치수정규화

In theoretical physics, dimensional regularization is a method introduced by Giambiagi and Bollini^[1] as well as – independently and more comprehensively^[2] – by 't Hooft and Veltman^[3] for regularizing integrals in the evaluation of Feynman diagrams; in other words, assigning values to them that are meromorphic functions of a complex parameter d, the analy시간 간격 치수의 틱 연속.

치수 정규화는 Feynman 적분을 Spacetime 치수 d와 그 안에 나타나는 Spacetime 점 x의_i 제곱 거리(x-x_ij)²에 따라 적분으로 쓴다.유클리드 공간에서, 적분은 종종 충분히 큰 -Re(d)를 위해 수렴되며, 이 영역에서 모든 복잡한 d에 대해 정의된 용적함수로 분석적으로 지속될 수 있다.일반적으로 d의 물리적 값(보통 4)에 폴이 있게 되는데, 물리적인 양을 얻기 위해서는 리노말화에 의해 취소되어야 한다.에팅오프(1999)는 적어도 대규모 유클리드 분야의 경우, 번스타인-사토 다항식을 사용하여 분석 연속성을 수행함으로써 치수 정규화가 수학적으로 잘 정의되어 있음을 보여주었다.

극을 뺄셈하고 d를 다시 4로 바꿀 때 방법이 가장 잘 이해되지만, 윌슨-피셔 고정점의 경우처럼 이론이 강하게 결합되는 것으로 보이는 또 다른 정수 값에 d를 접근하는 것도 어느 정도 성공으로 이어졌다.한 단계 더 도약하는 것은 부분 치수를 통한 보간법을 심각하게 받아들이는 것이다.이것은 일부 저자들이 거시적으로 프랙탈로 보이는 결정의 물리학을 연구하는 데 치수 규칙화를 사용할 수 있다고 제안하게 만들었다.^[4]

제타 정규화와 치수 정규화는 직렬이나 적분이 수렴하기 위해 분석적 연속성을 사용하는 동일한 원리를 사용하기 때문에 동등하다는 주장이 제기되어 왔다.^[5]

예

다음과 같은 4차원에서 로그로 분리된 루프 적분을 치수적으로 정규화하려고 한다고 가정합시다.

${\displaystyle I=\int {\frac {d^{4}p}{{4}{4}}{\frac {1}{\frac {1}{\frc(p^{2}+m^{2}}{2})}\오른쪽)^{2}}.}$

먼저,${\displaystyle }d{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 4}$ -${\displaystyle }${$${\$displaystyle$d=$4-\varepsilon }$의 일반 비정수 치수에 적분을 쓰십시오$.$ 여기서 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$은(는) 나중에 작을 것으로 간주됩니다$$,

$${\displaystyle I=\int {\frac {d^{d}p}{{d}}{\frac {1}{d}}{\frac {1}{\frac(p^{2}+m^{2}{2})}\오른쪽)^{2}}.}$$

통합이 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$분에만 의존한다면, 우리는 공식을^[6] 적용할 수 있다$.$

$${\dstyle \int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}}:{\Gamma (d/2)}}}}}\int _{0}^{0}p\,p^{d-1}f(p^{2}).}$$

For integer dimensions like ${\displaystyle d=3}$, this formula reduces to familiar integrals over thin shells like ${\textstyle \int _{0}^{\infty }dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$. For non-integer dimensions, we define the value of the integral in this way by analytic continuation.이것으로 알 수 있다.

$${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}={\frac {2^{\barepsilon -4}\pi^{{\frac {\barepsilon }{2}}-1}{\sin \pin \leftproped\frac {}{2}}:\right)\감마 \left(1-{\frac {\barepsilon }{2}}\오른쪽)}}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }-{1}-{16\pi ^{2}}:}\ln {\frac {\m^{4}}}}}+\mathcal {O(\varepsilon).}$$

적분은 다시 $\epsilon {\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0$ 으로 분산되지만 임의의 작은 값 for${\displaystyle }\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$에 대해서는 유한하다는 점에 유의하십시오$.$

메모들

참조

• Bollini, Carlos; Giambiagi, Juan Jose (1972), "Dimensional Renormalization: The Number of Dimensions as a Regularizing Parameter.", Il Nuovo Cimento B, 12 (1): 20–26, doi:10.1007/BF02895558 (inactive 31 October 2021){{citation}}: CS1 maint : 2021년 10월 현재 DOI 비활성화(링크)
• Etingof, Pavel (1999), "Note on dimensional regularization", Quantum fields and strings: a course for mathematicians, Vol. 1,(Princeton, NJ, 1996/1997), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 597–607, ISBN 978-0-8218-2012-4, MR 1701608
• Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "Regularization and renormalization of gauge fields", Nuclear Physics B, 44 (1): 189–213, Bibcode:1972NuPhB..44..189T, doi:10.1016/0550-3213(72)90279-9, hdl:1874/4845, ISSN 0550-3213