쓰기

매듭 이론에서, 쓰기 수량에 대한 몇 가지 경쟁 개념, 즉 Wr이 있다.어떤 의미에서는 순수하게 지향적인 링크 다이어그램의 속성이며 정수 값을 가정한다.또 다른 의미에서는 수학 매듭(또는 어떤 닫힌 단순 곡선)의 "코일링"의 양을 3차원 공간에서 설명하고 실제 숫자를 값으로 가정하는 수량이다.두 경우 모두 쓰기 수량은 기하학적 수량으로, 위상이 변하지 않는 방식으로 곡선(또는 다이어그램)을 변형하는 동안 쓰기 수량을 변경할 수 있다.^[1]

링크 다이어그램 쓰기

매듭 이론에서 쓰기란 지향적인 링크 다이어그램의 속성이다.쓰기 작업은 총 양의 교차 수에서 음의 교차 수를 뺀 값이다.

방향은 각 구성 요소의 한 지점에서 링크에 할당되고 이 방향은 각 구성 요소를 중심으로 쭉 따라간다.각각의 건널목은 이 방향으로 이동하는 동안 마주치기 때문에 아래 가닥이 오른쪽에서 왼쪽으로 가면 건널목이 양이고, 아래 가닥이 왼쪽에서 오른쪽으로 가면 건널목이 음이다.이것을 기억하는 한 가지 방법은 오른손 법칙의 변화를 이용하는 것이다.

긍정적인 건널목		네거티브 건널목

매듭 다이어그램의 경우, 어느 한 방향으로든 오른쪽 규칙을 사용하면 동일한 결과가 제공되므로 쓰기 작업이 지향적이지 않은 매듭 다이어그램에 잘 정의되어 있다.

매듭의 쓰기는 세 가지 리드미스터 움직임 중 두 가지에 영향을 받지 않는다: 타입 II와 타입 III의 동작은 쓰기에는 영향을 미치지 않는다.그러나 리드미스터 이동 타입 1은 쓰기 횟수를 1회 증가시키거나 감소시킨다.이는 매듭 자체의 동위원소 불변성이 아니라 도표만 있다는 것을 의미한다.Type I의 일련의 움직임에 의해 주어진 매듭에 대한 다이어그램의 쓰기 작업을 정수로 설정할 수 있다.

닫힌 곡선의 쓰기

쓰기 역시 3차원 공간에서 곡선으로 표현되는 매듭의 속성이다.엄밀히 말하면, 매듭은 수학적으로 3차원 유클리드 공간에 원을 내장한 것으로 정의되는 그러한 곡선이다³. 다른 유리한 지점에서 곡선을 보면 다른 투영을 얻을 수 있고 그에 상응하는 매듭 도표를 그릴 수 있다.그것의 Wr (공간 곡선 감각에서)은 모든 유리한 지점에서 투영으로부터 얻은 적분 쓰기 값의 평균과 같다.^[2]따라서, 이 상황에서 쓰기는 가능한 값으로 어떤 실수도 차지할 수 있다.^[1]

Wr은 적분으로 계산할 수 있다.$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를$)$ 부드럽고 단순하며 닫힌 곡선으로 하고 r $1{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ {\$displaystyle$\mathbf {$r} _{$1$}$ 및$$ $r$$2{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$\mathbf {$r} _{$2}}을$C$ ${\displaystystystyle C}$에 포인트로$$ 두십시오$.$ 그러면 쓰기 작업이 수행됩니다.

${\displaystyle Wr={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right ^{3}}}}$.

공간 내 원곡선 쓰기에 필수적인 Gauss에 대한 수치적 근사치

공간의 곡선을 위한 쓰기는 이중 적분으로 정의되기 때문에, 먼저 $우리$의$$곡선을 N {\$displaystyle$ N} 선 세그먼트의 유한 체인으로 나타냄으로써 그 값을 숫자로 추정할 수 있다.레빗이 단백질 접힘에 대한 설명을 위해 처음 도출한 절차와 나중에 클레닌과 랭고스키에 의해 슈퍼코일 DNA에 사용된 절차는 계산하는 것이다.

${\displaystyle Wr=\sum _{i=1}{{N}\sum _{j=1}{j=1}{j=1}{j}}{4\pi }}}}}}{i=2}}:sum _{j<i}{\frac{ij}}}{ij}}}}{ij}}}}}}}{ij}}}}}{ij}}}{ij}}}}}}}}}}}}}}}{ij.$

where ${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$ is the exact evaluation of the double integral over line segments ${\displaystyle i}$ and ${\displaystyle j}$; note that ${\displaystyle \Omega _{ij}=\Omega _{ji}}$ and ${\displaystyle \Omega _{i,i+$$1}=\오메가 _{i}=0}$^[4].

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$/ ${\displaystyle \mathrm{4\pi }}$ ${\$$displaystyle$ $\Oomega$ $_$${ij}/{$$\pi$ $}}$을(를$)$ 평가하려면 두 세그먼트 1, 2, 3 및 4의 끝점에 번호를 매긴다$.$$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$ 끝점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에서 시작하여$$ 끝점 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에서 끝나는 벡터가 되도록$$ 한다$.$ 다음 양을 정의하십시오.^[4]

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left r_{13}\times r_{14}\right }},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left r_{14}\times r_{24}\right }},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left r_{24}\times r_{23}\right }},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left r_{23}\times r_{13}\right }}}$

그런^[4] 다음 우리는 계산한다.

${\displaystyle \Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

마지막으로, 가능한 신호 차이를 보상하고 4 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 4\pi }$로 나누어$$ 얻는다^[4].

${\displaystyle {\frac {\pi}}{4\pi }={\frac{*}}{{4\pi }}}}{\cdot{13}\rift}\lift(r_{34}\time r_{12}\right)\cdot r_{13}\오른쪽).}$

또한 쓰기 계산을 위한 다른 방법들은 수학적으로나 알고리즘적으로 충분히 설명될 수 있는데, 그 중 일부는 위의 방법(선형 복잡성을 가지고 있어 2차 연산 복잡성을 가지고 있다)을 능가한다.^[4]

DNA 위상에서의 응용 프로그램

DNA는 고무 호스나 밧줄처럼 꼬일 때 감겨질 것이고, 그래서 생물학자들은 이 비틀림 스트레스의 결과로 DNA 조각이 변형되는 양을 설명하기 위해 쓰기 수량을 사용하는 것이다.일반적으로 쓰기에 의해 코일이 형성되는 이러한 현상을 DNA 슈퍼코일링이라고 하며 상당히 흔한 현상이며, 사실 대부분의 유기체에서 DNA는 부정적으로 슈퍼코일링된다.^[1]

DNA뿐만 아니라 어떤 탄성봉도 동시에 봉을 풀고 구부리는 작용인 코일링으로 비틀림 스트레스를 완화시킨다.F. Brock Fuller는 수학적으로^[5] "로드의 중심 곡선이 휘는 횟수를 증가시키는 코일을 형성할 경우 로드의 국부적 비틀림으로 인한 탄성 에너지가 감소할 수 있다"고 보여준다.

참고 항목

• DNA 슈퍼코일링
• 링크 번호
• 리본 이론
• 트위스트(수학)
• 권선번호

참조

추가 읽기

• Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1