마르코프 주행 기록계

수학에서 마르코프 주행 기록계는 위상학적 동력학의 특정한 유형이다.H. D염료의 정리는 모든 에고딕 비동기 변환이 마르코프 주행 기록계와 궤도와 동일하다고 주장하기 때문에 에고딕 이론과 특히 역동 시스템의 궤도 이론에서 근본적인 역할을 한다.^[1]

The basic example of such system is the "nonsingular odometer", which is an additive topological group defined on the product space of discrete spaces, induced by addition defined as ${\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}}$, where ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$.이 집단은 역동적인 시스템의 구조를 가질 수 있다; 그 결과는 보수적인 역동적인 시스템이다.

"Markov 주행 기록계"라고 불리는 일반 형태는 Bratteli-Vershik 도표를 통해 구성될 수 있어 Bratteli-Vershik 콤팩트 공간을 상응하는 변환과 함께 정의할 수 있다.

비경상 주행 기록계

몇 가지 종류의 비음속 주행 기록계를 정의할 수 있다.^[2]이것들은 때때로 추가 기계라고 불린다.^[3]가장 간단한 것은 베르누이 과정으로 설명되어 있다.이것은 두 개의 기호에 있는 모든 무한 문자열의 집합이며, 여기서 제품 위상과 함께 부여된$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}$ ${\$=\{$0,1\}^{\mathb{N}}}}}}}}}$로 표시된다.이 정의는 자연스럽게 제품 공간에 정의된 보다 일반적인 주행 기록계까지 확장된다.

${\displaystyle \Oomega =\prod _{n\in \mathb {N}}\왼쪽(\mathb {Z} /k_{n}\mathb {Z}\mathb {Z}\right)}$

각 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2${\$$displaystyle(k_{n})$이 있는$$ 일부 정수$({\displaystyle {kn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle k_{n}\geq$ 2$.}$

모든$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k_{n}=2}$의 주행 기록계를 dynadious 주행 기록계, von Neumann-Kakutani 추가 시스템 또는 dynadiady 추가 시스템이라고 한다.

모든 추가 기계의 위상 엔트로피는 0이다.^[3]위상학적 엔트로피가 0인 간격의 모든 연속 지도는 위상학적으로 불변 전이성 집합에 대한 작용으로 제한될 때 위상학적으로 추가 기계에 결합되며 주기적인 궤도는 제거된다.^[3]

디아디치 주행 기록계

두 기호 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}$ ${\$0,1\}^{\$mathb{N}}}}}}}}$ 문자열의 모든 무한 문자열 집합에는 실린더 집합에서 생성되는 자연 위상, 즉 제품 위상이 있다$$.$제품{\displaystyle \mathcal{}}$ 토폴로지는 Borel 시그마-알지브라까지 확장된다$.$ B {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {$B}$은(는) 해당 대수학을 나타낸다$$.개별 지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle x\in \Oomega}$은${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \cdots }$)로 표시된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots).$$}$

그 베르누이 과정 전통적으로 조치들이 Bernnoulli 조치의 모음으로,μ p()nx1)에 의해와 같이}과μ p=1− p{\displaystyle \mu_{p}(x_{n}=0)=1-p}, 0명의<>; 와<>()nx0)1{\displaystyle 0<, p< 1}n.의 독립적 p{\displaystyle \mu_{p}(x_{n}=1)=p {\displays$닐$ 앤$\}$$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle p=1/2}$의 값은 다소 특수하며$$, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) 콤팩트한 아벨 그룹으로 볼 때 Haar 측정의 특수한 경우에 해당한다.베르누이 측도는 디아디치 정수에 대한 2-adic 측도와 같지 않다는 점에 유의하십시오.형식적으로 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$도 다이디치 정수의 기본 공간임을$$ 알 수 있지만, 다이디치 정수는 여기서 사용되는 제품 위상과 구별되는 메트릭 위상인 p-adic 메트릭을 부여한다.

공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$은(는) 운반 비트와 함께 좌표 추가로 정의된 추가와 함께 부여될 수 있다$$.즉$$$,{\displaystyle }$ 각 좌표에 대해 (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y{}_{}}$) =${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle y_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{\epsilon n}_{}}$ ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n$}+{n$}+\$$varepsilon _{$$n}\n$}\\$bmod${$n$$}\,}}}}}}}{n}},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}={n}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}{n-1}=2\end{case}}}}}}$

귀납적으로그런 다음 증분 1을 (다이라디칼) 주행 기록계라고 한다.변환 $T{\displaystyle }$ :${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle T:$$\Omega \to \Omega }$ given by ${\displaystyle T(x)=x+{\underline {1}}}$, where ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$. It is called the odometer due to how it looks when it "rolls over":${\displaystyle T}$ is the transformation ${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)}$. Note that ${\displ$$aystyle T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )}$ and that ${\displaystyle T}$ is ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-measurable, that is, ${\displaystyle T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}}$ for all ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.$$}$

The transformation ${\displaystyle T}$ is non-singular for every ${\displaystyle \mu _{p}}$. Recall that a measurable transformation ${\displaystyle \tau :\Omega \to \Omega }$ is non-singular when, given ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}}$, one has that ${\disp$$레이스타일 \mu(\tau ^{-1}\sigma )=0}$ 만일$$ $\mu {\displaystyle (\mu )}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu(\sigma )=0}$인 경우에만 .$$이 경우 발견된다.

${\dfrac식 {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\좌측({\frac식 {1-p}{p}\오른쪽)^{\varphi }}}}}}}}}}}$

여기서 $\phi {\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 최소}$ {${\displaystyle n\mathbb{}}$∈ N ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= $0$ ${\displaystyle \}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \varphi(x)=\min \left\{n\in \mathb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2$ 따라서 $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystylean T}$은$$μp \$me$\mulease \mulease \mulease styone \mulease \mulease \$mulease$ \

$변환{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$은(는) 에고딕적이다.This follows because, for every ${\displaystyle x\in \Omega }$ and natural number ${\displaystyle n}$, the orbit of ${\displaystyle x}$ under ${\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}}$ is the set ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$.이는 $다시{\displaystyle }$ 비원자 공간의 모든 변형이 보수적이기 때문에 T ${\displaystyle T}$이(가) 보수적이라는 것을 의미한다.

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle p=1/2}$의 특별한 경우에$,$${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega \mathcal{}}$, B${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle 2{}_{}}$, ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$) ${\$는 측정을 보존하는 동적 시스템이다.

정수 주행 기록계

동일한 구조로 이산 공간의 모든 제품에 대해 그러한 시스템을 정의할 수 있다.일반적으로는 글씨를 쓴다.

${\displaystyle \Oomega =\prod _{n\in \mathb{{N} }A_{n}}}$

$A$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ 1,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$m ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{n}}=\mathb {Z} /m_{n}\mathb {Z} =\{$${\displaystyle 0_{}}$$,1,\dots$$,$$m_{n}-1\}}}}},$ $modesplaystym_m_{n$}-$geq$ 2$} 정수$.The product topology extends naturally to the product Borel sigma-algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on ${\displaystyle \Omega }$. A product measure on ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is conventionally defined as ${\displaystyle \textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu$$_{n}}}$이(가$)$ A n {\displaystyle $A_{n}$에 측정 ${\displaystyle {\mu n}_{}}$ ${\$을(를) 부여함$.$해당 맵은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle T(x_{1},\dots,x_{k+1},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots )}$

여기서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) ${\displaystyle x_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{k}{}_{}}$- 1 ${\displaystyle x_{k}\neq m_{k}-1}$에 대한 가장 작은 색인이며$,$ 이 역시 위상학 그룹이다.

이것의 특별한 경우는 우주 공간에서 정의되는 Ornstein 주행 기록계다.

${\displaystyle \Oomega =\lift(\mathb {Z} /2\mathb {Z} \right)\time \lift(\mathb {Z} /3\mathb {Z} \right)\time \cdots }}$

의 산물로

${\displaystyle \mu _{n}(j)={\case}{pase}2&{\mbox{{}}{}j=0\\\1/2(n+1)&{\mbox{{{}}}}{}j\neq 0\\\end{case}}}}}$

샌드필 모델

보수적인 주행 기록계와 밀접하게 관련된 개념은 아벨리안 샌드파일 모델의 개념이다.이 모델은 위에서 생성된 유한 그룹의 지시된 선형 시퀀스를 정점과 가장자리의$$ 비방향 그래프$({\displaystyle V}$, E )${\디스플레이$ 스타일$(V,E)$으로 대체한다.At each vertex ${\displaystyle v\in V}$ one places a finite group ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ with ${\displaystyle n=deg(v)}$ the degree of the vertex ${\displaystyle v}$. Transition functions are defined by the graph Laplacian.즉, 주어진 정점을 하나씩 증가시킬 수 있다. 가장 큰 그룹 요소를 증가시킬 때(그래서 다시 0으로 증가하도록), 각각의 이웃 정점은 하나씩 증가된다.

샌들레 모델은 세 가지 다른 방법으로 보수적인 주행 기록계에 대한 위의 정의와 다르다.첫째, 일반적으로 시작 정점으로 지목된 고유 정점은 없는 반면, 위의 경우 첫 번째 정점은 시작 정점인 전환 기능에 의해 증가되는 정점이다.다음으로, 일반적으로 모래톱 모델은 방향성이 없는 가장자리를 사용하므로 주행 기록계의 래핑이 모든 방향으로 재분배된다.세 번째 차이점은 모래톱 모형은 보통 무한 그래프에서 찍히지 않고, 오히려 모든 증분을 흡수하고 절대 감싸지 않는 특별한 꼭지점인 "싱크"가 하나 있다는 점이다.싱크대는 무한 그래프의 무한 부분을 잘라내고 싱크대로 교체하는 것과 같다; 교대로, 그 종단점을 지나는 모든 변화를 무시하는 것과 같다.

마르코프 주행 기록계

Let ${\displaystyle B=(V,E)}$ be an ordered Bratteli–Vershik diagram, consists on a set of vertices of the form ${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}}$ (disjoint union) where ${\displaystyle V^{0}}$ is a singleton and on a set of edges ${\displaystyle \coprod _{n\in \mathbb{N}}{E}^{}}$${\displaystyle {(n}^{}}$) ${\$분리 결합).

다이어그램에는 소스 분사-매핑 $s{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ )${\$$E^{(n)}\to$ V$^{(n-1)}$ 및 범위$$ 투사-매핑 $r{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle E_{}{}^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle V^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$n $){\$${\displaystyle E_{}}$$^{{(n)}\to$ V$^{($n$)\}\}\}$ 우리는 $e{\displaystyle ,}$ e${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ E${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ )${\$ e'$e'\in E^{n}}}}$ r( $e{\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}^{}\prime )}$ ${\displaysty r_{n}(e)}}}}}$인 경우에만 비교할 수 있다고$$ 가정한다$.$

그러한 다이어그램의 경우 제품 토폴로지가 장착된$$ 제품 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=\underset{n}{}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{N}{}^{}}$ E${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\$을 참조하십시오."Bratteli-Vershik compactum"을 무한 경로의 하위 공간으로 정의하십시오.

${\displaystyle X_{B}:=\\\{x=(x_{n})_{n\in \mathb {}}\in E\mid x_{n}\in E^{{n}}{\text{} 및 }r(x_{n}})=s(x_{n+1}\right\}}}}}}}.$

Assume there exists only one infinite path ${\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ for which each ${\displaystyle x_{n}}$ is maximal and similarly one infinite path ${\displaystyle x_{\text{min}}}$. Define the "Bratteli-Vershik map" ${\displaystyle T_B:X_B\to X_B}$${\displaystyle T_{B}:X_{B}\to X_{B}}$ by ${\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }}$ and, for any ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$ define ${\displaystyle T_B(x_1,\dots ,x_k,x_{k+1},\dots )=(y_1,\dots ,y_k,x_{k+1},\dots }$${\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )}$, where ${\displaystyle k}$ is the first index for which ${\displaystyle x_{k}}$ is not maximal and accordingly let ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})}$ be the unique path for which ${\displaystyle y_1,}$${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle y_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$는 모두 최대값이며$$, ${\displaystyle y_{}}$ k$${\$displaystyle y_{k}}$는 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 후속작이다$.$그러면 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$는 X B ${\$의 동형상이다.

레트. P는(P(1), P(2), …){P=\left(P^{(1)\displaystyle},P^{(2)},\dots 확률 매트릭스의 \right)} 시퀀스 P(n))(p(v, e)∈ Vn− 1×E((n)){\displaystyle P^{(n)}(p_{())\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)}가 pv, e(n)>0{\di.splAystyle p_{v,e}^{(n)}>. 0}일 경우 만일 v=sn(e){\displaystyle v=s_{n}(e)}.}μ P([e1,…, en])에 의해)ps1(e1), e1(1)⋯ psn(en), en(n){\displaystyle \mu_{P}(-LSB- e_{1}XB{\displaystyle X_{B}의 실린더에 대한"마르코프 조치"정의합니다.,\d$ots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}$. Then the system ${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}$ is called a "Markov odometer".

비경상 주행 기록계가 모든 $){\$가 단골격인$$ 마르코프 주행 기록계임을 알 수 있다.

참고 항목

• 아벨 샌드필 모델

참조

추가 읽기

• Aaronson, J. (1997). An Introduction to Infinite Ergodic Theory. Mathematical surveys and monographs. Vol. 50. American Mathematical Society. pp. 25–32. ISBN 9781470412814.
• Dooley, Anthony H. (2003). "Markov odometers". In Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.). Topics in dynamics and ergodic theory. Survey papers and mini-courses presented at the international conference and US-Ukrainian workshop on dynamical systems and ergodic theory, Katsiveli, Ukraine, August 21–30, 2000. Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. Vol. 310. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 60–80. ISBN 0-521-53365-1. Zbl 1063.37005.