

[33] 닫힌 궤도는 정확히 같은 속도로 유한한 시간 후에 출발 위치로 되돌아가는 궤도를 말한다. 따라서, 그것은 정확히 같은 동작을 반복해서 실행한다.

[2] 골드스타인, 페이지 71, 랜도와 리프시츠, 페이지 30, 소머펠트, 페이지 39, 시몬, 페이지 121.

[3] 랜도와 리프시츠, 페이지 30, 시몬, 페이지 121.

[5] 골드스타인, 페이지 4; 랜도와 리프시츠, 페이지 30; 시몬, 페이지 122.

[6] 골드스타인, 페이지 71, 랜도와 리프시츠, 페이지 30, 휘태커, 페이지 77.

[7] 소머펠트, 페이지 39, 시몬, 페이지 123.

[8] 골드스타인, 페이지 70–71; 랜도와 리프시츠, 페이지 29; 시몬, 페이지 182–185; 휘태커, 페이지 76–77.

[9] 골드스타인, 페이지 72, 랜도와 리프시츠, 페이지 30, 휘태커, 페이지 77.

[12] 골드스틴, 페이지 2-3, 6-7

[Goldstein,_p._72-13] 골드스타인, 페이지 72.

[15] 골드스타인, 페이지 73, 랜도와 리프시츠, 페이지 30–31, 소머펠트, 페이지 39–40, 시몬, 페이지 124, 127.

[16] 랜도와 리프시츠, 31페이지

[17] 골드스타인, 페이지 73, 랜도와 리프시츠, 페이지 30–31, 소머펠트, 페이지 36, 39, 시몬, 페이지 127–128.

[18] 골드스타인, 페이지 73, 랜도와 리프시츠, 페이지 31, 소머펠트, 페이지 39, 시몬, 페이지 135.

[20] 휘태커 93-94페이지

[22] 골드스타인, 페이지 73.

[23] 골드스타인, 페이지 75, 86

[Goldstein,_p._86-24] 골드스타인, 페이지 86.

[25] 휘태커, 페이지 80 8081.

[26] 골드스틴, 페이지 4

[27] 골드스틴, 페이지 75.

[28] 골드스타인, 페이지 87.

[29] 골드스타인, 76-82쪽

[30] 골드스타인, 페이지 88.

[Landau_and_Lifshitz,_p._32-31] 랜도와 리프시츠, 32페이지

[32] 랜도와 리프시츠, 32~33쪽

[34] 골드스틴, 페이지 601–605.

[35] 랜도와 리프시츠, 페이지 33.

[36] 휘태커, 페이지 80-95.

[broucke_1980-37] Broucke R (1980). "Notes on the central force rⁿ". Astrophysics and Space Science. 72: 33–53. Bibcode:1980Ap&SS..72...33B. doi:10.1007/BF00642162.

[mahomed_2000-38] Mahomed FM, Vawda F (2000). "Application of Symmetries to Central Force Problems". Nonlinear Dynamics. 21: 307–315. doi:10.1023/A:1008317327402.

[39] 뉴턴, 프린키아, 제1권 IX절, 제안서 43–45, 페이지 135–147.

[40] 골드스타인, 페이지 454–457; 랜도와 리프시츠, 페이지 149–151; 미스너, 쏘른 및 휠러, 페이지 644–649; 소머펠트, 페이지 235–238.

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