벡먼-쿼럴스 정리

Beckman–Quarles theorem

기하학에서는 F. S. Beckman과 D.의 이름을 딴 Beckman-Quarles 정리.A. Quarles Jr.는 유클리드 평면이나 고차원 유클리드 공간의 변형이 단위 거리를 보존한다면 모든 거리를 보존한다고 말한다.동등하게, 평면의 단위 거리 그래프의 모든 자동형은 평면의 등각도계여야 한다.벡맨과 퀘렐레스는 1953년에 이 결과를 출판했다;[1] 그것은 나중에 다른 작가들에 의해 재발견되었다.[2][3]

형식명세서

형식적으로 결과는 다음과 같다.f를 d차원 유클리드 공간에서 그 자체로 함수 또는 다변량 함수가 되게 하고, 서로 단위 거리에 있는 모든 점 p와 q의 쌍에 대해 모든 영상 f(p)와 f(q)도 서로 단위 거리에 있다고 가정한다.그런 다음 f는 등측량법이어야 한다: 모든 점 쌍 사이의 거리를 보존하는 일대일 함수다.[1]

다른 공간에 대한 누적분포수

벡만과 퀘렐레스는 그 정리가 실선(일차원 유클리드 공간)에 대해 사실이 아니라고 관찰한다.예를 들어, x가 정수일 경우 x + 1을 반환하고 x를 반환하는 함수 f(x)는 정리의 전제조건(단위 거리를 보존함)을 준수하지만 등거리 측정은 아니다.[1]

벡맨과 퀘글스는 또한 힐버트 공간에 대한 counterrexample을 제공한다. 힐버트 공간은 실제 숫자의 제곱합이 가능한 배열의 공간이다.이 예에는 두 개의 불연속 함수의 구성이 포함된다. 하나는 힐버트 공간의 모든 점을 카운트 가능한 밀도 높은 하위 공간에서 가까운 지점으로 매핑하는 것이고, 다른 하나는 이 밀도 세트를 카운트 가능한 단위 심플렉스(서로 단위 거리마다 모든 점의 무한 집합)로 매핑하는 것이다.이 두 변환은 서로로부터 단위 거리의 어떤 두 점을 밀도 하위 공간의 서로 다른 두 점으로 매핑하고, 거기서부터는 반드시 단위 거리 거리에 있는 심플렉스 두 개의 다른 점으로 매핑한다.따라서 이들의 구성은 단위 거리를 보존한다.그러나, 그것은 동일한 지점이나 단위 거리에 상관없이 모든 점 쌍을 원래 거리에 상관없이 매핑하기 때문에 등위계가 아니다.[1]

관련결과

이성적인 숫자인 카르테시안 좌표를 가진 유클리드 공간의 부분집합만 변환하는 경우 전체 유클리드 평면보다 상황이 더 복잡하다.이 경우, 최대 4개까지 치수의 비등각계 단위가 존재하지만, 5개 이상의 치수는 없다.[4][5]유사한 결과는 단위 거리 외에 2의 제곱근과 같은 다른 거리를 보존하는 합리적인 점의 매핑에도 적용된다.[6]

벡만-쿼리 정리를 다시 인용하는 한 가지 방법은 정점이 평면의 모든 점인 단위 거리 그래프의 경우 단위 거리의 두 점 사이에 가장자리가 있는 유일한 그래프 자동화는 평면의 등각도에서 오는 명백한 것이다.거리가 대수적 숫자 A인 점 쌍의 경우, 이 정리의 유한 버전이 있다.마에하라에는 일부 두 꼭지점 p와 q가 서로 A 거리에 있어야 하는 유한 강체 단위 거리 그래프 G가 있으며, 여기에서 G에서 단위 거리를 보존하는 평면의 어떤 변형도 p와 q 사이의 거리를 보존해야 한다는 것을 보여주었다.[7][8][9]

몇몇 저자들은 다른 유형의 기하학에서 유사한 결과를 연구했다.예를 들어 유클리드 거리를 2차 형태 값으로 대체할 수 있다.[10]벡만-쿼리 이론은 민코프스키 공간,[11] 뫼비우스 평면의 역행 거리,[12] 유한 데스카게스 평면,[13] 논제로 특성을 가진 들판 위에 정의된 공간에 대해 입증되었다.[14][15]또한 로렌츠 변환과 같은 등각도 이외의 변환을 특성화하는 데 이 유형의 이론이 사용되어 왔다.[16]

참조

  1. ^ a b c d Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953), "On isometries of Euclidean spaces", Proceedings of the American Mathematical Society, 4: 810–815, doi:10.2307/2032415, MR 0058193.
  2. ^ Townsend, Carl G. (1970), "Congruence-preserving mappings", Mathematics Magazine, 43: 37–38, doi:10.2307/2688111, MR 0256252.
  3. ^ Bishop, Richard L. (1973), "Characterizing motions by unit distance invariance", Mathematics Magazine, 46: 148–151, doi:10.2307/2687969, MR 0319026.
  4. ^ Connelly, Robert; Zaks, Joseph (2003), "The Beckman-Quarles theorem for rational d-spaces, d even and d ≥ 6", Discrete geometry, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., vol. 253, New York: Dekker, pp. 193–199, doi:10.1201/9780203911211.ch13, MR 2034715.
  5. ^ Zaks, Joseph (2006), "The rational analogue of the Beckman-Quarles Theorem and the rational realization of some sets in $E^d$", Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni. Serie VII, 26 (1): 87–94, MR 2215835.
  6. ^ Zaks, Joseph (2005), "On mappings of Qd to Qd that preserve distances 1 and √2 and the Beckman-Quarles theorem", Journal of Geometry, 82 (1–2): 195–203, doi:10.1007/s00022-004-1660-3, MR 2161824.
  7. ^ Maehara, Hiroshi (1991), "Distances in a rigid unit-distance graph in the plane", Discrete Applied Mathematics, 31 (2): 193–200, doi:10.1016/0166-218X(91)90070-D.
  8. ^ Maehara, Hiroshi (1992), "Extending a flexible unit-bar framework to a rigid one", Discrete Mathematics, 108 (1–3): 167–174, doi:10.1016/0012-365X(92)90671-2, MR 1189840.
  9. ^ Tyszka, Apoloniusz (2000), "Discrete versions of the Beckman-Quarles theorem", Aequationes Mathematicae, 59 (1–2): 124–133, arXiv:math/9904047, doi:10.1007/PL00000119, MR 1741475.
  10. ^ Lester, June A. (1979), "Transformations of n-space which preserve a fixed square-distance", Canadian Journal of Mathematics, 31 (2): 392–395, doi:10.4153/CJM-1979-043-6, MR 0528819.
  11. ^ Lester, June A. (1981), "The Beckman-Quarles theorem in Minkowski space for a spacelike square-distance", C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, 3 (2): 59–61, MR 0612389.
  12. ^ Lester, June A. (1991), "A Beckman-Quarles type theorem for Coxeter's inversive distance", Canadian Mathematical Bulletin, 34 (4): 492–498, doi:10.4153/CMB-1991-079-6, MR 1136651.
  13. ^ Benz, Walter (1982), "A Beckman-Quarles type theorem for finite Desarguesian planes", Journal of Geometry, 19 (1): 89–93, doi:10.1007/BF01930870, MR 0689123.
  14. ^ Radó, Ferenc (1983), "A characterization of the semi-isometries of a Minkowski plane over a field K", Journal of Geometry, 21 (2): 164–183, doi:10.1007/BF01918141, MR 0745209.
  15. ^ Radó, Ferenc (1986), "On mappings of the Galois space", Israel Journal of Mathematics, 53 (2): 217–230, doi:10.1007/BF02772860, MR 0845873.
  16. ^ Benz, Walter (1980–1981), "A Beckman Quarles type theorem for plane Lorentz transformations", C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, 2 (1): 21–22, MR 0564486.