구조 안정성

Structural stability

수학에서 구조적 안정성은 동적 시스템의 기본 특성으로 궤도의 질적 거동이 작은 섭동의 영향을 받지 않는다는 것을 의미한다(정확한 C-작은1 섭동).

그러한 정성적 특성의 예로는 고정점의 수와 주기적 궤도(주기는 제외)가 있다.고정 시스템에 대한 초기 조건의 섭동을 고려하는 랴푸노프 안정성과 달리, 구조적 안정성은 시스템 자체의 섭동을 다룬다.이 개념의 변형은 일반 미분 방정식의 시스템, 매끄러운 다양체와 그에 의해 생성된 흐름의 벡터장 및 미분 형상에 적용된다.

1937년 알렉산드르 안드로노프와 레프 폰트랴긴은 구조적으로 안정된 시스템을 "시스테메스 그로시에" 또는 거친 시스템이라는 이름으로 도입했다.그들은 평면 내 거친 시스템의 특성화, Andronov-Pontryagin 기준을 발표했다.이 경우, 구조적으로 안정된 시스템이 전형적이며, 적절한 토폴로지를 가진 모든 시스템의 공간에 개방 밀도 집합을 형성합니다.고차원에서는 이것이 더 이상 사실이 아니며, 이는 전형적인 역학이 매우 복잡할 수 있음을 나타냅니다(cf 이상한 유인기).임의의 차원에서 구조적으로 안정된 시스템의 중요한 클래스는 아노소프 미분형태와 흐름에 의해 주어진다.

정의.

G를 R에서n 콤팩트한 닫힘과 매끄러운 (n-1)차원 경계를 갖는 열린 도메인으로 한다.G의 경계에 횡단하고 안쪽으로 향하는 R 위의n C 벡터장의 G에1 대한 제한으로 구성된 공간1 X(G)를 고려해보자.이 공간에는 통상적인 방법으로 C 메트릭이1 부여되어 있습니다.벡터장 F δ1 X(G)는 충분히 작은 섭동1 F에 대해 대응하는 플로우가 G상에 위상적으로 등가하면 약구조적으로 안정적이다.F의 지향궤적을1 F의 지향궤도로 변환하는 동종동형 h:G → G가 존재한다.또한 F가 θ에 따라 F의 적절한 근방에 속할 때1 θ > 0에 대해 동형 h를 Cθ-근접으로 선택할0 수 있으면 F를 (강력하게) 구조적으로 안정적이라고 한다.이러한 정의는 경계가 있는 n차원 콤팩트 매끄러운 다지관의 경우로 직접적인 방식으로 확장된다.안드로노프와 폰트랴긴은 원래 강한 재산으로 여겨졌다.벡터 필드 및 흐름 대신 미분 형상에 대해 유사한 정의를 내릴 수 있습니다. 이 설정에서는 동종 형질 h가 위상 공역이어야 합니다.

평활성의 손실과 함께 위상적 등가성이 실현된다는 것을 주목하는 것이 중요하다. 즉, 지도 h는 일반적으로 미분 동형이 될 수 없다.또한 위상적 등가성은 지향적 궤적을 존중하지만 위상적 공역성과는 달리 시간 호환성이 없다.따라서 위상 등가의 관련 개념은 벡터장의 순수1 C 결합성의 상당한 약화이다.이러한 제약이 없었다면 고정점이나 주기적 궤도를 가진 연속 시간 시스템은 구조적으로 안정적일 수 없었을 것이다.약한 구조적으로 안정된 시스템은 X(G)에서1 열린 집합을 형성하지만, 강한 경우 동일한 특성이 유지되는지 여부는 알려지지 않았다.

예

Andronov 및 Pontryagin의 기초 논문에서 경계에 횡단하는 단위 디스크 D 및 2구2 S 위의 C 벡터장의 구조적1 안정성을 위한 필요충분조건이 결정되었다.Andronov-Pontryagin 기준에 따르면, 이러한 필드는 모두 비퇴화(하이퍼볼릭)이고 안장-안장 연결이 없는 단수점(균형 상태)과 주기적 궤적(한계 주기)이 완전히 많은 경우에만 구조적으로 안정적이다.또한, 이 계의 비궤도 집합은 정확히 특이점과 주기적 궤도의 결합이다.특히, 2차원의 구조적으로 안정된 벡터장은 앙리 푸앵카레가 발견한 것처럼 동역학을 엄청나게 복잡하게 만드는 동질적인 궤적을 가질 수 없다.

토러스상의 비싱글 평활 벡터장의 구조적 안정성은 푸앵카레와 아르노 덴조이가 개발한 이론을 사용하여 조사할 수 있다.Poincaré 반복 지도를 사용하여, 질문은 원의 미분 동형의 구조적 안정성을 결정하는 것으로 축소된다.덴조이 정리의 결과, 원의 C 미분형성 θ를2 보존하는 배향은 그 회전수가 유리하고, 주기 q를 가지는 주기 궤적이 모두 비퇴화일 경우에만 구조적으로 안정적이다: 주기점에서의 θ의q 야코비안이 1과 다르다.

드미트리 아노소프는 아놀드의 고양이 지도와 같은 토러스의 쌍곡 자기동형이 구조적으로 안정적이라는 것을 발견했다.그리고 나서 그는 이 진술을 더 넓은 클래스의 시스템으로 일반화했고, 그 이후로는 Anosov 미분형 및 Anosov 흐름으로 불리고 있다.아노소프 흐름의 유명한 예 중 하나는 일정한 음의 곡률 표면에서의 측지학 흐름 cf Hadamard 당구입니다.

역사와 의의

시스템의 구조적 안정성은 동적 시스템의 질적 이론을 구체적인 물리적 시스템의 분석에 적용하기 위한 근거를 제공한다.이러한 정성적 분석의 개념은 앙리 푸앵카레의 천체역학에서의 삼체 문제에 대한 연구로 거슬러 올라간다.비슷한 시기에 알렉산드르 리아푸노프는 개별 시스템의 작은 섭동의 안정성을 엄격하게 조사했다.실제로, 다양한 작은 상호작용의 존재로 인해 시스템의 진화 법칙(즉, 미분 방정식)은 결코 정확히 알려지지 않았다.그러므로, 진화가 알려진 물리 법칙에 의해 지배되는 "모델" 시스템의 작은 섭동에 대해 동역학의 기본 특징이 동일하다는 것을 아는 것이 중요하다.질적 분석은 1920년대에 조지 버크호프에 의해 더욱 발전되었지만, 1937년 안드로노프와 폰트랴긴에 의해 거친 시스템의 개념을 도입하면서 처음 공식화 되었다.이는 Andronov, Witt, Khaikin의 진동이 있는 물리적 시스템의 분석에 즉시 적용되었다."구조 안정성"이라는 용어는 솔로몬 레프셰츠가 그들의 논문을 영어로 번역하는 것을 감독했기 때문입니다.구조 안정성에 대한 생각은 1960년대에 스티븐 스메일과 그의 학교에 의해 쌍곡선 역학이라는 맥락에서 받아들여졌다.앞서, Marston Morse와 Hassler Whitney가 시작하였고 René Thom은 특이점 이론의 핵심 부분을 형성하는 미분 가능한 지도를 위한 평행 안정 이론을 개발하였다.톰은 이 이론을 생물학적 시스템에 적용할 것을 예상했습니다.스말레와 톰 모두 1950년대 후반에 페이소토의 정리를 개발한 마우리시오 페이소토와 직접 접촉했다.

스메일이 쌍곡선 동적 시스템의 이론을 개발하기 시작했을 때, 그는 구조적으로 안정된 시스템이 "전형적"이기를 바랐다.이것은 흐름의 경우 차원 2와 미분 동형의 경우 차원 1과 같이 낮은 차원의 상황과 일치합니다.그러나, 그는 곧 임의로 작은 섭동에 의해 구조적으로 안정될 수 없는 고차원 다양체에서 벡터장의 예를 발견했다. (이러한 예는 나중에 3차원의 다양체에 구성되었다.)즉, 고차원에서는 구조적으로 안정된 시스템이 조밀하지 않습니다.또한 구조적으로 안정된 시스템은 위상 공간이 콤팩트하더라도 쌍곡선 안장 폐쇄 궤도와 무한히 많은 주기 궤도의 횡단적 호모클리닉 궤적을 가질 수 있다.Andronov와 Pontryagin에 의해 고려된 구조적으로 안정된 시스템의 가장 가까운 고차원 유사점은 Morse-Smale 시스템에 의해 주어진다.

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레퍼런스

  • Andronov, Aleksandr A.; Lev S. Pontryagin (1988) [1937]. V. I. Arnold (ed.). "Грубые системы" [Coarse systems]. Geometric Methods in the Theory of Differential Equations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 250. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-96649-8.
  • D. V. Anosov (2001) [1994], "Rough system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  • Charles Pugh and Maurício Matos Peixoto (ed.). "Structural stability". Scholarpedia.