고유함수

진동 드럼 문제의 이 해결책은 어느 시점에서든 디스크의 라플라스 연산자의 고유 기능이다.

수학에서, 일부 기능 공간에 정의된 선형 연산자 D의 고유함수는 D에 의해 작용했을 때 고유값이라고 불리는 일부 스케일링 인수에만 곱되는 그 공간의 0이 아닌 함수 f이다. 방정식으로 이 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Df=\lambda f}

어떤 스칼라 고유값 λ에 대해.^[1]^[2]^[3] 또한 이 방정식의 해법은 허용 가능한 고유값과 고유 기능을 제한하는 경계 조건을 따를 수 있다.

고유함수는 고유벡터의 일종이다.

고유 기능

일반적으로 어떤 벡터 공간에 정의된 선형 연산자 D의 고유 벡터는 D의 영역에서 0이 아닌 벡터로서 D가 작용하면 단순히 고유값이라고 하는 어떤 스칼라 값에 의해 스케일링된다. 기능공간에 D를 정의한 특별한 경우, 고유 벡터를 고유기능이라고 한다. 즉, 함수 f는 방정식을 만족하면 D의 고유함수다.

Df=\lambda f,}

(1)

여기서 λ은 스칼라다.^[1]^[2]^[3] 등식 (1)에 대한 해법도 경계 조건에 따라 달라질 수 있다. 경계 조건 때문에 가능한 λ 값은 일반적으로 이산형 집합 λ₁, λ₂ … 또는 일부 범위에 걸친 연속 집합으로 제한된다. D의 가능한 모든 고유값 집합을 그것의 스펙트럼이라고 부르기도 하는데, 이는 이산형, 연속형 또는 둘 모두의 조합일 수 있다.^[1]

λ의 각 값은 하나 이상의 고유 기능에 해당한다. 다중 선형 독립 고유특성이 동일한 고유값을 갖는 경우, 고유값을 변질시킨다고 하며, 동일한 고유값과 연관된 선형 독립 고유특성의 최대 수는 고유값의 퇴행성 또는 기하학적 다중성의 정도가 된다.^[4]^[5]

파생상품예시

무한 치수 공간에 작용하는 널리 사용되는 선형 연산자의 클래스는 실제 또는 복잡한 인수 t의 무한히 다른 실제 또는 복잡한 함수의 공간^∞ C의 미분 연산자다. 예를 들어 고유값 방정식이 있는 ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ 파생 연산자 ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ d ${\$ 을(를) 고려하십시오.

{\frac {d}{dt}f(t)=\data f(t).

이 미분 방정식은 양쪽을 ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ t ( $){\$ 로 곱하고 통합하면 ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ 해결할 수 있다. 그것의 해법, 지수함수

f(t)=f_{0}e^{\putda t}

파생사업자의 고유함수로서, 여기서 f는₀ 경계조건에 따라 달라지는 매개변수다. 이 경우 고유함수는 그 자체로 관련 고유값 λ의 함수로서, 실제 또는 복잡한 값을 취할 수 있다. 특히 λ = 0의 경우 고유함수 f(t)는 상수라는 점에 유의한다.

예를 들어, f(t)가 f(0) = 1 ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ d ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ = ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ = ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ {\ $textstyle \왼쪽$ 경계 조건의 영향을 받는다고 가정합시다 $.$ ${\frac {df}{dt}}\right _{t$ =0 $}=2$ 그런 다음 찾아낸다.

f(t)=e^{2t}

여기서 λ = 2는 경계 조건을 만족하는 미분 방정식의 유일한 고유값이다.

행렬의 고유값 및 고유 벡터에 대한 링크

고유특성은 열 벡터로 표현될 수 있고 선형 연산자는 무한한 차원을 가질 수 있지만 행렬로 표현될 수 있다. 결과적으로 행렬의 고유 벡터와 관련된 많은 개념은 고유특성의 연구로 이어진다.

D가 정의된 기능 공간에서 내부 제품을 정의하십시오.

\langle f,g\angle =\int _{\Oomega}\ f^{**(t)(t)dt,

Ω이라 불리는 t의 관심 범위에 걸쳐 통합된다. *는 복잡한 결합을 나타낸다.

함수 공간에는 함수 집합 {u₁(t), u₂(t), …… u_n(t)}이(가) 제공하는 직교 기준이 있다고 가정하십시오. 여기서 n은 무한할 수 있다. 정형외과적 기준으로는

\langle u_{i},u_{j}\rangele =\int_{\\\\\ni}^{*(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\gin}={begin}i=j\0&i\neq jend{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}case,

여기서 Δ는_ij Kronecker 삼각주로서 ID 매트릭스의 원소로 생각할 수 있다.

함수는 기본 함수의 선형 조합으로 기록될 수 있다.

f(t)=\sum _{j=1}^{nb_{j}u_{j}(t),

예를 들어 f(t)의 푸리에 확장을 통한 것이다. 계수 b는_j 1 열 벡터 b = [b₁ b₂ … b_n]^T만큼 n으로 쌓을 수 있다. 정현함수의 푸리에 시리즈 계수 등 특수한 경우에 이 열 벡터는 유한 치수를 가진다.

또한 요소를 사용하여 선형 연산자 D의 행렬 표현을 정의하십시오.

A_{ij}=\langle u_{i}}\랑글=\int_{\Oomega}\u_{i}^{*(t)Du_{j}(t)dt.

Df(t) 함수는 기본 함수의 선형 조합으로 쓰거나 f(t)의 확장에 따라 D로 쓸 수 있다.

Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j.}{Du_{j}(t).

임의의 기초함수 u_i(t)로 이 방정식의 각 면의 내측 산출물을 취한다.

{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aigned}}

이것은 종합 표기법으로 작성된 행렬 곱하기 Ab = c이며, 정형 기준으로 표현된 함수 f(t)에 작용하는 연산자 D와 동등한 행렬이다. f(t)가 고유값 λ을 가진 D의 고유함수라면 Ab = bb.

에르미트 연산자의 고유값과 고유 기능

물리학에서 마주친 많은 연산자들은 에르미트인이다. 선형 연산자 D가 함수 집합 {u(t₁), u₂(t), …… u_n(t)}에 의해 주어진 직교 기준의 힐버트 공간인 함수 공간에 작용한다고 가정하자. 여기서 n은 무한할 수 있다. 이 기준으로 연산자 D는 원소가 있는 행렬 A를 나타낸다.

A_{ij}=\langle u_{i}\langle=\int_{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\Oomega }dt\ u_{i}^{*(t)Du_{j}(t).

Ω으로 표시된 t의 관심 범위에 걸쳐 통합됨.

Emidantian 행렬과 유사하게 D는 A_ij = A_ji*일 경우, 또는 다음과 같은 경우 Emidant 연산자다.^[6]

{\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{정렬}}

고유값 λ₁, λ₂, … 및 해당하는 고유 특성 f₁(t), f₂(t), …을 가진 은둔자 연산자 D를 고려한다. 이 에르미트 연산자는 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

고유값은 실제 값, λ_i = λ_i*^[4]^[6]
그것의^[6]^[7]^[8] 고유특성은 직교 조건인 $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ f $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ , f $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ = $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ $\langle f_{i},f_{j}\angle =0$ 을 $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ (를) 따른다.

두 번째 조건은 항상 λ_i λ_j λ을 유지한다. 동일한 고유값 λ의_i 퇴행성 고유특성의 경우, 예를 들어 Gram-Schmidt 프로세스를 사용하여_i with과 연관된 고유특성에 이르는 직교 고유특성을 항상 선택할 수 있다.^[5] 스펙트럼이 이산형인지 연속형인지에 따라 고유특성의 내부생산을 각각 크론커 델타 또는 디락 델타 함수와 동일하게 설정하여 고유특성을 정규화할 수 있다.^[8]^[9]

특히 스터름-리우빌 운영자 등 많은 에르미타인 운영자들에게는 제3의 재산은 다음과 같다.

그것의 고유 기능은 운영자가 정의되는^[5] 기능 공간의 기초를 형성한다.

결과적으로, 많은 중요한 경우, 은둔자 연산자의 고유 기능은 정형화된 기준을 형성한다. 이 경우 임의 함수는 은둔자 연산자의 고유 기능의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

적용들

진동 문자열

그 경계에 고정된 끈에 서 있는 파형의 형상은 미분 연산자의 고유함수의 예다. 허용 가능한 고유값은 문자열 길이에 의해 제어되며 진동 주파수를 결정한다.

$렛츠$ h $(x,$ $t)$ 는 현악기의 진동 문자열과 같이 스트레스를 받는 탄력 화음의 횡방향 변위를 문자열과 시간 $t$ 를 따라 위치 $x$ 의 함수로서 나타낸다. 문자열의 최소 부분에 역학의 법칙을 적용하여 함수 $h$ 는 부분 미분 방정식을 만족시킨다.

{\frac {\frac {\propert t^{2}}:}=c^{2}{\frac {\fract ^{2}h}{\propert x^{2}}}}}

이것을 (1차원)파 방정식이라고 한다. 여기서

c

는 끈의 장력과 질량에 따라 달라지는 일정한 속도다.

이 문제는 변수의 분리방법에 따라 해결할 수 있다. $만약$ $우리$ 가 $h ($ $x,$ t)가 X( $x)$ T( $t$ )형식의 곱으로 쓰여질 수 있다고 가정한다면 $,$ 우리는 한 쌍의 평범한 미분 방정식을 형성할 수 있다.

{\dx^{d^{2}}:X=-{\frac=-{\frac {\c^{2}}:}X,\qquad {\d^{2}}:{d^{d^}}}T=-\omega^{2}T.}

이들 각각은 ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ - ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ 2 c ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ 2 {\ $textstyle$ -{\ $frac {\omega^{2}}{$ c ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ ^{ $2}}:}$ 및 $-Ω$ 을² 갖는 고유값 방정식이다. $Ω$ 과 $c$ 의 모든 값에 대해 방정식은 함수에 의해 충족된다.

X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),

여기서 위상각

φ

과

ψ

은 임의의 실제 상수다.

예를 들어 문자열의 끝이 $x$ = $0$ 과 $x$ = $L$ , 즉 X $(0)$ = X $($ $L)$ = $0$ , T(0) $=$ 0으로 고정되어 $있는 경계$ 조건을 부과하면 고유값을 구속한다. 이러한 경계 조건의 경우 $sin(()$ = $0$ , $sin(ψ)$ = $0$ 이므로 위상각 angles = $ψ$ = $0$ , 그리고

\sin \left({\frac {\omega L}{c}\오른쪽)=0.

이 마지막 경계 조건 ωn하는 값을.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.m을 ω를 구속한다.어디는 얼마인가?어떤 정수 W-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}ncπ/L. 따라서, 클램핑된 끈은 서 있는 형태의 파도를 지탱한다.

h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}\right)\sin(\omega _{n}t)

현악기의 예에서 주파수 $Ω$ 은_n n-th 고조파 주파수로, 이를 ( $n$ - 1 $)-$ 오버톤이라고 한다.

슈뢰딩거 방정식

양자역학에서 슈뢰딩거 방정식은

i\hbar {\frac {\partial t}{\partial t}\psi(\mathbf {r},t)=H\PSI(\mathbf {r},t)

해밀턴식 운영자와 함께

H=-{\frac {\hbar ^{2}}:\{2m}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r},t)}

해밀턴인이 시간에 명시적으로 의존하지 않는다면 변수의 분리로 해결될 수 있다.^[10] 이 경우, 파동 함수(

r, t)

=

φ (r) T (t)

는 두 개의 미분 방정식으로 이어진다.

H\varphi(\mathbf {r} )=E\varphi(\mathbf {r}),

(2)

i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}=ET(t)

(3)

이러한 미분방정식은 모두 $고유값$ E를 갖는 고유값 방정식이다. 앞의 예에서 보듯이 방정식 (3)의 해법은 지수함수다.

T(t)=e^{-iEt}/{\hbar }}.

방정식 (2)는 시간 독립 슈뢰딩거 방정식이다. 해밀턴 연산자의 고유 기능 $φ$ 은_k 양자역학계의 정지 상태로서 각각 해당 에너지 $E$ 를_k 가지고 있다. 그것들은 시스템의 허용 가능한 에너지 상태를 나타내며 경계 조건에 의해 제한될 수 있다.

해밀턴 연산자 $H$ 는 고유 기능이 정형화된 에르미트 연산자의 예다. 는 고정형 국가들의 해밀턴의 명시적으로 시간에 의존하지 않는다, 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해결책이 선형 조합은 진동 Tᆩ,[11]Ψ(r, t))∑ kckm그리고 4.9초 만 φ k(r)e− 나는 Ekm그리고 4.9초 만 t/ℏ{\textstyle \Psi(\mathbf{r},t)=\sum_{k}c_{k}\varphi _ᆰ(\mathbf{r})이다.e^{ ${-iE_{k}t}/{\hbar }}$ 또는 연속 ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$ 스펙트럼이 있는 시스템의 경우

\Psi(\mathbf {r},t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r}){-iEt}/{\hbar }.

슈뢰딩거 방정식의 성공은 수소의 스펙트럼 특성을 설명하는데 있어서 20세기 물리학의 가장 위대한 승리 중 하나로 여겨진다.

신호 및 시스템

신호와 시스템에 대한 연구에서 시스템의 고유함수는 시스템에 입력했을 때 $응답$ y( $t)$ = $ff (t$ )를 생성하는 신호 $f (t)$ 로 여기서 $λ$ 은 복합 스칼라 고유값이다 $.$ ^[12]

참고 항목

메모들

인용구

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인용된 작품

Courant, Richard; Hilbert, David. Methods of Mathematical Physics. Volume 1. Wiley. ISBN 047150447-5. volume= 추가 텍스트(도움말)(제2권: ISBN047150439-4)
Davydov, A. S. (1976). Quantum Mechanics. Translated, edited, and with additions by D. ter Haar (2nd ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
Girod, Bernd; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). Signals and systems (2nd ed.). Wiley. ISBN 047198800-6.
Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Mathematical Physics. New York: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
Wasserman, Eric W. (2016). "Eigenfunction". MathWorld. Wolfram Research. Retrieved April 12, 2016.

외부 링크

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