수치연속

수치연속은 매개변수화된 비선형 방정식의 시스템의 대략적인 해답을 계산하는 방법이다.

${\displaystyle F(\mathbf {u},\lambda )=0.}$^[1]

매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 일반적으로 실제 스칼라이며 솔루션 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) n-벡터이다.고정 매개변수 값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$ $\},$ $F{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \ast }$ ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle$ F$(\ast ,\lambda )}$은 유클리드 n-space를 그 자체로$$ 매핑한다.

흔히 원래의 매핑 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은 바나흐 공간에서 그 자체로 이루어지며$$, 유클리드 n-공간은 유한 차원 바나흐 공간이다.

흐름이나 지도의 매개변수화된 계열의 안정 상태 또는 고정 지점은 이 형태이며, 흐름의 궤적을 탈피하거나 지도를 반복함으로써 주기적인 궤도와 이질적 궤도를 $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F=0}$의 해결책으로 제시할 수도 있다$.$

기타 양식

일부 비선형 시스템에서는 매개변수가 명시적이다.다른 부분에서는 그것들은 암묵적이며, 비선형 방정식의 체계는 기록되어 있다.

${\displaystyle F(\mathbf {u} )=0}$

여기서 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) n-벡터이고, 그 이미지 $F{\displaystyle (u\mathbf{}}$ )${\displaystyle$ F$(\mathbf {u})$는 n-1 벡터다.

명시적 매개변수 공간이 없는 이 공식은 형식에서 매개변수화된 자율 비선형 동적 시스템을 참조하기 때문에 일반적으로 다음 절의 공식에 적합하지 않다.

${\displaystyle \mathbf {u} '=F(\mathbf {u},\lambda).}$

그러나 대수학 시스템에서는 알 수 없는 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 매개 변수의 구분이 없다.

주기 운동

주기적인 운동은 위상 공간에서 닫힌 곡선이다.즉, $어느{\displaystyle }$ 기간 T ${\displaystyle$ T$\},$

${\displaystyle \mathbf {u}'=F(\mathbf {u},\lambda ),\\mathbf {u}(0)=\mathbf {u}(T).}$

주기운동의 교과서적인 예는 비감쇠 진자다.

위상 공간이 하나 이상의 좌표에서 주기적인 경우, Ω을 사용하여$$$u{\displaystyle \mathbf{}(t}$) = ${\displaystyle u\mathbf{}(t}$ + ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)$${\$displaystyle$$$\$mathbf {u}(t)=\mathbf {u}(t+\$$Oomega )},$ Ω을 벡터로$$^{[clarification needed]} 하여 정의된 두 번째 종류의 주기 운동이 있다.

${\displaystyle \mathbf {u}'=\mathbf {F}(\mathbf {u},\lambda ),\\mathbf {u}(0)=\mathbf {u}(T+N).\오메가 )}$

모든 $정수{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$에 대해 $.$

주기적 운동을 위한 암묵적 시스템을 작성하는 첫 번째 단계는 기간 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을 경계 조건에서$$ ODE로 이동하는 것이다.

${\displaystyle \mathbf {u}'=T\mathbf {F}(\mathbf {u},\lambda ),\\\mathbf {u}(0)=\mathbf {u}(1+N)\오메가 \}$

두 번째 단계는 기간을 결정하는 것으로 생각할 수 있는 추가 방정식, 즉 위상 구속조건을 추가하는 것이다.이는 위의 경계 값 문제의 어떤 해결책도 임의의 양에 의해 시간 내에 이동될 수 있기 때문에 필요하다(정의 방정식에는 시간이 나타나지 않는다, 즉 역동적인 시스템을 자율적이라고 한다).

단계 제약에는 몇 가지 선택사항이 있다.${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {u} _{0}(t)$이$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \lambda$ $_$${$$0}$ 부근의$$ 알려진 주기적 궤도라면$$, 푸앵카레가 사용했다$.$

${\displaystyle \langle \langle \mathbf {u}-\mathbf {u} _{0}(0)\mathbf {F}(\mathbf {u} _{0}),\lambda _{0}\rangele =0)}$

이는 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 닫힌 곡선의 접선 벡터와 직교하는 평면에 있음을$$ 나타낸다.이 비행기는 푸앵카레 구간이라고 불린다.

일반적인 문제의 경우 보다 나은 위상 제약은 Eusebius Dodel이 도입한 적분 제약조건으로, 알려진 궤도와 알려지지 않은 궤도의 거리를 최소화하기 위해 위상을 선택한다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\langle \mathbf {u}(t)-\mathbf {u}_{0}(t),\mathbf {u}(\mathbf {u} _{0})\lambda _{0}\rangle dt=0.}$

동족 및 이족 운동

정의들

솔루션 구성요소

A solution component ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$ of the nonlinear system ${\displaystyle F}$ is a set of points ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$ which satisfy ${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda )=0}$ and are connected to the initial solution ${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$ by a path of solutions ${\displaystyle (\mathbf {u} (s),\lambda (s))}$ for which ${\displaystyle (\mathbf {u} (0),\lambda (0))=($$\mathbf {u} _{0},\lambda _{0}),\,(\mathbf {u} (1),\lambda (1))=(\mathbf {u} ,\lambda )}$ and ${\displaystyle F(\mathbf {u} (s),\lambda (s))=0}$.

수치연속

A numerical continuation is an algorithm which takes as input a system of parametrized nonlinear equations and an initial solution ${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$, ${\displaystyle F(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})=0}$, and produces a set of points on the solution com$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0$

정규점

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$${\displaystyle \}}$의 정규 지점은${\displaystyle }$$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$${u},\lambda$)의$$ Jacobian이 전체 순위$({\displaystyle n}$ )$$${\$$displaystyle (n)}$인 ${\displaystyle 지점}$이다$.$

정규점 부근에 솔루션 구성요소는 정규점(암묵적 함수 정리)을 통과하는 격리된 곡선이다.점 위의 그림$({\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)에서 ${\displaystyle(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})$은 정규점이다.

단수점

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 단수점은 F의 자코비안이 전체 순위가 아닌 점$({\displaystyle u\mathbf{}}$ ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$이다.

단수점에 가까운 용액 구성요소는 정규점을 통과하는 격리된 곡선이 아닐 수 있다.국부적 $구조$는 F ${\displaystyle F$}의 상위 파생상품에 의해 결정된다$.$ 두 파란색 곡선이 교차하는 지점 위의 그림은 단수점이다.

일반적으로 솔루션 성분 ${\displaystyle \Gamma }$은(는) 분기 곡선이다.가지점은 단수점이다.단수점을 남기는 해법 곡선을 가지 스위칭이라고 하며, 분기 이론(가수성 이론, 파국론)의 기법을 사용한다.

유한 차원 시스템의 경우(위에서 정의한 바와 같이) 랴푸노프-슈미트 분해를 사용하여 암묵적 기능 정리가 적용되는 두 개의 시스템을 만들 수 있다.랴푸노프-슈미트 분해는 자코비안의 null 공간과 자코비안의 범위를 보완하기 위해 시스템의 제약을 이용한다.

$행렬{\displaystyle \mathrm{}}$ matrix ${\displaystyle \Phi }$의 열이 다음 null 공간의 정형화된 기준인$$ 경우

${\displaystyle J=\왼쪽[{\begin{array}{cc}F_{x}&F_{\lambda }\\end{array}\오른쪽]}}}$

그리고 매트릭스 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Psi}$의 열은 $J$ ${\displaystyle J}$의 왼쪽 null 공간에 대한 정형화된 기준으로, $시스템{\displaystyle }$$$F${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle \lambda }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ F$(x,\lambda )=$0}은$($으)로 다시 작성될 수 있다$$.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{l}(I-\Psi \PSI ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta )\\\PSI ^{T}F(x+\Phi \xi +\eta )\\end{array}\right]=0,}$

여기서 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J$${\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle \eta {}^{}}$= 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle(\Phi$^{$T}\,\eta =0)}$의 null 공간을 보완하는 위치에 있다$$$.$

$$의 null 공간$([\displaystyle \xi$} })에 의해 파라메트리되는 첫 번째 방정식에서 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$에 대한 Jacobian은 비노래식이다$$.$$So the implicit function theorem states that there is a mapping ${\displaystyle \eta (\xi )}$ such that ${\displaystyle \eta (0)=0}$ and ${\displaystyle (I-\Psi \Psi ^{T})$$F(x+\Phi \xi +\eta (\xi )=0)}$.두 번째 방정식(η $\eta {\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$ ) ${\displaystyle \eta (\xi )}$을(를) 대체한 것을 분기 방정식이라고 한다(식들의 체계일 수는 있지만).

분기 방정식은 상수와 선형 항이 없는 테일러 팽창이 있다.원래 시스템의 자코비안의 방정식과 null 공간을 스케일링함으로써 비노래자코비언으로 시스템을 찾을 수 있다.축척 분기 방정식의 테일러 시리즈에서 일정한 용어를 대수 분기 방정식이라고 하며, 적용된 암묵적 함수 정리는 대수 분기 방정식의 각각의 고립된 해법에 대해 죄악을 통과하는 본래의 문제의 해답의 한 가지가 있다고 기술하고 있다.구형의 점

또 다른 유형의 단수점은 전환점 분기 또는 안장-노드 분기인데, 여기서 매개변수 ${\displaystyle \lambda }$의 방향이 곡선을 따라 반전된다$$.위 그림의 빨간색 곡선은 전환점을 보여준다.

특정 알고리즘

자연 매개변수 연속

방정식의 비선형 시스템의 해법 대부분은 반복적인 방법이다.특정 매개 변수 값 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle \lambda_{0}$에 대해$$ 매핑은 초기 $추측{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ {$u} _{0}$에 반복적으로 적용되며$,$ 방법이 수렴되고 일관되면 한계에서 $F{\displaystyle (u\mathbf{}}$ ,${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= $(\dmathbf {u},\l$$)$의 $솔루션$에 접근한다.$a _{0}=0}$.

자연 매개변수 지속은 반복 용해제를 파라메타화된 문제에 매우 간단하게 적응시키는 것이다.${\displaystyle \lambda}$의 한 값인 용액은 $\lambda {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ $[\displaystyle \lambda +\Delta \lambda }}$에서 용액의 초기 추측으로 사용된다$.$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ $[\displaystystyle$ \$Delta \lambda }}}}}}}$ erationa erationa erationa erationa erationa \a \lamba }은 초기 추측에 적용된 반복이 충분히$$ 작아야 한다.

자연 매개변수 지속의 한 가지 장점은 문제에 대한 해결 방법을 블랙박스로 사용한다는 것이다.필요한 모든 것은 초기 해결책이 주어지는 것이다(일부 해결사는 항상 고정된 초기 추측으로 시작하곤 했다).블랙박스 솔버에 보다 정교한 알고리즘을 적용하기 위해 대규모로 계속되는 분야에서 많은 작업이 있었다(예: LOCA 참조).

그러나 자연 매개변수 연속은 용액의 분기가 회전하는 전환점에서 실패한다.따라서 터닝 포인트의 문제에 대해서는 의사-경계 지속과 같은 보다 정교한 방법을 사용해야 한다(아래 참조).

단순하거나 단편적인 선형 연속

Simplemical Continue 또는 Pitswise Linear Continue(Allgower 및 Georg)는 세 가지 기본 결과를 기반으로 한다.

첫째는

F(x)가 IR^n을 IR^(n-1)에 매핑하는 경우, 심플렉스 정점의 함수 값과 일치하는 (n-1)차원 심플렉스에는 고유한 선형 보간물이 있다.

두 번째 결과는 다음과 같다.

고유한 선형 보간물이 심플렉스 내부에서 값 0을 차지하는지 여부를 확인하기 위해 (n-1)차원 심플렉스를 테스트할 수 있다.

자세한 내용은 조각상 선형 계속에 대한 기사를 참조하십시오.

이러한 두 가지 작업을 통해 이 연속 알고리즘은 설명하기 쉽다(물론 효율적인 구현에는 보다 정교한 접근법이 필요하다).[B1]을 참조하십시오.$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 참조 단순 분해로부터 초기 단순화가 주어지는 것으로 가정한다$.$초기 심플렉스에는 해당 면에 고유한 선형 보간물 0을 포함하는 면 하나 이상이 있어야 한다.그런 다음 심플렉스의 다른 면들을 시험하고, 일반적으로 내부 0이 있는 하나의 추가 면이 있을 것이다.초기 심플렉스(simplex)는 0을 포함한 양쪽 면에 걸쳐 있는 심플렉스(simplex)로 대체되며 프로세스가 반복된다.

참조:올가워와 게오르크[B1]는 알고티옴에 대한 아삭아삭하고 명료한 설명을 제공한다.

의사-경계 연속

이 방법은 곡선의 "이상적" 매개변수화가 길항이라는 관측에 근거한다.유사 길이(Phaso-arlength)는 곡선의 접선 공간에 있는 아클렐레길의 근사값이다.$결과적$으로 수정된 자연적 연속 방법은 사이비-경계(pseudi-arlength)의 단계를 만든다$({\displaystyle \lambda }$이(가)$$반복적 해결사는 주어진 의사-경력에서 포인트를 찾아야 하는데, 이 경우 n+1 Jacobian에 의해 n에 추가적인 제약 조건(의사-경력 제약 조건)을 추가해야 한다.정사각형 자코비안을 생산하며, 스텝사이즈가 충분히 작으면 수정된 자코비안은 완전계급이다.

의사-경계연속은 1960년대 후반 에드워드 릭스와 제럴드 윔프너가 유한요소 적용을 위해 독자적으로 개발했으며, 1970년대 초 H.B.에 의해 저널에 게재되었다.켈러입니다.M. A. Crisfield: 고형물과 구조물의 비선형 유한요소해석, Vol 1: 기본개념, Wiley, 1991년 교재에 이러한 초기발전에 대한 자세한 설명이 제공되어 있다.크리스필드는 상업적 비선형 유한요소 프로그램의 표준 절차인 이 종류의 방법에서 가장 활발하게 개발자 중 한 명이었다.

알고리즘은 예측 변수-코렉터 방법이다.예측 단계는 현재 포인터의 접선 벡터를 따라$$ ${\displaystyle \Delta }$ s ${\displaystyle \Delta s}$ 단계인 점(IR^(n+1)을 찾는다.교정기는 대개 비선형 시스템을 해결하기 위한 뉴턴의 방법 또는 어떤 변종이다.

${\displaystyle {\begin{array}{l}F(u,\lambda )=0\\{0}^{0}**(u-u_{0})+{\lambda }}{0}(\lambda -_{0}=\delta s\end{array}}}}}}}}}}$

여기서 (${\displaystyle u_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ 0 ,${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$) ${\dot {u}_{0},{\dot {\$dot {\$lambda }}}$은$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (u_{0},\lambda _{0})$의 접선 벡터 입니다$.$이 체계의 자코비안은 국경의 행렬이다.

${\displaystyle \left[{\put{array}{cc}}F_{{u}&F_{\lambda }\\\\dot{u}^{*}{\\lambda }\}\\end{array}\right]}}}$

수정되지 않은 야코비안이 전체 계급인 정규 지점에서 탄젠트 벡터는 이 새로운 야코비안의 맨 위 행의 null 공간에 걸쳐 있다.접선 벡터를 마지막 행으로 추가하는 것은 뉴턴 시스템의 일반 용액(특히 용액 + null 벡터의 임의 배수)에서 null 벡터의 계수를 결정하는 것으로 볼 수 있다.

가우스-뉴턴 연속

이 방법은 사이비-경계 지속의 변형이다.arclength 제약 조건의 초기 지점에서 접선을 사용하는 대신 현재 용액의 접선을 사용한다.이것은 뉴턴의 방법에서 자코비언의 사이비역스를 사용하는 것과 같으며, 더 긴 스텝이 이루어질 수 있도록 한다.[B17]

둘 이상의 매개 변수에서 계속

위에서 설명한 알고리즘의$$ 매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 실제 스칼라이다.대부분의 물리적 및 설계적 문제에는 일반적으로 둘 이상의 매개변수가 있다.고차원적 연속성은 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) k-벡터인 경우를$$ 말한다.

같은 용어가 적용된다.정규 솔루션은 자코비안이 전체 순위$){\displaystyle (n)}}$인 솔루션이고$,$ 단수 솔루션은 자코비안이 전체 순위보다 낮은 솔루션이다.

규칙적인 해법은 k차원 표면에 놓여 있는데, 접선 공간(자코비안의 null 공간)의 한 점에 의해 매개변수가 될 수 있다.이것은 다시 한번 암묵적 기능 정리의 직접적인 응용이다.

수치연속기법의 적용

수치적 연속 기법들은 혼란스러운 역동적 시스템과 재앙 이론의 영역에 속하는 다양한 다른 시스템들의 연구에서 상당한 수준의 수용을 발견했다.그러한 사용의 이유는 다양한 비선형 동적 시스템이 시스템의 방정식에 포함되는 매개변수의 범위 내에서 결정론적이고 예측 가능한 방식으로 작용한다는 사실에서 기인한다.그러나 특정 매개변수 값의 경우 시스템이 비정상적으로 작동하기 시작하며 따라서 시스템이 예측 불가능해지기 시작하는 시점과 정확히 (이론적으로) 시스템을 불안정하게 만드는 것을 판독할 수 있도록 매개변수를 따라야 한다.

매개변수 연속성 분석은 안정적/임계점 분기점에 대한 더 많은 통찰력으로 이어질 수 있다.안정적 솔루션의 안장 노드, 초임계, 피치 포크, 주기 배가, Hopf, 2차 Hopf(Neimark) 분기점에 대한 연구는 임계 지점에서 발생하는 상황과 발생에 대한 이론적 논의를 가능하게 한다.매개변수 지속은 또한 역동적인 시스템을 분석하기 위한 더 신뢰할 수 있는 시스템을 제공한다. 역동적인 시스템은 더 많은 상호작용의 시간 스텝형 숫자 솔루션보다 더 안정적이기 때문이다.특히 동적 시스템이 특정 파라미터 값(또는 다중 파라미터에 대한 값의 조합)에서 폭발하기 쉬운 경우.^[2]

크랭킹 니콜슨 알고리즘의 형태를 밟는 시간이 매우 오래 걸리고 시스템 내 종속 변수의 비선형 성장 사례에서 불안정할 뿐만 아니라 안정적 해결책(매혹 또는 반발)의 존재에 대해 매우 통찰력이 있다.난류 연구는 낮은 레이놀즈 수에서 시작하는 시스템의 난류 출현을 연구하기 위해 수치 연속 기법을 사용한 또 다른 분야다.또한 이러한 기법을 이용한 연구는 뉴턴 중력에서 제한된 3체 문제의 경우 불변-토리에 대한 안정적 다지관과 분기점을 찾을 수 있는 가능성을 제공했으며 로렌츠 방정식과 같은 시스템의 행동에 대한 흥미롭고 깊은 통찰력을 주기도 했다.

소프트웨어

(건설 중) 다이내믹 시스템 목록에 대한 SIAM 활동 그룹 http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw/을 참조하십시오.

• AUTO: 일체형 제약 조건이 있는 TPBVP(Two Point Boundary Value Problem)의 솔루션 계산.https://sourceforge.net/projects/auto-07p/ SourceForge에서 이용 가능.
• HOMCONT: 동음이의 궤도와 이성계의 궤도의 연산.AUTO에 포함
• MATCONT: 숫자 연속 및 분기를 위한 Matlab 도구 상자[1]SourceForge에서 사용 가능.
• DDEBIFTool: 지연 미분 방정식의 해법 계산.MATLAB 패키지.K. U. Leuven에서 이용 가능
• PyCont: 숫자 지속 및 분리를 위한 Python 도구 상자.고정 점 연속성을 위한 기본 Python 알고리즘, 기타 유형의 문제에 대한 AUTO에 대한 정교한 인터페이스.PyDSTool의 일부로 포함됨
• CANDYS/QA: Universitette Potsdam에서 사용 가능 [A16]
• MANPAK: Netlib에서 사용 가능 [A15]
• PDDE-CONT: http://seis.bris.ac.uk/~rsder/pde/
• 멀티파리오: http://multifario.sourceforge.net/
• LOCA: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca/
• 디스토올
• 가이오
• 오실8: 오실8은 사용자가 분기해석기법을 이용해 비선형 ODE의 고차원 매개변수 공간을 탐색할 수 있는 역동적인 시스템 툴이다.SourceForge에서 사용 가능.
• MANLAB : 용액의 Fourier series (조화 균형법) 개발 및 용액 가지의 Taylor series 개발(아세트산수법)을 이용한 미분방정식의 평형, 주기, 준주기적, 준주기적 용액의 연산LMA Marseille에서 이용 가능.
• BifurationKit.jl : 이 Julia 패키지는 반복적 방법, 희소성 제형 및 특정 하드웨어(예: GPU)를 활용하여 ℝℝ가 0인 대차원 방정식 F(u, λ)=0의 자동 분리 분석을 수행하는 것을 목표로 한다.[2]

예

F가 원점에 매핑하는 지점을 찾는 이 문제는 컴퓨터 그래픽에서 등고선 지도 그리기의 문제(n=2) 또는 등고선면(n=3)으로 나타난다.값 h가 있는 등고선은 F-h=0의 모든 솔루션 성분 집합이다.

참조

책들

[B1] "숫자연속 방법 소개", 유진 L.Allgower와 Kurt Georg, SIAM Classic in Applied Mathics 45. 2003.

[B2] "다이나믹 평형성의 분리를 위한 수학적 방법", Willy J. F. Govaerts, SIAM 2000.

[B3] "Lyapunov-Schmidt의 비선형 분석 및 적용 방법", 니콜라이 시도로프, 보리스 로게노프, 알렉산드르 시니친, 그리고 미하일 팔랄레프 클루워 학술 출판사, 2002.

[B4] "이분화 이론의 방법론", 수이니차우, 잭 K.헤일, 스프링거-베를라크 1982.

[B5] "적용된 분기 이론의 요소들" 유리 A.쿠넷소프, 스프링거-베를랙 응용수학과학 112, 1995.

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[B7] "초기적 안정과 분기 이론" 제라드 이오스와 다니엘 D.조셉, 1980년 스프링거-베를랙 수학 학부 교과서.

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저널 기사

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[A2] "방정식의 시스템에 대한 근사치, 고정점 및 해법에 대한 단순 및 연속 방법", E. L. 올가워 및 K.Georg, SIAM Review, 제22권, 제28권—85권, 1980.

[A3] "암묵적으로 정의된 다지관의 조각-선형 근사치를 위한 알고리즘", 유진 L.Allgower와 Phillip H. Schmidt, SIAM Journal on Materical Analysis, 22권, 2, 322—346, 1985년 4월.

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