크롤의 정리

수학에서, 그리고 더 구체적으로 고리 이론에서 볼프강 크롤의 이름을 딴 크롤의 정리는, 0이 아닌 고리는^[1] 적어도 하나의 최대 이상을 가지고 있다고 단언한다.이 정리는 1929년 트랜스피나이트 유도를 사용한 크롤에 의해 증명되었다.이 정리는 조른의 보조마법을 이용한 간단한 증거를 인정하며, 사실 조른의 보조마사와 동등하며,^[2] 이는 결국 선택의 공리와 같다.

변형

• 비전투적인 반지의 경우, 최대 좌뇌 이상과 최대 우뇌 이상에 대한 유사점도 또한 존재한다.
• 사이비 링의 경우, 정리는 규칙적인 이상을 유지한다.
• 유사한 방법으로 증명할 수 있는 약간 더 강한(그러나 동등한) 결과는 다음과 같다.

R을 반지로 하고, 내가 R의 적절한 이상이 되게 하라.그리고 I를 포함하는 R의 최대 이상이 있다.

이 결과는 I를 제로 이상(0)으로 받아들임으로써 원래의 정리를 내포하고 있다.반대로 원래의 정리를 R/I에 적용하면 이런 결과가 나온다.

더 강한 결과를 직접적으로 증명하기 위해서, I를 포함한 모든 R의 모든 적절한 이상에 대해 정해진 S를 고려한다.세트 S는 I ∈ S부터 비어 있지 않다. 더욱이 S의 어떤 체인 T에 대해서도 T의 이상 결합은 이상적인 J이며, 1을 포함하지 않는 이상 결합은 1을 포함하지 않기 때문에 J ∈ S. 조른의 보조정리법에 의해 S는 최대요소 M을 갖는다.이 M은 I를 포함하는 최대 이상이다.

크룰스 하우피데탈사츠

일반적으로 크롤의 정리라고 하는 또 다른 정리:

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 노메트리안 링으로 하고$$$${\$displaystyle a}$을(를) 영 디비저도 아니고 단위도$$ $아닌{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle$R}의 요소가 되게 한다.그러면 ${\displaystyle a}$을(를) 포함하는$$ 모든 최소 이상적인 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 높이가 1이다$$.

메모들

참조

• Krull, W. (1929). "Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen". Mathematische Annalen. 101 (1): 729–744. doi:10.1007/BF01454872.
• Hodges, W. (1979). "Krull implies Zorn". Journal of the London Mathematical Society. s2-19 (2): 285–287. doi:10.1112/jlms/s2-19.2.285.