루팅거-콘 모델

대량 및 양자 우물 반도체에서 복수의 퇴화된 전자 대역의 구조를 계산하는 데 사용되는 k·p 섭동 이론의 맛.방법은 단일 밴드 k·p 이론을 일반화한 것이다.

이 모델에서는 뢰딘의 섭동 방법을 사용하여 다른 모든 밴드의 영향을 고려한다.^[1]

배경

모든 밴드는 두 가지 등급으로 세분될 수 있다.

• 클래스 A: 6개의 발란스 밴드(헤비홀, 라이트홀, 분할 오프 밴드 및 스핀 밴드)와 2개의 전도 밴드.
• B급 : 다른 모든 밴드들.

이 방법은 클래스 A의 밴드에 집중하며, 클래스 B 밴드를 섭동적으로 고려한다.

우리는 동요하지 않는 고유스테이트 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$0$$){\$displaystyle \pi$_{}^{}}}의 선형 결합으로서$$ 동요하지 않는 용액 $\varphi {\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$$displaystyle \pi \{i}^{0$ :

${\displaystyle \phi =\sum _{n}^{A,B}a_{n}\pi _{n}^{n}^{0}}}}}}}}}}}$

방해받지 않는 고유성이 직교화된다고 가정하면, 아이게네큐레이션은 다음과 같다.

${\$$H_{mn}a_{n}+\sum _{\\nalpha \neq m}^{B}$$H_{m\alpha }a_{\alpha$ $\}\}\},$

어디에

${\displaystyle H_{mn}=\int \phi _{m}^{(0)\dagger }H\phi _{n}^{(0)}d^{3}\mathbf {r} =E_{n}^{(0)}\delta _{mn}+$$H_{mn$

이 표현에서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\$$$$A}{{\frac{H_{mn}}{E-H_{mm}a_{n}+\sum _{\alpha \neq$ m$}^{B}{\frac$ {$H_{m\alpha }}}{E-H_}}}}}{\alpha$ $\}\}\}\}\},$

여기서 오른쪽의 첫 번째 합은 클래스 A에서만 주를 넘고, 두 번째 합은 클래스 B의 주를 초과한다.클래스 A에서 m에 대한$$ ${\displaystyle {계수}_{}}$ a $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 관심이 있으므로, 다음을 얻기 위해 반복 절차에 의해 클래스 B에 있는 계수를 제거할 수 있다.

$displaystyle a_{m}=\sum _{n}^{A}{\frac$$H_{mn}}{E-H_{mm}}a_{n$

${\displaystyle U_{mn}^{A}=H_{mn}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha n}}{E-H_{\alpha \alpha }}}+\sum _{\alpha ,\beta \neq m,n;\alpha \neq \beta }{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha \beta }H_{\beta n}}{(E-H_{\alpha \alpha })(E-H_{\beta \beta })}}+\ldots }$

동등하게,$$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in A}):$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{n}^{A}-E\delta _{mn}a_{n}=0,m\in A}$

그리고

${\displaystyle a_{\gamma }=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{\gamma n}^{A}-H_{\gamma n}\delta _{\gamma n}}{E-H_{\gamma \gamma }}}a_{n}=0,\gamma \in B}$.

등급 A에 속하는$$ ${\displaystyle {계수}_{}}$ n ${\$이 결정되면 ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\$도 결정된다$.$

슈뢰딩거 방정식 및 기본 함수

스핀-오빗 상호작용을 포함한 해밀턴어는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle H}$= ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \hslash \frac{}{}}$ 4 ${\displaystyle \frac{m\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\stackrel{}{}\times }$ ${\displaystyle \mathrm{\times }}$ × ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p\mathbf{}}$ ${\$ V$\times \mathbf{p$

여기서 ${\$은(는) Pauli 스핀 매트릭스 벡터다.슈뢰딩거 방정식으로 대체하는 것

${\displaystyle Hu_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left(H_{0}+{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{4m_{0}^{$$2}c^{2}}}\nabla V\times \mathbf {p} \cdot {\bar {\sigma }}\right)u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E_{n}(\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

어디에

${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} +{\frac {}{4m_{0}^{2}:{2}}: {\bar {\sigma }}}\time \nabla V}$

그리고 섭동 해밀턴은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle H'={\frac {\hbar }{m_{0}}\mathbf {k}\cdot \mathbf {\Pi } .}$

동요하지 않는 해밀턴은 밴드 에지 스핀 오비트 시스템(k=0의 경우)을 가리킨다.밴드 가장자리에서는 전도 밴드 Bloch 파동이 s와 같은 대칭을 보이는 반면 발란스 밴드 상태는 p와 같다(회전 없이 3배 퇴화).이러한 상태를 각각$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle S\rangele$ $\}$ ${\displaystyle 및}$ X${\displaystyle }${$${\$displaystyle$X\$rangele$}, $\$ {\$displaystyle Y\rangele },$ ${\displaystyle Z}$ ⟩ {\$displaystystyle$ Z$\rangele }$로 표시한다.이러한 Bloch 함수는 격자 간격에 해당하는 간격으로 반복되는 원자 궤도의 주기적 반복으로 그려질 수 있다.Bloch 기능은 다음과 같은 방법으로 확장할 수 있다.

$($$$$A}a_{j'}(\mathbf {k} )u_{j'0}(\mathbf {r})+\sum _{\mathbma ^{B}a_{\\gamma }{\mathbf {k}}{\mathbf {r}}}}},$ {$r}},},$ $\{\backslash$mathb},

여기서 j'는 클래스 A에 있고 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은 클래스 B에 있다$$.기본 함수는 다음과 같이 선택할 수 있다.

${\displaystyle u_{10}(\mathbf {r} )=u_{el}(\mathbf {r})=\좌측 S{{\frac {1}{1}:{1}{1}:{1}{1}{1}{1}{{1}}\우측\랑글 =\좌측 S\uparrowe \rigle }}$

${\displaystyle u_{20}(\mathbf {r} )=u_{SO}(\mathbf {r} )=\left {\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}} (X+iY)\downarrow \rangle +{\frac {1}{\sqrt {3}}} Z\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{30}(\mathbf {r} )=u_{lh}(\mathbf {r} )=\left {\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {6}}} (X+iY)\downarrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}} Z\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{40}(\mathbf {r} )=u_{h}(\mathbf {r})=\좌측 {\frac {3}{2}},{\frac {3}}{2}}\우측\rangele =-{\\prac {1}{\sqrt{2}}(X+iY)\uparrow \rangele }}}}}}}}}}).$

${\displaystyle u_{50}(\mathbf {r} )={\bar {u}_{el}(\mathbf {r} )=\좌측 S{\frac {1}{1}:{2}},-{\frac {1}\rigle =- S\downar \rangele }}}}$

${\displaystyle u_{60}(\mathbf {r} )={\bar {u}_{{}SO}(\mathbf {r} )=\left {\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}} (X-iY)\uparrow \rangle -{\frac {1}{\sqrt {3}}} Z\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{70}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{lh}(\mathbf {r} )=\left {\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {6}}} (X-iY)\uparrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}} Z\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{80}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{hh}(\mathbf {r} )=\left {\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}} (X-iY)\downarrow \rangle }$.

뢰우딘의 방법을 이용하면 다음의 고유값 문제만 해결하면 된다.

${\displaystyle \sum _{j'}^{A}(U_{j'})^{A}-E\delta _{j'}a_{j'(\mathbf {k} )=0,}$

어디에

${\displaystyle U_{jj'}^{A}=$$H_{j'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }{{\gamma j'}}}}{\gamma j'}}}}{\$$gamma j'}}}}}}}}{{{}}}}}}}}}$$E_{0}-E_{\gamma }}}=$$H_{j'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }^{'}'$$}H_{\gamma$ j$'}^{'}}{E_{0}-E_{\gamma$ $\}\}\}\}\}\}\},$

${\displaystyle H_{j\gamma }^{'}=\left\langle u_{j0}\right {\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V\right)\left u_{\gamma 0}\right\rangle \approx \sum _{\alpha }{\frac {\hbar k_{\alpha }}{m_{0}}}p_{j\gamma }^{\alpha }.}$

${\displaystyle \Pi}$의 두 번째 학기는 k가 아닌 p와 비슷한 학기에 비해 소홀히 할 수 있다$$.단일 밴드 케이스와 유사하게 $U{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{{}^{}}}$A ${\$$A}$

${\displaystyle D_{jj'}\equiv U_{jj'}^{{displaystyle d_{jj'}^A}=E_{j}(0)\delta _{j'}+\sum _{\alpha \beta }D_{jjj'}^{\alpha \beta }k_{\alpha }k_{\beta }}}}}}}$

${\displaystyle D_{jj'}^{\alpha \beta }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left[\delta _{jj'}\delta _{\alpha \beta }+\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{j\gamma }^{\alpha }p_{\gamma j'}^{\beta }+p_{j\gamma }^{\beta }p_{\gamma j'}^{\alpha }}{m_{0}(E_{0}-E_{\gamma })}}\right].}$

이제 다음 매개 변수를 정의하십시오.

${\displaystyle A_{0}={\frac {\hbar ^{2}}:{{2m_{0}}}+{\frac{{0}^{2}}:{\hbar ^{{0}}}}}\sum _{\gamma}{B}{\frac {p_{x\p_{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}E_{0}-E_{\gamma }}}$

${\displaystyle B_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma x}^{y}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

${\displaystyle C_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma y}^{y}+p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma y}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}}$

밴드 구조 파라미터(또는 Luttinger 파라미터)는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle \gamma _{1}=-{\frac {1}{3}{{2m_{0}{\hbar ^{2}}(A_{0}+2B_{0}),}$

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {1}{6}}{{2m_{0}}{\hbar ^{2}}(A_{0}-B_{0}),}$

${\displaystyle \gamma _{3}=-{\frac {1}{6}}{{2m_{0}{\hbar ^{2}}C_{0}}}$

이러한 매개변수는 다양한 발랑스 밴드에 있는 구멍의 유효 질량과 매우 밀접하게 관련되어 있다.${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $_$${1}$및 $γ$ 2 ${\displaystyle X\rangele$ $\},$ Y ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaysty Y\rangele }$ ${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystystyle Z\rangele}$ 상태의 결합을$$ 다른$$ 주와 ${\displaystyle 설명}$한다$.$세 번째 매개 변수 ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 3${\$는 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$일 때 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$displaystystysty} 지점 주변의 에너지 밴드 구조의 음이소트로피와 관련된다$$.

명시적 해밀턴 행렬

Luttinger-Kohn Hamiltonian $D{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\mathbf{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$는) 8X8 매트릭스로 명시적으로 쓸 수 있다$$(전도가 2개, 중공이 2개, 광구가 2개, 분할 2개).

${\displaystyle \mathbf {H} =\좌측({\begin{array}{cccccccc})E_{엘}&.P_{z}&,{\sqrt{2}}P_{z}&, -{\sqrt{3}}P_{+}&, 0&,{\sqrt{2}}P_{-}&.P_{-}&, 0\\P_{z}^{\dagger}&.P+\Delta&{\sqrt{2}}Q^{\dagger}&, -S^{\dagger}{\sqrt{2}}&-{\sqrt{2}}P_{+}^{\dagger}&, 0&, -{\sqrt{3/2}}S&-{\sqrt{2}}R\\E_{엘}&amp을 말한다.P_{z}&,{\sqrt{2}}P_{z}&, -{\sqrt{3}}P_{+}&, 0&,{\sqrt{2}}P_{-}&.P_{-}&, 0\\E_{엘}&.P_{z}&,{\sqrt{2}}P_{z}&, -{\sqrt{3}}P_{+}&, 0&,{\sqrt{2}}P_{-}&.P_{-}&, 0\\E_{엘}&.P_{z}&,{\sqrt{2}}P_{z}&, -{\sqrt{3}}P_{+}&, 0&,{\sqrt{2}}P_{-}&.P_{-}&, 0\\E_{엘}&.P_{z}&,{\sqrt{2}}P_{z}&, -{\sqrt{3}}P_{+}&, 0&,{\sqrt{2}}P_{-}&.P_{-}&, 0\\E_{엘}&.P_{z}&,{\sqrt{2}}P_{z}&, -{\sqrt{3}}P_{+}&, 0&,{\sqrt{2}}P_{-}&.P_{-}&, 0\\E_{엘}&.P_{z}&,{\sqrt{2}}P_{z}&, -{\sqrt{3}}P_{+}&, 0&,{\sqrt{2}}P_{-}&.P_{-}&, 0\\\end{배열}}\right)}$

요약

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다.(2010년 7월)

참조