리만 합
Riemann sum수학에서 리만 합은 한정된 합에 의한 적분의 특정한 종류의 근사치다. 19세기 독일 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 이름을 따서 지은 것이다. 하나의 매우 일반적인 적용은 그래프 상의 함수 또는 선의 면적에 근사치 뿐만 아니라 곡선 길이와 기타 근사치에도 가깝다.
합계는 측정 대상 지역과 유사한 영역을 함께 형성하는 형태(직사각형, 사다리꼴, 파라볼라 또는 큐빅)로 지역을 분할하여 계산한 다음, 이 모양 각각에 대한 면적을 계산하고 최종적으로 이 작은 면적을 모두 합하여 계산한다. 미적분학의 근본적인 정리가 폐쇄형 해법을 찾기가 쉽지 않더라도 이 접근법을 사용하여 확정 적분의 수치 근사치를 찾을 수 있다.
작은 형상으로 채워진 영역이 일반적으로 측정되는 영역과 정확히 같은 모양이 아니기 때문에 리만 합은 측정되는 영역과 다를 것이다. 이 오차는 더 작은 모양과 더 작은 모양을 사용하여 지역을 더 미세하게 나누면 줄일 수 있다. 모양이 점점 작아질수록 총량은 리만 적분에 접근한다.
정의
f:[ a, → R f 화살표 은(는) 실제 번호의 b ] {\ [a에 정의된 함수가 R R} 및
- ={ [ …, [ x -, {\ P [
- = 0< x < 2<= .
파티션 P가 있는 F over I의 Riemann S 은(는) 다음과 같이 정의된다.
where and .[1] One might produce different Riemann sums depending on which 's are chosen. 결국, 함수가 Riemann 통합 가능한 경우, 합계 i{\의 차이나 폭이 0에 근접할 때, 이것은 중요하지 않을 것이다.
리만 합계의 일부 특정 유형
의 구체적인 선택은 다음과 같은 다양한 유형의 리만 합을 제공한다.
- 모든 i에 대해 = i - 1 {\x_{i}^{*}=x_가 되면 S를 왼쪽 규칙[2][3] 또는 왼쪽 Riemann sum이라고 한다.
- 모든 i에 대해 = i 이(가) 있다면 S를 오른쪽[2][3] 규칙 또는 오른쪽 리만 합이라고 한다.
- 모든 i에 대해 = ( +i - ) / 2 {\x_{}+x_가 되면 S를 중간점 규칙[2][3] 또는 중간 Riemann sum이라고 한다.
- If (that is, the supremum of f over ), then S is defined to be an upper Riemann sum or upper Darboux sum.
- If (that is, the infimum of f over ), then S is defined to be a lower Riemann sum or lower Darboux sum.
이 모든 방법들은 수치적 통합을 이루는 가장 기본적인 방법들 중 하나이다. 느슨하게 말하면, 모든 리만 합계가 "더 미세해지고" 파티션으로 수렴된다면, 기능은 리만 통합될 수 있다.
리만 합으로 도출되지는 않았지만, 왼쪽과 오른쪽 리만 합계의 평균은 사다리꼴 합이며 가중 평균을 사용한 근사치 통합의 매우 일반적인 방법 중 하나이다. 이것은 심슨의 법칙과 뉴턴-코트 공식에 의해 복잡성이 뒤따른다.
주어진 파티션의 모든 Riemann 합 xi - {\i}^{*}}을(를) 선택하기 위해 x i - 1 {\와 i 은 하한 Darboux 합과 상한 사이에 포함되어 있다. 이것은 궁극적으로 리만 적분과 동등한 다르부 적분의 기초를 형성한다.
방법들
리만 합산의 네 가지 방법은 대개 같은 크기의 칸막이로 가장 잘 접근한다. 따라서 간격 [a, b]은 각 길이에 n{\개의 하위 간격으로 구분된다.
그러면 파티션의 포인트는
레프트 리만 합
왼쪽 Riemann 합계의 경우, 함수를 왼쪽 끝 지점의 값으로 근사하게 계산하면 기준 Δx와 높이 f(a + IΔx)가 있는 여러 직사각형이 나타난다. i = 0, 1, …, n - 1에 대해 이 작업을 수행하고 결과 영역을 추가하면
왼쪽 리만 합은 f가 이 간격에서 단조롭게 감소하면 과대평가되고 단조롭게 증가하면 과소평가되는 것에 해당한다.
우 리만 합
f는 여기서 오른쪽 끝점의 값으로 근사치를 구한다. 이것은 기본 Δx와 높이 f(a + i Δx)를 가진 여러 직사각형을 제공한다. i = 1, … n에 대해 이 작업을 수행하고 결과 영역을 추가하면 결과물이 생성된다.
오른쪽 리만 합은 f가 단조롭게 감소하면 과소평가되고 단조롭게 증가하면 과대평가된다. 이 공식의 오류는
- ,
여기서 }는 간격에 대한 ( ) f의 절대값의 최대값이다.
중간점 규칙
구간의 중간점에서 근사 f는 f(a + Δx/2)를 첫 번째 간격, 다음 f(a + 3 Δx/2)에 대해 f(b - Δx/2)까지 준다. 지역을 종합하면 얻을 수 있다.
- .
이 공식의 오류는
- ,
여기서 }}은 간격에 \prime \의 절대값의 최대값이다.
사다리꼴 법칙
이 경우 간격에 대한 함수 f의 값은 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점에 있는 값의 평균으로 근사치를 구한다. 위와 같은 방법으로 면적 공식을 이용한 간단한 계산
평행면 b1, b2 및 높이 h가 생성되는 사다리꼴의 경우
이 공식의 오류는
여기서 }}은 (\prime \의 절대값의 최대값이다
함수에 대한 사다리꼴 규칙으로 얻은 근사치는 해당 함수의 왼손 및 오른손 합계의 평균과 동일하다.
통합과 연결
도메인 위에 있는 1차원 리만 합 ] {\의 경우, 파티션 요소의 최대 크기가 0으로 축소됨에 따라, 일부 함수는 모든 리만 합이 동일한 값으로 수렴되도록 할 것이다. 이 제한 값이 존재하는 경우, 도메인 전체에 걸쳐 함수의 확실한 리만 적분으로 정의된다.
유한한 크기의 도메인의 경우, 파티션 요소의 최대 크기가 0으로 축소되는 경우, 이는 파티션 요소의 수가 무한대로 간다는 것을 의미한다. 유한 파티션의 경우, Riemann 합계는 항상 제한 값에 근사치이며, 이 근사치는 파티션이 미세해질수록 더 좋아진다. 다음 애니메이션은 파티션 수를 증가시키는 동시에(최대 파티션 요소 크기를 낮추면서) 곡선 아래의 "영역"에 얼마나 더 잘 근접한지를 보여주는 데 도움이 된다.
여기서의 적색 함수는 매끄러운 함수로 가정되기 때문에, 3개의 리만 합은 모두 칸막이의 수가 무한대로 가는 것과 같은 값으로 수렴될 것이다.
예
예를 들어, 0과 2 사이의 y = x2 곡선 아래의 영역은 리만의 방법을 사용하여 절차적으로 계산할 수 있다.
간격 [0, 2]은 먼저 n개의 하위 절편으로 나뉘는데, 각 하위 절에는 {\의 너비가 주어진다 이는 리만 직사각형의 너비(이하 "상자")이다. Because the right Riemann sum is to be used, the sequence of x coordinates for the boxes will be . Therefore, the sequence of the heights of the boxes will be . I는 x = 그리고 = 라는 중요한 사실이다
각 상자의 면적은 2 }}번째 우측 리만 합은 다음과 같다.
한계치를 n → as으로 보면 상자 수가 증가함에 따라 곡선 아래 면적의 실제 값에 근사치가 접근한다고 결론 내릴 수 있다. 따라서 다음과 같다.
이 방법은 보다 기계적 방법으로 계산된 확정 적분과 일치한다.
함수는 그 간격에 연속적이고 단조롭게 증가하기 때문에 오른쪽 리만 합은 적분을 가장 큰 양만큼 과대평가한다(왼쪽 리만 합은 적분을 가장 큰 양만큼 과소평가한다). 도표에서 직관적으로 분명한 이 사실은 함수의 특성이 적분 추정의 정확성을 어떻게 결정하는지를 보여준다. 간단하지만, 오른쪽과 왼쪽 리만 합은 사다리꼴 법칙이나 심슨의 법칙과 같은 적분을 추정하는 더 진보된 기술보다 정확하지 않은 경우가 많다.
예제 함수는 쉽게 찾을 수 있는 반파생성을 가지고 있으므로 리만 합계에 의한 적분 추정이 대부분 학술적인 연습이지만, 모든 함수가 반파생성을 가지고 있는 것은 아니므로 합계에 의한 적분 추정이 실질적으로 중요하다는 것을 기억해야 한다.
상위 치수
리만 합 뒤에 있는 기본 아이디어는 칸막이를 통해 도메인을 "분할"하고 각 조각의 "크기"에 해당 조각에 대한 함수의 가치를 곱하고 이 모든 제품들을 합하는 것이다. 이것은 둘 이상의 차원에 걸쳐 함수에 대한 Riemann 합계를 허용하기 위해 일반화할 수 있다.
직관적으로 도메인을 분할하는 과정은 이해하기 쉽지만, 도메인을 분할하는 방법에 대한 기술적 세부사항은 1차원 사례보다 훨씬 더 복잡해지고 도메인의 기하학적 형태 측면도 포함된다.[4]
2차원
2차원에서는 도메인 을(를) 여러 셀, A 로 나눌 수 있으며, = A 그러면 2차원에서는 각 셀이 에 의해 나타내는 "면적"을 갖는 것으로 해석할 수 있다[5] 리만 합은
여기서( , )
삼차원
3차원에서는 에서 V = i 가 색인화된 셀의 "볼륨"이 되도록 V 을 사용하는 것이 관례다 그러면 3차원 리만 합은 다음과[6] 같이 쓰여질 수 있다.
i ) V
임의의 치수 수
더 높은 치수 리만 합은 1에서 2에서 3차원까지와 유사하다. 임의 차원에 대해, n, 리만 합은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 P V 즉 n차원 에 있는 지점이다
일반화
일반적으로 리만 합은 쓸 수 있다.
여기서 P 는 파티션 요소 에 포함된 임의의 점을 의미하며, 은 기본 세트의 측정값이다. 대략적으로 말하면, 측정은 집합의 "크기"를 주는 함수인데, 이 경우 세트 의크기{\i 1차원에서는 흔히 구간의 길이를 2차원, 면적, 3차원, 볼륨 등으로 해석할 수 있다.
참고 항목
- 해독제
- 오일러법과 중간점법, 미분방정식을 푸는 관련법
- 르베그 적분
- 리만 적분, 파티션이 무한정 미세해질 때 리만 합계의 한계
- 심슨의 법칙, 기본 리만 합이나 사다리꼴 법칙보다 더 강력한 수법
- 사다리꼴 규칙, 왼쪽과 오른쪽 리만 합계의 평균을 기초로 한 숫자법
참조
- ^ Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Calculus (4th ed.). Wiley. p. 252. (정의에 대한 많은 등가 변이들 중에서, 이 참조는 여기에 주어진 것과 매우 유사하다.)
- ^ a b c Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Calculus (4th ed.). Wiley. p. 340.
So far, we have three ways of estimating an integral using a Riemann sum: 1. The left rule uses the left endpoint of each subinterval. 2. The right rule uses the right endpoint of each subinterval. 3. The midpoint rule uses the midpoint of each subinterval.
- ^ a b c Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Calculus from Graphical, Numerical, and Symbolic Points of View (Second ed.). p. M-33.
Left-rule, right-rule, and midpoint-rule approximating sums all fit this definition.
- ^ Swokowski, Earl W. (1979). Calculus with Analytic Geometry (Second ed.). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 821–822. ISBN 0-87150-268-2.
- ^ Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Calculus from Graphical, Numerical, and Symbolic Points of View (Second ed.). p. M-34.
We chop the plane region R into m smaller regions R1, R2, R3, ..., Rm, perhaps of different sizes and shapes. The 'size' of a subregion Ri is now taken to be its area, denoted by ΔAi.
- ^ Swokowski, Earl W. (1979). Calculus with Analytic Geometry (Second ed.). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 857–858. ISBN 0-87150-268-2.