이집트 분수

Egyptian fraction

이집트 분수는 다음과 같이 구별되는 단위 분수의 유한한 합이다.

즉, 표현에서 각 분수는 1과 같은 분자와 양의 정수분모를 가지며, 모든 분모는 서로 다르다. 이 형식의 표현의 가치는 긍정적인 유리수 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00입니다..1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/b. 예를 들면 43/48에 돈 위에 이집트 소수 부분입니다. 모든 양의 이성적인 숫자는 이집트 분수로 표현될 수 있다. 이러한 유형의 총계, 그리고 2/3과 3/4를 합한 비슷한 합계는 고대 이집트인들이 합리적 숫자의 심각한 표기법으로 사용하였고 중세까지 다른 문명들에 의해 계속 사용되었다. 현대 수학 표기법에서 이집트 분수는 저속한 분수십진법 표기법으로 대체되었다. 그러나 이집트 분수는 고대 수학의 현대 역사 연구뿐만 아니라 현대 수 이론오락성 수학에서도 계속 연구의 대상이 되고 있다.

적용들

이집트 분수는 역사적 용도를 넘어, 분수의 다른 표현에 비해 몇 가지 실질적인 장점이 있다. 예를 들어, 이집트 분수는 음식이나 다른 물체를 같은 몫으로 나누는 데 도움을 줄 수 있다.[1] 예를 들어, 8인분에서 5개의 피자를 균등하게 나누고 싶다면, 이집트 분수는

예를 들어, 4개의 피자를 8개의 반으로 나누고, 나머지 피자는 8개의 피자를 8개의 8분의 1로 나누어 먹는 것을 의미한다.

마찬가지로 식사하는 사람마다 피자를 하나씩 주고 남은 피자를 12등분하여(아마도 파괴) 12등분하여 12등분할 수 있었지만, 그 점에 유의할 수 있었다.

그리고 피자 6개를 반으로 나누고, 4개를 3등분하고, 나머지 3개를 4등분 한 후, 각 식당에 1/2과 1/3과 1/4을 나누어 준다.

이집트 분수는 로프를 태우는 퍼즐에 대한 해결책을 제공할 수 있는데, 이 퍼즐은 단위 시간 후에 타버리는 균일하지 않은 로프를 점화시켜 일정한 기간을 측정해야 한다. 시간 단위의 합리적인 분수는 분율을 단위 분율의 합으로 확장한 다음 각 단위 1/ 에 대해 로프를 연소하여 측정할 수 있으며 로프는 항상 연소하는 위치에 x이(가) 동시에 점등되도록 한다. 이 적용을 위해 단위 분율이 서로 구별될 필요는 없다. 그러나 이 솔루션은 무한정 많은 재조명 단계가 필요할 수 있다.[2]

초기 역사

이집트 분수 표기법은 이집트 중왕국에서 개발되었다. 이집트 분수가 등장하는 초기 문헌은 이집트 수학적 가죽 롤, 모스크바 수학적 파피루스, 라이스너 파피루스, 카윤 파피루스, 아크밈 목판 등 5종이다. 후기 텍스트인 Rhind Mathematical Papyrus는 이집트 분수를 쓰는 향상된 방법을 소개했다. Rhind papyrus는 Ahmes에 의해 쓰여졌고 제2중간기 시대의 날짜로 합리적 2/n 위한 이집트 분수 확대표와 84개의 단어 문제를 포함하고 있다. 각 문제에 대한 해답은 낙서 속기로 작성되었으며, 84개 문제의 최종 답안은 모두 이집트 분수 표기법으로 표현되었다. Rhind papyrus에 있는 것과 유사한 2/n 테이블도 다른 텍스트에 나타난다. 그러나 카훈 파피루스가 보여주듯, 속된 분수도 계산 속에 있는 낙서에 의해 사용되었다.

표기법

이집트 분수 표기법에 사용된 단위 분수를 상형문자로 표기하기 위해 이집트인들은 상형문자를 배치하였다.

D21

(er, "1개 중" 또는 "re" 또는 "re, mouth") 이 숫자의 역수를 나타내는 숫자 위에 있다. 마찬가지로 상형문자로 그들은 숫자를 나타내는 글자 위에 선을 그었다. 예를 들면 다음과 같다.

D21
Z1 Z1 Z1
D21
V20

이집트인들은 1/2, 2/3, 3/4를 이집트 분수 시리즈로 변환할 때 1/2보다 큰 숫자의 크기를 줄이기 위해 사용되는 특별한 상징을 가지고 있었다. 이러한 특수분수 중 하나를 뺀 나머지 숫자는 일반적인 이집트 분수 표기법에 따라 구별되는 단위 분수의 합으로 작성되었다.

Aa13
D22
D23

이집트인들은 또한 구 왕국에서 수정한 대체 표기법을 사용하여 1/2k 형태(k = 1, 2, ..., 6의 경우)와 이들 숫자의 합계의 특별한 집합을 나타냈는데, 이는 반드시 이차적 합리수인 것이다. 이것들은 호러스(Horus-Eye) 심볼의 부분에 기초했다는 이론(현재 신빙성이 떨어진)[3]을 따서 "호러스-아이 분율"이라고 불려왔다. 그것들은 나중에 이집트 분수가 헤카트를 세분하기 위한 표기법과 함께 중왕국에서 사용되었는데, 이는 아흐밈 목판(Akhim Wood Tablet)에서 설명한 것처럼 곡물, 빵 및 그 밖의 소량의 부피에 대한 고대 이집트의 일차적인 부피 측정치였다. 만약 헤카트의 호러스 분율에서 양을 표시한 후 나머지가 남아 있다면, 나머지는 보통 이집트 분수 표기법을 로의 배수, 즉 헤카트의 1/320에 해당하는 단위로 썼다.

계산법

현대 수학사학자들은 이집트인들이 이집트 분수를 계산하는 데 사용한 방법을 발견하기 위해 라인드 파피루스와 다른 고대 자료들을 연구해왔다. 특히, 이 영역의 연구는 라인드 파피루스 2/n 형태의 숫자에 대한 팽창 표를 이해하는 데 집중되었다. 비록 이러한 팽창은 일반적으로 대수적 정체성으로 설명될 수 있지만, 이집트인들이 사용하는 방법은 이러한 정체성과 직접적으로 일치하지 않을 수도 있다. 또한 표의 확장은 단일 ID와 일치하지 않는다. 오히려 서로 다른 ID는 프라임복합 분모의 확장과 일치하며, 둘 이상의 ID는 각 유형의 숫자에 적합하다.

  • For small odd prime denominators p, the expansion
was used.
  • For larger prime denominators, an expansion of the form
was used, where A is a number with many divisors (such as a practical number) between p/2 and p. The remaining term 2Ap/Ap was expanded by representing the number 2Ap/Ap as a sum of divisors of A and forming a fraction d/Ap for each such divisor d in this sum.[4] As an example, Ahmes' expansion 1/24 + 1/111 + 1/296 for 2/37 fits this pattern with A = 24 and 2Ap/Ap = 11 = 3 + 8, as 1/24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3/24 × 37 + 8/24 × 37. There may be many different expansions of this type for a given p; however, as K. S. Brown observed, the expansion chosen by the Egyptians was often the one that caused the largest denominator to be as small as possible, among all expansions fitting this pattern.
  • For composite denominators, factored as p × q, one can expand 2/pq using the identity
For instance, applying this method for pq = 21 gives p = 3, q = 7, and a = 3 + 1/2 = 2, producing the expansion 2/21 = 1/14 + 1/42 from the Rhind papyrus. Some authors have preferred to write this expansion as 2/A × A/pq, where A = p + 1;[5] replacing the second term of this product by p/pq + 1/pq, applying the distributive law to the product, and simplifying leads to an expression equivalent to the first expansion described here. This method appears to have been used for many of the composite numbers in the Rhind papyrus,[6] but there are exceptions, notably 2/35, 2/91, and 2/95.[7]
  • One can also expand 2/pq as 1/pr + 1/qr, where r = p + q/2. For instance, Ahmes expands 2/35 = 1/30 + 1/42, where p = 5, q = 7, and r = 5 + 7/2 = 6. Later scribes used a more general form of this expansion,
p + qn의 배수일 때 작용한다.[8]
  • 일부 다른 복합 분모의 경우, 2/pq에 대한 확장은 각 분모를 p로 곱한 2/q에 대한 확장 형태를 가진다. 예를 들어 95 = 5 × 19, 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 (A = 12로 프리타임 방법을 사용하여 찾을 수 있음)[8] 따라서 2/95 = 1/5 × 12 + 1/5 × 76 + 1/5 × 114 = 1/60 + 1/380 + 1/570 + 1/570. 이 표현은 손스침 1/380 + 1/570 = 1/228로 단순화할 수 있지만, 라인드 파피루스는 미확정 형식을 사용한다.
  • 라인드 파피루스의 최종 (프라임) 확장 (2/101)은 이러한 형태들 중 어느 것도 들어맞지 않고, 대신 확장을 사용한다.
p의 값에 관계없이 적용될 수 있는. 즉, 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606이다. 이집트 수학적 가죽 롤에서도 몇 가지 경우에 관련된 확장이 사용되었다.

후기 사용법

이집트의 분수 표기법은 바빌로니아어 베이스-60 표기법과 같은 대안에 비해 표기법의 엉성함에 대한 프톨레마이오스 알마게스트 초기부터 불평에도 불구하고 그리스 시대와 중세 시대까지 계속 사용되었다.[9] 단위 분수로 분해되는 관련 문제들은 9세기 인도에서 자인 수학자 마하브라에 의해 연구되었다.[10] 중세 유럽 수학의 중요한 본문인 피사의 레오나르도리베 아바시(1202)는 중세 이집트 분수의 사용에 대해 어느 정도 통찰력을 제공하며, 이러한 시리즈의 현대 수학 연구에서 계속 중요한 주제를 소개한다.

리버 아바시의 주요 주제는 십진법과 저속한 분수 표기법을 포함하는 계산으로, 결국 이집트 분수를 대체했다. 피보나치 자신은 혼합 라딕스 표기법과 분수의 합계를 포함하는 분수에 대해 복잡한 표기법을 사용했다. 피보나찌의 책 전반에 걸쳐 계산된 많은 것들은 이집트 분수로 대표되는 숫자들을 포함하고 있으며, 이 책의[11] 한 부분은 저속 분수를 이집트 분수로 변환하는 방법의 목록을 제공한다. 숫자가 이미 단위분수가 아니라면, 이 목록의 첫 번째 방법은 분모를 분모의 분수의 합으로 나누는 것이다. 이것은 분모가 실제 숫자일 때마다 가능하며, 리베르 아바시는 실제 숫자 6, 8, 12, 20, 24, 60, 100에 대해 이 유형의 확장 표를 포함한다.

The next several methods involve algebraic identities such as

For instance, Fibonacci represents the fraction 8/11 by splitting the numerator into a sum of two numbers, each of which divides one plus the denominator: 8/11 = 6/11 + 2/11. Fibonacci applies the algebraic identity above to each these two parts, producing the expansion 8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. Fibonacci describes similar methods for denominators that are two or three less than a number with many factors.

In the rare case that these other methods all fail, Fibonacci suggests a "greedy" algorithm for computing Egyptian fractions, in which one repeatedly chooses the unit fraction with the smallest denominator that is no larger than the remaining fraction to be expanded: that is, in more modern notation, we replace a fraction x/y by the expansion

where ⌈ ⌉ represents the ceiling function; since (−y) mod x < x, this method yields a finite expansion.

Fibonacci suggests switching to another method after the first such expansion, but he also gives examples in which this greedy expansion was iterated until a complete Egyptian fraction expansion was constructed: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468 and 17/29 = 1/2 + 1/12 + 1/348.

Compared to ancient Egyptian expansions or to more modern methods, this method may produce expansions that are quite long, with large denominators, and Fibonacci himself noted the awkwardness of the expansions produced by this method. For instance, the greedy method expands

while other methods lead to the shorter expansion

Sylvester's sequence 2, 3, 7, 43, 1807, ... can be viewed as generated by an infinite greedy expansion of this type for the number 1, where at each step we choose the denominator y/x ⌋ + 1 instead of y/x, and sometimes Fibonacci's greedy algorithm is attributed to James Joseph Sylvester.

After his description of the greedy algorithm, Fibonacci suggests yet another method, expanding a fraction a/b by searching for a number c having many divisors, with b/2 < c < b, replacing a/b by ac/bc, and expanding ac as a sum of divisors of bc, similar to the method proposed by Hultsch and Bruins to explain some of the expansions in the Rhind papyrus.

Modern number theory

Although Egyptian fractions are no longer used in most practical applications of mathematics, modern number theorists have continued to study many different problems related to them. These include problems of bounding the length or maximum denominator in Egyptian fraction representations, finding expansions of certain special forms or in which the denominators are all of some special type, the termination of various methods for Egyptian fraction expansion, and showing that expansions exist for any sufficiently dense set of sufficiently smooth numbers.

  • One of the earliest publications of Paul Erdős proved that it is not possible for a harmonic progression to form an Egyptian fraction representation of an integer. The reason is that, necessarily, at least one denominator of the progression will be divisible by a prime number that does not divide any other denominator.[12] The latest publication of Erdős, nearly 20 years after his death, proves that every integer has a representation in which all denominators are products of three primes.[13]
  • The Erdős–Graham conjecture in combinatorial number theory states that, if the integers greater than 1 are partitioned into finitely many subsets, then one of the subsets has a finite subset of itself whose reciprocals sum to one. That is, for every r > 0, and every r-coloring of the integers greater than one, there is a finite monochromatic subset S of these integers such that
그 추측은 2003년에 어니스트 S에 의해 증명되었다. 크로우 3세
예를 들어 1차 유사수 1806은 소수 2, 3, 7, 43의 산물로 이집트 분수 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806을 발생시킨다.
  • 이집트 분수는 일반적으로 모든 분모가 구별되어야 한다고 정의되지만, 이 요건은 분모가 반복될 수 있도록 완화될 수 있다. 그러나 이러한 완화된 형태의 이집트 분수는 분수를 더 적게 사용하여 어떤 숫자도 나타내도록 허용하지 않는다. 왜냐하면 분수를 반복해서 적용하면 길이가 같거나 작은 이집트 분수로 변환될 수 있기 때문이다.
k가 홀수일 경우 또는 짝수일 경우 1/k + 1/k x 2/k를 교체할 경우. 이 결과는 타케노우치(1921년)에 의해 처음 증명되었다.
  • Graham과 Jujett은[14] 교체를 통해 반복적인 분모를 가진 확장을 (긴) 이집트 분수로 변환하는 것이 유사하게 가능하다는 것을 증명했다.
이 방법은 다음과 같이 분모가 큰 긴 확장으로 이어질 수 있다.
보츠(1967)는 원래 이 대체 기법을 사용하여 어떤 합리적인 숫자도 임의로 큰 최소 분모를 가진 이집트 분수를 나타냈음을 보여주었다.
  • x/y 분수는 최대 분모가 경계인[15] 이집트 분수를 나타낸다.
and a representation with at most
terms.[16] The number of terms must sometimes be at least proportional to log log y; for instance this is true for the fractions in the sequence 1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ... whose denominators form Sylvester's sequence. It has been conjectured that O(log log y) terms are always enough.[17] It is also possible to find representations in which both the maximum denominator and the number of terms are small.[18]
  • Graham (1964) characterized the numbers that can be represented by Egyptian fractions in which all denominators are nth powers. In particular, a rational number q can be represented as an Egyptian fraction with square denominators if and only if q lies in one of the two half-open intervals
  • Martin (1999) showed that any rational number has very dense expansions, using a constant fraction of the denominators up to N for any sufficiently large N.
  • Engel expansion, sometimes called an Egyptian product, is a form of Egyptian fraction expansion in which each denominator is a multiple of the previous one:
In addition, the sequence of multipliers ai is required to be nondecreasing. Every rational number has a finite Engel expansion, while irrational numbers have an infinite Engel expansion.
  • Anshel & Goldfeld (1991) study numbers that have multiple distinct Egyptian fraction representations with the same number of terms and the same product of denominators; for instance, one of the examples they supply is
Unlike the ancient Egyptians, they allow denominators to be repeated in these expansions. They apply their results for this problem to the characterization of free products of Abelian groups by a small number of numerical parameters: the rank of the commutator subgroup, the number of terms in the free product, and the product of the orders of the factors.

문제 열기

몇몇 주목할 만한 문제들은 수학자들의 상당한 노력에도 불구하고 이집트의 분수에 관한 미해결로 남아있다.

모든 n을 위해 존재하는가? 그것은 모든 n < 1017 대해, 그리고 n의 가능한 값의 극히 일부분을 제외하고는 모두 사실로 알려져 있지만, 추측의 일반적 진실은 여전히 알려져 있지 않다.
  • 홀수 분모를 가진 모든 분수에 대해 이상 탐욕스러운 확장이 존재하는지 여부는 알 수 없다. 피보나찌의 탐욕스러운 방법이 항상 가능한 가장 작은 홀수분모를 선택하도록 수정된다면, 이 변형된 알고리즘은 어떤 조건에서 유한한 확장을 생성하는가? 분명한 필요조건은 출발분수 x/y가 홀수분모 y를 가지고 있고, 추측은 되지만 이것 또한 충분한 조건이라는 것은 알려져 있지 않다. 홀수 y가 있는 모든 x/y는 개별 홀수 단위 분수로 확장되며, 탐욕스러운 알고리즘과는 다른 방법으로 구성된다[20].
  • 가장 적은 수의 이집트[21] 분수를 찾거나 가장 큰 분모를 최소화하기 위해 브루트 포스 검색 알고리즘을 사용하는 것이 가능하다. 그러나 그러한 알고리즘은 상당히 비효율적일 수 있다. 이러한 문제에 대한 다항 시간 알고리즘의 존재, 또는 보다 일반적으로 그러한 문제의 계산 복잡성은 여전히 알려져 있지 않다.

Guy(2004)는 이러한 문제를 더 자세히 설명하고 수많은 추가적인 개방형 문제를 나열한다.

참고 항목

메모들

References

External links