아놀드 혓바닥

수학, 특히 역동적인 시스템에서 아놀드 혓바닥(Vladimir Arnold의 이름을 딴 이름)^[1][2]은 역동적인 시스템의 회전수 또는 그것들의 관련 불변성 속성이 두 개 이상의 매개변수에 따라 어떻게 변화하는지 시각화하면서 발생하는 그림 현상이다. 일정한 회전수의 영역은, 일부 역동적인 시스템에서는 혀를 닮은 기하학적 모양을 형성하는 것이 관찰되어 왔으며, 이 경우 아놀드 혓바닥이라고 한다.^[3]

아놀드 혀는 생물학적 과정과^[4] 심장 전기파에 효소와 기판이 집중되는 등 진동하는 양을 수반하는 매우 다양한 자연현상 속에서 관찰된다. 때때로 진동 빈도는 어느 정도의 양에 따라 달라지거나 제약된다(즉, 어떤 맥락에서 위상 잠금 또는 모드 잠금). 이러한 관계를 연구하는 것이 종종 흥미롭다. 예를 들어, 종양의 시작은 서로 상호작용하는 일련의 물질(주로 단백질) 진동을 유발한다; 시뮬레이션은 이러한 상호작용들이 아놀드 혀를 나타나게 하고, 즉, 일부 진동의 빈도가 다른 것을 구속하며, 이것은 종양의 성장을 제어하는 데 사용될 수 있다는 것을 보여준다.^[3]

아놀드 혀를 발견할 수 있는 다른 예로는 심박동, 심장 부정맥, 심장 부정맥 및 세포 주기뿐만 아니라, 궤도를 도는 달의 궤도 공명 및 조석 잠금, 광섬유 및 위상 잠금 루프 및 기타 전자 오실레이터의 모드 잠금 등이 있다.^[5]

모드 잠금을 보여주는 가장 간단한 물리적 모델 중 하나는 약한 스프링에 의해 연결된 두 개의 회전 디스크로 구성되어 있다. 한 디스크는 자유롭게 회전할 수 있고, 다른 디스크는 모터에 의해 구동된다. 모드 잠금은 자유롭게 회전하는 디스크가 구동 회전 장치(Rotator)의 합리적인 배수의 주파수에서 회전할 때 발생한다.

모드 잠금을 나타내는 가장 간단한 수학적 모델은 별도의 시간 간격으로 회전 디스크의 움직임을 포착하려는 원 맵이다.

표준원지도

아놀드 혀는 특히 한 오실레이터가 다른 오실레이터를 구동하는 경우 오실레이터 간의 상호작용을 연구할 때 가장 자주 나타난다. 즉, 한 발진기는 다른 것에 의존하지만 다른 방법은 아니기 때문에, 예를 들어 쿠라모토 모델에서 일어나는 것처럼 상호간에 영향을 주지 않는다. 이것은 구동 오실레이터의 특별한 경우로서, 주기적인 행동을 하는 구동력을 가지고 있다. 실제적인 예로 심장 세포(외부 발진기)는 심장 수축(구동 발진기)을 자극하기 위해 주기적인 전기 신호를 생성한다. 여기서, 더 나은 인공 심장 박동기를 설계하기 위해 오실레이터의 주파수 사이의 관계를 결정하는 데 유용할 수 있다. 서클 맵 계열은 다른 많은 것들뿐만 아니라 이러한 생물학적 현상에 유용한 수학 모델 역할을 한다.^[6]

서클 맵 계열은 서클 자체에 대한 기능(또는 내형성)이다. 원 안에 점이 위치한 각도를 나타내는 modulo 2$$ {\$displaystyle 2\pi$ }을$($를) 해석해야 하는 실제 선에$$ $있는{\displaystyle }$ 점$$x {\$displaystyle x}$로 간주하는 것이 수학적으로 더 간단하다$.$ ${\displaystyle \mathrm{modulo}}$를 $㎛[\displaystyle 2$\pi$$$}$ 이외의 값으로 취했을 때, 결과는 여전히 각도를 나타내지만, 전체 범위$[{\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$㎛ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$이(가) 나타낼 수 있도록$$ 정규화해야 한다. 이를 염두에 두고 서클 맵의 패밀리는 다음과 같이 주어진다.^[7]

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Oomega }$

여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은 오실레이터의 "${\displaystyle {}_{}}$" 주파수이고 $g{\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle g(\theta _{i}})$는 외부 오실레이터에 의해 야기되는 영향을 산출하는 주기 함수다$$. $g{\displaystyle (}$ $θ$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$인 경우$${\$displaystyle$ g$(\theta _{$i})$=\theta _{i}}$ 입자는$$ 한 번에 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 단위로$$ 원을 돌기만 하면 되며, 특히 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Oomega}}$이(가) 비합리적인 경우 지도는 비합리적인 회전으로 줄어든다.

아놀드가 원래 연구한 특정 서클 ^[8]맵은 오늘날에도 계속 유용하다는 것이 증명되고 있다.

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Oomega +{\frac {K}{2\pi \theta _{i}}}$

$여기$서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 커플링 강도라고 하며, ${\displaystyle {\theta }_{}}$ i ${\$는 modulo 1 ${\displaystyle$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$$}$을$($를) $해석$해야 한다.$$$이{\displaystyle }$ 맵은 Ω$=$ $1$ / 3$$${\displaystystyle \Oome$}$매개$ 변수에 따라 매우 다양한 동작을 표시한다${\displaystyle .}$$ega =1/3}$과(와) $다른{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K$ 이 단락 주위의 분기도를 구하여 주기적인 궤도, 주기적인 이중화 및 가능한 혼란스러운 행동을 관찰할 수 있다.

원 지도 작성

동그라미 지도를 보는 또 다른 방법은 다음과 같다. Consider a function ${\displaystyle y(t)}$ that decreases linearly with slope ${\displaystyle a}$. Once it reaches zero, its value is reset to a certain oscillating value, described by a function ${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$. We are now interested in the sequence of times ${\displaystyle \{}$${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ y(t)가 0에 도달하는 시점$$.

This model tells us that at time ${\displaystyle t_{n-1}}$ it is valid that ${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$. From this point, ${\displaystyle y}$ will then decrease linearly until ${\displaystyle t_{n}}$, where the function ${$$\displaystyle y}$은(는) 0이므로 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

그리고 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$= c${\displaystyle }$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Oomega =c/a}$ $및$ K${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle b}$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K=2\pi b/a}$를 선택하여 앞에서$$ 설명한 원형 지도를 구한다.

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Oomega +{\frac {K}{2\pi }}}}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

유리, L.(2001)는 이 단순한 모델이 특정 물질의 농도를 나타내는 $위$ y${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle y(t)}$과 함께 세포나 혈액의 물질 농도의 조절과 같은 일부 생물학적 시스템에 적용 가능하다고 주장한다.

이 모델에서 위상 잠금 ${\displaystyle N}$: M ${\displaystyle$ $N$$:M}$은${\displaystyle (}$는${\displaystyle )}$ $사인파{\displaystyle }$ $z{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ y$($$t)}$ 기간마다 $정확히$ N ${\displaystyle$ $N$$}$ $재설정됨$을 의미한다$.$ $회전{\displaystyle }$ 번호는 N / ${\displaystyle N/M}$의 몫이 된다$.$^[7]

특성.

일반적인 원 내형성 계열을 고려하십시오.

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Oomega }$

where, for the standard circle map, we have that ${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$. Sometimes it will also be convenient to represent the circle map in terms of a mapping ${\displaystyle f(\theta )}$:

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Oomega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

우리는 이제 이러한 원 내형성의 몇 가지 흥미로운 특성들을 나열하는 것을 계속한다.

P1. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f}$은< ${\displaystyle$ K$<1$}에 대해 단조롭게 증가하고 있으므로$$, $이러한{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$의 값은 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$만$$ 원 안에서 앞으로 이동하며, 결코 뒤로 이동하지 않는다. 이를 확인하려면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 파생 모델은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

< ${\displaystyle K<1}$만큼 양성이 된다

P2.재발관계 확대시 ${\displaystyle {\theta n}_{}}$ ${\$:

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Oomega +{\frac {K}{2\pi }}}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3. Suppose that ${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$, so they are periodic fixed points of period ${\displaystyle n}$. Since the sine oscillates at frequency 1 Hz, the number of oscillations of the sine per cycle of ${\displaystyle \theta _{i}}$ will be ${\displaystyle M=({\theta }_n-{\theta }_{}}$${\displaystyle 0_{}}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ M$=(\theta$_{$n}-\theta _{0$}\$cdot$ 1$\},$ 따라서 $n{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n:M}$의 위상 잠금을 특징으로 한다$.$^[7]

P4. For any ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$, it is true that ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$, which in turn means that ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$. Because of this, for many purposes it does not matter if the iterates ${\displaystyle {\theta }_{}}$${\displaystyle {}_{}}$$i{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$은(는)$$계수 1 {\displaystyle $1}$ 또는$$ 그렇지 않은 것으로 간주된다$$.

P5(변환 대칭).^[9][7] 주어진 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 ${\displaystyle n}$: M ${\displaystyle n:$$시스템$에서 M$}$ 단계 잠금$$. $그런{\displaystyle }$ 다음 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ + ${\displaystyle \Oomega '=\$$Displaystyle$$$p$}$을$($를) 사용하는 경우$$ $n{\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$+ n )${\displaystyle n:(M+np)}$ 위상 잠금이 발생한다$$. This also means that if ${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$ is a periodic orbit for parameter ${\displaystyle \Omega }$, then it is also a periodic orbit for any ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$.

P6. $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K=0}$의 경우 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 합리적일$$ 때마다 위상 잠금이 발생한다$$. 더욱이 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle p}$ /${\displaystyle qq\mathbb{}}$ ${\$ 그러면 위상 $잠금$은${\displaystyle q}$ : p$${\$displaystyle q:p}$이다$.$

모드 잠금

K의 작은 값에서 중간 값(즉, K = 0에서 약 K = 1)과 Ω의 특정 값의 경우, 지도는 모드 잠금 또는 위상 잠금이라는 현상을 나타낸다. 위상이 걸린 지역에서 values_n 값은 비록 작은 규모에서는 차오티컬하게 할 수 있지만 n의 합리적인 배수로서 본질적으로 진전된다.

모드 잠김 영역의 제한 동작은 회전 번호에 의해 주어진다.

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \inflt }{\fract \\theta _{n}.}$^[10]

지도 권선 번호라고도 한다.

위상이 걸린 지역, 즉 아놀드 혀는 오른쪽 그림에서 노란색으로 표시된다. 그러한 각 V자형 영역은 K → 0의 한계에서 합리적인 값 Ω = p/q에 도달한다. 이러한 지역들 중 하나에서 (K,Ω)의 값은 모두 회전수 Ω = p/q와 같은 움직임을 야기할 것이다. 예를 들어 그림의 하단 중앙에 있는 큰 V자형 영역에 있는 (K,Ω)의 모든 값은 Ω = 1/2의 회전수에 해당한다. "잠금"이라는 용어가 사용되는 한 가지 이유는 개별 값 θ이_n 제한 회전수를 방해하지 않고 다소 큰 무작위 장애(주어진 값 K의 경우 혀의 너비까지)에 의해 동요될 수 있기 때문이다. 즉, 시리즈 θ에_n 상당한 노이즈가 추가되었음에도 불구하고 시퀀스는 신호에 대해 "잠금" 상태로 유지된다. 노이즈가 있는 상태에서 "잠금"할 수 있는 이 능력은 위상 잠금 루프 전자 회로의 효용의 핵심이다.^{[citation needed]}

모든 합리적인 숫자 p/q에 대해 모드 잠금 영역이 있다. 간혹 원 지도가 K = 0에서 측정값 0의 집합인 합리성을 K ≠ 0에 대한 비 측정값 집합에 매핑한다고 한다. 크기순으로 정렬된 가장 큰 혀는 Fary 분수에서 발생한다. 이 이미지를 통해 K를 고정하고 단면을 취하여 Ω의 함수로 Ω이 플로팅되도록 하면, 일반적으로 칸토르 기능과 유사한 형태인 "Devil's steam"을 얻게 된다. 하나는 K<1의 경우 원 지도가 차이점형주의라는 것을 보여줄 수 있는데, 거기에는 오직 하나의 안정적인 해결책만이 존재한다. 그러나 K>1이 더 이상 유지되지 않고 두 개의 잠금 영역이 겹치는 영역을 찾을 수 있다. 서클 맵의 경우, 이 지역에서는 두 개 이상의 안정 모드 잠금 영역이 중복될 수 없다는 것을 보여줄 수 있지만, 일반 동기화 시스템에 대해 겹치는 아놀드 언어의 수에 제한이 있다면 알 수 없다.^{[citation needed]}

서클 지도에는 혼돈에 대한 하위 조화 경로, 즉 3, 6, 12, 24 형식의 두 배인 기간이 표시된다.

치리코프 표준지도

치리코프 표준지도는 서클 지도와 관련이 있어, 유사한 재발 관계를 가지고 있으며, 이 지도는 다음과 같이 표기될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\theta _{n1}&=\theta _{n}{n}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n}\n+1}&=\tta _{n1}-{n1}-end}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

두 개의 반복이 모두 1모듈로 찍혔어 본질적으로 표준지도는 원형지도에 있는 것처럼 강제적인 고정보다는 역동적으로 변화할 수 있는 모멘텀 p를_n 도입한다. 표준지도는 발차기 로터 해밀턴을 통해 물리학에 연구된다.

적용들

아놀드 혓바닥은 의 연구에 적용되어 왔다.

• 심장 박동 - Glass, L. et al.(1983) 및 McGuinness, M. et al. 참조. (2004)
• 공명 터널링 다이오드 오실레이터의^[11] 동기화

갤러리

모드 잠금 영역 또는 아놀드 혓바닥을 검은색으로 표시한 원형 지도. Ω은 X축을 따라 0부터 1까지 다양하며, K는 하단의 0부터 상단의 4㎛까지 다양하다. 빨간색이 될수록 재발시간이 길다.

회전 번호로, 검은색은 0, 녹색은 1/2, 빨간색은 1에 해당된다. Ω은 X축을 따라 0부터 1까지 다양하며, K는 하단의 0부터 상단의 2π까지 다양하다.

참고 항목

• 스터미어

메모들

참조

• Weisstein, Eric W. "Circle Map". MathWorld.
• Boyland, P.L. (1986). "Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals". Communications in Mathematical Physics. 106 (3): 353–381. Bibcode:1986CMaPh.106..353B. doi:10.1007/BF01207252. S2CID 121088353.
• Gilmore, R.; Lefranc, M. (2002). The Topology of Chaos: Alice in Stretch and Squeezeland. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-40816--6. - 섹션 2.12의 기본 사실에 대한 간략한 리뷰를 제공한다.
• Glass, L.; Guevara, M.R.; Shrier, A.; Perez, R. (1983). "Bifurcation and chaos in a periodically stimulated cardiac oscillator". Physica D: Nonlinear Phenomena. 7 (1–3): 89–101. Bibcode:1983PhyD....7...89G. doi:10.1016/0167-2789(83)90119-7. - 서클맵의 컨텍스트에서 심박동 상세분석 수행
• McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). "Arnold tongues in human cardiorespiratory systems". Chaos. 14 (1): 1–6. Bibcode:2004Chaos..14....1M. doi:10.1063/1.1620990. PMID 15003038.

외부 링크

• 대화형 Java 애플릿이 포함된 원형 지도