폰트랴긴급

수학에서, 레프 폰트랴긴의 이름을 딴 폰트랴긴 계급은 실제 벡터 번들의 특정한 특성 계급이다.폰트랴긴 계급은 4의 배수로 코호몰로지 그룹에 있다.

정의

M에 대한 실제 벡터 번들 E가 주어지면, 그것의 k-th Pontryagin 클래스 p ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle p_{k}(E)}$는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle p_{k}(E,\mathb {Z})=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathb {C})\in H^{4k}(M,\mathb {Z}),}$

여기서:

• ${\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}$ denotes the ${\displaystyle 2k}$-th Chern class of the complexification ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}$ of E,
• ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{4k}}^{}M}$, ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathb {Z}$)는 정수 계수를 가진 M의 ${\displaystyle \mathrm{4k}}$ ${\displaystyle 4k}$ - cohomology$$ 그룹이다$$.

The rational Pontryagin class ${\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}$ is defined to be the image of ${\displaystyle p_{k}(E)}$ in ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}$, the ${\displaystyle 4k}$-cohomology group of M with rational coefficients.

특성.

폰트랴긴 총반

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathb {Z}),}$

(modulo 2-torsion) 벡터 번들의 Whitney 합계와 관련하여 곱하기입니다, 예를 들어,

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}$

2개의 벡터 번들 E와 F에 대해 M에 대해.개별 폰트랴긴급 p_k,

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}$

등등.

폰트랴긴 계급의 소멸과 스티펠-벡터 번들의 휘트니 클래스는 벡터 번들이 사소한 것이라고 보장하지 않는다.For example, up to vector bundle isomorphism, there is a unique nontrivial rank 10 vector bundle ${\displaystyle E_{10}}$ over the 9-sphere. (The clutching function for ${\displaystyle E_{10}}$ arises from the homotopy group ${\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\math$$bb {Z} /2\mathb {Z} }.)$폰트랴긴 계급과 스티펠 휘트니 계급은 모두 사라진다: 폰트랴긴 계급은 학위 9에 존재하지 않는다. 그리고 스티펠--E의₁₀ 휘트니 등급 w는₉ W₉ = ww₁₈ + Sq¹(w₈) 공식에 의해 사라진다.게다가 이 벡터 번들은 확실히 비교가 안 된다. 즉, 사소한 번들이 있는 E의₁₀ Whitney 합계는 비교가 안 된다.(Hatcher 2009, 페이지 76)

2k 차원 벡터 번들 E를 통해

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}$

여기서 e(E)는 E의 오일러 클래스를 나타내며, $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle \smile}$은 코호몰로지 클래스의 컵 제품을 나타낸다$$.

폰트랴긴 등급 및 곡률

1948년경 시잉센체르와 안드레 웨일(André Weil)이 보여준 바와 같이 이성적인 폰트랴긴 계급을 말한다.

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

벡터 번들의 곡률 형태에 따라 다항식적으로 의존하는 미분형 형태로 나타날 수 있다.이 체르-와일 이론은 대수적 위상과 지구적 미분 기하학 사이의 주요한 연관성을 드러냈다.

연결이 장착된 n차원 가변 다지관 M 위의 벡터 번들 E의 경우, 총 폰트랴긴 등급은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

여기서 Ω은 곡률 형태를 나타내고, H*(_dRM)은 de Rham cohomology 그룹을 나타낸다.^[1]

다지관의 폰트랴긴급

매끄러운 다지관의 폰트랴긴 등급은 접선다발의 폰트랴긴 등급으로 정의된다.

노비코프는 1966년 두 개의 콤팩트하고 지향적이며 매끄러운 다지관이 동형이라면 H(M, Q)의^4k 이성적인 폰트랴긴 클래스_k p(M, Q)가 같다는 것을 증명했다.

치수가 최소 5개일 경우, 주어진 호모토피 타입과 폰트랴긴 계급을 가진 여러 가지 매끄러운 다지관이 있다.

체른계급의 폰트랴긴계급

$복합{\displaystyle }$ 벡터 번들${\displaystyle }$ry : E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi$:$E\to X}$는 체르누스 계급에 의해 완전히 결정될 수 있다$$.이는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle E\stackrel{}{}\oplus }$ ${\displaystyle E\stackrel{}{}}$ ⊕ E { E { E $ot$ E$ot$ _$$_ _ _ _ _ _ _$_${\$mathb {R} \$c}\$mathb$ {C}$\cong$ E\oplus ${\bar$ {E$}$ \c} \c$}$\c} \complex connewallevecong의 체르 등급의 속성에서 비롯된다.That is, ${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$ and ${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$.그렇다면, 이것은 관계를 고려한 것이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=\\(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot \\(1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))\end{aligned}}}$^[2]

예를 들어, 우리는 이 공식을 적용하여 곡선과 표면에 벡터 번들의 폰트랴긴 클래스를 찾을 수 있다.커브에서는

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E)=1+c_{1}(E)^{2}}$

그래서 모든 폰트랴긴 계급의 복잡한 벡터 번들은 하찮은 것이다.표면상으로는, 우리는

${\displaystyle(1-c_{1}(E)+c_{2}(E)(1+c_{1}(E)+c_{2}(E)=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)}$

표시 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$= c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {E\mathrm{}}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$- 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}E}$) ${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E$ 온라인 번들에는 차원별로$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$(${\displaystyle L}$ ${\displaystyle )}$ = ${\displaysty c_{2}(L)=0}$이 있으므로 더 단순화된다.

Quartic K3 지표면의 폰트랴긴 클래스

$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 소멸되는 위치가 평활 하위 변수인$$ 사분위 다항식이 K3 표면이라는 점을 상기하십시오.만약 우리가 정상적인 순서를 사용한다면

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}_{X}\to {\mathcal {T}_{\mathb {CP}^{3}}_{X}\to {\mathcal {O}(4)\to 0}$

우리는 찾을 수 있다.

${\displaystyle{\begin}c({\mathcal{T}_{X})&={\frac {c({\mathcal{T}}_{\mathb{CP}^3}}{X}}}}{\mathcal{O}(4)}}\\&={\frac{(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot(1-4[H]+16[H]^{2})\&=1+6[H]^{2}\ed}}}}}$

showing ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ and ${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$. Since ${\displaystyle [H]^{2}}$ corresponds to four points, due to Bezout's lemma, we have the second chern number as ${\displaystyle 24}$. Since ${\displaystyle p_1(X)=-2c_2(X)}$${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$ 이 경우에는$$

${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 48}$ ${\displaystyle p_{1}(X)=-48$ 이 숫자는 구들의 세 번째 안정적인 호모토피 그룹을 계산하는 데 사용할 수 있다.^[3]

폰트랴긴 수

폰트랴긴 수는 매끄러운 다지관의 특정한 위상학적 불변성이다.다지관 M의 각 폰트랴긴 번호는 M의 치수가 4로 분할되지 않으면 사라진다.다지관 M의 폰트랴긴 등급에 따라 다음과 같이 정의된다.

부드러운 ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle 4n}$ -차원$$ 다지관 M과 자연수 집합이 주어

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{k\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle k_{}}$ m$${\$displaystyle k_{1},k_{$2${\displaystyle \},\backslash }$$ldots,$${\displaystyle {}_{}}$${$${\displaystyle m_{}{}_{}{}_{}k}$= n {\$displaysty k_{1$}+$k_{2}+}+\cdots +k_{m}=n$ .

폰트랴긴 번호 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {k{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}}_{}}$k ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\$은(는) 다음을 통해 정의된다$$.

${\displaystyle P_{k_{1}, k_{2},\dots, k_{m}}=p_{k_{1}}}}{1}:{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_}}{m}([M])}}}}}}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 k-th Pontryagin 클래스와 [M]의 기본 클래스를 나타낸다.

특성.

1. 폰트랴긴 수는 지향적인 코보디즘 불변하며, 스티펠 휘트니 숫자와 함께 그들은 지향적인 다지관의 지향적인 코보디즘 등급을 결정한다.
2. 닫힌 리만 다지관의 폰트랴긴 수( 폰트랴긴 등급뿐만 아니라)는 리만 다지관의 곡률 텐서로부터 특정 다항식의 통합으로 계산할 수 있다.
3. 서명 및 $A{\displaystyle \hat{}}$ ${\$ -genus와 같은 불변량은 폰트랴긴 숫자를 통해 표현할 수 있다.서명을 제공하는 폰트랴긴 숫자의 선형 조합을 설명하는 정리는 Hirzebruch 시그니처 정리를 참조한다.

일반화

또한 쿼터니온 구조를 가진 벡터 번들을 위한 쿼터니오닉 폰트랴긴 클래스도 있다.

참고 항목

• 체르-시몬스 양식
• 히르제브루치 시그니처 정리

참조

• Milnor John W.; Stasheff, James D. (1974). Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies. Princeton, New Jersey; Tokyo: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.
• Hatcher, Allen (2009). "Vector Bundles & K-Theory" (2.1 ed.). {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)

외부 링크

• "Pontryagin class", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]