교차점 완료

수학에서 V의 이상이 정확히 코딤 V 요소에 의해 생성된다면 투영 공간의 대수적 다양성 V는 완전한 교차점이다.즉, V에 치수 m이 있고 투영 공간 P에ⁿ 있는 경우 n - m 동종 다항식이 있어야 한다.^[1]

F_{i}(X_{0},\cdots,X_{n}),1\leq i\leq n-m,

V에 소멸되는 다른 모든 동종 다항식을 생성하는 동종 좌표 X에_j 있다.

기하학적으로, 각각의_i F는 초저면을 정의한다; 이 초저공간의 교차점은 V여야 한다.n - m 하이퍼퍼페이스의 교차점은 스칼라 필드가 복잡한 숫자와 같이 대수적으로 닫힌 필드라고 가정할 때 항상 m 이상의 치수를 가진다.문제는 본질적으로 교차로에 추가점이 없는 상태에서 차원을 m까지 낮출 수 있느냐는 것이다.이 조건은 코디네이션 n - m 2 2 즉시 확인하기가 상당히 어렵다.n - m = 1일 때 V는 자동으로 하이퍼러페이스가 되어 증명할 것이 없다.

예

전체 교차로에 대한 간단한 예는 단일 다항식의 소멸 위치에 의해 정의되는 하이퍼서페이스에 의해 제시된다.예를 들어,

\mathb {V}(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4)}^{5}={\text{Proj}}\왼쪽({\frac {\mathb {F}[x_{0}},\ldots,x_{4}}}]{(x_{0}^{5}}+\cdots +x_{4}){4}}}}^{5}}}}}\오른쪽){\x오른쪽 화살표 {i}\mathb {P} _{\mathb {F}^{4}}}

5분의 3의 예를 들다2개 이상의 명시적 예시(최상)를 사용하여 고차원 다양성의 완전한 교차로에 대한 명시적 예시를 찾기는 어려울 수 있으나, 다음과 같은 3배 유형 $(2,4)$ ( $(2,4)$ , $){\디스플레이$ 스타일 $($ 2 $,4)}$ 의 $(2,4)$ 명시적 예가 있다.

\mathb {V}(x_{0}^{2}+x_{1)}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}x_{5},x_{4}^{4}+x_{5}^{4}-2x_{0}x_{1}x_{1}x_{2}x_{3}}}}}}}}

비예시

트위스트 큐빅

국지적인 완전한 교차로들을 건설하는 한 가지 방법은 투사적인 완전한 교차로 다양성을 취하여 그것을 보다 차원 높은 투사적 공간에 심는 것이다.이것의 고전적인 $\mathbb {P} _{R}^{3}$ 는 $\mathbb {P} _{R}^{3}$ R 3 {\ $displaystyle \mathb {P} _{$ R}^{ $3$ 의 꼬인 입방체인데, 어떤 차트에서든 그것은 두 개의 다항식의 소멸 위치로서 표현될 수 있는 부드러운 국소 전체 교차점 의미지만, 글로벌적으로는 두 개 이상의 다항식의 소멸 위치로서 표현된다.P $\mathbb {P} ^{1}$ ${\$ 1}에 ${\mathcal {O}}(3)$ 매우 풍성한 선다발 O ${\mathcal {O}}(3)$ ( $){\displaystyle {\mathcal{O}}(3)$ 를 사용하여 $\mathbb {P} ^{1}$ 임베딩할 수 있다.

\mathbb {P} _{R}^{1}\to \mathbb {P} _{R}^{3}

by

[s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}]

$\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ ( $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ ( $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ ) $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ = $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ { $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ 3, $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ t $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ , $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ , $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ } ${\displaystyle \Gamma({\mathcal {O}(3))$ $={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}}$ . If we let $\mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])$ the embedding gives the following relations:

{\begin{aligned}f_{1}&=x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2}\\f_{2}&=x_{1}^{2}-x_{0}x_{2}\\f_{3}&=x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}\end{aligned}}

따라서 꼬인 입방체는 투영법이다.

{\text{Proj}}\왼쪽({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}}]{(f_{1},f_{2},f_{3}}}}}}}\right)}

차원이 다른 품종 조합

지역 전체 교차로일 수 없는 완전하지 않은 교차로를 건설하는 또 다른 편리한 방법은 치수가 일치하지 않는 두 가지 다른 품종의 결합을 취하는 것이다.예를 들어, 한 점에서 교차하는 선과 평면의 결합은 이러한 현상의 전형적인 예다.그것은 계획에 의해 주어진다.

{\text{Spec}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x,y,z]}{(xz,yz)}}

멀티데그리스

전체 교차점에는 초경사 정의 수준의 튜플(적성적으로 다중점)으로 쓰여진 다중상이 있다.예를 들어, P에서³ 사분위를 다시 취하면 (2)는 두 개의 완전한 교차점에 대한 다원곡선이며, 일반적인 위치에 있을 때는 타원곡선이 된다.복잡하고 매끄러운 교차로들의 호지 번호는 고다이라 구니히코에 의해 해결되었다.

일반직

좀 더 세련된 질문을 위해서는 교차로의 성격을 좀 더 면밀하게 다루어야 한다.초경사는 횡단성 조건을 만족시키기 위해 필요할 수 있다(예: 교차점에서 접선 공간이 일반 위치에 있는 것과 같다).교차점은 계획-이론적일 수 있으며, 다시 말해서 여기서_i F(X₀, ..., X_n)에 의해 생성된 동질적 이상이 V의 정의적 이상이어야 할 수 있으며, 올바른 급진적만을 가질 수 없다.정류 대수학에서 전체 교차로 조건은 정규 시퀀스 용어로 번역되어 국소 전체 교차로 정의가 가능하거나 국소화 후 이상이 정규 시퀀스를 정의한다.

위상

호몰로지

$\mathbb {CP} ^{n+m}$ $\mathbb {CP} ^{n+m}$ $\mathbb {CP} ^{n+m}$ + $\mathbb {CP} ^{n+m}$ 의 치수 $n$ $n$ ${\$ $displaystyle \mathb {CP} ^{n+m}$ 에 있는 치수 n {\ $displaystyle n}$ 의 완전한 교차점이 하이퍼플레인 섹션의 교차점이기 $\mathbb {CP} ^{n+m}$ 때문에 렙체츠 하이퍼플레인 정리를 사용하여 이를 추론할 수 있다.

H^{2k}(X)=\mathb {Z}

$2k<n$ $2k<n$ < $2k<n$ $[\displaystyle 2k<n$ 또한 범용계수 정리를 이용하여 호몰로지 집단이 항상 비틀림 없는 상태임을 확인할 수 있다.이는 중간 호몰로지 집단이 공간의 오일러 특성에 의해 결정된다는 것을 암시한다.

오일러 특성

Hirzebruch는 생성 함수 컴퓨팅을 $(a_{1},\ldots ,a_{r})$ 도( $(a_{1},\ldots ,a_{r})$ , … $(a_{1},\ldots ,a_{r})$ , r $(a_{1},\ldots ,a_{r})$ ) ${\displaystyle$ ( $a_{1},\ldots$ ,a_ $r}}}$ 에 제공했다 $(a_{1},\ldots ,a_{r})$

\sum _{n=0}^{\infty }\chi (X_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r}))z^{n}={\frac {a_{1}\cdots a_{r}}{(1-z)^{2}}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{(1+(a_{i}-1)z)}}

인용

^ 해리스 1992 페이지 136 정의

참조

Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry, A First Course. Springer Science. ISBN 978-0-387-97716-4.
Hübsch, Tristan, Calabi-Yau Manifolds, A Bestiary for Physicists, World Scientific, p. 380, ISBN 978-981-02-0662-8
Looijenga, E. J. N. (1984), Isolated singular points on complete intersections, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 77, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662720, ISBN 0-521-28674-3, MR 0747303
Meyer, Christian (2005), Modular Calabi-Yau Threefolds, vol. 22, Fields Institute Monographs, p. 194, ISBN 978-0-8218-3908-9
Euler Characteristics of Complete Intersections (PDF), archived from the original (PDF) on 2017-08-15

외부 링크

매니폴드 아틀라스의 교차로 완성

[FOOTNOTEHarris1992136Definition-1] 해리스 1992 페이지 136 정의

[1]

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