수정계

다이아몬드 결정 구조는 면 중심의 입방체 격자에 속하며 2원자 패턴이 반복됩니다.

결정학에서 결정계는 점군(적어도 1개의 고정점을 가진 기하학적 대칭군)의 집합이다.격자 체계는 브라바 격자 집합이다.공간군은 점군에 따라 결정계로, 브라바 격자에 따라 격자계로 분류된다.공통 격자계에 할당된 공간군을 가진 결정계는 결정족으로 결합된다.

7개의 결정계는 삼사정계, 단사정계, 직교정계, 사방정계, 삼각정계, 육방정계, 입방정계이다.비공식적으로, 만약 두 결정이 비슷한 대칭을 가지고 있다면, 두 결정은 같은 결정계에 있습니다(많은 예외가 있기는 하지만).

분류

결정은 격자계, 결정계, 결정계, 결정계 등 세 가지 방법으로 분류할 수 있다.다양한 분류는 종종 혼동된다: 특히 삼각결정계는 종종 마름모꼴 격자계와 혼동되며, "결정계"라는 용어는 "격자계" 또는 "결정족"을 의미하기 위해 사용된다.

격자계

격자 시스템은 격자 점 그룹의 집합이 동일한 격자 그룹입니다.14개의 브라바 격자는 삼사정, 단사정, 직교, 사방정, 마름모정, 육방정, 입방정 등 7개의 격자 체계로 분류된다.

수정계

결정계는 점군 자체와 대응하는 공간군이 격자계에 할당되는 점군의 집합이다.3차원으로 존재하는 32개의 결정학적 점군 중 대부분은 하나의 격자계에만 할당되며, 이 경우 결정계와 격자계 모두 이름이 같다.그러나 5개의 점 그룹은 둘 다 3중 회전 대칭을 나타내기 때문에 두 개의 격자 시스템, 즉 마름모꼴과 육각형에 할당됩니다.이러한 점 그룹은 삼각 결정 시스템에 할당됩니다.

크리스탈 패밀리

결정군은 격자와 점군에 의해 결정된다.그것은 공통 격자 시스템에 할당된 공간 그룹을 가진 결정 시스템을 결합함으로써 형성된다.3차원에서, 육각형과 삼각형의 결정계는 하나의 육각형 결정족으로 결합된다.

3중 C축 대칭을 가진 육각형 행크사이트 결정

비교

결정 시스템 중 5개는 본질적으로 격자 시스템 중 5개와 동일합니다.육방정계와 삼각정계는 육방정계와 마름모면체 격자계와 다르다.이것들은 육각형 결정족으로 결합됩니다.

3차원 결정족, 결정계 및 격자계 간의 관계는 다음 표에 나와 있습니다.

크리스탈 패밀리	수정계	포인트 그룹에 필요한 대칭	점 그룹	스페이스 그룹	브라바 격자	격자계
삼사정어	삼사정어	없음.	2	2	1	삼사정어
단사정계	단사정계	2중 회전축 1개 또는 미러 평면 1개	3	13	2	단사정계
정형외과	정형외과	이중 회전 축 3개 또는 이중 회전 축 1개 및 미러 평면 2개	3	59	4	정형외과
사각형	사각형	1 4중 회전축	7	68	2	사각형
육각형	삼각형의	1 3중 회전축	5	7	1	마름모꼴
	삼각형의	1 3중 회전축	5	18	1	육각형
	육각형	1 6배 회전축	7	27	1	육각형
큐빅	큐빅	3중 회전축 4개	5	36	3	큐빅
6	7	총	32	230	14	7

참고: "트리거" 격자 시스템은 없습니다.용어 혼동을 피하기 위해 "트리거 격자"라는 용어는 사용하지 않습니다.

크리스탈 클래스

7개의 결정 시스템은 아래 표와 같이 32개의 결정 등급(32개의 결정 점 그룹에 해당)으로 구성됩니다.

크리스탈 패밀리	수정계	점군 / Crystal 클래스	쇤파리	헤르만-마우귄	오르비폴드	콕서터	점 대칭	주문	추상 그룹
삼사정형의		페디얼	C₁.	1	11	[ ]⁺	에난티 형상의 북극의	1	$\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb {Z} _{1}$ 1 (\ $displaystyle \mathbb {Z} _{1})$
삼사정형의		피나코이드의	C_i(S₂)	1	1배	[2,1⁺]	중심대칭의	2	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{2}$
단사정형의		나비형	C₂.	2	22	[2,2]⁺	에난티 형상의 북극의	2	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{2}$
		돔의	C_s(C_1h)	m	*11	[ ]	북극의	2	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{2}$
		프리즘의	C_2h.	2/m	2*	[2,2⁺]	중심대칭의	4	클라인 4 $\displaystyle \mathbb {V} = \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
직교 혈전성		마름모꼴 헤노이달	D₂(V)	222	222	[2,2]⁺	에난티 형상의	4	클라인 4 $\displaystyle \mathbb {V} = \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		마름모꼴의	C_2v.	mm2	*22	[2]	북극의	4	클라인 4 $\displaystyle \mathbb {V} = \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		마름모꼴의 니켈라미달	D_2h(V_h)	음.	*222	[2,2]	중심대칭의	8	$\displaystyle \mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}}$
사각형		정방정형의	C₄.	4	44	[4]⁺	에난티 형상의 북극의	4	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{4}$
		정방정형 헤노이달	S₄.	4	2배	[2⁺,2]	비대칭의	4	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{4}$
		사각형-반추체	C_4h.	4/m	4*	[2,4⁺]	중심대칭의	8	$\displaystyle \mathbb {Z} _{4} \times \mathbb {Z} _{2}$
		사각형-삼면체	D₄.	422	422	[2,4]⁺	에난티 형상의	8	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4} \rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		디테트라곤-수직의	C_4v.	4mm	*44	[4]	북극의	8	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4} \rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		정방정면체의	D_2d(V_d)	42m 또는 4m2	2*2	[2⁺,4]	비대칭의	8	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4} \rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		디테트라곤 반추체	D_4h.	4월 4일	*422	[2,4]	중심대칭의	16	$\displaystyle \mathbb {D} _{8} \times \mathbb {Z} _{2}$
육각형의	삼각형의	삼각형의	C₃.	3	33	[3]⁺	에난티 형상의 북극의	3	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{3}$
		마름모꼴의	C_3i(S₆)	3	3배	[2⁺,3⁺]	중심대칭의	6	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		삼각 외상면체	D₃.	32, 321 또는 312	322	[3,2]⁺	에난티 형상의	6	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		디트리곤 수평의	C_3v.	3m, 3m1 또는 31m	*33	[3]	북극의	6	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		디트리곤-정사면체	D_3d.	3m, 3m1 또는 31m	2*3	[2⁺,6]	중심대칭의	12	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
	육각형의	육각형의	C₆.	6	66	[6]⁺	에난티 형상의 북극의	6	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		삼각추체	C_3h.	6	3*	[2,3⁺]	비대칭의	6	순환의 $\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		육각 편추형의	C_6h.	6/m	6*	[2,6⁺]	중심대칭의	12	$\displaystyle \mathbb {Z} _{6} \times \mathbb {Z} _{2}$
		육방정면체의	D₆.	622	622	[2,6]⁺	에난티 형상의	12	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		십육각형의	C_6v.	6mm	*66	[6]	북극의	12	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		디트리곤-비동기	D_3h.	6 m2 또는 62 m	*322	[2,3]	비대칭의	12	이면체 $\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		십육각형 반추체	D_6h.	6월 6일	*622	[2,6]	중심대칭의	24	$\displaystyle \mathbb {D} _{12} \times \mathbb {Z} _{2}$
입방체의		사변형의	T	23	332	[3,3]⁺	에난티 형상의	12	번갈아 $\displaystyle \mathbb {A} _{4}$
		2배체	T_h.	m3	3*2	[3⁺,4]	중심대칭의	24	$\displaystyle \mathbb {A} _{4} \times \mathbb {Z} _{2}$
		회전의	O	432	432	[4,3]⁺	에난티 형상의	24	대칭의 $\displaystyle \mathbb {S} _{4}$
		육면체의	T_d.	43m	*332	[3,3]	비대칭의	24	대칭의 $\displaystyle \mathbb {S} _{4}$
		육팔면체의	오_h	m3m	*432	[4,3]	중심대칭의	48	$\displaystyle \mathbb {S} _{4} \times \mathbb {Z} _{2}$

구조물의 점 대칭은 다음과 같이 자세히 설명할 수 있습니다.구조를 구성하는 점을 고려하여 (x,y,z)가 (-x,-y,-z)가 되도록 한 점을 통해 모두 반영합니다.이것이 '반전된 구조'입니다.원구조와 반전구조가 동일하면 그 구조는 중심대칭이다.그렇지 않으면 그것은 비대칭이다.그러나 비대칭적인 경우에도 경우에 따라서는 반전구조를 회전시켜 원구조에 맞출 수 있다.이것은 비대칭 아치랄 구조입니다.반전구조가 원구조와 정렬되도록 회전할 수 없는 경우 구조는 키랄 또는 에난티오모픽이며 대칭군은 ^[1]에난티오모픽이다.

방향(화살표가 없는 선을 의미)은 양방향 감각이 기하학적 또는 물리적으로 다르면 극성이라고 불립니다.극성을 이루는 결정의 대칭 방향을 ^[2]극축이라고 한다.극축이 포함된 그룹을 극축이라고 합니다.극결정은 고유한 극축(더 정확히는 모든 극축이 평행)을 가지고 있다.일부 기하학적 또는 물리적 특성은 이 축의 양끝에서 다릅니다. 예를 들어, 초전 결정에서와 같이 유전 분극이 발생할 수 있습니다.극축은 비대칭 구조에서만 발생할 수 있습니다.극축에 수직인 미러 평면이나 이중 축은 있을 수 없습니다. 왜냐하면 두 축의 방향이 동일하기 때문입니다.

키랄 생물학적 분자(단백질 구조 등)의 결정 구조는 65개의 에난티오포메이션 공간 그룹에서만 발생할 수 있습니다(생물학적 분자는 보통 키랄이다.

브라바 격자

격자계에는 7가지 종류가 있으며, 각각의 격자계에는 4가지 다른 중심(원초, 기저 중심, 신체 중심, 얼굴 중심)이 있다.그러나 모든 조합이 고유한 것은 아닙니다. 일부 조합은 동일한 반면 대칭성 때문에 다른 조합은 불가능합니다.이로써 고유 격자의 수가 14개의 브라바 격자로 감소합니다.

14브라 베이 lattices의 7격자 시스템에 그 분포는 다음과 같은 표에 있다.

크리스탈 패밀리	격자계	점군 (Schönflies notation)	14브라 베이 lattices
크리스탈 패밀리	격자계	점군 (Schönflies notation)	원시(P)	Base-centered(S)	Body-centered(나는)	Face-centered(F)
Triclinic(를)		사	aP
Monoclinic(m)		C2h	mP	씨
Orthorhombic(제일의 것이다)		D2h	oP	os	oI	oF
사각형(t)		D_4h.	tP		tI
육각형(h)	마름모꼴	D_3d.	hR
육각형(h)	육각형	D_6h.	hP
큐빅(c)		오_h	cP		cI	cF

기하학 및 결정학에서 브라바 격자(Bravais ratis)는 세 방향의 대칭군(격자라고도 함)의 범주이다.

이러한 대칭 그룹은 형식의 벡터에 의한 번역으로 구성됩니다.

R₁₁ = na + na₂₂ + na₃₃,

여기서₁ n, n₂, n은₃ 정수이고₁ a, a₂, a는₃ 원시 벡터라고 불리는 세 개의 비공평면 벡터입니다.

이러한 격자는 격자 자체의 공간 그룹에 의해 분류되며, 점의 집합으로 간주됩니다. 3차원에 14개의 브라바 격자가 있으며, 각 격자는 하나의 격자 시스템에만 속합니다.그것들은^{[clarification needed]} 주어진 반향 대칭을 가진 구조가 가질 수 있는 최대 대칭을 나타냅니다.

모든 결정성 물질(준결정체 제외)은 정의상 이러한 배열 중 하나에 적합해야 한다.

편의상 브라바 격자는 원시 셀보다 큰 인자 1, 2, 3, 또는 4인 단위 셀로 표현된다.결정 또는 다른 패턴의 대칭에 따라 기본 도메인은 다시 계수 48까지 작아진다.

브라바 격자는 1842년 모리츠 루드비히 프랑켄하임(Moritz Ludwig Frankenheim)에 의해 연구되었는데, 그는 브라바 격자가 15개라는 것을 발견했다.이것은 A에 의해 14로 수정되었습니다. 1848년 브라바.

다른 차원에서는

2차원 공간

2차원 공간에는 동일한 수의 결정계, 결정족 및 격자계가 있습니다.2D 공간에는 경사, 직사각형, 정사각형 및 육각형의 네 가지 결정계가 있습니다.

4차원 공간

4차원 단위 셀은 4개의 에지 길이(a, b, c, d)와 6개의 축간 각도(α, β, θ, θ, θ, θ)로 정의됩니다.격자 매개변수에 대한 다음 조건은 23개의 결정 패밀리를 정의합니다.

4D 공간의 크리스털 패밀리
아니요.	가족	가장자리 길이	축간 각도
1	헥사클린어	a ' b ' c ' d	α β β β β β β β α α 90°
2	삼사정어	a ' b ' c ' d	α β β β 90° δ = ε = ε = 90°
3	다이클린어	a ' b ' c ' d	α 90 90° β = = = = = = = 90° ζ ≠ 90°
4	단사정계	a ' b ' c ' d	α 90 90° β = = = = = = = = = = 90°
5	직교	a ' b ' c ' d	α = β = β = β = β = β = 90°
6	사각형 단사정사각형	a ≠ b = c ≠ d	α 90 90° β = = = = = = = = = = 90°
7	육각형 단사정사각형	a ≠ b = c ≠ d	α 90 90° β = = = = = = = 90° ζ = 120°
8	다이테트라곤 쌍사정체	a = d = b = c	α = β = 90° β = β θ θ 90° γ ≠ 90° δ = 180° - γ
9	디트리곤(대각선) 쌍정사각형	a = d = b = c	α = β = 120° β = β θ θ 90° ° ≠ 、 90 、 90° cos = cos β - cos δ
10	사각형 직교	a ≠ b = c ≠ d	α = β = β = β = β = β = 90°
11	육각형 직교	a ≠ b = c ≠ d	α = β = β = β = β = β = 90°,ζ = 120°
12	다이테트라곤 단사정사각형	a = d = b = c	α = = = = = = = 90° β = β θ θ 90°
13	디트리곤(대각선) 단사정사각형	a = d = b = c	α = β = 120° β = β θ θ 90° γ = δ ≠ 90° cos = = -1/2cosβ
14	직교 다이테트럴	a = d = b = c	α = β = β = β = β = β = 90°
15	육각형 사각형	a = d = b = c	α = β = β = β = β = 90° ζ = 120°
16	직교 이육각	a = d = b = c	α = β = 120° β = = = = = = = 90°
17	직교 입방체	a = b = c ≤ d	α = β = β = β = β = β = 90°
18	팔각형의	a = b = c = d	α = γ = 90 ≠ ≠ 90° β = β = 90° θ = 180° - α
19	십각형의	a = b = c = d	α = β = β = β = β cos β = -1/2 - cos α
20	도대각선	a = b = c = d	α = β = 90° β = β = 120° γ = δ ≠ 90°
21	이등각 직교	a = b = c = d	α = β = 120° β = = = = = = = 90°
22	이등각(이십면체)	a = b = c = d	α = β = β = β = β = β cos α = -1/4
23	하이퍼큐빅	a = b = c = d	α = β = β = β = β = β = 90°

여기 이름은 ^[3]휘태커에 따라 지어졌어요그들은 결정족 9, 13, 22의 이름을 제외하고는 브라운 외 ^[4]연구진들과 거의 같다.브라운 등에 따른 이들 세 과의 이름은 괄호 안에 기재되어 있다.

4차원 결정족, 결정계 및 격자계 간의 관계는 다음 ^[3]^[4]표에 나와 있습니다.에난티모형 시스템은 별표로 표시됩니다.에난티오포메이션 쌍의 수는 괄호로 둘러싸여 있습니다.여기서 "에난티모픽"이라는 용어는 3차원 결정 클래스의 표에서와는 다른 의미를 가진다.후자는 에난티오픽 점군이 키랄(에난티오픽) 구조를 기술한다는 것을 의미한다.이 표에서 에난티오포메이션은 3차원 공간군₁ P3, P3₂, P422₁, P422의₃ 에난티오포메이션 쌍과 같이 군 자체가 에난티오포메이션임을 의미한다.4차원 공간에서 시작하여 점군도 이러한 의미에서 에난티오포메이션이 될 수 있습니다.

4D 공간의 크리스털 시스템
의 수 결정족	크리스탈 패밀리	수정계	의 수 결정계	점 그룹	스페이스 그룹	브라바 격자	격자계
I	헥사클린어		1	2	2	1	헥사클리닉 P
II	삼사정어		2	3	13	2	트리클리닉 P, S
III	다이클린어		3	2	12	3	Diclinic P, S, D
IV	단사정계		4	4	207	6	단사정계 P, S, S, I, D, F
V	직교	비축 직교	5	2	2	1	직교 KU
		비축 직교	5	2	112	8	직교 P, S, I, Z, D, F, G, U
		축방향 직교	6	3	887	8	직교 P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	사각형 단사정사각형		7	7	88	2	사각형 단사정계 P, I
VII	육각형 단사정사각형	삼각 단사정계	8	5	9	1	육각형 단사정사각형 R
		삼각 단사정계	8	5	15	1	육각형 단사정 P
		육각형 단사정사각형	9	7	25	1	육각형 단사정 P
VII	Ditetrangular Diclinic*		10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	디테트라곤 쌍선형 P*
IX	디트리곤 쌍사정맥*		11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	디트리곤 쌍선형 P*
X	사각형 직교	역사각형 직교	12	5	7	1	사각형 직교 KG
		역사각형 직교	12	5	351	5	사각형 직교 P, S, I, Z, G
		정사각형 직교	13	10	1312	5	사각형 직교 P, S, I, Z, G
XI	육각형 직교	삼각 직교	14	10	81	2	육각형 직교 R, RS
		삼각 직교	14	10	150	2	육각형 직교 P, S
		육각형 직교	15	12	240	2	육각형 직교 P, S
XII	Ditetragonal 단사정맥*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetric 단사정사각형 P, S, D*
XIII	디트리곤 단사정맥*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	디트리곤 단사정계 P, RR
XIV	직교 다이테트럴	암호 직교	18	5	10	1	다이테트럴 직교 D
		암호 직교	18	5	165 (+2)	2	이등각 직교 P, Z
		직교 다이테트럴	19	6	127	2	이등각 직교 P, Z
XV	육각형 사각형		20	22	108	1	육각형 사각형 P
16세	직교 이육각	암호 직교*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	직교 직교 G*
		암호 직교*	21	4 (+4)	5 (+5)	1	이육각형 직교 P
		직교 이육각	23	11	20
		직교 이원형	22	11	41
		직교 이원형	22	11	16	1	이육각형 직교 RR
XVII	직교 입방체	단순입방직교	24	5	9	1	입체 직교 KU
		단순입방직교	24	5	96	5	직교 입방체 P, I, Z, F, U
		복소입방직교	25	11	366	5	직교 입방체 P, I, Z, F, U
XVII	팔각형*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	팔각형 P*
XIX	십각형의		27	4	5	1	십각형 P
XX	도데카날*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	도데카날 P*
XXI	이등각 직교	단순 이등각 직교	29	9 (+2)	19 (+5)	1	다이소헥사각형 직교 RR
		단순 이등각 직교	29	9 (+2)	19 (+3)	1	다이소헥사각형 직교 P
		복소 이등각 직교	30	13 (+8)	15 (+9)	1	다이소헥사각형 직교 P
XXII	이등각선		31	7	20	2	이등각 P, SN
23	하이퍼큐빅	팔각형 고입방체	32	21 (+8)	73 (+15)	1	하이퍼큐빅 P
		팔각형 고입방체	32	21 (+8)	107 (+28)	1	하이퍼큐빅 Z
		도데카니컬 초입방체	33	16 (+12)	25 (+20)	1	하이퍼큐빅 Z
총	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

「」를 참조해 주세요.

결정 클러스터 – 내부 결정 구조에 따라 형태가 결정되는 열린 공간에서 형성된 결정 그룹
결정구조 – 결정물질 내의 원자, 이온 또는 분자의 배열 순서
스페이스 그룹 목록
극점군

레퍼런스

^ Flack, Howard D. (2003). "Chiral and Achiral Crystal Structures". Helvetica Chimica Acta. 86 (4): 905–921. CiteSeerX 10.1.1.537.266. doi:10.1002/hlca.200390109.
^ 2002년 한, 페이지 804
^ ^a ^b Whittaker, E. J. W. (1985). An Atlas of Hyperstereograms of the Four-Dimensional Crystal Classes. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498.
^ ^a ^b Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. (1978). Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594.

인용된 작품

Hahn, Theo, ed. (2002). International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. International Tables for Crystallography. Vol. A (5th ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7.

외부 링크

[1] Flack, Howard D. (2003). "Chiral and Achiral Crystal Structures". Helvetica Chimica Acta. 86 (4): 905–921. CiteSeerX 10.1.1.537.266. doi:10.1002/hlca.200390109.

[FOOTNOTEHahn2002804-2] 2002년 한, 페이지 804

[Whittaker-3] Whittaker, E. J. W. (1985). An Atlas of Hyperstereograms of the Four-Dimensional Crystal Classes. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498.

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