역제곱 퍼텐셜

양자역학에서 역제곱 퍼텐셜은 모든 데카르트 좌표를 동일한 ^[1]상수로 스케일링할 때 대응하는 해밀턴 연산자의 고유 상태의 특이한 특성을 갖는 중심력 퍼텐셜의 한 형태이다.이 기이한 특징을 제외하고, 이것은 케플러의 역제곱 힘 체계보다 훨씬 덜 중요한 중심력 문제입니다.

묘사

역제곱 퍼텐셜의 퍼텐셜 에너지 함수는 다음과 같다.

$V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}$ ( $V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}$ ) $V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}$ - $V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}$ $V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}$ ( \ $displaystyle$ V ( r ) = - { \ $frac$ { C } { $r^$ {2 $}$ } $V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}$ } ,

$C$ 서 C $(\displaystyle$ C $)$ 는 $C$ 일정하고 r $(\displaystyle$ r $)$ 는 $r$ 중앙점으로부터의 유클리드 거리입니다. $(디스플레이 스타일$ C $)$ 가 $C$ 양수이면 전위가 매력적이고C( $디스플레이$ 스타일C)가 $C$ 음수이면 전위가 거부감입니다.대응하는 해밀턴 ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})$ H ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})$ ^ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})$ ( ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})$ ^ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})$ , r $^$ ){ $displaystyle {hat$ { $H}}({\hat$ {p $}}}, {\hat$ {r}})는 ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})$ 다음과 같습니다.

${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ ^ ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ ^ ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ 2 ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ - ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ r ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ ^ ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ ({ $displaystyle { hat$ { H } } = $flac$ { \ $hat$ { $mathbf$ { $p } }$ } { 2 $m}$ } - { \ $frac$ { C } { \ $hat$ { r} } } ^ $2$ } } ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$ } 、

$m$ 서m {\ $displaystyle$ m}은 $m$ 전위 내에서 이동하는 입자의 질량입니다.

특성.

양자 역학의 표준 정류 관계인 $[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar$ ^ $[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar$ , $[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar$ ^ $[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar$ ] $[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar$ $[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar$ { $displaystyle$ [ { \ $hat$ { $x } _$ { i } , { \ $hat$ { $p} _$ { i } $= i$ \ $hbar$ 는 스케일링에서 불변성을 갖는다.

${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$ ${\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}$ ${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$ ^ ${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$ ${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$ ${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$ ^ ${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$ / $λ$ { displaystyle ${ p } _$ { $i$ } / \ $displayda$ } ${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$ ${\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}$ x ${\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}$ ${\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}$ ^ ${\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}$ = \ $displaystyle { x } _$ { i } = \ $displayda { x } _$ { i ${\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}$ } 、

$\lambda$ 서 ${\(\displaystyle \displayda)$ 은 $\lambda$ 스케일링 팩터입니다. $\mathbf {p}$ p(\ $displaystyle \mathbf {p})$ 와 $\mathbf {p}$ $\mathbf {x}$ x(\ $displaystyle \mathbf {x})$ 는 $\mathbf {x}$ 벡터이며 $p_{i}$ $(\$ i $x_{i}$ $p_{i}$ $x_{i}$ (\ $displaystyle x_{i$ }) 및 $반지름$ r(\ $displaystyle$ r $)$ 는 $r$ 스칼라입니다.역제곱 퍼텐셜 시스템에서 파동함수 $\psi (r)$ ( $\psi (r)$ ) { $displaystyle \psi ($ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ ) ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ ( p ^ , ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ ) { $displaystyle$ { $H$ } ( { \ $hat$ { $mathbf$ { $p$ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }}',{\hat {\mathbf {x} }}')$ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ } } ) { \ $hat$ { $mathbf$ { x ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }}',{\hat {\mathbf {x} }}')$ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ }} ^ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }}',{\hat {\mathbf {x} }}')$ ^ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ ^ ^ ^ )의 $\psi (r)$ ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$ 이기도 하다. ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }}',{\hat {\mathbf {x} }}')$ ^ $}$ { $displaystyle {H}$ {\ $hat {p}}},$ {\ $hat$ { $mathbf {x}}}}}, {\$ hat {x ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }}',{\hat {\mathbf {x} }}')$ 여기서 스케일링된 ${\hat {p}}_{i}'$ p ^ ${\hat {x}}_{i}'$ ${\hat {p}}_{i}'$ { $displaystyle {p}_$ ${$ i $}$ ${\hat {x}}_{i}'$ 및 ${\hat {x}}_{i}'$ ^i $}$ {displaystyle {x $}는$ 위와 같이 $정의됩니다.$

즉, 방사대칭파함수 $\psi (r)$ ( $r)$ {displaystyle $\$ $psi(r)}$ 가 $\psi (r)$ $고유값$ E(\ $displaystyle$ E $E$ 인 H $^(\$ $displaystyle$ { $H})$ 의 ${\hat {H}}$ 고유함수이고, $)$ { $displaystyle \psi(\lambda$ r $)}$ 도 $\psi (\lambda r)$ 고유값 $\lambda ^{2}E$ 의 고유함수임을 $의미합니다.$ $^{2}E$ 따라서 시스템의 에너지 스펙트럼은 값의 연속체입니다.

$양$ 의C {\ $displaystyle$ C}( $C$ 잠재적 전위)를 갖는 역제곱 전위의 입자가 있는 시스템은 가장 낮은 에너지 파동 함수가 없고 입자가 $r=0$ $r=0$ 에 임의로 위치하는 고유 함수가 있는 이른바 중앙 낙하 문제의 한 예이다 $.$ $laystyle$ r $=0$ ^[2] 입니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Martínez-y-Romero, R. P.; Núñez-Yépez, H. N.; Salas-Brito, A. L. (2013). "The two dimensional motion of a particle in an inverse square potential: Classical and quantum aspects" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 54 (5): 053509. doi:10.1063/1.4804356. ISSN 0022-2488.
^ Vasyuta, Vasyl M.; Tkachuk, Volodymyr M. (2016). "Falling of a quantum particle in an inverse square attractive potential". The European Physical Journal D. 70 (12). arXiv:1505.04750. doi:10.1140/epjd/e2016-70463-3. ISSN 1434-6060.

[Martínez-y-RomeroNúñez-Yépez2013-1] Martínez-y-Romero, R. P.; Núñez-Yépez, H. N.; Salas-Brito, A. L. (2013). "The two dimensional motion of a particle in an inverse square potential: Classical and quantum aspects" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 54 (5): 053509. doi:10.1063/1.4804356. ISSN 0022-2488.

[VasyutaTkachuk2016-2] Vasyuta, Vasyl M.; Tkachuk, Volodymyr M. (2016). "Falling of a quantum particle in an inverse square attractive potential". The European Physical Journal D. 70 (12). arXiv:1505.04750. doi:10.1140/epjd/e2016-70463-3. ISSN 1434-6060.

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