호모클린 궤도

수학에서, 동음이의 궤도는 안장 평형점을 자신에게 결합하는 역동적인 시스템의 흐름의 궤적이다.더 정확히 말하면, 균질 궤도는 평형의 안정 다지관과 불안정한 다지관의 교차점에 놓여 있다.

ODE가 설명한 연속 동적 시스템을 고려하십시오.

${\dot}{x}=f(x)}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 평형이 있다고 가정하면$,$ 솔루션 $\phi {\displaystyle \mathrm{}(t}$ )${\displaystyle }$($t$ ) {\$displaystyle \Phi$ (t$)}$은(는) 동음극 궤도라고$$ 한다.

${\displaystyle \Phi (t)\오른쪽 화살표 x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\오른쪽 화살표 \pm \infty }$

위상공간이 3차원 이상일 경우 안장점의 불안정 다지관의 위상을 고려하는 것이 중요하다.그 수치들은 두 가지 경우를 보여준다.첫째, 안정 다지관이 위상학적으로 원통형일 때, 둘째, 불안정한 다지관이 위상학적으로 뫼비우스 띠일 때, 이 경우 호모클린 궤도를 뒤틀림이라고 한다.

이산동력계

동음이의 궤도 및 동음이의점은 시스템의 일부 고정점 또는 주기점의 안정적 집합과 불안정한 집합의 교차점으로서, 반복함수에 대해 동일한 방법으로 정의된다.

우리는 또한 이산 동적 시스템을 고려할 때 동음이의 궤도 개념을 가지고 있다.이 경우 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle M}$ ${\디스플레이 스타일$ f$:$$M\rightarrow M$$}$은(는) 다지관 $M{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ M}의 차이점이며$,$$$우리는 $x{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ x$}$이(가) 동일한 과거와 미래를 가지고 있다면 동음이의점이라고$$ 말한다. 더 구체적으로는, 다음과 같은$$ 고정(또는 주기적) p ${\displaystystyle p}$이 있는 경우.

${\displaystyle \lim _{n\오른쪽 화살표 \pm \infit }f^{n}(x)=p.}$

특성.

하나의 동음이의점의 존재는 무한한 수의 그것들의 존재를 암시한다.^[1]이것은 안정적이고 불안정한 집합의 교차점이라는 그것의 정의에서 온다.두 세트 모두 정의상 불변하므로, 동음이의 점의 전방 반복이 안정적이고 불안정한 세트 둘 다에 있다는 것을 의미한다.N번 반복함으로써, 지도는 안정 집합에 의해 평형점에 접근하지만, 반복할 때마다 불안정한 다지관에도 있어, 이 특성을 보여준다.

이 속성은 복잡한 역학이 동음이의점의 존재에 의해 발생함을 암시한다.실제로 ^[2]스마일(1967)은 이러한 점들이 역학처럼 편자 지도로 이어진다는 것을 보여주었는데, 이는 혼돈과 관련이 있다.

상징역학

마르코프 칸막이를 사용함으로써 쌍곡선 시스템의 오랜 행태를 상징적 역학의 기법으로 연구할 수 있다.이 경우, 동음이의 궤도는 특히 단순하고 명확한 표현을 가지고 있다.$S{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle \dots ,M}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ S$=\{1,2,\ldots,M\}}$이(가) M 기호의 유한 집합이라고 가정하자.점 x의 역학은 두 개의 무한 줄의 기호로 표현된다.

${\displaystyle \sigma =\{{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots }):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathb {Z}\}}}}}}}}}}}}$

그 시스템의 주기적인 점은 단순히 글자의 반복적인 순서일 뿐이다.이질 궤도는 두 개의 뚜렷한 주기적 궤도를 결합하는 것이다.라고 써도 좋다.

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}}}$

where ${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$ is a sequence of symbols of length k, (of course, ${\displaystyle t_{i}\in S}$), and ${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$ is another sequence of symbols, of length m (likewise, ${\displays$$tyle r_{i}\in$ S$}$ $$)$p{\displaystyle {}^{}}$ ${\$라는 표기법은 p의 무한 반복을$$ 단순히 나타낸다.따라서, 이질 궤도는 하나의 주기적인 궤도에서 다른 주기적인 궤도로의 이행으로 이해할 수 있다.이와는 대조적으로, 동음이의 궤도는 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}}}$

중간 시퀀스 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1초\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$n {\$displaystyle s_{1}s_{$2}s_{2}\$cdots s_{$n}}은(는$$) 비반복적이며, 물론 p가 아닌(는) 궤도는 p ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\$ p$^{\omega }}}}}$일 것이다$.$

참고 항목

• 이질 궤도
• 동음이의 분기점

참조

• 존 구켄하이머와 필립 홈즈, 비선형 진동, 동력학 시스템 및 벡터 필드의 분기점(적용 수학 과학 제42권), 스프링거

외부 링크

• 헤논 지도에서 자바 애플릿과 코멘트가 있는 동음이의 궤도