회전수

역사

행성의 궤도의 근위(erihelion)의 경과와 관련하여 1885년 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)에 의해 처음으로 정의되었다. 푸앵카레는 후에 회전수의 합리성 측면에서 주기적인 궤도의 존재를 특징짓는 정리를 증명했다.

f: S¹ → S가¹ 원 S¹ = R/Z의 방향성 보존 동형성이라고 가정하자. 그런 다음 f를 실선의 동형성 F: R → R로 끌어올려 만족시킬 수도 있다.

F(x+m)=F(x)+m

모든 실수 x 및 정수 m에 대해.

f의 회전수는 F의 반복 단위로 정의된다.

\omega(f)=\lim _{n\to \inflt }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}}.

앙리 푸앵카레는 한계가 존재하고 출발점 x의 선택과 무관하다는 것을 증명했다. 리프트 F는 고유한 모듈로 정수기 때문에 회전 번호는 R/Z의 잘 정의된 요소다. 직관적으로 f의 궤도를 따라 평균 회전각을 측정한다.

f가 2㎛(여기서 0㎛<1)만큼 회전하는 경우

F(x)=x+\theta ,

그 다음 회전번호는 θ이다(cf 비이성 회전).

회전수는 위상학적 결합에 따라 불변하며, 심지어 단조로운 위상학적 반주기도: f와 g가 원의 두 개의 동태형이라면

(\디스플레이 스타일 h\put f=g\put h}

원 자체의 단조로운 연속 지도 h에 대해(꼭 가정형체일 필요는 없음) f와 g는 동일한 회전 번호를 갖는다. 푸앵카레와 아르노드 덴조이가 원의 동질성을 위상학적으로 분류하는 데 사용하였다. 두 가지 뚜렷한 가능성이 있다.

f의 회전수는 합리적인 수 p/q이다(최저 용어로). 그 다음 f는 주기적인 궤도를 가지고 있고, 모든 주기적인 궤도에 주기 q를 가지고 있으며, 그러한 궤도에 있는 점들의 순서는 p/q 로 회전하는 점들의 순서와 일치한다. 더욱이 f의 모든 전방 궤도는 주기적인 궤도로 수렴된다. f의⁻¹ 반복에 해당하는 후진 궤도에 대해서도 마찬가지지만, 전방과 후방 방향으로의 제한 주기 궤도는 다를 수 있다.
f의 회전번호는 비합리적인 숫자 is이다. 그 후 f는 주기적인 궤도를 가지고 있지 않다(이것은 주기적인 지점 x of f를 고려하는 즉시 뒤따른다). 두 개의 서브케이스가 있다.

거기에는 밀도가 높은 궤도가 존재한다. 이 경우 f는 θ 각도에 의한 비합리적인 회전에 위상적으로 결합되며 모든 궤도는 밀도가 높다. Denjoy는 f가 연속적으로 두 번 다를 때 항상 이 가능성이 실현된다는 것을 증명했다.
F 아래 칸토어 집합 C 불변제가 존재한다. 그 다음 C는 고유한 최소 집합이며, 전방과 후방 방향의 모든 점의 궤도는 C로 수렴한다. 이 경우 f는 θ에 의한 비합리적인 회전에 대한 세미콘쥬게이트로, 도 1의 세미콘쥬크레이션 맵 h는 C의 보완 요소에서 일정하다.

회전번호는 원의 동형성 그룹( $C^{0}$ 0 $C^{0}$ {\ $displaystyle C^{0}$ 위상 $C^{0}$ )에서 원으로 지도로 볼 때 연속된다.

M.R. Herman, Sur la concaison differentable des des des differorphises du cercle at des currations, Public. 수학. IHES, 49 페이지(1979년) 5-234
세바스티안 판 스트리엔, 회전 번호와 푸앵카레 정리(2001)