빈센트 공식

Vincenty의 공식은 Thaddeus Vincenty(1975a)가 개발한 회전 타원체 표면의 두 점 사이의 거리를 계산하기 위해 측지학에서 사용되는 두 가지 관련 반복 방법입니다. 이들은 지구의 형상이 편원형의 구형이라는 가정에 기초하고 있으며, 따라서 대원거리와 같이 구 모양의 지구를 가정하는 방법보다 더 정확합니다.

첫 번째(직접) 방법은 다른 점에서 주어진 거리와 방위각(방향)인 점의 위치를 계산합니다. 두 번째(역) 방법은 주어진 두 점 사이의 지리적 거리와 방위각을 계산합니다. 그것들은 지구 타원체에서 0.5 mm (0.020 인치) 이내로 정확하기 때문에 측지학에서 널리 사용되어 왔습니다.

배경

Vincenty의 목표는 프로그램 길이를 최소화하는 형태로 타원체에 지오데식에 대한 기존 알고리즘을 표현하는 것이었습니다(Vincenty 1975a). 그의 미발표 보고서(1975b)에는 몇 킬로바이트의 메모리만을 가지고 있던 Wang 720 데스크 계산기의 사용이 언급되어 있습니다. 긴 선에 대한 좋은 정확도를 얻기 위해 이 솔루션은 보조 구를 기반으로 하는 Legendre(1806), Bessel(1825) 및 Helmert(1880)의 고전적인 솔루션을 사용합니다. 빈센트(Vincenty)는 1955년 레인즈포드(Rainsford)가 제공한 이 방법의 공식화에 의존했습니다. Legendre는 지리적 위도를 축소 위도로 매핑하고 그레이트 서클의 방위를 지오데식의 방위와 동일하게 설정함으로써 타원체 지오데식이 보조 구의 그레이트 서클에 정확히 매핑될 수 있음을 보여주었습니다. 타원체 위의 경도와 측지선 위의 거리는 구 위의 경도와 큰 원을 따라 호 길이로 단순 적분으로 표시됩니다. Bessel과 Helmert는 이러한 적분에 대해 빠르게 수렴하는 급수를 제공하여 임의의 정확도로 측지선을 계산할 수 있게 했습니다.

프로그램 크기를 최소화하기 위해 Vincenty는 이 시리즈를 선택하여 각 시리즈의 첫 번째 항을 작은 매개 변수로 사용하여 다시 확장하고 ^{[clarification needed]}$O{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ O$(f^{3}}$로 잘랐습니다$.$ 그 결과 경도와 거리 적분에 대한 콤팩트한 표현이 생성되었습니다. 다항식을 단일 임시 레지스터만 사용하여 평가할 수 있으므로 식은 호너(또는 중첩) 형식으로 입력되었습니다. 마지막으로, 직접 및 역 방법의 암시적 방정식을 풀기 위해 간단한 반복 기법이 사용되었습니다. 비록 이것들은 느리지만(그리고 역 방법의 경우 때때로 수렴되지 않음), 코드 크기가 가장 적게 증가합니다.

표기법

다음 표기법을 정의합니다.

표기법	정의.	가치
a	타원체의 반 장축 길이(적도에서의 radius);	(6378137.0 metres in WGS-84)
ƒ	타원체의 평탄화;	(1/298.257223563 in WGS-84)
b = (1 - ƒ) a	타원체의 반 minor 축 길이(극점에서의 radius);	(6356752.314245 meters in WGS-84)
φ, φ	지점의 위도
U1 = arctan( (1 − ƒ) tan Φ1 ), U2 = arctan( (1 − ƒ) tan Φ2 )	축소된 위도(보조 구면의 latitude)
L1, L2	지점의 경도;
L = L - L	두 지점의 경도 차이,
λ	보조구 상의 점들의 경도 차이
α1, α2	지점의 전방 방위각,
α	적도에서 측지선의 전방 방위각이 그렇게까지 확장된 경우,
s	두 지점 사이의 타원체 거리;
σ	점 사이의 각 분리
σ1	점과 적도 사이의 각진 분리
σm	선의 중간 지점과 적도 사이의 각 분리

역문제

두 점(φ, L)과 (φ, L)의 좌표가 주어지면 역문제는 방위각 α, α와 타원체 거리 s를 찾습니다.

U, U, L을 계산하여 λ = L의 초기값을 설정합니다. 그런 다음 λ가 수렴될 때까지 다음 식을 반복적으로 평가합니다.

${\displaystyle \sin \sigma ={\sqrt {\left(\cos U_{2}\sin \lambda \right)^{2}+\left(\cos U_{1}\sin U_{2}-\cos U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda \right)^{2}}}$

${\displaystyle \cos \sigma =\sin U_{1}\sin U_{2}+\cos U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda \,}$

${\displaystyle \sigma =\operatorname {arctan2} \left(\sin \sigma,\cos \sigma \right)}$^[1]

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\cos U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda }{\sin \sigma }}$^[2]

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha = 1-\sin ^{2}\alpha }$

${\displaystyle \cos \left(2\sigma _{\text{m}}\right)=\cos \sigma -{\frac {2\sin U_{1}\sin U_{2}}{\cos ^{2}\alpha }}=\cos \sigma -{\frac {2\sin U_{1}\sin U_{2}}{1-\sin ^{2}\alpha }}$^[3]

${\displaystyle C={\frac {f}{16}}\cos ^{2}\alpha \left[4+f\left(4-3\cos ^{2}\alpha \right]\right]}$

${\displaystyle \lambda =L+(1-C)f\sin \alpha \left\{\sigma +C\sin \sigma \left[\cos \left(2\sigma _{\text{m}}\right)+C\cos \sigma \left(-1+2\cos ^{2}\left(2\sigma _{\text{m}}\right)\right]\right\}$

λ가 원하는 정도의 정확도(10은 약 0.06mm에 해당)로 수렴되면 다음을 평가합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}&=\cos^{2}\alpha \left ({\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}\right)\\A&=1+{\frac {u^{2}}{16384}}\left(4096+u^{2}\left[-768+u^{2}\left(320-175u^{2}\right)\right]\right)\\B&={\frac {u^{2}}{1024}}\left(256+u^{2}\left[-128+u^{2}\left(74-47u^{2}\right]\right)\\\\Delta \sigma &=B\sin \sigma \left\{\cos(2\sigma _{\text{m}})+{\frac {1}{4}B\left(\cos \sigma \left[-1+2\cos ^{2}\left(2\sigma _{\text{m}}\right]\{\frac {B}{6}\cos \left[2\sigma _{\text{m}}\right]\left[-3+4\sin ^{2}\sigma \right]\left[-3+4]\cos ^{2}\left(2\sigma _{\text{m}}\right)\right\}\s&=bA(\sigma -\Delta \sigma)\,\\alpha_{1}&=\operatorname {arctan2}\left(\cos U_{2}\sin \lambda,\cos U_{1}-\cos U_{2}\cos U_{2}\cos U_{2}\cos lambda \right)\\\alpha_{2}&=\operatorname {arctan2}\left(\cos U_{1}\sin \lambda,-\sin U_{1}\cos U_{2}+\cos U_{1}\cos \lambda \right)\end{aligned}}$

거의 반대되는 두 지점 사이에서 반복 공식이 수렴되지 않을 수 있습니다. 위의 방정식으로 계산된 λ에서의 첫 번째 추측이 절대값에서 π보다 클 때 발생합니다.

직접문제

초기점(φ, L)과 초기 방위각, α, 거리가 주어지면, 지오데식을 따라 종점(φ, L)과 방위각, α를 찾는 것이 문제입니다.

먼저 다음을 계산합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{1}&=\arctan \left[(1-f)\tan \phi _{1}\right]\\\sigma _{1}&=\operatorname {arctan2} \left(\tan U_{1},\cos \alpha_{1}\right)\\\sin \alpha &=\cos U_{1}\sin \alpha _{1}\\u^{2}&=\cos ^{2}\alpha \left({\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\right)=\left(1-\sin ^{2}\alpha \right)\left({\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\right)\\A&=1+{\frac {u^{2}}{16384}}\left(4096+u^{2}\left[-768+u^{2}(320-175u^{2})\right]\right)\\B&={\frac {u^{2}}{1024}}\left(256+u^{2}\left[-128+u^{2}\left(74-47u^{2}\right]\right)\end{aligned}}$

그런 다음 초기값 σ =$$sb A {\displaystyle \ sigma =${\$tfrac {s}{bA$\}\}\},$ $σ$에 큰 변화가 없을 때까지 다음 식을 반복합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}2\sigma _{\text{m}}&=2\sigma _{1}+\sigma \\\\Delta \sigma &=B\sin \sigma \left\{\cos \left(2\sigma _{\text{m}}\right)+{\frac {1}{4}B\left(\cos \sigma \left[-1+2\cos ^{2}\left(2\sigma _{\text{m}\right]\cos \left[2\sigma _{\text{m}\right]\cos \left[-3+4\sin ^{2}\sigma \right]\left[-3+4]\cos ^{2}\left(2\sigma _{\text{m}}\right)\right]\right\}\\\right\}\\\sigma &={\frac{s}{bA}}+\델타 \sigma \end{aligned}}}$

충분한 정확도를 평가할 수 있는 σ가 확보되면 다음을 수행합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi_{2}&=\operatorname {arctan2}\left(\sin U_{1}\cos \sigma +\cos U_{1}\sin \cos \alpha_{1}, (1-f){\sqrt {\sin ^{2}\alpha +\left(\sin U_{1}\cos \sigma -\cos U_{1}\cos \sigma \alpha_{1}\right)^{2}\right)\\\lambda &=\operatorname {arctan2}\left(\sin \sigma \sin \alpha_{1},\cos U_{1}\cos \sigma -\sin U_{1}\sin \cos \alpha_{1}\right)\\C&={\frac {f}{16}}\cos ^{2}\alpha \left[4+f\left(4-3\cos ^{2}\alpha \right]\right]\\L&=\lambda -(1-C)f\sin \alpha \left\{\sigma +C\sin \sigma \left(\cos \left[2\sigma _{\text{m}}\right]+C\cos \sigma \left[-1+2\cos ^{2}\left(2\sigma _{\text{m}}\right)\right]\right\}\\L_{2}&=L+L_{1}\\\alpha_{2}&=\operatorname {arctan2} \left(\sin \alpha,-\sin U_{1}\sin \sigma +\cos U_{1}\cos \sigma \cos \alpha_{1}\right)\end{aligned}}$

첫 번째 점이 북극이나 남극에 있다면 첫 번째 방정식은 불확실합니다. 초기 방위각이 동쪽 또는 서쪽에 있으면 두 번째 방정식은 불확실합니다. 표준 2-논법 arctangent atan2 함수를 사용하는 경우 일반적으로 이러한 값이 올바르게 처리됩니다.^{[clarification needed]}

빈센트의 수정

빈센트는 1976년 서베이 리뷰에 보낸 편지에서 A와 B에 대한 급수식을 헬머트의 확장 매개변수 k를₁ 사용하여 더 간단한 공식으로 대체할 것을 제안했습니다.

${\displaystyle A={\frac {1+{\frac {1}{4}}{k_{1}}^{2}}{1-k_{1}}}}$

${\displaystyle B=k_{1}\left(1-{\frac {3}{8}}{k_{1}}^{2}\right)}$

어디에

${\displaystyle k_{1}={\frac {{\sqrt {1+u^{2}}}-1}{{\sqrt {1+u^{2}}}+1}}}$

거의 반대방향 점

위에서 언급한 바와 같이, 역 문제에 대한 반복적인 해결책은 거의 안티포달 지점에 대해 수렴에 실패하거나 느리게 수렴합니다. 저속 수렴의 예로는 (φ, L) = (0°, 0°) 및 (φ, L) = (0.5°, 179.5°)가 있습니다. WGS84 타원체의 경우. 1mm에 정확한 결과를 주기 위해서는 약 130번의 반복이 필요합니다. 알고리즘은 역법의 구현 방식에 따라 올바른 결과(19936288.579m), 잘못된 결과 또는 오류 지시자를 반환할 수 있습니다. 잘못된 결과의 예로 NGS 온라인 유틸리티를 사용하면 약 5km 길이의 거리를 반환할 수 있습니다. Vincenty는 그러한 경우에 수렴을 가속화하는 방법을 제안했습니다(Rapp, 1993).

역법의 수렴 실패의 예로는 (φ, L) = (0°, 0°) 및 (φ, L) = (0.5°, 179.7°)가 있습니다. WGS84 타원체의 경우. Vincenty(1975b)는 미발표 보고서에서 그러한 사례를 처리하기 위한 대안적인 반복 계획을 제시했습니다. 이것은 약 60번의 반복 후에 올바른 결과 19944127.421m로 수렴됩니다. 그러나 다른 경우에는 수천 번의 반복이 필요합니다.

카니(Karney, 2013)는 역문제를 1차원 근찾기 문제로 재구성했으며, 이는 모든 입력점 쌍에 대해 뉴턴의 방법으로 신속하게 해결할 수 있습니다.

참고 항목

• 지리적 거리
• 대원거리
• 자오선 호
• 타원체 위의 측지학
• 타데우스 빈센티
• 지오데시

메모들

참고문헌

외부 링크

• Geoscience Australia의 온라인 계산기:
  • 빈센트다이렉트(목적지)
  • Vincenty Inverse(점 간 거리)
• 미국 국립 측지학 조사의 계산기:
  • 2차원 및 3차원 모두에서 순방향(직접) 및 역방향 문제를 포함한 온라인 및 다운로드 가능한 PC 실행형 계산 유틸리티(2011-08-01 액세스).
• 크리스 베네스(Creative Commons Attribution license)의 자바스크립트 소스 코드가 있는 온라인 계산기:
  • 빈센트다이렉트(목적지)
  • Vincenty Inverse(점 간 거리)
• Geographic Lib는 직접 지오데식 및 역 지오데식 문제를 해결하기 위한 유틸리티 지오데솔브(MIT/X11 라이센스 소스 코드 포함)를 제공합니다. 이는 Vincenty와 비교했을 때 약 1000배 정확하며(오차=15nm) 역해가 완성되었습니다. 여기 지오드솔루션의 온라인 버전이 있습니다.
• 소스 코드, Tomasz Jastrz ębski의 Excel VBA 구현으로 Vincenty의 직접 공식 및 역 공식 구현 완료