오일러 공식

레온하르트 오일러의 이름을 딴 오일러 공식은 복소 분석에서 삼각 함수와 복소 지수 함수 사이의 근본적인 관계를 설정하는 수학 공식입니다. 오일러 공식은 임의의 실수 $x$ 에 대하여 다음과 같이 말합니다.

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

여기서

e

는 자연로그의 밑,

i

는 허수 단위,

cos

와

sin

은 각각 삼각함수 코사인과 사인입니다. 이 복잡한 지수 함수는

때때로

시스

x("cosine plus isine")로 표시됩니다.

만약

x가 복소수라면 그 공식은 여전히 유효하며, 그래서 일부 저자들은 더 일반적인 복소수 버전을 오일러 공식이라고 부릅니다.^[1]

오일러 공식은 수학, 물리학, 화학, 공학 등 어디에나 있습니다. 물리학자 리차드 파인만은 이 방정식을 "우리의 보석" 그리고 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라고 불렀습니다.^[2]

$x$ = π일 때 오일러의 공식은 e + 1 = 0 또는 e = - 1로 다시 표기될 수 있으며, 이를 오일러 항등식이라고 합니다.

역사

1714년 영국 수학자 로저 코테스는 (잘못된 ${\$ 의 인자를 수정한 후 ${\sqrt {-1}}$ 다음과 같이 해석할 수 있는 기하학적 논법을 제시했습니다.^[3]^[4]^[5]

ix=\ln(\cos x+i\sin x).

이 방정식을 지수화하면 오일러 공식이 나옵니다. 복소 로그는

2

πi의 배수로 다른 무한히 많은 값을 가질 수 있기 때문에, 로그 문장은 복소 숫자에 대해 보편적으로 정확하지 않습니다.

1740년경 레온하르트 오일러는 지수 함수에 관심을 돌렸고, 지수식과 삼각식의 급수 전개를 비교함으로써 그의 이름을 딴 방정식을 유도했습니다.^[6]^[4] 이 공식은 1748년 그의 기초 연구인 In in in intitorum에서 처음 발표되었습니다.^[7]

요한 베르누이가 발견한^[8] 것은

{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).

그리고 그 이후로.

\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,

위의 방정식은 자연로그를 허수(복소수)와 연관시킴으로써 복소수에 관한 것을 알려줍니다. 그러나 베르누이는 적분을 평가하지 않았습니다.

베르누이와 오일러의 대응은 베르누이가 복소 로그를 완전히 이해하지 못했음을 보여줍니다. 오일러는 또한 복소 로그는 무한히 많은 값을 가질 수 있다고 제안했습니다.

복소수를 복소평면의 점으로 보는 관점은 약 50년 후 Caspar Wessel에 의해 설명되었습니다.

복소 지수의 정의

$x$ 의 실수 값에 대한 지수 함수 $e$ 는^x 몇 가지 다른 등가 방법으로 정의될 수 있습니다(지수 함수의 특성화 참조). $이러한$ 방법 중 몇 가지는 x 대신 $z$ 를 대체하고 복잡한 대수 연산을 사용하여 $z$ 의 복잡한 값에 대한 $e$ 의^z 정의를 제공하기 위해 직접 확장될 수 있습니다. 특히 다음과 같은 세 가지 정의 중 하나를 사용할 수 있습니다. 좀 더 발전적인 관점에서 볼 때, 이들 각각의 정의는 복소 $평면$ 에^x e의 고유한 분석적 연속을 제공하는 것으로 해석될 수 있습니다.

미분방정식 정의

지수 함수 $f(z)=e^{z}$ = $f(z)=e^{z}$ {\displaystyle f(z) = e^{z}}는 도함수가 함수와 같은 복소 변수의 고유한 미분 가능 함수입니다.

{\frac {df}{dz}}=f

그리고.

f(0)=1.

멱급수 정의

복소 $z$ 의 경우

e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

비율 검정을 사용하면 이 멱급수가 무한대의 수렴 반경을 가지므로 모든 복소 $z$ 에 대해 $e$ 를^z 정의할 수 있습니다.

한계정의

복소 $z$ 의 경우

e^{z}=\lim_{n\to \infty}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}

여기서 $n$ 은 양의 정수로 제한되므로 지수 $n$ 이 있는 거듭제곱이 무엇을 의미하는지에 대해서는 의문의 여지가 없습니다.

증명

공식에 대한 다양한 증명이 가능합니다.

미분법 사용

이 증명은 삼각법과 지수식의 몫이 상수 함수이므로 동일해야 합니다(지수 함수가 0이 ^[9]아니므로 허용됨).^[10]

$함수$ f $($ θ)를 고려합니다.

f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)

진짜

θ으로 제품 규칙에 의한 제공 차별화

f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0

따라서

f

(

θ)는 상수입니다.

f (0)

=

1

이므로, 모든 실수 θ에 대하여 f(θ) = 1 이므로,

e^{i\theta} =\cos \theta +i\sin \theta.

멱급수 사용

여기에는 멱급수 전개를 사용한 오일러 공식의 $증명$ 과 i의 거듭제곱에 대한 기본적인 사실이 있습니다.^[11]

{\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}

위의 멱급수 정의를 사용하면 $x$ 의 실수 값에 대해

{\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}

마지막 단계에서 우리는 두

용어

가

cos

x

와 sin x에 대한 Maclaurin 급수임을 알 수 있습니다. 각 급수는 절대 수렴이므로 항의 재배열은 정당합니다.

극좌표 사용

또 다른 증거는^[12] 모든 복소수가 극좌표로 표현될 수 있다는 사실에 근거하고 있습니다. 따라서, x에 $따른$ $어떤$ $r$ 과 θ에 대하여,

e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)

r

과 θ에 대한 가정은 이루어지지 않고 있습니다. 이는 증명 과정에서 결정될 것입니다. 지수 함수의 정의로부터

e

의^ix 도함수는

다음

과^ix 같은 것을 알 수 있습니다. 따라서 양쪽을 구별하는 것은

ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left (-\sin \theta +i\cos \right){\frac {d\theta }{dx}

이

공식

에서 실수부와 허수부를 e와 동일시하기 위해

r (cos

θ +

is in θ)을 대입하면

dr

/

dx = 0 및 d θ/dx = 1이 됩니다.

따라서

r은 상수이고, θ은 어떤

상수

C에 대하여 x +

C

입니다. 초기값

r (0)

=

1

및

θ(0) = 0은 e = 1에서 나오며 r = 1 및 θ = x를 제공합니다. 이것은 공식을 증명합니다.

e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.

적용들

복소수론에서의 응용

공식의 해석

이 공식은 $함수$ $e$ 가 단위 복소수, 즉 φ가 실수들을 통과하면서 복소평면의 단위 원을 추적한다는 것으로 해석될 수 있습니다. $여기$ 서 φ은 원점과 단위 원 위의 한 점을 연결하는 선이 양의 실수축과 이루는 각도로 반시계 방향과 라디안 단위로 측정됩니다.

원래 증명은 지수 함수 $e z$ (여기서 $z$ 는 복소수)와 실수 $x$ 에 대한 $sin$ x와 $cos$ $x$ 의 테일러 급수 전개에 기초합니다(위 참조). 사실, 같은 증명은 오일러의 공식이 모든 $복소수$ x에 대해서도 유효하다는 것을 보여줍니다.

복소평면의 한 점은 직각좌표로 쓰인 복소수로 나타낼 수 있습니다. 오일러 공식은 직각좌표와 극좌표 사이의 변환 수단을 제공합니다. 극형은 곱셈이나 복소수의 거듭제곱에 사용될 때 수학을 단순화합니다. 임의의 복소수 $z$ = $x$ + $iy$ 와 그 복소수 결합체인 z = x - iy는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\begin{aligned}z&=x+iy= z(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi},\{\bar {z}}&=x-iy= z(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi},\end{aligned}

어디에

$x$ $=$ $Rez$ 는 진짜 부분이고,
$y$ $=$ $Imz$ 는 가상의 부분이고,
$r$ $=$ $z =$ $\sqrt$ x + $y$ 는 z 및
$φ = arg z = atan2 (y, x)$ .

$φ$ 는 x축과 반시계 방향으로 측정된 벡터 z 사이의 각도로, 2 $π$ 의 덧셈까지 $정의$ 되는 z의 인수입니다. 많은 텍스트가 2(y, x)에서 φ = 대신 φ = $tany$ /x를 쓰지만 첫 번째 방정식은 x ≤ 0일 때 $조정$ 이 필요합니다. 이는 0이 아닌 임의의 실제 $x$ 와 $y$ 에 대해 벡터 ( $x,$ y $)$ 와 $(- x, -y)$ 의 각도는 π 라디안에 따라 다르지만 tanφ = y/ $x$ 의 $값$ 은 같기 때문입니다.

공식을 사용하여 복소수의 로그를 정의합니다.

이제 이 유도된 공식을 사용하여 복소수의 로그를 정의할 수 있습니다. 이를 위해 로그의 정의(지수의 역연산자)도 사용합니다.

a=e^{\lna}

그리고 그

e^{a}e^{b}=e^{a+b},

둘 다

임의

의 복소수

a

와 b에 대해 유효합니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

z=\left z\right e^{i\varphi}=e^{\ln \left z\right}e^{i\varphi}=e^{\ln \left z\right +i\varphi}

for any

z \neq 0

. 양변의 로그를 취하면,

\ln z=\ln \left z\right +i\varphi,

그리고 사실 이것은 복소 로그의 정의로 사용될 수 있습니다.

따라서

복소수의 로그는 φ가 다중 값이기 때문에 다중 값 함수입니다.

마지막으로, 다른 지수 법칙은

\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak}

이것은 오일러의 공식과 함께 모든 정수

k

에 대해 성립한다고 볼 수 있으며, 드 모이브르의 공식뿐만 아니라 여러 삼각형 항등식을 의미합니다.

삼각법과의 관계

오일러 공식, 삼각함수의 정의 및 지수함수에 대한 표준 항등식은 대부분의 삼각 항등식을 쉽게 유도하기에 충분합니다. 분석과 삼각법 사이의 강력한 연결을 제공하며, 사인 함수와 코사인 함수를 지수 함수의 가중치 합으로 해석합니다.

{\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2},\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}입니다.\end{align}}

위의 두 방정식은 오일러의 공식을 가감하여 유도할 수 있습니다.

{\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\e^{-ix}&=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}

코사인이나 사인에 대한 풀이.

이 공식들은 복소 인수 $x$ 에 대한 삼각 함수의 정의로도 사용될 수 있습니다. 예를 들어, $x$ = $iiy$ 를 다음과 같이 설정합니다.

{\begin{aligned}\cosi&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{align}}

복잡한 지수는 사인파 성분보다 조작하기 쉽기 때문에 삼각법을 단순화할 수 있습니다. 한 가지 기술은 단순히 지수의 관점에서 사인파를 동등한 표현식으로 변환하는 것입니다. 조작 후에도 단순화된 결과는 여전히 실제 가치입니다. 예:

{\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{align}}

또 다른 기법은 복소 표현식의 실수 부분으로 사인파를 표현하고 복소 표현식에 대한 조작을 수행하는 것입니다. 예:

{\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{align}}

$이$ 공식은 n과 $임의$ 의 x(라디안 단위)의 정수 값에 대한 $cosnx$ 의 재귀적 생성에 사용됩니다.

위상해석

위상 언어에서 오일러의 공식은 가상의 지수 $t\mapsto e^{it}$ $t\mapsto e^{it}$ ↦ e ${\displaystyle$ t $\mapsto$ e^{it}}가 $R {\displaystyle$ $\mathbb {S} ^{1}$ \ $mathbb$ {R} }에서 $\mathbb {S} ^{1}$ 단위 원 $S1 {\displaystyle \mathbb$ {S} ^{1}까지의 (수의적) 위상군의 형태임을 나타냅니다. 사실, this exhibits $\mathbb {R}$ as a covering space of $\mathbb {S} ^{1}$ . Similarly, Euler's identity says that the kernel of this map is $\tau \mathbb {Z}$ , where $\tau =2\pi$ . 이러한 관측치는 아래의 교환 다이어그램에 결합되어 요약될 수 있습니다.

기타 응용프로그램

미분방정식에서, $함수 ix$ e는 종종 해를 단순화하기 위해 사용됩니다. 비록 최종 답이 사인과 코사인을 포함하는 실수 함수일지라도 말입니다. 그 이유는 지수 함수가 미분 연산의 고유 함수이기 때문입니다.

전기공학, 신호 처리 및 유사한 분야에서 시간에 따라 주기적으로 변하는 신호는 종종 사인 함수의 조합으로 설명되며(푸리에 분석 참조), 이들은 오일러 공식을 사용하여 가상 지수를 갖는 지수 함수의 합으로 더 쉽게 표현됩니다. 또한 회로의 위상 분석에는 커패시터 또는 인덕터의 임피던스를 나타내는 오일러 공식이 포함될 수 있습니다.

4차원의 4차원 공간에는 허수 단위의 구가 존재합니다. 구면 위의 임의의 점 $r$ 과 실수 $x$ 에 대하여 오일러 공식은 다음과 같이 적용됩니다.

\exp xr=\cos x+r\sin x,

그리고 그 원소는 4분의 1로 버서라고 불립니다. 모든 버서들의 집합은 4-공간에서 3-구를 형성합니다.

참고 항목

참고문헌

^ Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. p. 7. ISBN 981-02-4780-X.
^ Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
^
코테스는 다음과 같이 밝혔습니다: "남시 사분면은 서큘리 평형 아크, 라디오 CE 설명, sinunhapbeat CX sinumque complementi ad 사분면 XE, sumendo radium CE pro Modulo, 아크 중재는 $EX+XC{\sqrt {-1}}$ + $EX+XC{\sqrt {-1}}$ C $EX+XC{\sqrt {-1}}$ - $EX+XC{\sqrt {-1}}$ ${\$ & ${\sqrt {-1}}$ 멘수라 덕트 ${\sqrt {-1}}$ - 1 ${\$ "(따라서 반지름 CE로 표시되는 원의 사분면에 있는 임의의 호에 사분면 XE에 대한 보수의 동 CX 및 동이 있는 경우, 반지름 CE를 모듈러스로 사용하면, 호는 $EX+XC{\sqrt {-1}}$ + $EX+XC{\sqrt {-1}}$ C $EX+XC{\sqrt {-1}}$ - $EX+XC{\sqrt {-1}}$ ${\$ $displaystyle$ $EX+XC {\$ $sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE 사이의 비율에 ${\sqrt {-1}}$ - ${\sqrt {-1}}$ 을 곱한 값이 됩니다 $.)$ 즉, (x,y) 평면의 원점에 중심 E와 반지름 CE가 있는 원을 생각해 보십시오. 꼭지점 E가 양의 x축을 한 변으로 하고 반지름 CE를 다른 변으로 하는 각도 θ를 생각해 보자. 원 위의 C점에서 x축까지의 수직은 "시너스" CX이며, 원의 중심 E와 수직의 발치에 있는 X점 사이의 선은 "사분면에 대한 보체의 시너스" 또는 "코시너스"인 XE입니다. $EX+XC{\sqrt {-1}}$ + $EX+XC{\sqrt {-1}}$ C - $EX+XC{\sqrt {-1}}$ {\ $displaystyle EX$ + $XC {\sqrt {-1}}$ 과 CE의 비율은 $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ ⁡ θ ${\displaystyle$ \ $cos \theta$ +{\sqrt {-1}}\sin \theta \}에서 $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ ⁡ θ + - $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ 입니다. 코테스의 용어에서, 양의 "측량"은 양의 자연 로그입니다. 그리고 "모듈러스"는 각도 측정값을 원호 길이로 변환하는 변환 계수입니다(여기서 모듈러스는 원의 반지름(CE)입니다). Cotes에 따르면, 모듈러스의 곱과 비율의 측도(로그)에 ${\sqrt {-1}}$ {\ $displaystyle$ {\ $sqrt {-1}}$ 을 곱했을 때 ${\sqrt {-1}}$ 라디안으로 측정된 각도에 대해 CE • θ로 감산된 원형 호의 길이와 같다고 합니다. 따라서 ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ - ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ⁡ ( ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ⁡ θ + - 1 sin ⁡ θ) = (CE) θ {\displaystyle {\sqrt {-1}} CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)} = (CE)\theta } 이 방정식은 잘못된 요인을 가지고 있습니다: -1 {\displaystyle {\sqrt {-1}의 요인은 방정식의 왼쪽이 아니라 오른쪽에 있어야 합니다. ${\sqrt {-1}}$ 1 ${\sqrt {-1}$ 스케일링을 변경한 다음, 양변을 CE로 나누고 양변을 지수화한 후 결과는 $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ ⁡ θ + - $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ sin ⁡ θ = e - $1$ θ {\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta = e^{\sqrt {-1}\theta }이며, 이는 오일러 공식입니다.
참조:
- 로저 코테스 (1714) "로고메트리아," 런던 왕립학회 철학적 거래, 29 (338) : 5-45; 특히 32페이지를 참조하세요. 온라인 주소: 하티 트러스트
- 로버트 스미스와 함께 한 로저 코테스, 에드., 하르모니아 멘수라룸… (잉글랜드 케임브리지: 1722), 장: "로고메트리아", p. 28.
^ ^a ^b John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer. ISBN 9781441960528.
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^ Leonard Euler (1748) 8장: 무한의 분석에 대한 서론의 원에서 발생하는 양들을 초월하는 것에 관하여, 214쪽, 138쪽 (Ian Bruce 번역, 17세기 수학의 pdf 링크).
^ 콘웨이 & 가이, 254-255쪽
^ Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul" [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702: 289–297.
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^ user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), 오일러 공식 증명 방법: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$?, URL (버전: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612
^ Ricardo, Henry J. (23 March 2016). A Modern Introduction to Differential Equations. p. 428. ISBN 9780123859136.
^ Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley-Cambridge. p. 389. ISBN 0-9614088-2-0. 두 번째 증명입니다.

외부 링크

대수학의 요소

[1] Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. p. 7. ISBN 981-02-4780-X.

[2] Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.

[3] 코테스는 다음과 같이 밝혔습니다: "남시 사분면은 서큘리 평형 아크, 라디오 CE 설명, sinunhapbeat CX sinumque complementi ad 사분면 XE, sumendo radium CE pro Modulo, 아크 중재는 $EX+XC{\sqrt {-1}}$ + $EX+XC{\sqrt {-1}}$ C $EX+XC{\sqrt {-1}}$ - $EX+XC{\sqrt {-1}}$ ${\$ & ${\sqrt {-1}}$ 멘수라 덕트 ${\sqrt {-1}}$ - 1 ${\$ "(따라서 반지름 CE로 표시되는 원의 사분면에 있는 임의의 호에 사분면 XE에 대한 보수의 동 CX 및 동이 있는 경우, 반지름 CE를 모듈러스로 사용하면, 호는 $EX+XC{\sqrt {-1}}$ + $EX+XC{\sqrt {-1}}$ C $EX+XC{\sqrt {-1}}$ - $EX+XC{\sqrt {-1}}$ ${\$ $displaystyle$ $EX+XC {\$ $sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE 사이의 비율에 ${\sqrt {-1}}$ - ${\sqrt {-1}}$ 을 곱한 값이 됩니다 $.)$ 즉, (x,y) 평면의 원점에 중심 E와 반지름 CE가 있는 원을 생각해 보십시오. 꼭지점 E가 양의 x축을 한 변으로 하고 반지름 CE를 다른 변으로 하는 각도 θ를 생각해 보자. 원 위의 C점에서 x축까지의 수직은 "시너스" CX이며, 원의 중심 E와 수직의 발치에 있는 X점 사이의 선은 "사분면에 대한 보체의 시너스" 또는 "코시너스"인 XE입니다. $EX+XC{\sqrt {-1}}$ + $EX+XC{\sqrt {-1}}$ C - $EX+XC{\sqrt {-1}}$ {\ $displaystyle EX$ + $XC {\sqrt {-1}}$ 과 CE의 비율은 $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ ⁡ θ ${\displaystyle$ \ $cos \theta$ +{\sqrt {-1}}\sin \theta \}에서 $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ ⁡ θ + - $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ 입니다. 코테스의 용어에서, 양의 "측량"은 양의 자연 로그입니다. 그리고 "모듈러스"는 각도 측정값을 원호 길이로 변환하는 변환 계수입니다(여기서 모듈러스는 원의 반지름(CE)입니다). Cotes에 따르면, 모듈러스의 곱과 비율의 측도(로그)에 ${\sqrt {-1}}$ {\ $displaystyle$ {\ $sqrt {-1}}$ 을 곱했을 때 ${\sqrt {-1}}$ 라디안으로 측정된 각도에 대해 CE • θ로 감산된 원형 호의 길이와 같다고 합니다. 따라서 ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ - ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ⁡ ( ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ⁡ θ + - 1 sin ⁡ θ) = (CE) θ {\displaystyle {\sqrt {-1}} CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)} = (CE)\theta } 이 방정식은 잘못된 요인을 가지고 있습니다: -1 {\displaystyle {\sqrt {-1}의 요인은 방정식의 왼쪽이 아니라 오른쪽에 있어야 합니다. ${\sqrt {-1}}$ 1 ${\sqrt {-1}$ 스케일링을 변경한 다음, 양변을 CE로 나누고 양변을 지수화한 후 결과는 $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ ⁡ θ + - $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ sin ⁡ θ = e - $1$ θ {\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta = e^{\sqrt {-1}\theta }이며, 이는 오일러 공식입니다.
참조:
로저 코테스 (1714) "로고메트리아," 런던 왕립학회 철학적 거래, 29 (338) : 5-45; 특히 32페이지를 참조하세요. 온라인 주소: 하티 트러스트

로버트 스미스와 함께 한 로저 코테스, 에드., 하르모니아 멘수라룸… (잉글랜드 케임브리지: 1722), 장: "로고메트리아", p. 28.

[4] 로저 코테스 (1714) "로고메트리아," 런던 왕립학회 철학적 거래, 29 (338) : 5-45; 특히 32페이지를 참조하세요. 온라인 주소: 하티 트러스트

[5] 로버트 스미스와 함께 한 로저 코테스, 에드., 하르모니아 멘수라룸… (잉글랜드 케임브리지: 1722), 장: "로고메트리아", p. 28.

[Stillwell-4] John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer. ISBN 9781441960528.

[5] 샌디퍼, C. Edward(2007), Euler's Greatest Hits, America Mathematical Association ISBN 978-0-88385-563-8

[6] Leonard Euler (1748) 8장: 무한의 분석에 대한 서론의 원에서 발생하는 양들을 초월하는 것에 관하여, 214쪽, 138쪽 (Ian Bruce 번역, 17세기 수학의 pdf 링크).

[7] 콘웨이 & 가이, 254-255쪽

[8] Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul" [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702: 289–297.

[Apostol-9] Apostol, Tom (1974). Mathematical Analysis. Pearson. p. 20. ISBN 978-0201002881. 정리 1.42

[10] user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), 오일러 공식 증명 방법: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$?, URL (버전: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612

[11] Ricardo, Henry J. (23 March 2016). A Modern Introduction to Differential Equations. p. 428. ISBN 9780123859136.

[Strang-12] Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley-Cambridge. p. 389. ISBN 0-9614088-2-0. 두 번째 증명입니다.

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