이상적 급진적

수학의 한 $분야$인 링 이론에서, 이상적인 I ${\displaystyle I$}의$$ 급진적인 것은 $x{\displaystyle }${\$displaystyle x$}의 어떤 $힘$이 I$${\$displaystyle$i}에$$ 있는 경우에만 $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystytle x}$가 급진적인 것이라는$$ 속성에 의해 정의되는 또 다른 이상이다$.$급진화급진적 이상(또는 반감기 이상)은 그 급진적 이상과 동등한 이상이다.일차적 이상에 대한 급진적 관념은 주요한 이상이다.

이 개념은 세미프라임 링 기사에서 비확정 링으로 일반화된다.

정의

${\displaystyle \mathrm{래드}}$ ${\displaystyle (I}$) ${\displaystylename {rad}$ 또는$$ $I{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\${I$}($$으$)로 표시된$$정류 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 있는 이상적인 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 $래디컬은 다음$과 같이 정의된다$.$

${\displaystyle {\sqrt{I}=\reft\{r\in R\mid r^{n}\in I\{\hbox{}}\in \mathb {Z}^{+}\!\right\}}}$

($I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle I\sqrt{}}$ ${\$Intuitively, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ is obtained by taking all roots of elements of ${\displaystyle I}$ within the ring ${\displaystyle R}$. Equivalently, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ is the preimage of the ideal of nilpotent elements (the nilradical) of the quotient ring ${\displaystyle$$R/I}$ $$(자연도${\displaystyle \pi }$ : R${\displaystyle }$→ R${\displaystyle }$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I})$후자는 $I{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$이(가) 이상임을$$ 증명한다.^{[Note 1]}

나는 특히 .[1]{\displaystyle 1세}를Noetherian 반지의 J{J\displaystyle}의{\displaystyle 1세}나는{\displaystyle{\sqrt{1세}다면 나는 급진적인 유한하게 생성되{\displaystyle 1세}, 그 다음 약간의 힘}},, 다음에 저는 J{\displaystyle J.{\displaystyle 1세}에 함유되어 있는}$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이($)$ J {\$displaystyle J}$의 일부 전력을 포함하고$$, $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J$}이(가) I$${\$displaystyle$I}의 일부 전력을$$ 포함하는 경우에만 동일한 급진적 조건을 가진다$.$

이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 그 자체의 급진적 이상과 일치한다면$$, $I{\displaystyle }${\$displaystyle I}$을(를) 급진적 이상 또는 반시프라임 이상이라고 한다.

예

• 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 정수를 고려하십시오.
  1. $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$의 정수 배수로 이상적인$$ ${\displaystyle 4\mathbb{}}$ Z ${\$의 래디컬은 ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ Z ${\$이다$.$
  2. ${\displaystyle 5Z\mathbb{}}$ ${\$의 래디컬은 ${\displaystyle 5Z\mathbb{}}$ ${\$ 입니다$.$
  3. ${\displaystyle 12Z\mathbb{}}$ ${\$의 래디컬은 ${\displaystyle 6Z\mathbb{}}$ ${\$ 입니다$.$
  4. 일반적으로 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ $m$$\mathb {Z}의$rodical은$$ ${\displaystyle r\mathbb{}}$ $Z{\displaystyle }$ ${\$ r$\mattb {Z}$이며$,$ $여기$서 r {\$displaystyle$$$r$}$은 $m{\displaystyle }$ {\displaystyle $m$$}$의 모든 고유 주요 인자의 산물이며$,$$$ $m{\displaystyle }$ ${\displaysty$ m$}$은 m}(정수의 R}이다.실제로 이것은 임의의 이상(속성 섹션 참조)으로 일반화된다.
• }. 그것은 나는(y){\displaystyle{\sqrt{1세}원}=(y)}(의 아틀란 다 기본적인 속성을 사용하여){\displaystyle{\sqrt{I^{n}}}){\sqrt{나는}}})을 보여 주기 위해 사소한 하지만 우리는:경우 어떤 대체 방법 clarificatio을 준다면 나는(y 4)⊂ C[), y]{\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subset \mathbb{C}[x, y]정도 이상을 고려해 보세요.n필요한]The radical ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ corresponds to the nilradical ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$ of the quotient ring ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$, which is the intersection of all prime ideals of the quotient ring.이것은 모든 최대 이상들이 교차하는 제이콥슨 급진파에 포함되어 있는데, 이것은 동형동체의 알맹이가 되는 밭이다.Any ring homomorphism ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$ must have ${\displaystyle y}$ in the kernel in order to have a well-defined homomorphism (if we said, for example, that the kernel should be ${\displaystyle (x,y-1)}$ the composition of ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\$$to R\to \mathb${${\displaystyle C}$$}}$은$({\displaystyle x,}$ y ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}\mathrm{y}}$- 1${\displaystyle }$) ${\$이며, $이$는 1 = ${\displaystyle 1=0}$을(으)로 강제하려고 시도하는 것과 동일하다.$$Since ${\displaystyle \mathbb {C} }$ is algebraically closed, every homomorphism ${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$ must factor through ${\displaystyle \mathbb {C} }$, so we only have the compute the intersection of ${\displaystyle \{\ker(\Phi ):$$\Phi \in \operatorname {Hom}($${\displaystyle \mathrm{R}}$$,\mathb {C} )\}$의 radious를 계산하는 데 사용$$. (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (0)$$}$ 그러면$$$$=${\displaystyle }$( y ) $style$ R. {\displaystyle {\$sqrt {0}=(y)\subset$ R$.}$을(를) 찾을 수 있다.

특성.

이 섹션에서는 내가 정류 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 이상이라는 관례를 계속한다$.$

• $I\sqrt{\sqrt{}}$= $I\sqrt{}$ ${\$ 즉 급진화는 공증력 작용이다.게다가 $I{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$는 I ${\displaystyle I}$을(를) 포함하는 가장 작은 급진적 이상이다$.$
• ${\displaystyle \sqrt{I}}$ ${\$은(는) $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 포함하는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 모든 주요 이상과의 교차점이다$$.
  $${\displaystyle{\sqrt{I}}=\빅캡 _{\stackrel {{\mathfrak{p}{\text{p}}}{R\supsetneq{p}}}{\mathfrak{p}},}}$$

  
  따라서 원시적 이상(primary idea)의 급진성은 그 자체와 동등하다.Proof: On one hand, every prime ideal is radical, and so this intersection contains ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$. Suppose ${\displaystyle r}$ is an element of ${\displaystyle R}$ which is not in ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$, and let ${\displaystyle S}$ be the set ${\displaystyle \{r^n\mid n=0,1,2,\dots }$${\displaystyle \}\}}${\$displaystyle \left\{r$$^{n$$}\mid$n=$0,$1,$2,\ldots \right$$\backslash \}\}\}.$$I${\$displaystyle$$S$}의 정의에 따르면 $S{\displaystyle }$$${\$displaystystyle$ I$}$과($와{\displaystyle }$)가 분리되어야 하며$$$,$ $S{\displaystyle }$ ${\\displaystystystystystystystystystystytytype S}$도 배가 되어야 한다. 따라서 Krull의 정리 변종에 의해 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 포함하고 여전히 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과(와) 분리되어 있는$$ 프라임 $이상{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\displaystyle$ {$p}$이(가) 존재한다(Prime idea 참조).$$ $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는)$$$I{\displaystyle }$ {\$displaystyle I$$}$을(를) 포함하지만$$r {\$displaystyle$ r}은$($는) 포함되어 있지 않으므로$,$$$r {\$displaystyle$ Ⅰ$}$을(를$)$ 포함하는 주요 $이상$과의 교차점에 있지$$ 않음을 알 수 있다$.$ 이것으로 증명할 수 있다.성명은 다소 강화될 수 있다: $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 급진성은 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$을(를) 포함하는 것들 $중$에서 최소인 R ${\displaystyle R}$의 모든 주요 이상들의 교차점이다$.$
• 마지막 점을 전문화하면, nilradical (모든 nilpotent 요소의 집합)은$$R {\$displaystyle$ R$}$의 모든 주요 이상과의 교차점과 같다.
  $${\displaystyle {\sqrt{0}={\mathfrak{N}_{R}=\bigcap_{{\mathfrak{p}\subsetneq R{\text{prim}}}{\mathfrak {p}}}.}$$

  
  이 속성은 자연 지도 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle R}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$을 통해 전자와 동등한 것으로 보이며, 이$$ 속성은 다음과 같은 바이어스 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$을(를) 산출한다$.$
  $${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$

  
  $u$에 의해 정의됨${\displaystyle }$: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle J}$/ I${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle r}$+ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mid }$ r ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J}$}${\displaystyle }$. ${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace$ r$+I\mid r\in J\rbrace .}$
• 링 $R{\displaystyle }${\$displaystyle R}$의 $이상적$인 I$${\$displaystyle I$}은(는) 지수 $링{\displaystyle }$ R${\displaystyle /I}$ ${\displaystyle$ R$/I}$이(가) 감소하는 경우에만 급진적이다$$.
• 동질적 이상에 대한 급진적 관념은 동질적이다.
• 이상과 교차하는 과격파의 과격은 과격파의 교차점과 같다.${\displaystyle \sqrt{I}}$ ${\displaystyle \sqrt{\cap }}$ ${\displaystyle \sqrt{J}}$= ${\displaystyle I\sqrt{}}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle J\sqrt{}}$ ${\$ J$}={\sqrt{I}\cap{\sqrt{J$
• 일차적 이상에 대한 급진적인 것은 프라임이다.이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 래디컬이 최대라면$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$이(가) 기본이다$$.^[3]
• If ${\displaystyle I}$ is an ideal, ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$. Since prime ideals are radical ideals, ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}}$ for any prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• $Let{\displaystyle }$ I${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I,J}$이(가)$$링 R {\$displaystyle R}$의 이상이$$될$$ 수 $있다{\displaystyle \sqrt{}.}$ $,$J {\$displaystyle${I},{\$sqrt{J}}$이(가) 동일하면 $I{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystystyle$ I,$J}$가 동일하다$$.^{[Note 4]}
• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) ${\displaystyle }$ 링$$R {\$displaystyle R}$ 위에서 미세하게 생성된 모듈로 지정$$$.$ 그런 다음^[4]
  $${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$

  
  여기서 ${\displaystyle \mathrm{supply}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {supply}은($는) $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $M$$}$을(를) 지원하고${\displaystyle \mathrm{ass}}$는$$M ${\$displaystyle $\backslash$$operatorname {ass}$의 연결된 $primime$ $집합$이다.

적용들

급진주의자들을 연구하는데 있어서 주된 동기는 힐베르트의 역학대수학에서의 Nullstellensatz이다.이 유명한 정리의 한 버전은 다항식 링 $x1$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ $]$에 있는 $이상적$인 J ${\$$displaystyle$$$J}에 대해 대수적으로 닫힌 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ k$$${\$$displaysty \mathb {k}$에 대해 1개가 있다고 명시하고 있다$.$

${\displaystyle \operatorname {I}(\operatorname {V}(J)={\sqrt{J}}}}$

어디에

${\displaystyle \operatorname {V}(J)=\left\{x\in \mathb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{{{{}{}}모든 }f\in J\right\}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \operatorname {I}(V)=\{f\in \mathb {k}[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{{{{{}}, }, 모든 }.}$

Geometrically, this says that if a variety ${\displaystyle V}$ is cut out by the polynomial equations ${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0}$, then the only other polynomials which vanish on ${\displaystyle V}$ are those in the radical of the ideal ${\displaystyle$$(f_{1},\ldots,f_{r$

다른 표현 방법: 구성 ${\displaystyle \mathrm{I}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= -${\$는 링의 이상 집합에 대한 폐쇄 연산자다.

참고 항목

• 제이콥슨 급진파
• 반지의 질라디칼
• 리얼 레디컬

메모들

인용구

참조

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, Ian G. (1994). Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5.
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001