역문제

과학에서 역문제는 일련의 관찰로부터 인과 인자를 산출하는 과정이다. 예를 들어 X선 컴퓨터 단층촬영에서 이미지를 계산하거나 음향학에서 원천재건 또는 중력장 측정에서 지구의 밀도를 계산하는 것. 효과로 시작해서 원인을 계산하기 때문에 역문제로 불린다. 그것은 원인과 함께 시작하고 나서 효과를 계산하는 전방 문제의 역이다.

역문제는 과학과 수학에서 가장 중요한 수학 문제들 중 하나이다. 왜냐하면 그것들은 우리가 직접 관찰할 수 없는 매개변수에 대해 말해주기 때문이다. 그들은 시스템 식별 번호, 광학, 레이더, 음향 상태, 통신 이론 신호 처리, 의학 화상, 컴퓨터 vision,[1][2]지구 물리학, 해양학, 천문학, 원격 감지 센서도 자연 언어 처리, 기계 learning,[3]비파괴 시험, 사면 안정성 analysis[4]과 많은 다른 분야에서 널리 응용하다.[표창 필요한]

역사

원인을 발견하기 위한 효과에서부터 시작하여 수세기 동안 물리학자들을 걱정시켜 왔다. 역사적 예로 천왕성의 혼란한 궤적에서 해왕성을 발견하게 된 아담스와 르 베리에의 계산이 있다. 그러나 역 문제에 대한 공식적인 연구는 20세기에 이르러서야 시작되었다.

역 문제에 대한 해결책의 초기 사례 중 하나는 헤르만 베일(Hermann Weyl)에 의해 발견되어 1911년에 출판되어 라플라스-벨트라미 연산자의 고유값의 점증적 행동을 기술하였다.^[5] 오늘날 Weyl의 법칙으로 알려진 그것은 아마도 드럼의 모양을 들을 수 있느냐는 질문에 대한 답으로 가장 쉽게 이해될 것이다. Weyl은 드럼의 고유주파수가 특정한 방정식에 의해 드럼의 면적과 둘레와 관련이 있을 것이라고 추측했고, 그 결과는 나중의 수학자들에 의해 개선되었다.

역문제의 분야는 나중에 소련-아메니아 물리학자 빅토르 암바르트수미안이 건드렸다.^[6][7]

아직 학생인 암바르트수미안은 원자구조의 이론, 에너지 수준의 형성, 슈뢰딩거 방정식과 그 성질을 철저히 연구했고, 미분방정식의 고유값 이론을 숙달하자 이산 에너지 수준과 미분 등가의 고유값 사이의 명백한 유추를 지적했다.그리고 나서 그는 물었다: 고유값의 집단을 주어진다면, 고유값을 가진 방정식의 형태를 찾을 수 있는가? 본질적으로 암바르트수미안은 진동하는 문자열의 방정식을 결정하는 것을 다룬 역 스터름-리우빌 문제를 검토하고 있었다. 이 논문은 1929년 독일 물리학 저널인 Zeitschrift für Phyk에 발표되어 꽤 오랫동안 알려지지 않았다. 암바르트수미안은 수십 년 후의 이러한 상황을 설명하면서 "천문학자가 수학적인 내용을 담은 글을 물리학 저널에 게재한다면, 그것에 대해 일어날 가능성이 가장 높은 것은 망각"이라고 말했다.

그럼에도 불구하고 제2차 세계대전이 끝나갈 무렵, 20세의 암바르트수미안이 쓴 이 글은 스웨덴 수학자들에 의해 발견되어 역 문제에 관한 전 분야의 연구의 출발점을 형성하여 전체 학문의 토대가 되었다.

그 후 중요한 노력은 특히 소비에트 연방의 겔판드와 레비탄에 의한 역 산란 문제의 "직접 해결책"에 바쳐졌다.^[8] 그들은 해결책을 결정하기 위한 분석적 건설적 방법을 제안하였다. 컴퓨터를 사용할 수 있게 되었을 때, 일부 저자들은 1D 파동 방정식의 역문제와 같은 유사한 문제에 접근법을 적용할 가능성을 조사해왔다. 그러나 급속하게 역전이 불안정한 과정이라는 것이 밝혀졌다. 즉 소음과 오류는 엄청나게 증폭되어 직접적인 해결책이 실행하기 어렵다는 것이다. 그 후, 70년대 무렵, 최소 제곱과 확률론적 접근방식이 들어왔고, 다양한 물리적 시스템에 관련된 매개변수의 결정에 큰 도움이 되는 것으로 나타났다. 이 접근법은 많은 성공을 거두었다. 오늘날에는 화학, 경제, 컴퓨터 과학과 같은 물리학 외의 분야에서도 역 문제를 연구한다. 결국, 숫자 모델이 사회의 많은 부분에서 보편화됨에 따라, 우리는 이러한 각각의 숫자 모델과 관련된 역 문제를 예상할 수 있을 것이다.

개념적 이해

뉴턴 이후 과학자들은 세계를 모형화하려고 광범위하게 시도했다. 특히 수학적 모델을 이용할 수 있을 때(예를 들어 뉴턴의 중력 법칙이나 전기학에 대한 쿨롱의 방정식) 우리는 물리적 시스템을 기술하는 일부 파라미터(질량 분포나 전하의 분포 등)를 감안할 때 시스템의 동작을 예측할 수 있다. 이 접근방식은 수학적 모델링으로 알려져 있으며 위에서 언급한 물리적 매개변수를 모델 매개변수 또는 단순히 모델이라고 부른다. 정확히 말하면, 우리는 물리적 시스템의 상태 개념을 도입한다: 그것은 수학 모델의 방정식의 해결책이다. 최적 제어 이론에서 이러한 방정식을 상태 방정식이라고 한다. 많은 상황에서 우리는 물리적인 상태를 아는 데 진정으로 관심이 있는 것이 아니라 단지 일부 물체에 대한 그것의 영향(예를 들어, 중력장이 특정 행성에 미치는 영향)에 관심이 있다. 따라서 우리는 관측 연산자라는 또 다른 연산자를 도입해야 하는데, 이 연산자는 물리적 시스템(여기서 예측된 중력장)의 상태를 우리가 관찰하고자 하는 것(여기서 고려된 행성의 움직임)으로 변환한다. 이제 우리는 다음의 두 단계로 구성된 소위 전진 문제를 소개할 수 있다.

• 이를 설명하는 물리적 매개변수를 통한 시스템 상태 결정
• 관찰 연산자를 시스템의 추정 상태에 적용하여 우리가 관찰하고자 하는 것의 행동을 예측한다.

$이것$은 모델 파라미터 $p{\displaystyle }$ {\$displaystyle p}$을(를$)$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle (p}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F(p)}$에 매핑하는 또 다른 $연산자{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}($F는 "전방"을 의미함$),$ 모델 p {\$displaystyp$ p}이 이 2단계 절차의 결과라고 예측하는$$ 데이터를 소개한다$.$ 연산자 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를) 전진 연산자 또는 전진 지도라고 한다$$. 이 접근법에서는 기본적으로 원인을 알고 효과를 예측하려고 시도한다.

아래 표는 지구가 물리적 시스템으로 간주되고 있으며 다른 물리적 현상에 대해 시스템을 설명하는 모델 매개변수, 물리적 시스템의 상태를 설명하는 물리적 수량 및 시스템 상태에 대해 일반적으로 이루어지는 관찰을 보여준다.

지배 방정식	모델 매개변수	물리적 시스템의 상태	시스템에 대한 일반적인 관찰
뉴턴의 중력 법칙	질량 분포	중력장	다른 표면 위치에서 그라비미터로 측정
맥스웰 방정식	자기 감수성의 분포	자기장	자기장 측정기에 의해 다른 표면 위치에서 측정된 자기장(안정 상태의 경우)
파동 방정식	파동 속도 및 밀도 분포	인공 또는 자연 지진원에 의한 파장	다른 표면 위치에 배치된 지진계로 측정한 입자 속도
확산방정식	확산계수의 분포	공간과 시간의 함수로써 물질농도 확산	다른 위치에서 측정한 농도 모니터링

역문제 접근법에서 우리는 대략 그 효과가 주어진 원인을 알아내려고 노력한다.

역문제의 일반적 문장

역문제는 전방 문제의 "역행"이다. 즉, 우리가 기록한 관측치(첨자 obs는 관측치를 나타낸다)인$$ ${\displaystyle {\mathrm{데이터}}_{}}$ d ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$를 생성하는 모델 매개변수를 결정하고자 한다. 모델 매개 변수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 찾도록(적어도 대략)

${\displaystyle \_{obs}=F(p)}$

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 전진 지도다. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$을(를) 기준으로 모델$$ 매개 변수의 (잠재적으로 무한대) 수를 나타내며, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$을(를) 기준으로 기록된 데이터 수를$$ 나타낸다. 아래에 사용할 몇 가지 유용한 개념과 관련 명세를 소개한다.

• $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 나타내는 모델의 공간$$: $모델{\displaystyle }$ 파라미터로 확장되는 벡터 공간, M ${\displaystyle M}$ 치수를$$ 가진다.
• $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 나타내는 데이터 공간$$: D${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ N ${\$ D$=\mathb{R} ^{N}}$ 만약 측정된 샘플을 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 성분으로$$ 벡터로 구성한다면$$(측정이 함수로 구성된다면 $D{\displaystyle }$ ${\displaystystyle D}$는 무한한$$ 차원을 가진 벡터 공간이다.)
• ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle F(p)}$: $모델{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 응답$;$ 모델 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 의해 예측된 데이터로 구성된다$;$
• ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle F(P)}$: 전방 지도에 $의한$ P ${\displaystyle P}$ 이미지, 모든 모델의 응답으로 이루어진 $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle D}$의 하위 공간은 $아님$$);$
• ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ -${\displaystyle {}_{}f}$ (${\displaystyle p}$) ${\displaystyle d_{obs}-F(p)}$: 모델 p ${\displaystyle p}$과(또는 잔차)$$: $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 요소인 벡터로 배열할 수 있다$.$

잔차의 개념은 매우 중요하다: 데이터와 일치하는 모형을 찾는 범위에서, 그들의 분석은 고려된 모형을 현실적인 것으로 간주할 수 있는지 아닌지를 보여준다. 데이터와 모델 응답 사이의 체계적이고 비현실적인 불일치는 또한 전방 지도가 불충분하고 개선된 전방 지도에 대한 통찰력을 제공할 수 있다는 것을 보여준다.

연산자 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 선형이면$$ 역문제는 선형이다. 그렇지 않으면, 역문제는 비선형적인 경우가 가장 많다. 또한 모델은 항상 한정된 수의 매개변수로 설명될 수 없다. 분산 매개변수(예를 들어 파동 속도의 분포)를 찾을 때 그렇다. 이러한 경우 역문제의 목적은 하나 또는 여러 함수를 검색하는 것이다. 그러한 역문제는 무한한 차원을 가진 역문제다.

선형 역문제

선형 전방 지도의 경우, 그리고 유한한 수의 모델 매개변수를 다룰 때 전방 지도가 선형 시스템으로 작성될 수 있다.

${\displaystyle \ d=Fp}$

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$는 전방 지도를 특징짓는 행렬이다.

기본적인 예: 지구의 중력장

일부 물리적 시스템만이 모델 매개변수에 대해 실제로 선형이다. 지구물리학에서 나온 그러한 시스템 중 하나는 지구의 중력장 시스템이다. 지구의 중력장은 지표면에서 지구의 밀도 분포에 의해 결정된다. 지구의 석판학은 상당히 크게 변화하기 때문에, 우리는 지구 표면의 중력장에서 미세한 차이를 관찰할 수 있다. 중력에 대한 우리의 이해(뉴턴의 중력의 법칙)로부터 중력에 대한 수학적 표현은 다음과 같은 것임을 알 수 있다.

${\displaystyle d={\frac {Gp}{r^{2}};}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은 국부 중력 가속도의 측정값이고, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 범용 중력 상수, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은 지표면 암석의 국부 질량(밀도와 관련됨), $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은 질량에서 관측 지점까지의 거리이다.

위의 식을 탈바꿈시킴으로써 지구 표면의 이산형 데이터 관측을 우리가 더 알고자 하는 지표면의 이산형 모델 파라미터(밀도)와 연관시킬 수 있다. 예를 들어, 지구 표면의 5개 위치에서 측정을 수행한 경우를 생각해 보십시오. 이 경우 우리의 데이터 벡터인 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은 치수(5x1)의 열 벡터다$$. $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ th$$ 구성 요소는 $i{\displaystyle }$ ${\displaysty$ i$} 관측$ 위치와 연관된다$$. 또한 지표면 아래(비현실적이지만 개념을 입증하는 데 사용됨)에$$ 미지의 질량 ${\displaystyle p_{}}$ $j{\displaystyle {}_{}}$ ${\$만 있고 관측 위치와 $j{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle r_$${ij}$sma 사이의 거리를$$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$$displaystyle j}$로 나타낸다.ss. 따라서 우리는 다음과 같이 5개의 데이터 포인트와 5개의 알려지지 않은 질량과 관련된 선형 시스템을 구성할 수 있다.

${\displaystyle d=Fp,\,}$

${\displaystyle d={\datastrix}d_{1}\d_{2}\d_{3}\d_{4}\d_\d_{5}\end{bmatrix},}$

${\displaystyle p={\displaystyle p={\bmatrix}p_{1}\p_{2}\\p_{3}\p_{4}\p_{5}\end{bmatrix},}$

${\displaystyle F={\begin{bmatrix}{\frac {G}{r_{11}^{2}}}&{\frac {G}{r_{12}^{2}}}&{\frac {G}{r_{13}^{2}}}&{\frac {G}{r_{14}^{2}}}&{\frac {G}{r_{15}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{21}^{2}}}&{\frac {G}{r_{22}^{2}}}&{\frac {G}{r_{23}^{2}}}&{\frac {G}{r_{24}^{2}}}&{\frac {G}{r_{25}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{31}^{2}}}&{\frac {G}{r_{32}^{2}}}&{\frac {G}{r_{33}^{2}}}&{\frac {G}{r_{34}^{2}}}&{\frac {G}{r_{35}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{41}^{2}}}&{\frac {G}{r_{42}^{2}}}&{\frac {G}{r_{43}^{2}}}&{\frac {G}{r_{44}^{2}}}&{\frac {G}{r_{45}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{51}^{2}}}&{\frac {G}{r_{52}^{2}}}&{\frac {G}{r_{53}^{2}}}&{\frac {G}{r_{54}^{2}}}&{\frac {G}{r_{55}^{2}}}\end{bmatrix}}}$

데이터에 적합한 모델 매개 변수를 해결하기 위해 $행렬{\displaystyle }$ F {\$displaystyle$ F}을$(를)$ 반전시켜$$ 측정값을 모델 매개 변수로 직접 변환할 수 있을 것이다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle p=F^{-1}d_{obs}\,}$

5개의 방정식과 5개의 미지식을 가진 시스템은 매우 구체적인 상황이다: 우리의 예는 이러한 특수성으로 끝나도록 설계되었다. 일반적으로 데이터와 알 수 없는 수가 달라 행렬 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 정사각형이 아니다$$.

그러나 정사각형 행렬도 역행할 수 없다: 행렬 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 등급이 부족할 수 있으며(즉, 고유값이 0인 경우$$) 시스템 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ s $displaystyle p=F^{-1d_${obs$}\},}$의 해법은 고유하지$$ 않다. 그러면 역문제의 해결은 결정되지 않을 것이다. 이것이 첫 번째 어려움이다. 지나치게 결정된 시스템(알 수 없는 것보다 많은 방정식)에는 다른 문제가 있다. 또한 소음은 $모델{\displaystyle }$ 매개변수에 대한 가능한 반응의 $공간$ F$$(${\displaystyle P}$) ${\displaystyle F(P)}$을(를$$) 벗어나서 시스템 $p{\displaystyle }$= F${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ $displaystyle p=F^{-1d_{obs}\},}$의 솔루션이 존재하지 않도록$$ 하는 우리의 관찰을 손상시킬 수 있다. 이것은 또 다른 어려움이다.

첫 번째 어려움을 극복하기 위한 도구

첫 번째 어려움은 다음과 같은 중요한 문제를 반영한다. 우리의 관찰은 충분한 정보를 포함하고 있지 않으며 추가적인 데이터가 필요하다. 추가 데이터는 매개변수 값, 공간 분포 또는 보다 일반적으로 상호 의존성에 대한 물리적 사전 정보로부터 얻을 수 있다. 또한 다음과 같은 다른 실험에서도 나올 수 있다. 예를 들어, 우리는 밀도의 더 나은 추정을 위해 중력계와 지진계로 기록된 데이터를 통합하는 것을 생각할 수 있다. 이 추가 정보의 통합은 기본적으로 통계의 문제다. 이 규율은 질문에 대답할 수 있는 것이다. 어떻게 다른 성질의 양을 섞을 수 있을까? 우리는 아래의 "베이지안 접근법" 섹션에서 좀 더 정확하게 말할 것이다.

분산 매개변수에 관하여, 공간 분포에 대한 사전 정보는 종종 이러한 분산 매개변수의 일부 파생상품에 대한 정보로 구성된다. 또한, 다소 인위적이긴 하지만 데이터에 합리적으로 일치하는 "간단한" 모델을 찾는 것이 일반적인 관행이다. 이것은 보통 파라미터의 구배(또는 총 변동)의 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$규범에 불이익을 줌으로써 달성된다(이 접근법을 엔트로피의 최대화라고도 한다. 필요할 때만 자유도를 도입하는 파라메트리제이션(parametrization)을 통해 모델을 단순화할 수도 있다.

추가 정보는 또한 모델 매개변수 또는 이들의 일부 기능에 대한 불평등 제약을 통해 통합될 수 있다. 이러한 제약조건은 모수에 대한 비현실적인 값(예: 음의 값)을 피하기 위해 중요하다. 이 경우 모델 매개변수로 확장된 공간은 더 이상 벡터 공간이 아니라 후속편에서$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$이 나타내는 허용 가능한 모델의 하위 집합이 될 것이다.

두 번째 난관을 극복하기 위한 도구

위에서 언급한 바와 같이 소음은 우리의 측정이 어떤 모델의 이미지가 아니므로 우리는 데이터를 생산하는 모델을 찾을 수 없고 최적의 모델, 즉 데이터에 가장 적합한 모델을 찾을 수 있다. 이를 통해 객관적 함수, 즉 잔차가 얼마나 크거나 예측 데이터가 관측된 데이터에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 계량화하는 기능을 최소화할 수 있다. 물론 완벽한 데이터(즉, 노이즈 없음)가 있을 때 복구된 모델은 관측된 데이터에 완벽하게 적합해야 한다. 표준 목적 함수인 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은$($는) 형식이다.

${\displaystyle \varphi(p)=\ Fp-d_{obs}\ ^{2}\,}$

여기서 $‖{\$\$\,}$는 잔차의 유클리드 규범(측정값이 표본 대신 함수인 경우 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle$ L$^{$2}}개$)이다.$ 이 접근법은 통계에 널리 사용되는 접근법인 일반 최소 제곱을 사용하는 것에 해당한다. 그러나 유클리드 표준은 특이치에 매우 민감한 것으로 알려져 있다. 이러한 어려움을 피하기 위해 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L^{2}} 표준 대신에$$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{1$} 등 다른 거리($예: L$1 {\displaystyle L^{1$})$를 사용할 것을 생각할 수 있다.

베이시안 어프로치

최소 제곱 접근법과 매우 유사한 것은 확률론적 접근법이다: 만일 우리가 데이터를 오염시키는 소음의 통계를 안다면, 우리는 최대우도 기준과 일치하는 모델인 가장 가능성이 높은 모델 m을 찾을 것을 생각할 수 있다. 소음이 가우스인 경우 최대우도 기준은 최소 제곱 기준인 데이터 공간의 유클리드 스칼라 제품이 소음의 공분산을 포함하는 스칼라 제품으로 대체된다. 또한 모델 매개변수에 대한 사전 정보를 이용할 수 있다면, 우리는 역문제의 해결책을 공식화하기 위해 베이시안 추론을 사용할 것을 생각할 수 있다. 이러한 접근방식은 타란톨라의 저서에 자세히 설명되어 있다.^[9]

기본 예제의 수치적 해법

여기서 우리는 유클리드 규범을 사용하여 데이터에 맞지 않는 것을 수량화한다. 우리가 선형 역 문제를 다루듯이, 객관적 함수는 이차적이다. 최소화를 위해 동일한 근거를 사용하여 구배를 계산하는 것이 고전적이다(하나의 변수만 갖는 함수를 최소화하기 위함). 최적 모델 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ p ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에서$$이 그라데이션은 사라지며 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\dapplaystyle \nabla _{p}\varphi =2(F^{\mathrm {T} }Fp_{opt}-F^{\mathrm {T} }{d_{obs}=0\,}$

여기서 F는^T F의 전치 행렬을 나타낸다. 이 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle F^{\mathrm {T} }Fp_{opt}=F^{\mathrm {T} }d_{obs}\,}$

이 표현식은 정상 방정식으로 알려져 있으며 역 문제에 대한 가능한 해결책을 우리에게 제공한다. 본 예제에서 ${\displaystyle {매트릭스\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle F^{}}$ T$$F {\$displaystyle F^{\mathrm {T} }$F}은(는) 위의 방정식이 타당하고 모델 매개변수를 고유하게 결정할 수 있도록 일반적으로 완전 순위로 판명되었다$$. 즉, 고유한 솔루션으로 끝내기 위해 추가 정보를 통합할 필요가 없다.

수학적 및 계산적 측면

역문제는 수학적 모델링에서 일반적으로 충족되는 잘 표현된 문제와는 반대로 전형적으로 잘못 표현된다. 자크 하다마드(해결책이나 해결책의 존재, 고유성, 안정성)가 제시한 세 가지 문제 조건 중 안정성이 가장 많이 침해된다. 기능 분석의 의미에서 역문제는 미터법 공간 간의 매핑으로 표현된다. 역문제는 종종 무한 치수 공간에서 공식화되지만, 한정된 수의 측정치에 대한 한계와 한정된 수의 알려지지 않은 매개변수만을 복구하는 실질적인 고려는 문제를 이산형 형태로 다시 발생시킬 수 있다. 이 경우 역문제는 전형적으로 잘못된 조건일 것이다. 이러한 경우, 정규화를 사용하여 용액에 대한 가벼운 가정을 도입하고 과도한 피팅을 방지할 수 있다. 정규화된 역문제의 많은 예들은 베이시안 추론의 특별한 사례로 해석될 수 있다.^[10]

최적화 문제의 수치적 해결책

예를 들어, 어떤 역문제는 매우 간단한 해결책을 가지고 있는데, $이$는 n ${\displaystyle n}$개별$$ 지점에서 그것들을 평가하는 것과 같은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$개$$ 함수의 집합을 의미하며, 선형 독립 벡터 집합을 산출한다. 즉, 이러한 함수의 선형 조합이 주어진 경우 벡터를 행렬의 열로 배열한 다음 이 행렬을 반전시켜 계수를 계산할 수 있다. 비등분 함수의 가장 간단한 예는 비등분성 정리를 사용하여 구성된 다항식이다. 구체적으로는 반데르몬드 행렬을 뒤집는 방식으로 이뤄진다. 그러나 이것은 매우 구체적인 상황이다.

일반적으로 역문제의 해결에는 정교한 최적화 알고리즘이 필요하다. 모델을 다수의 파라미터(일부 회절단층촬영 어플리케이션에 관여하는 미지의 수가 10억에 이를 수 있음)로 설명할 때, 정상 방정식과 연관된 선형 시스템을 푸는 것은 번거로울 수 있다. 최적화 문제를 해결하기 위해 사용할 수치적 방법은 특히 전진 문제의$$ 솔루션 ${\displaystyle F}$ p ${\디스플레이 스타일$ Fp$}$을(를) 계산하는 데 필요한 비용에 따라 달라진다. 전방 문제 해결을 위한 적절한 알고리즘($매트릭스{\displaystyle }$ F {\displaystyle $F}$이(가) $크면$ 간단한 매트릭스 벡터 곱셈이 적절하지 않을 수 있음)을 선택하면 선형 시스템 해결과 t에 대한 수치적 방법을 다루는 교과서에서 최소화를 수행할 수 있는 적절한 알고리즘을 찾을 수 있다.2차 함수의 최소화를 실시한다(예: Ciarlet^[11] 또는 Nocedal^[12] 참조).

또한 사용자는 다음 모델에 물리적 제약조건을 추가하기를 원할 수 있다. 이 경우 제약된 최적화 방법, 즉 주제 자체에 익숙해져야 한다. 모든 경우에 있어서, 목표함수의 구배를 계산하는 것이 최적화 문제 해결의 핵심 요소인 경우가 많다. 위에서 언급한 바와 같이, 분산 매개변수의 공간 분포에 관한 정보는 파라메트리제이션(parametrization)을 통해 도입할 수 있다. 최적화 중에 이러한 파라메트리제이션의 적응도 생각할 수 있다.^[13]

객관적 함수가 유클리드 규범 이외의 규범에 기초한다면, 우리는 2차 최적화의 영역을 떠나야 한다. 그 결과 최적화 문제가 더욱 어려워진다. 특히, ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1$${\$displaystyle L^{1$} 규격을 사용하여 데이터 적합을 정량화할 때 목표 함수는 더 이상 다를 수 없으며, 그 구배는 더 이상 의미가 없다. 차별화되지 않는 최적화로부터 전용 방법(예: Lemaréchal^[14] 참조)이 도입된다.

일단 최적의 모델이 계산되면 우리는 "이 모델을 믿을 수 있을까?"라는 질문을 던져야 한다. 이 문제는 다음과 같이 공식화할 수 있다. 이 모델과 "거의" 데이터와 일치하는 모델 세트의 크기는 얼마나 될까? 2차 목표 함수의 경우, 이 세트는 ${\displaystyle {}^{}}$ M {\$displaystyle {R}^{M}($${\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 알 수 없는 수의 하위 집합인 초-엘립소이드에 포함되며, 이들의 크기는 "거의"인 소음 수준에서의 의미에 따라 달라진다. 이 타원체에서 가장 큰 $축의{\displaystyle {}^{}}$ 방향(매트릭스 F ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle F^{T}F}$의 가장 작은 고유값과 연관된 고유 벡터$)$은 잘 결정되지 않은 성분의 방향이다. 이 방향을 따른다면 목표 펑티오의 값을 유의하게 변경하지 않고 모델에 강한 동요를 가져올 수 있다.n을 사용하여 유의하게 다른 준거모형을 얻게 된다. 우리는 "이 모델을 신뢰할 수 있는가"라는 질문에 대한 대답이 소음 수준과 객관적 함수의 헤시안 고유값 또는 동등하게 정규화가 통합되지 않은 경우, $매트릭스{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$의 단수 값에 의해 좌우된다는 것을 분명히 알 수 있다$.$ 물론, 정규화의 사용(또는 othe)은 다음과 같다.r 종류의 사전 정보)는 거의 최적의 솔루션 세트의 크기를 줄이고, 다시 계산된 솔루션에 넣을 수 있는 신뢰도를 높인다.

무한 차원에서의 안정성, 정규화 및 모델 탈부착

여기서는 분산된 매개 변수의 복구에 초점을 맞춘다. 분산된 매개변수를 찾을 때 우리는 이러한 알 수 없는 기능을 해제해야 한다. 그렇게 함으로써 우리는 문제의 차원을 유한한 것으로 줄인다. 하지만 이제, 질문은: 우리가 계산하는 솔루션과 초기 문제 사이에 어떤 연관성이 있는가? 그리고 또 다른 질문: 초기 문제의 해결은 무엇을 의미하는가? 한정된 숫자의 데이터로는 알 수 없는 무한대의 결정을 할 수 없기 때문에, 원래의 데이터 부적응 기능은 솔루션의 고유성을 보장하기 위해 정규화되어야 한다. 여러 번, 미지의 것을 유한한 차원 공간으로 줄이는 것은 적절한 정규화를 제공할 것이다: 계산된 솔루션은 우리가 찾고 있던 해결책의 이산형 버전처럼 보일 것이다. 예를 들어, 디콘볼루션 문제를 해결하는데 종종 순진한 디스커트화가 효과적일 것이다: 우리가 누락된 주파수가 숫자 해법에 나타나지 않도록 허용하지 않는 한 그것은 효과가 있을 것이다. 그러나 많은 경우, 정규화는 객관적 기능에 명시적으로 통합되어야 한다.

무슨 일이 일어날지 알기 위해서는 그러한 선형 역문제의 해결이 제1종류의 프레드홀름 적분 방정식을 푸는 데 도움이 된다는 것을 명심해야 한다.

${\displaystyle d(x)=\int _{\Oomega }K(x,y)p(y)dy}$

여기서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 커널이고, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x}$ 및 y$$ ${\$$displaystyle$ y}은$(는)$ $R{\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$ {R}^{2}}의 벡터이며$,$Ω ${\displaystyle$${R}^{2$}}의 도메인이다$.$ 이것은 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 애플리케이션을 위한 것이다$.$ 3D 애플리케이션의 경우 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$∈ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$ x$,y\in {R}^{3$ 여기서 모델 매개 변수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 함수로 구성되며$$ 모델의 응답도 $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyd(x)}$로 표시된 함수로 구성된다는 점에 유의하십시오$.$ 이 방정식은 ma의 무한 차원에 대한 확장이다.3x 방정식 $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d=Fp}$이(가) 이산형 문제의 경우에 주어진다$$.

충분히 부드러운 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$의 경우, 위에서 정의한 연산자는 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle L^{$2$\}\}.$ F. Riesz 이론과 같은 합리적인 Banach 공간에 대해 콤팩트하다. 그러한 연산자의 단수 값 집합은 0(null-space의 존재를 의미함), 유한하거나 최대 카운트 가능한 것이며, 후자의 ca에서는그들은 0으로 가는 순서를 구성한다. 대칭 커널의 경우, 우리는 무한대의 고유값을 가지고 있고 관련 고유 벡터는 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\$}}의 힐베르트적 기초를 구성한다$.$ 따라서 이 방정식의 어떤 해법은 null-space에서 첨가함수까지 결정되며, 단수값의 무한대의 경우에는 (이것을 포함한다)임의의 작은 고유값의 역수)는 불안정하다: 이 적분 방정식의 용액을 전형적인 잘못된 문제로 만드는 두 가지 성분! 단, (임의적 첨가 함수에 따라) 전방 지도의 유사 반입을 통해 솔루션을 정의할 수 있다. 전진 지도가 콤팩트할 때, L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개의$$ 표준 용액이 가능한 한 작아야 한다는 사전 정보를 통합하는 데 사용할 경우 고전적인 티호노프 정규화는 효과가 있을 것이다. 이는 역 문제를 잘 설명하게 될 것이다. 그러나 유한차원의 경우와 마찬가지로, 우리는 계산된 솔루션에 넣을 수 있는 신뢰성에 의문을 제기해야 한다. 다시, 기본적으로 정보는 헤시안 운영자의 고유값에 있다. 작은 고유값과 관련된 고유 벡터를 포함하는 하위 공간을 솔루션 계산을 위해 탐색할 경우 솔루션을 신뢰할 수 없으며, 일부 구성요소는 제대로 결정되지 않는다. 가장 작은 고유값은 티코노프 정규화에 도입된 무게와 같다.

불규칙한 커널은 우리가 순진하게 L$$ {\$displaystyle$ L$^{2}}$ 표준으로$$ 모델의 공간을 갖추면 압축되지 않고 심지어 무한하지 않은 전방 지도를 산출할 수 있다. 이 경우 헤시안은 경계 연산자가 아니며 고유값의 개념은 더 이상 이치에 맞지 않는다. 그것을 경계 연산자로 만들고 잘 포개진 문제를 설계하기 위해서는 수학적 분석이 필요하다: 그림 한 개를 찾을 수 있다.^[15] 다시 말하지만, 우리는 계산된 솔루션에 넣을 수 있는 신뢰성에 의문을 제기해야 하고, 답을 얻기 위해 고유값의 개념을 일반화해야 한다.^[16]

따라서 헤시안 운영자의 스펙트럼 분석은 계산된 솔루션이 얼마나 신뢰할 수 있는지를 결정하는 핵심 요소다. 그러나 그러한 분석은 대개 매우 무거운 과제다. 이로 인해 여러 저자들이 알 수 없는 함수의 모든 구성요소에 관심이 없고 선형 연산자에 의한 알 수 없는 함수의 영상인 하위 미지의 요소에만 관심이 있는 경우에 대체 접근법을 조사하게 되었다. 이 사실이지만 그것의 특정 보기[19] 이러한 접근 방식 굳게 하나 다른 Chavent[20]에 마지막으로 설명과 관련된 것으로 밝혀졌다 이들 접근법에"배커스와 길버튼 method[17]", 라이온스의 초병 approach,[18]고는 SOLA를 방법으로:언급된다, 제한된 결의안의 개념으로, 종종 물리학자들에 의해 호출될 게 없습니다. 일부 부실하게 det지워진 구성 요소는 용액을 손상시킬 수 있다. 그러나 일반적으로 말해서 모델의 이러한 잘 결정되지 않은 구성요소는 반드시 높은 주파수와 관련이 있는 것은 아니다.

분포 모수의 복구를 위한 몇 가지 고전적인 선형 역 문제

아래에 언급된 문제들은 프레드홀름 적분들의 다른 버전에 해당된다: 각각은 특정한 커널 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$과 연관되어 있다$.$

디콘볼루션

디콘볼루션의 목표는 시끄럽고 데이터를 해야()){\displaystyle d())}.[21]는 수학적 관점에서 보면 가물가물하다, 커널 K(), y){K(x, y)\displaystyle}여기서 일한 지 겨우 x{\displays 사이의 차이점에 따라 다르게 보이는 원본 이미지 신호 p()){\displaystyle p())}를 재구성하는 것이다.tyle$$$x$$}$ 및 y ${\displaystyle$ y$\}.$

단층 촬영 방법

이러한 방법에서 우리는 분포된 매개변수를 복구하려고 시도한다. 관측치는 일련의 선들을 따라 수행된 이 매개변수의 통합의 측정에 구성된다. ${\displaystyle {측정}_{}}$ 지점 $x{\displaystyle }$ ${\$을(를) 기준으로 이 제품군에서 측정 지점 x ${\displaystyle$ x$}$과(와) 연관된 라인을$$ 나타낸다$.$ $따라서{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 관측치는 다음과 같이 기록할 수 있다$$.

${\displaystyle d(x)=\int _{\Gamma_{x}w(x,y)p(y)\,dy}$

여기서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) $weight{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x ${\$ 및$$ $w{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaysty w(x,y)}$을(를) 따라 호 길이입니다$$. $위$의 프레드홀름 적분과 이 방정식을 비교해 보면, $커널{\displaystyle }$ K${\displaystyle (x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(x,y)}$은 } x {\$displaystyle {\\Gamma _{x}}$ 선에서 정점을 이루는 델타 함수의 일종이라는$$ 것을 알 수 있다$.$ 그런 커널로 포워드 맵은 컴팩트하지 않다.

컴퓨터단층촬영

X선 컴퓨터 단층 촬영에서 매개변수가 통합된 선은 직선이다. 즉, 매개변수 분포의 단층 재구성은 라돈 변환의 역전을 기반으로 한다. 이론적인 관점에서 많은 선형 역문제는 잘 이해되지만, 라돈 변환과 그 일반화와 관련된 문제들은 여전히 많은 이론적 난제를 제시하며, 데이터의 충분성에 대한 문제는 여전히 해결되지 않았다. 이러한 문제에는 3차원의 X선 변환에 대한 불완전한 데이터와 텐서 필드로의 X선 변환의 일반화와 관련된 문제가 포함된다. 탐색한 해결책으로는 대수적 재구성 기법, 여과된 백프로젝션, 계산력이 증가함에 따라 반복성 희소성 점증 최소 분산과 같은 반복적 재구성 방법이 있다.^[22]

회절단층촬영

회절단층촬영은 탐사 지진학에서 고전적인 선형 역문제로, 주어진 선원과 수신기 쌍에 대해 한 번에 기록된 진폭은 각각 선원과 수신기에서 이동 시간으로 측정한 거리의 합이 해당 기록과 같도록 점으로부터 발생하는 기여의 합이다.ng 시간. 3D에서는 매개변수가 선을 따라 통합되지 않고 표면 위에 통합된다. 전파 속도가 일정하면 그러한 지점은 타원체 위에 분포한다. 역문제는 조사를 따라 기록된 지진그램에서 확산 지점의 분포, 즉 속도 분포를 검색하는 데 있다. 직접 해결책은 원래 Beylkin과 Lambaré 등이 제안한 바 있다.:^[23] 이러한 작업은 진폭 보존 마이그레이션으로 알려진 접근법의 시작점이었다(Beylkin^[24][25] 및 Bleistain^[26] 참조). 파동 방정식을 해결하기 위해 기하학적 광학 기법(즉, 광선)을 사용할 경우, 이러한 방법은 최소 제곱 접근법에서 도출된 소위 최소 제곱 이동 방법과^[27] 밀접하게 관련이 있는 것으로 판명된다(라일리,^[28] 타란톨라^[29] 참조).

도플러 단층 촬영(천체물리학)

회전하는 항성 물체를 고려할 경우, 스펙트럼 프로필에서 관측할 수 있는 스펙트럼 라인은 도플러 효과로 인해 이동될 것이다. 도플러 단층 촬영은 물체의 스펙트럼 모니터링에 포함된 정보를 항성 대기의 2D 영상(방사선 속도 및 주기적인 회전 운동에서 위상의 함수로서)으로 변환하는 것을 목표로 한다. 마쉬에서^[30] 설명한 바와 같이, 이 선형 역 문제는 단층 촬영이다: 우리는 기록에서 그 효과를 내기 위해 선을 따라 통합된 분산 매개변수를 복구해야 한다.

역열 전도

매립 온도 센서에서 대기 중 재진입 시 표면 열량을 측정한 결과 역열전도 관련 초기 간행물이 나왔다.^{[31] [32]} 표면 열량이 필요하지만 표면 센서가 실용적이지 않은 다른 애플리케이션에는 왕복 엔진 내부, 로켓 엔진 내부 및 원자로 구성부품의 시험이 포함된다.^[33] 온도 신호의 감쇠와 후행으로 인한 측정 오류에 대한 잘못된 코와 민감도를 해결하기 위한 다양한 수치 기법이 개발되었다.^[34][35][36]

비선형 역문제

비선형 역문제는 본질적으로 더 어려운 역문제의 집단을 구성한다. 여기서 전진 지도 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$는 비선형 연산자다. 물리적 현상의 모델링은 종종 부분 미분 방정식의 해법에 의존한다(중력 법칙을 제외하고 위의 표 참조). 이러한 부분 미분 방정식은 종종 선형이지만, 이러한 방정식에 나타나는 물리적 매개변수는 시스템 상태의 비선형적인 방법에 따라 달라지며, 따라서 우리가 관찰한 바에 따라 달라진다.힘내라

일부 고전적인 비선형 역문제

역 산란 문제

반면 선형 역 문제는 완전히 견해의 이론적 관점에서 19century[표창 필요한]의 끝에 풀렸다, 비선형 역 문제는 단 하나의 클래스는 그렇게 1970년 전에, 역 주파수 및(한 공간 치수)역 산란 문제의 러시아의 수학 학교의 중요한 퇴근 후에(K였다고삐, Gelfand, 르비탄, 마르첸코). 차단과 사바티에가 저서 '양자 산란 이론의 반대 문제'(영어 2판, 러시아어 1판)에서 그 결과에 대한 대평이 나왔다.

이러한 종류의 문제에서 데이터는 산란을 설명하는 선형 연산자의 스펙트럼 특성이다. 스펙트럼은 고유값과 고유 기능으로 만들어지며, "분해 스펙트럼"과 연속 스펙트럼이라고 하는 일반화로 함께 형성된다. 매우 주목할 만한 물리적 요점은 산란 실험이 연속 스펙트럼에 대한 정보만을 제공하며, 그 전체 스펙트럼을 아는 것은 산란 연산자를 회복하는 데 필요하고도 충분하다는 점이다. 따라서 우리는 보이지 않는 매개변수를 가지고 있는데, 이는 선형 역 문제에서 유사한 특성을 가진 null 공간보다 훨씬 더 흥미로운 것이다. 또한 그러한 동작의 결과로 그러한 운용자의 스펙트럼이 보존되는 물리적 동작도 있다. 이 현상은 특수한 비선형 부분 미분 진화 방정식(예: Korteweg-de Vries 방정식)에 의해 제어된다. 만일 연산자의 스펙트럼이 하나의 고유값으로 감소한다면, 그에 상응하는 동작은 "솔리톤"이라고 불리는 고독한 파동인 등속과 변형 없이 전파되는 단일 혹의 운동이다.

Korteweg-de Vries 방정식 또는 기타 통합 가능한 비선형 부분 미분 방정식에 대한 완벽한 신호와 그것의 일반화는 많은 가능한 적용과 함께 매우 흥미롭다. 이 영역은 1970년대부터 수학물리학의 한 분야로 연구되어 왔다. 비선형 역문제는 현재 응용과학의 많은 분야에서도 연구되고 있다(음향, 역학, 양자역학, 전자기 산란 - 특히 레이더 소리, 지진 소리 및 거의 모든 영상 양식에서).

리만 가설과 관련된 마지막 예는 우와 스프링에 의해 제시된 것으로, 세미콜라스틱 구양자 이론에서 해밀턴계 내부의 전위 역은 고유값(에너지) 계수함수 n(x)의 반파생에 비례한다는 생각이다.

오일 및 가스 저장소의 투과성 매칭

다공성 매체에서 단상 유체 흐름을 모델링하는 포물선 부분 미분방정식의 확산계수를 회복하는 것이 목표다. 이 문제는 70년대 초반에 진행된 선구적인 연구 이후 많은 연구의 대상이 되어왔다.^[37] 2상 흐름과 관련하여 중요한 문제는 상대적 투과도와 모세관 압력을 추정하는 것이다.^[38]

파동 방정식의 역문제

파동-속도(P, S파)와 지진그램의 밀도분포를 회복하는 것이 목표다. 그러한 역문제는 지진학에서 주된 관심사다. 우리는 기본적으로 두 가지 수학 모델을 고려할 수 있다.

• 음향파 방정식 (공간 치수가 2 또는 3일 때 S파가 무시되는 경우)
• Lamé 매개변수와 밀도에서 P와 S 파동 속도를 도출할 수 있는 탄성역학 방정식.

이 기본적인 쌍곡 방정식은 감쇠, 음이소트로피를 통합하여 업그레이드할 수 있다...

1D파 방정식에서 역문제의 해법은 많은 연구의 대상이 되어 왔다. 그것은 해결책의 고유성을 증명할 수 있는 몇 안 되는 비선형 역문제 중 하나이다.^[8] 해결책의 안정성에 대한 분석은 또 하나의 난제였다.^[39] 최소 제곱 접근법을 사용한 실용적인 응용이 개발되었다.^[39][40] 2D 또는 3D 문제와 탄성역학 방정식으로의 확장은 80년대부터 시도되었지만 매우 어려운 것으로 밝혀졌다! 흔히 FWI(Full Waveform Inversion)라고 불리는 이 문제는 아직 완전히 해결되지 않았다. 주요 어려움 중 하나는 데이터 부적응 기능의 혼란스러운 동작이다.^[41] 일부 저자들은 객관적 기능을 데이터 부적응 함수보다 덜 혼란스럽게 만들기 위해 역문제의 개혁 가능성을 연구했다.^[42][43]

이동 시간 단층 촬영

지진학자들은 파동 방정식의 역 문제가 얼마나 어려운지를 깨닫고 기하학적 광학을 이용한 단순화된 접근법을 연구했다. 특히 그들은 지진그램에서 관측된 파동-프론트의 도착 시간을 알면서 전파 속도 분포를 역전시키는 것을 목표로 했다. 이러한 파동-프론트는 직접 도착 또는 지오메트리가 결정되는 반사체와 연관된 반사경과 속도 분포와 함께 연관될 수 있다.

포인트 소스에서 발행된 파형의 도착 시간 분포 ${\displaystyle \tau }$( x${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ ${\tau }(x)}($x)}($$$)$는 물리적$$ 공간의 포인트임)로, Eikonal 방정식을 만족한다.

$\\displaystyle \\putla {\tau }(x)\ =s(x),}$

여기서 $s{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle s(x)}$은 느린 속도(속도 변화) 분포를 나타낸다. ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle$\$\$\ }이(가) 존재함에 따라 이 방정식이 비선형적으로$$ 된다. 점원으로부터 광선(도착 시간이 정지해 있는 역주)을 쏴서 고전적으로 해결한다.

이 문제는 단층 촬영이다: 측정된 도착 시간은 느림보 길을 따라 필수적인 것이다. 그러나 이 문제 같은 단층 촬영은 비선형적인데, 주로 알려지지 않은 선로 기하학이 속도(또는 느림) 분포에 의존하기 때문이다. 비선형 특성에도 불구하고 이동 시간 단층 촬영은 지구 또는 지표면 아래에서의 전파 속도를 결정하는 데 매우 효과적인 것으로 나타났으며, 특히 섹션 "분절 단층 촬영"에서 언급된 방법을 사용하여 후자의 측면이 지진 영상 촬영의 핵심 요소인 것으로 나타났다.

수학적 측면: 하다마드의 질문

이 질문들은 선의에 관한 것이다. 최소 제곱 문제가 데이터에 지속적으로 의존하는 고유한 솔루션(안정성 문제)을 가지고 있는가? adm. 첫 질문이지만, F{F\displaystyle}의 비 선형성 때문에 그것이 또한 어려운 것, 어려움에서 비롯된다에서 보기 위해, Chavent[44]개념적으로 2년 연속 단계(Pdm{\displaystyle P_{adm}}에 데이터를 격자 정수 차이로 생기는 기능의 최소화 나눌 것을 제안했다는 부분 집합issible 모델:

• 투영 단계: 주어진 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$에 $대한$ 투영법을 찾으십시오$$($$목표 함수의 정의에 관련된 거리에 따라$$ $F{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$) ${\displaystyle F(P_{adm}).$
• 이 투영에서 연산자 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 의한 이미지가 이$$ 투영인 하나의 사전 이미지를 찾는다.

어려움은 두 가지 단계에서 발생할 수 있으며, 일반적으로 발생할 것이다.

1. 연산자 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 일대일 가능성이 없으므로$$ 둘 이상의 사전 이미지가 있을 수 있다.
2. $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 일대일인 경우에도 그 역은 $F{\displaystyle (P)}$ ${\displaystyle F(P)}$에 대해 연속되지 않을 수 있다$.$
3. $이{\displaystyle }$ 세트가 닫히지 ${\displaystyle {\mathrm{않으면}}_{}}$F$($P a d m ) {\$displaystyle$ F$(P_{adm$})에 대한 투영이 존재하지 않을 수 있다$$.
4. $F{\displaystyle }$${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle F(P_{adm}})$에 대한 투영은 F ${\displaystyle F}$의 비선형성으로 인해 비콘벡스가 될 수 있으므로 고유하지 않고 연속적이지 않을 수 있다$$$.$

우리는 이 점들에 대한 수학적인 분석을 위해 Chavent를^[44] 참조한다.

계산적 측면

비컨벡스 데이터 적합성 함수

비선형적인 전방 지도, 데이터 미스핏 함수는 비콘벡스일 가능성이 높기 때문에 국소 최소화 기법이 비효율적일 수 있다. 이러한 어려움을 극복하기 위한 몇 가지 접근방식이 조사되었다.

• 역 문제에서 확률론적 framework,[45]유전 알고리즘(permeabilities의 결심은 기존의 투과성 데이터와 일치하는 응용 프로그램에 혼자 혹은 메트로폴리스 알고리즘과 결합:see[46])선행 밀도 함수와 메트로폴리스 알고리즘 neu의 샘플링 같은 세계적인 최적화 기술의 사용.ral netw오크, 다중 척도 분석을 포함한 정규화 기법
• 보다 부드럽게 하기 위해 최소-최소-최소-소수 목적함수의 재구성(파형 방정식의 역문 참조^[42][43])

목표함수의 구배 계산

역 문제, 특히 무한 차원에서는 크기가 클 수 있으므로 중요한 계산 시간이 필요하다. 전방 지도가 비선형일 경우 계산상의 어려움이 증가하여 목표 기능을 최소화하는 것이 어려울 수 있다. 선형 상황과는 반대로, 헤시안 행렬을 정상 방정식을 해결하기 위해 명시적으로 사용하는 것은 여기에서 타당하지 않다: 헤시안 행렬은 모델에 따라 다양하다. 훨씬 더 효과적인 것은 일부 모델에 대한 목표 기능의 구배를 평가하는 것이다. 우리가 제이콥의 매우 무거운 계산을 피할 수 있을 때 중요한 계산 노력은 절약될 수 있다(흔히 "Fréchet 파생상품"이라고 불림). 샤벤트와 라이온스가 제안한 조정 상태 방법은 이 매우 무거운 계산을 피하기 위한 것이다.^[47] 그것은 현재 매우 널리 사용되고 있다.^[48]

적용들

역 문제 이론은 기상 예측, 해양학, 수문학, 석유 공학에서 광범위하게 사용된다.^[49][50][51]

역문제는 또한 열전달 분야에서도 발견되는데, 표면 열유속이^[52] 강체 체내에서 측정된 온도 데이터로부터 외부로 추정되며, 식물-물질 붕괴에 대한 제어장치를 이해하는 데 있다.^[53] 선형 역 문제는 신호 처리에서 스펙트럼 추정과 도착 방향(DOA) 추정의 기본이기도 하다.

참고 항목

• 대기 음향
• 백커스-길버트 방법
• 컴퓨터단층촬영
  • 대수재건기법
  • 필터링된 백프로젝션
  • 반복재건
• 데이터 동화
• 엔지니어링 최적화
• 그레이 박스 모델
• 수학적 지구물리학
• 최적추정
• 지진 반전
• 티호노프 정규화
• 압축 감지

학술지

4개의 주요 학술지는 일반적으로 역문제를 다루고 있다.

• 역 문제
• 역방향 및 역방향 문제 저널^[54]
• 이공계의 역문제^[55]
• 역 문제 및 이미징^[56]

의료영상학, 지구물리학, 비파괴검사 등에 관한 많은 학술지는 그러한 분야의 역문제들에 의해 지배되고 있다.

참조

참조

• 차단, 호스로 & 사바티에, 피에르 세레스틴(1977년). 양자 산란 이론의 역문제. 스프링거-베를라크. ISBN 0-387-08092-9
• 아스테르, 리처드; 보처스, 브라이언, 그리고 서버, 클리퍼드(2018) 모수 추정 및 역 문제, 제3판, 기타. ISBN 9780128134238, ISBN 9780128134238
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 19.4. Inverse Problems and the Use of A Priori Information". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

추가 읽기

• C. W. Groetsch (1999). Inverse Problems: Activities for Undergraduates. Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-716-8.

외부 링크

• 역 문제 국제 협회
• 역 문제에 관한 유라시아 협회
• 핀란드 역문제학회
• 역 문제 네트워크
• Albert Tarantola의 웹사이트는 그의 역문제 이론의 무료 PDF 버전과 역문제들에 관한 온라인 기사들을 포함하고 있다.
• 앨라배마 대학교의 역 문제 페이지
• 코펜하겐 대학 닐스 보어 연구소의 역문제와 지리통계학적 연구
• Andy Ganse의 지구물리학적 역이론 자원 페이지
• 핀란드의 역문제 연구 우수 센터