BRST 양자화

이론물리학에서 BRST 형식주의, 또는 BRST 양자화(여기서 BRST는 카를로 베키, 알랭 루에, 레이몬드 스토라, 이고르 튜틴의 성을 의미함)는 게이지 대칭을 가진 필드 이론을 양자화하기 위한 비교적 엄격한 수학적 접근을 의미합니다.초기 양자장 이론(QFT) 프레임워크에서 양자화 규칙은 증명보다 "처방" 또는 "유령 필드"와 더 유사했으며, 특히 표면적으로 기이한 특성을 가진 "유령 필드"의 사용이 재규격화 및 이상 취소와 관련된 기술적 이유로 거의 피할 수 없는 비-아벨리안 QFT에서는 더욱 그러했습니다.

1970년대 중반에 도입된 BRST 글로벌 초대칭은 QFT 계산을 수행할 때 이러한 파디브-포포프 유령의 도입과 "물리적" 점근 상태로부터의 배제를 합리화하기 위해 빠르게 이해되었습니다.결정적으로 경로 적분의 이러한 대칭성은 루프 순서로 보존되므로 게이지 이론의 재규격화 가능성을 손상시킬 수 있는 반대항의 도입을 방지합니다.몇 년 후 다른 저자들의 연구는 BRST 연산자를 게이지 이론을 양자화할 때 경로 적분에 대한 엄격한 대안의 존재와 관련시켰습니다.

QFT가 저차원 다양체의 토폴로지(위상 양자장 이론)의 문제에 적용하기 위해 섬유 번들 언어로 재구성되었을 때, BRST "변환"이 근본적으로 기하학적이라는 것이 명백해졌습니다.이러한 관점에서, "BRST 양자화"는 이상 징후 제거 유령에 도달하는 대체 방법 이상이 됩니다.유령장이 무엇을 나타내는지, 파디프-포포프 방법이 왜 작동하는지, 섭동적인 프레임워크를 구성하기 위해 해밀턴 역학을 사용하는 것과 어떻게 관련이 있는지에 대한 다른 관점입니다.게이지 불변성과 "BRST 불변성" 사이의 관계는 표준 양자화 형식주의에서 익숙한 규칙에 따라 상태가 "입자"로 구성된 해밀턴 시스템의 선택을 강제합니다.따라서 이 난해한 일관성 조건은 처음부터 물리학에서 양자와 페르미온이 어떻게 발생하는지를 설명하는 것에 매우 가깝습니다.

특정한 경우, 특히 중력과 초중력에서 BRST는 보다 일반적인 형식주의인 바탈린-빌코비스키 형식주의로 대체되어야 합니다.

기술요약

BRST 양자화는 비 아벨 게이지 이론에서 일관되고 이상이 없는 섭동 계산을 수행하기 위한 차등 기하학적 접근 방식입니다.BRST "변환"의 분석 형태와 재규격화 및 이상 취소와의 관련성은 카를로 마리아 베키, 알랭 루에, 레이먼드 스토라가 1976년 "게이지 이론의 재규격화"로 끝이 난 일련의 논문에서 설명했습니다.이와 동등한 변형과 많은 특성들은 이고르 빅토로비치 튜틴에 의해 독립적으로 발견되었습니다.양-밀스 이론의 엄격한 표준 양자화에 대한 중요성과 순간 필드 구성의 Fock 공간에 대한 정확한 적용은 쿠고 타이이치로와 오지마 이즈미에 의해 설명되었습니다.많은 저자들, 특히 토마스 쉬커와 에드워드 위튼의 후기 연구는 BRST 연산자와 관련 분야의 기하학적 중요성을 명확히 하고 위상 양자장 이론과 끈 이론에 대한 중요성을 강조했습니다.

BRST 접근법에서, 현장 이론이 살고 있는 게이지 번들의 미분 기하학을 사용하여 게이지 이론의 작용 원리에 대한 섭동 친화적인 게이지 고정 절차를 선택합니다.그런 다음 게이지 고정 절차에 의해 도입된 "비물리적" 필드가 이론의 점근 상태에 나타나지 않고 게이지 이상을 해결하는 방식으로 상호 작용 그림에서 해밀턴 시스템을 얻기 위해 이론을 양자화합니다.그 결과는 S-매트릭스의 다이슨 시리즈 섭동 확장에 사용하기 위한 파인만 규칙 세트이며, 이는 각 루프 순서에서 단일화되고 재규격화 가능함을 보장합니다. 즉, 산란 실험 결과에 대한 물리적 예측을 위한 일관된 근사 기법입니다.

고전 BRST

이것은 순수 연산자가 적분 유령 숫자로 등급이 매겨지고 BRST 코호몰로지가 있는 초 기호 다양체와 관련이 있습니다.

QFT에서의 게이지 변환

실제적인 관점에서 양자장 이론은 섭동적 계산을 수행하기 위한 일련의 절차와 작용 원리로 구성됩니다.양자장 이론에 대해 쿼크 구속과 점근 자유와 같은 질적 현상에 적합한지를 결정하기 위해 수행할 수 있는 다른 종류의 "제정신 검사"가 있습니다.그러나 양자 전기역학에서 오늘날에 이르기까지 양자장 이론의 예측 성공 대부분은 산란 실험의 결과와 S 행렬 계산을 일치시킴으로써 정량화되었습니다.

QFT의 초기에는 양자화 및 재규격화 처방이 라그랑지안 밀도만큼 모델의 일부라고 말해야 했을 것입니다. 특히 그들이 강력하지만 수학적으로 정의되지 않은 경로 적분 형식주의에 의존했을 때 말입니다.QED는 상대적인 처리 능력이 거의 "마법적"이며, 확장하는 것을 상상할 수 있는 대부분의 방법으로는 합리적인 계산을 할 수 없다는 것이 빠르게 분명해졌습니다.그러나 한 종류의 필드 이론은 여전히 유망했는데, 게이지 이론은 이론에서 물체가 물리적으로 구별할 수 없는 필드 구성의 동등성 클래스를 나타내며, 이 중 두 가지는 게이지 변환에 의해 관련됩니다.이것은 위상의 국소 변화에 대한 QED 아이디어를 더 복잡한 Lie 그룹으로 일반화합니다.

QED 자체는 일반 상대성 이론과 마찬가지로 게이지 이론이지만 후자는 지금까지 재규격화와 관련된 이유로 양자화에 내성이 있는 것으로 입증되었습니다.양-밀스 이론을 시작으로 한 비-아벨 게이지 그룹을 가진 또 다른 게이지 이론은 1960년대 말과 1970년대 초에 루드비히 D의 연구로 인해 양자화에 적합하게 되었습니다. 파디프, 빅터 포포프, 브라이스 드윗, 그리고 제라르두스 후프트.그러나 BRST 방법이 도입되기 전까지는 작업하기가 매우 어려웠습니다.BRST 방법은 "깨지지 않은" 양-밀스 이론과 힉스 메커니즘이 자발적 대칭 깨짐으로 이어지는 이론에서 정확한 결과를 추출하는 데 필요한 계산 기술과 재규격화 가능성 증명을 제공했습니다.양-밀스 시스템의 대표적인 두 종류인 양자 색역학과 전기약 이론은 입자 물리학의 표준 모델에 나타납니다.

반 휴리스틱 계산 체계를 사용하여 정확한 예측을 얻는 것보다 엄격한 의미에서 비 아벨 양자장 이론의 존재를 증명하는 것이 오히려 더 어렵다는 것이 입증되었습니다.이것은 양자장 이론을 분석하기 위해서는 두 가지 수학적으로 연결된 관점이 필요하기 때문입니다: 시공간의 각 지점에서 다른 값을 갖는 장들과 그에 작용하는 국소 연산자들로 구성된 작용 함수에 기초한 라그랑지안 시스템과 디랙 그림의 해밀턴 시스템.주어진 시간에 전체 시스템을 특성화하는 상태와 이에 작용하는 현장 연산자로 구성됩니다.게이지 이론에서 이것을 매우 어렵게 만드는 것은 이론의 대상이 시공간에서 실제 국소장이 아니라는 것입니다. 그것들은 주 게이지 번들의 오른쪽 불변 국소장이고 수동 변환에 의해 관련된 게이지 번들의 일부를 통한 다른 국소 단면은 다른 디랙 그림을 생성합니다.

또한, 필드 집합의 관점에서 시스템 전체를 설명하는 것은 많은 중복된 자유도를 포함합니다. 이론의 별개의 구성은 필드 구성의 동등성 클래스이므로 게이지 변환에 의해 서로 관련된 두 설명 또한 실제로 동일한 물리적 구성입니다.양자화 게이지 이론의 "해"는 시공간의 모든 지점에 값이 있는 필드의 간단한 공간이 아니라 필드 구성의 등가 클래스인 몫 공간(또는 코호몰로지)에 존재합니다.BRST 형식주의에 숨어있는 것은 모든 가능한 활성 게이지 변환과 관련된 변동을 매개 변수화하고 라그랑지안 시스템을 해밀턴 시스템으로 변환하는 동안 물리적 무관성을 정확하게 설명하기 위한 시스템입니다.

게이지 고정 및 섭동 이론

게이지 불변성의 원리는 작동 가능한 양자장 이론을 구성하는 데 필수적입니다.그러나 일반적으로 게이지 이론에서 "게이지를 고정"하지 않고 섭동적인 계산을 수행하는 것은 일반적으로 불가능합니다. 즉, 이러한 "비물리적" 자유도를 억제하기 위해 "게이지 대칭을 깨뜨리는" 작용 원리의 라그랑지안 밀도에 항을 추가합니다.게이지 고정의 개념은 로렌츠 게이지 접근법으로 거슬러 올라가며, 명시적인 로렌츠 불변성을 유지하면서 4전위의 과도한 자유도를 대부분 억제합니다.로렌츠 게이지는 고전적인 전기역학에 대한 맥스웰의 전계 강도 접근법에 비해 매우 단순화된 것이며, 레전드르 변환을 통해 해밀턴 역학으로 전달되기 전에 라그랑지안 단계에서 물체의 표현에서 과도한 자유도를 다루는 것이 유용한 이유를 설명합니다.

해밀턴 밀도는 게이지 번들의 단위 시간과 유사한 수평 벡터 필드에 대한 라그랑지안 밀도의 Li 도함수와 관련이 있습니다.양자 역학적 맥락에서 그것은 일반적으로 인자 $i\hbar$ ℏ {\displaystyle i $i\hbar$ hbar}에 의해 재스케일링됩니다. 단면과 같은 공간에 걸쳐 부분적으로 적분하면 표준 양자화에서 익숙한 적분의 형태를 복구합니다.해밀토니안의 정의는 기저 공간의 단위 시간 벡터장, 다발 공간으로의 수평 리프트, 기저 다양체의 각 점에서 단위 시간 벡터장에 대한 공간적인 면 "정상"(민코프스키 미터법에서)을 포함하기 때문에, 그것은 로렌츠 프레임의 연결과 선택에 모두 의존합니다.그리고 전 세계적으로 정의되는 것과는 거리가 멉니다.그러나 그것은 양자화된 해밀턴이 다이슨 시리즈를 통해 들어가는 양자장 이론의 섭동적인 틀에서 필수적인 요소입니다.

섭동적인 목적을 위해 P의 단면과 같은 전체 3차원 수평 공간에 대한 이론의 모든 분야의 구성을 한 물체(폭 상태)로 모은 다음 상호 작용 그림을 사용하여 시간에 따른 이 상태의 "진화"를 설명합니다.Fock 공간은 ${\mathcal {H}}$ H ${\displaystyle {\mathcal$ { ${\mathcal {H}}_{0}$ $}}$ 의 $\mathcal{H}_0$ H 0 ${\$ 부분의 다중 입자 고유 상태에 의해 확장됩니다 ${\mathcal {H}}$ 따라서 모든 Fock 상태의 순간 설명은 ${\mathcal {H}}_{0}$ ${\mathcal {H}}_{0}$ ${\$ 의 고유 상태의 복소 진폭 가중 합입니다 ${\mathcal {H}}_{0}$ 상호작용 그림에서, 우리는 교란되지 않은 해밀턴의 각 고유 상태가 에너지에 비례하는 일정한 위상 회전 속도를 경험한다고 규정함으로써 서로 다른 시간에 Fock 상태를 연관시킵니다.

따라서 0차 근사치에서 Fock 상태를 특징짓는 가중치의 집합은 시간에 따라 변하지 않지만 해당 필드 구성은 변경됩니다.고에너지 물리학의 충돌기 실험은 이러한 가중치의 변화 속도 측정에 해당합니다(또는 산란 사건의 초기 조건과 최종 조건의 불확실성을 나타내는 분포에 대한 적분).다이슨 시리즈는 ${\mathcal {H}}$ H ${\mathcal {H}}_{0}$ ${\$ 와 실제 ${\mathcal {H}}_{0}$ 해밀턴 ${\mathcal {H}}$ ${\$ 간의 불일치 효과를 결합 상수 g에서 멱급수 형태로 포착합니다. 양자장 이론에서 정량적 예측을 하는 주요 도구입니다.

다이슨 시리즈를 사용하여 무엇이든 계산하려면 게이지 불변 라그랑지안 밀도 이상이 필요합니다. 또한 이론의 파인만 규칙에 포함되는 양자화 및 게이지 고정 처방이 필요합니다.다이슨 시리즈는 특정 QFT의 해밀토니안에 적용될 때 다양한 종류의 무한 적분을 생성합니다.이것은 부분적으로 지금까지 사용 가능한 모든 양자장 이론이 효과적인 장 이론으로 간주되어야 하기 때문이며, 우리가 실험적으로 조사할 수 있는 특정 범위의 에너지 척도에 대한 상호 작용만을 설명하므로 자외선 발산에 취약합니다.이들은 표준 재규격화 기술을 통해 처리할 수 있는 한 견딜 수 있습니다. 무한한 일련의 무한 재규격화를 초래하거나 더 나쁜 경우 취소되지 않은 게이지 이상과 같은 물리적이지 않은 예측을 초래할 때는 그렇게 견딜 수 없습니다.재규격화 가능성과 게이지 불변성 사이에는 깊은 관계가 있으며, 이는 게이지를 고정하여 다루기 쉬운 파인만 규칙을 얻으려는 시도 과정에서 쉽게 손실됩니다.

게이지 고정에 대한 사전 BRST 접근법

연속체 전기역학의 전통적인 게이지 고정 처방은 로렌츠 $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ ∂ μ A $μ$ = 0 ${\displaystyle$ \partial ^{\mu }A_{\mu }= 0}와 같은 제약식을 사용하여 각 게이지 transform 관련 동등성 클래스에서 고유한 대표를 선택합니다.이러한 종류의 처방은 QED와 같은 아벨 게이지 이론에 적용될 수 있지만, 고전 이론의 워드 항등식이 양자 이론으로 전달되는 이유를 설명하는 데 다소 어려움을 초래합니다.내부 세로 편광 가상 광자를 포함하는 파인만 다이어그램이 S-매트릭스 계산에 기여하지 않는 이유.이 접근법은 양-밀스 전기약 이론의 SU(2)xU(1)와 양자 색역학의 SU(3)와 같은 비-아벨 게이지 그룹에도 잘 일반화되지 않습니다.그리보프 모호성과 어떤 의미에서 필드 구성의 물리적으로 중요한 변화에 대해 "직교"인 게이지 고정 제약을 정의하는 어려움을 겪습니다.

보다 정교한 접근 방식은 게이지 변환 자유도에 델타 함수 제약 조건을 적용하지 않습니다.게이지를 구성 공간의 특정 "제약 표면"에 "고정"하는 대신 라그랑지안 밀도에 추가된 비게이지 불변 항을 사용하여 게이지 자유도를 깨뜨릴 수 있습니다.게이지 고정의 성공을 재현하기 위해, 이 항은 원하는 제약 조건에 해당하는 게이지 선택을 위해 최소화되고 제약 조건 표면으로부터 게이지의 편차에 2차적으로 의존하도록 선택됩니다.파인만 경로 적분이 기반이 되는 정지 위상 근사치에 의해 섭동 계산에 대한 지배적인 기여는 제약 표면 근처의 필드 구성에서 나올 것입니다.

함수 양자화 방법을 사용하여 이 라그랑지안과 관련된 섭동적 팽창을 일반적으로 R 게이지라고_ξ 합니다.아벨리안 U(1) 게이지의 경우 표준 양자화 방법에서 얻는 파인만 규칙 집합으로 감소합니다.그러나 중요한 차이가 있습니다. 고장 난 게이지 자유도는 전체 정규화의 추가 요소로 기능 적분에서 나타납니다.이 인자는 게이지 자유도를 따라 섭동의 라그랑지안에 대한 기여가 특정 "물리적" 필드 구성과 독립적일 때만 섭동 확장에서 끌어낼 수 있습니다.이 조건은 비 Abelian 게이지 그룹에 대해 고정하지 못합니다.만약 누군가가 문제를 무시하고 "나이브" 함수 양자화에서 얻은 파인만 규칙을 사용하려고 한다면, 사람은 자신의 계산이 제거할 수 없는 이상을 포함하고 있다는 것을 알게 됩니다.

QCD의 섭동 계산 문제는 파디프-포포프 유령으로 알려진 추가 필드를 도입함으로써 해결되었으며, 이 필드의 게이지 고정 라그랑지안에 대한 기여는 비 아벨 게이지 필드의 "물리적" 섭동과 "비물리적" 섭동의 결합에 의해 도입된 이상을 상쇄합니다.기능적 양자화 관점에서, 필드 구성(게이지 변환)의 "비물리적" 섭동은 모든 (무한한) 섭동의 공간의 하위 공간을 형성합니다. 비-아벨적인 경우, 더 큰 공간에 이 하위 공간의 임베딩은 섭동이 일어나는 주변의 구성에 의존합니다.라그랑지안의 고스트 항은 이 임베딩의 야코비안의 함수 결정자를 나타내며, 고스트 필드의 속성은 나머지 "물리적" 섭동 축에 대한 함수 측정을 수정하기 위해 결정자에 원하는 지수에 의해 지시됩니다.

BRST에 대한 수학적 접근법

게이지 이론의 해밀토니안 역학은 $r$ {\ $displaystyle r}$ 첫 번째 클래스 제약 조건에 의해 설명됩니다. $M$ $공간$ M ${\$ $M_{0}$ $}$ 에 작용하는 $\Phi _{i}$ φ i ${\$ displaystyle $\Phi _{i}$ $M$ Phi _{i}. $M0$ {\ $displaystyle$ M_{0}은 첫 번째 클래스 제약 조건을 만족하는 부분 매니폴드입니다.게이지 대칭의 $M_{0}$ 은 M0 $M_{0}$ {\ $displaystyle$ M_ ${0$ }를 게이지 $M_{0}$ 궤도로 분할합니다.심플렉틱 감소는 게이지 궤도에 의한 $M_{0}$ $M_{0}$ ${\$ 의 몫입니다.

대수기하학에 따르면, 공간 위의 매끄러운 함수들의 집합은 고리입니다.Koszul-Tate 복합체(일반적으로 1등급 제약 조건이 규칙적이지 않음)는 대수 $C^{\infty }(M)$ ∞ (M) {\ $displaystyle$ C $^{\infty$ M)}의 관점에서 심플렉틱 감소와 관련된 대수를 설명합니다.

δ $\delta$ {\displaystyle \delta $}$ 와d {\displaystyle d}의 두 가지 항궤환이 있습니다.The BRST antiderivation $s$ is given by $\delta +d+\mathrm {more}$ . $s$ is also nilpotent. $s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0$

Consider the supercommutative algebra generated by $C^{\infty }(M)$ and Grassman odd generators ${\mathcal {P}}_{i}$ , i.e. the tensor product of a Grassman algebra and $C^{\infty }(M)$ . There is a unique antiderivation $\delta$ satisfying ${\displaysty$ $le$ \ $delta$ ${\mathcal {P}$ _{i} $=-\$ $Phi_$ {i}, $∈$ $C^{\infty }(M_{0})$ f $=$ 0 {\ $displaystyle$ \ $delta$ f $=$ 0} 모든 f $∞$ C ^{\infty}(M). 0번째 호몰로지는 C $∞$ (M 0) {\displaystyle C^{\infty}(M_{0})로 주어집니다.

$M_{0}$ ${\$ 의 세로 방향 벡터 필드는 게이지 궤도의 모든 곳에 접하여 있는 $M_{0}$ $M_{0}$ ${\$ 위의 벡터 필드입니다 $M_{0}$ .두 종방향 벡터 필드의 Lie 브래킷은 그 자체로 또 다른 종방향 벡터 필드입니다.Longitudinal $p$ -forms are dual to the exterior algebra of $p$ -vectors. $d$ is essentially the longitudinal exterior derivative defined by $d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})$ $displaystyle d\omega(V_{0},\ldots,V_{k$ $V_{0},\ldots,{\widehat {V}_{i},\ldots,{\widehat {V}_{j},\ldots,V_{k$ 종방향 외부 도함수의 0번째 코호몰로지는 게이지 불변 함수의 대수입니다.

The BRST construction applies when one has a Hamiltonian action of a compact, connected Lie group $G$ on a phase space $M$ .^[1]^[2] Let ${\mathfrak {g}}$ be the Lie algebra of $G$ (via the Lie group–Lie algebra correspondence) and $0\in {\mathfrak {g}}^{*}$ (the dual of ${\mathfrak {g}})$ a regular value of the momentum map $\Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ . Let $M_{0}=\Phi ^{-1}(0)$ . Assume the $G$ -action on $M_{0}$ is free and proper, and consider the space ${\widetilde {M}$ $G$ {\displaystyle G}의 $=$ M_{0}/ $}$ - M 0 {\displaystyle M_{0}에 $orbits$ , 심플렉틱 감소계수 M ~ $=$ M / / G {\displaystyle {\widetilde {M} $=$ M / G}

먼저, $M$ $M$ 안에 $M_{0}$ M $M_{0}$ ${\$ 을 정의하는 함수의 정규열을 이용하여 Koszul complex를 구성합니다 $M$

\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty}(M)

The differential, $\delta$ , on this complex is an odd $C^{\infty }(M)$ -linear derivation (differential algebra) of the graded $C^{\infty }(M)$ -algebra $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$ .이 기묘한 유도는 리 대수 동형 사상 ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ → ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ ∞ ( $M$ ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}\$ displaystyle {\mathfrak {g}\infty}(M)을 해밀턴 작용의 C $^{\infty}($ M)로 확장하여 정의됩니다.The resulting Koszul complex is the Koszul complex of the $S({\mathfrak {g}})$ -module $C^{\infty }(M)$ , where $S({\mathfrak {g}})$ is the symmetric algebra of ${\mathfrak {g}}$ , and the module structure comes from a ring homomorphism ${\displ$ $해밀턴$ 작용 ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ $→$ ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ $∞$ ( M ) ${\$ $displaystyle$ {\ $mathfrak$ { $g}}\$ $to$ C $^{\$ infty}(M $)$ {\displaystyle {\ $mathfrak$ { $g}\to$ C $^{\infty$ M).

이 코술 복소수는 $S({\mathfrak {g}})$ ( $)$ {\ $displaystyle$ S $({\mathfrak {g}})}$ -모듈 $C^{\infty }(M_{0})$ ∞ $C^{\infty }(M_{0})$ (M 0) {\ $displaystyle$ $^{\infty$ M_{0})}의 해상도, 즉,

H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},\delta )={\begin{case}C^{\infty}(M_{0})&j=0\0\0&j\neq 0\end{case}

그런 다음, Coszul 복소수 $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$ λ $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$ ∙ g ⊗ C ∞(M) {\ $displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak$ {g}}\otimes C^{\infty}(M)를 Li $대수$ g ${\mathfrak {g}}$ {\displaystyle {\mathfrak {g}에 $대한$ 차등 ${\mathfrak {g}}$ 모듈로 간주하는 체발리-아일렌베르크 복소수를 생각해 보십시오.

{\displaystyle K^{\bullet,\bullet }=C^{\bullet}},\Lambda ^{\mathfrak {g}},\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\mathfrak {g}(M)\otimes \Lambda ^{\mathfrak {g}(*)\otimes C^{\infty }(M).

"horizon $tal$ " $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ d $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ ∙ → $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ Ki $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ + 1, ∙ ${\displaystyle$ d $:K^{i,\bullet$ }\toK $^{$ i+1,\bullet }}는 계수에 정의됩니다.

\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty}(M)

by the action of ${\mathfrak {g}}$ and on $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}$ as the exterior derivative of right-invariant differential forms on the Lie group $G$ , whose Lie algebra is ${\mathfrak {g}}$ .

토트(K)를 다음과 같이 복소수라고 하자.

\operatorname {Tot}(K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}

D = d + δ의 차동 장치.(Tot(K), D)의 코호몰로지 그룹은 이중 복합체 $(K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )$ ∙ $,$ ∙ $,$ d, δ) ${\displaystyle (K$ ^{\bullet $(K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )$ },\bullet }, d,\delta )}와 관련된 스펙트럼 시퀀스를 사용하여 계산됩니다.

스펙트럼 시퀀스의 첫 번째 항은 "수직" 미분 $\delta$ δ {\displaystyle $\delta$ \delta $\delta$ 의 코호몰로지를 계산합니다.

E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})

H^{j}(K^{i,\bullet },\delta

)

=

\Lambda

E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})

^{i}{\mathfrak {g}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}, 만약 j

=

0이면.

스펙트럼 시퀀스의 첫 번째 항은 수직 미분 형태의 복합체로 해석될 수 있습니다.

{\displaystyle(\Omega^{\bullet}}{\operatorname {vert}}(M_{0}), d_{\operatorname {vert}})}

섬유 번들 $M_{0}\to {\widetilde {M}}$ → $M_{0}\to {\widetilde {M}}$ ~ {\ $displaystyle$ $M_{0}\to {\widetilde {M}}$ 에 대해 입력합니다 $M_{0}\to {\widetilde {M}}$

스펙트럼 시퀀스의 두 번째 항은 $E1$ ∙, ∙ {\ $displaystyle$ E_{ $1}^{\$ bullet $E_{1}^{\bullet ,\bullet }$ bullet}}에 대한 "수평" $미분$ {\ $displaystyle$ d $}$ 의 코호몰로지를 계산합니다.

E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})

C^{\infty }(M_

{0

})^{g

}

=C^{\

infty }({\widetilde

i=j=0

{M})}, i

=

j

=

0 {\displaystyle i

=

j

=

0}이면 0입니다.

스펙트럼 수열은 두 번째 항에서 붕괴되며, $E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}$ E $E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}$ ∞ i, $E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}$ = $E$ 2 i, j {\displaystyle E_{\infty}^{i,j}=E_{2}^{i,j}, 즉 0도에 집중됩니다.

그러므로,

C

p

=

0이면

=

C

^{\infty }(

M_

{0

})^{g}

=

C^{\infty }({\widetilde {M})}.

BRST 연산자와 점근적 Fock 공간

BRST 운영자에 대한 두 가지 중요한 발언이 예정되어 있습니다.첫째, 게이지 그룹 G로 작업하는 대신 필드(위상 공간의 함수)에서 ${\mathfrak {g}}$ 게이지 대수 g ${\$ 의 동작만 사용할 수 있습니다.

둘째, 로컬 게이지 변환 λ에 대한 "BRST 정확한 형태" sX의 변화는

\left[i_{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X=i_{\delta \lambda }(s_{B}X)+s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)=s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right),

그 자체가 정확한 형태입니다.

(섬유 다발이 아니라 국소 단면에서 수행됨) 해밀턴 섭동 형식주의에서 더 중요한 것은, 게이지 불변 라그랑지안 밀도에 BRST 정확한 항을 추가하는 것입니다. 앞으로 보게 되겠지만, 이것은 [ $[Q_{B},{\mathcal {H}}]=0$ $[Q_{B},{\mathcal {H}}]=0$ $[Q_{B},{\mathcal {H}}]=0$ = $[Q_{B},{\mathcal {H}}]=0$ ${\displaystyl$ 이 되는 상태 공간에 관련 연산자 Q가 있음을 암시합니다. $e [Q_{B},{\mathcal {$ H}}] $=0$ 즉, Fock 상태의 BRST 연산자는 해밀턴 시스템의 보존된 전하입니다.이는 다이슨 시리즈 계산에서 시간 진화 연산자가 $Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0$ ψ i = 0 ${\displaystyle Q_{B$ } \Psi _{i $}\rangle$ =0}을(를) 준수하는 필드 구성을 QB ψ f ⟩ ≠ 0 {\displaystyle Q_{B} \Psi _{f}\rangle \neq 0}(또는 그 반대)을 사용하는 최신 구성으로 진화하지 않음을 의미합니다.

BRST 연산자의 영점을 보는 또 다른 방법은 이미지(BRST 정확한 형태의 공간)가 커널(BRST 닫힌 형태의 공간) 내에 완전히 있다고 말하는 것입니다.(국소 게이지 변환에서 불변으로 추정되는 "진정한" 라그랑지안은 BRST 연산자의 커널에 있지만 이미지에는 없습니다.)앞의 주장은 초기 조건과 최종 조건의 우주를 Q의_B 커널에 있으면서도 단일 산란 행렬을 얻는 점근적 "상태"(라그랑지안 상호작용이 "꺼지는" 무한대와 같은 시간의 장 구성)로 제한할 수 있다고 말합니다. (BRST 닫힌 상태 및 정확한 상태는 BRST 닫힌 상태 a와 유사하게 정의됩니다.nd 정확한 필드; 닫힌 상태는 Q에_B 의해 소멸되는 반면, 정확한 상태는 Q를_B 임의의 필드 구성에 적용하여 얻을 수 있는 상태입니다.)

우리는 이론의 점근 상태를 정의할 때 Q의_B 이미지 안에 있는 상태도 억제할 수 있지만, 추론은 좀 더 미묘합니다.우리 이론의 "진정한" 라그랑지안이 게이지 불변이라고 가정했기 때문에, 해밀턴 시스템의 진정한 "상태"는 국소 게이지 변환 하에서 등가 클래스입니다. 즉, BRST 정확한 상태에 의해서만 다른 해밀턴 그림의 두 개의 초기 또는 최종 상태는 물리적으로 동등합니다.그러나 BRST 정확한 게이지 파괴 처방을 사용한다고 해서 상호작용 해밀턴이 정확한 구성 공간에 대해 "직교"라고 부를 수 있는 닫힌 필드 구성의 특정 하위 공간을 보존하지는 않습니다.(이는 QFT 교재에서 종종 잘못 다루어지는 중요한 점입니다.동작 원리에 내장된 필드 구성에 우선적인 내부 생성물은 없습니다. 해밀턴 섭동 장치의 일부로 그러한 내부 생성물을 구성합니다.)

따라서 우리는 해밀턴 섭동에 적합한 중간 상태의 Fock 공간으로 변환하려는 의도로 특정 시간에 BRST 닫힌 구성의 벡터 공간에 초점을 맞춥니다.이를 위해, 우리는 적합한 (반) 정류 규칙과 양의 반정정형 내부 제품을 완성하는 각 분야의 에너지 운동량 고유 구성(입자)에 대한 사다리 연산자에게 그것을 기부할 것입니다.우리는 내부 생성물이 방해받지 않은 해밀턴의 BRST 정확한 고유 상태에 해당하는 방향을 따라 독점적으로 단일해야 합니다.이를 통해 (깨지지 않은) 자유장 해밀턴의 특정 초기 및 최종 고유 상태에 해당하는 점근장 구성의 두 동등성 클래스 내에서 우리가 좋아하는 BRST 닫힌 Fock 상태 쌍을 자유롭게 선택할 수 있습니다.

원하는 양자화 처방은 또한 (정확한 상태로만 다른) 중간 상태의 각 BRST 닫힌 등가 클래스가 BRST 정확한 필드의 양자를 포함하지 않는 정확히 하나의 상태로 표시되는 BRST 코호몰로지와 동일한 몫의 Fock 공간을 제공할 것입니다.이것은 이론의 점근적 상태를 위해 우리가 원하는 Fock 공간입니다; 비록 우리가 일반적으로 게이지 고정 라그랑지안 역학이 그러한 초기 구성을 진화시켰을 특별한 최종 필드 구성을 선택하는 데 성공하지 못할지라도,BRST 정확한 자유도를 따라 내부 제품의 특이점은 물리적 산란 행렬에 대한 올바른 입력을 보장합니다.

(실제로, 우리는 아마도 시간 역전 연산자가 로렌츠 불변 및 양의 반정형 내부 생성물과 관련된 "근본 대칭"의 역할을 하는 BRST 폐쇄 중간 포크 상태에 대한 크레인 공간을 구성해야 합니다.점근 상태 공간은 아마도 이 크레인 공간에서 BRST 정확한 상태를 몫으로 하여 얻은 힐베르트 공간일 것입니다.)

요약하면, BRST 게이지 고정 절차의 일부로 도입된 필드는 게이지 고정 이론의 점근 상태에서 나타나지 않습니다.그러나 이것은 섭동적 계산의 중간 상태에서 이러한 "비물리적" 필드 없이 할 수 있다는 것을 의미하지는 않습니다!상호작용 그림에서 섭동적 계산이 이루어지기 때문입니다.이들은 상호작용 해밀턴 H ${\mathcal {H}}_{0}$ ${\$ {0 $}$ 의 초기 및 최종 상태를 암시적으로 포함하며 ${\mathcal {H}}_{0}$ 상호작용 해밀턴 (게이지 커플링)을 "켜서" 단열 정리에 따라 전체 해밀턴의 상태로 점진적으로 변환됩니다.파인만 도표의 관점에서 다이슨 시리즈의 확장은 "물리적" 입자(자유 해밀턴의 점근 상태에서 나타날 수 있는 것들)를 "비물리적" 입자(s의_B 커널 밖에 또는 s의_B 이미지 안에 사는 필드의 상태)에 연결하는 정점과 "비물리적" 입자를 하나에 연결하는 정점을 포함할 것입니다.다른.

통일성 질문에 대한 쿠고-오지마의 답변

T. 쿠고와 나.오지마는 QCD 색상 제한 기준을 발견한 것으로 일반적으로 인정받고 있습니다.라그랑지안 프레임워크에서 BRST 형식주의의 정확한 버전을 얻는 데 있어서 그들의 역할은 덜 인정받는 것 같습니다.새로 도입된 분야의 에르미트적 특성을 강조하는 BRST 변환의 변형을 완전히 기하학적 각도에서 진행하기 전에 검사하는 것은 계몽적입니다.게이지 고정 라그랑지안 밀도는 아래와 같습니다. 괄호 안의 두 항은 게이지와 고스트 섹터 사이의 연결을 형성하며, 마지막 항은 보조 필드 B의 기능 측정에 대한 가우스 가중치가 됩니다.

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}_{\textrm {matter}}(\psi,\,A_{\mu}^{a})-{\tfrac {1}{4}}^{a}^{a,\,\mu \nu}-(i(\partial ^{\mu }{\bar {c}}^{a})D_{\mu}^{ab}c^{b}+(\부분^{\mu}B^{a})A_{\mu}^{a})+{\tfrac {1}{2}}\alpha_{0}B^{a}B^{a}

파디브-포포프 유령 필드 c는 BRST 절차의 공식 요구 사항을 넘어서는 기하학적 의미를 갖는다는 점에서 게이지 고정 이론의 새로운 분야 중 유일합니다.이는 $V{\mathfrak {E}}$ $V{\mathfrak {E}}$ ${\displaystyle$ V ${\mathfrak {E}}$ 의 Maurer-Cartan 형식 버전으로 $V{\mathfrak {E}}$ 각 우변 수직 벡터 필드 $\delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}$ δ λ ∈ $\delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}$ V {\ $displaystyle$ \lambda \in V ${\$ $mathfrak$ {E}}를 g {\displaystyle {\mathfrak {g} - 값 필드로 표현(최대 위상)에 연결합니다.이 필드는 게이지 그룹의 사소한 표현을 전달하는 물체(페르미온 ψ, 게이지 보손 A, 고스트 c 자체 등)에 대한 무한소 게이지 변환 공식에 입력해야 합니다.따라서 δλ에 대한 BRST 변환은 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu}&=\delta \lambda D_{\mu}c\\\delta c&=-\delta \lambda {\tfrac {g}{2}}[c,c]\\\delta {\bar {c}&=i\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}

여기서 우리는 물질 부문 ψ의 세부 사항을 생략하고 그것에 대한 Ward 연산자의 형태를 명시하지 않은 채로 두었습니다. 물질 분야에 대한 게이지 대수의 표현이 δA와의 결합과 일치하는 한 이것들은 중요하지 않습니다.우리가 추가한 다른 분야의 속성은 기하학적이라기 보다는 근본적으로 분석적입니다.∂ $μ$ $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ μ = $0$ {\displaystyle \ partial $^{\mu$ }A_{\mu }= 0}와의 연결을 위해 도입한 편향은 게이지 의존적이며 특별한 기하학적 중요성이 없습니다. $\delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B$ ghost c ${\bar {c}}$ ¯ {\ $displaystyle$ {\bar {c}}는 게이지 고정 항에 대한 라그랑주 승수에 불과하며, 스칼라 필드 B의 속성은 $\delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B$ 으로 관계 $\delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B$ δ c ¯ = i δ λ B {\displaystyle \delta {\bar {c}=i\delta B}에 의해 결정됩니다. (새로운 필드는 모두 쿠고-오지마 규약에서 에르미트입니다.그러나 매개 변수 δλ는 반 헤르미티안 "반통근 c-number"입니다.따라서 위상과 관련하여 불필요한 어색함이 발생하고 연산자를 통해 무한히 작은 매개 변수를 전달합니다. 아래의 기하학적 처리에서 규칙을 변경하면 해결됩니다.)

우리는 이미 BRST 연산자와 외부 도함수 및 파디프-포포프 고스트와 마우러-카르탄 형식의 관계에서 고스트 c가 (상까지) $V{\mathfrak {E}}$ E ${\displaystyle$ V {\ $mathfrak$ { $g$ $}}$ 에서 g {\mathfrak {g} ${\mathfrak {g}}$ 1-형식에 해당한다는 것을 알고 있습니다 $V{\mathfrak {E}}$ $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$ ( $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$ ∂ $μc$ ¯ ) D $μc {\displaystyle -i (\partial^{\$ mu}}{\bar {c}})와 같은 항을 적분하기 위해 사용합니다. $D_{\mu }c}$ 가 의미를 가지려면, 반유령 $c$ $¯$ {\ $displaystyle {\$ bar { $c$ }}}은(는) 이 두 개의 리 대수( $V{\mathfrak {E}}$ $VE {\displaystyle$ V ${\mathfrak$ {E}})와 ${\mathfrak {g}}$ 대수 g ${\displaystyle {\mathfrak$ {g ${\mathfrak {g}}$ 의 표현을 유령이 전달하는 것과 이중으로 전달해야 합니다.In geometric terms, ${\bar {c}}$ must be fiberwise dual to ${\mathfrak {g}}$ and one rank short of being a top form on $V{\mathfrak {E}}$ . Likewise, the auxiliary field B must carry the same representation of ${\mathfrak {g}}$ (up to a phase) as ${\bar {c}}$ ,뿐만_μ 아니라, A의 사소한 표현에 이중인 $V{\mathfrak {E}}$ V $E {\$ V ${\mathfrak {E}}$ 의 표현, 즉, B는 V $V{\mathfrak {E}}$ ${\$ $mathfrak {g}}$ 의 섬유형 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\$ displaystyle {\mathfrak {E {\displaystyle V $mathfrak {E}}.$

단열적으로 분리된 한계 g → 0에서 이론의 하나의 particle 상태에 간단히 초점을 맞추겠습니다.게이지 고정 해밀턴의 Fock 공간에는 BRST 연산자의 커널 밖에 완전히 놓여 있을 것으로 예상되는 두 종류의 양자가 있습니다. Faddeev-Popov 안티 고스트 $c$ ¯ ${\$ bar {c}}와 전방 편광 게이지 보손입니다. ${\bar {c}}$ 은 $c$ ¯ {\ $displaystyle$ {\bar {c}}를 포함하는 필드의 조합이 s에 의해 소멸되지 않기 때문이며, 우리는 라그랑지안에 다음과 같은 발산과 같은 게이지 파괴항을 추가했습니다.

s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial^{\mu}A_{\mu}}-{\tfrac {1}{2}}\alpha_{0}s_{B}{\bar {c}}\right)\right).

마찬가지로, BRST 연산자의 이미지에 완전히 놓이게 되는 양자는 파디프-포포프 유령 c와 역편광 게이지 보손이 되기 위해 함수 적분에서 제곱을 완성함으로써 "먹히는" 스칼라 필드 B의 두 종류가 있습니다.이것들은 우리가 양자화 규칙을 올바르게 이해한다면 섭동 계산의 점근 상태에서 나타나지 않을 네 가지 유형의 "비물리적" 양자입니다.

반유령은 $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$ ( $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$ ∂ $μc$ ¯ ) D $μc$ {\ $displaystyle -i (\partial$ ^{\mu }{\bar {c}})에서 푸앵카레 불변성을 위해 로렌츠 스칼라로 결정됩니다. $D_{\mu}c$ 그러나 c에 대한 (반)환전법칙, 즉 양자화 처방,스핀-0 입자에 페르미-디랙 통계를 제공함으로써 스핀-통계 정리를 무시하는 것은 점근 상태의 Fock 공간에 있는 내부 생성물이 비 BRST 폐쇄 및 BRST 정확장의 일부 조합의 상승 및 하강 연산자에 해당하는 방향을 따라 단일하다는 요구에 의해 주어질 것입니다.이 마지막 진술은 단순한 "BRST 대칭" 또는 "BRST 변환"과는 달리 "BRST 양자화"의 핵심입니다.

(점근적 Fock 공간의 Kugo-Ojima 처리를 참조하여 BRST 코호몰로지 언어로 완료해야 합니다.)

게이지 번들과 수직 이상형

BRST 방법 정의를 수행하기 위해서는 양자장 이론 텍스트의 전형적인 "민코프스키 공간 상의 대수 값 필드" 그림에서 섬유 다발의 언어로 전환해야 합니다.게이지 변환을 바라보는 두 가지 상당히 다른 방법이 있습니다. 국소 단면의 변화(일반 상대성 이론에서도 수동 변환으로 알려져 있음) 또는 주 번들의 수직 미분 동형을 따라 필드 구성의 풀백입니다.BRST 방법에 들어가는 게이지 변환의 후자 유형입니다.수동 변환과 달리 임의의 다양체 위에 구조 그룹이 있는 주 번들에서 전역적으로 잘 정의됩니다.(그러나 기존 QFT와의 구체성 및 관련성을 위해 이 글은 4차원 민코프스키 공간 위에 콤팩트 섬유를 가진 주 게이지 번들의 경우를 고수할 것입니다.)

4 매니폴드 M 위의 주 게이지 번들 P는 U × F와 국소적으로 동형이며, 여기서 U ⊂ R과 섬유 F는 필드 이론의 게이지 군인 리 군 G와 동형입니다(이는 군 구조가 아닌 다양체 구조의 동형이다; P에는 G의 1에 해당하는 특별한 표면이 없으므로 섬유 F라고 하는 것이 더 적절합니다.는 G-torsor)입니다.따라서, (물리적) 주 게이지 번들은 (수학적) 주 G-번들과 관련이 있지만 더 많은 구조를 가지고 있습니다.섬유 다발로서 그것의 가장 기본적인 성질은 "기저공간으로의 투영" π이다: P → M. P 위의 "vertical" 방향들(M의 각 점 p 위에 있는 섬유 π(p) 안에 있는 방향들)을 정의하는 그것은 게이지 다발로서 섬유 구조를 존중하는 P 위의 G의 왼쪽 작용을 갖습니다.그리고 주 묶음으로서 그것은 또한 섬유 구조를 존중하고 왼쪽 작용과 통근하는 P의 오른쪽 작용을 가지고 있습니다.

P에 대한 구조 그룹 G의 왼쪽 작용은 개별 섬유 상의 좌표계의 단순한 변화에 해당합니다.고정 g G에 대한 (글로벌) 오른쪽 작용 R : P → P는 각 섬유의 실제 자기 변형에 해당하므로 P를 자신에게 지도로 만듭니다.P가 주 G 묶음으로 자격을 갖추기 위해서는 각 G의 전역 우 작용이 g에 매끄러운 의존성을 갖는 P의 다양체 구조, 즉 미분 동형 P × G → P에 대한 자기동형이어야 합니다.

구조 그룹의 글로벌 오른쪽 작용의 존재는 G의 모든 값에 대해 R을_g 따라 뒤로 당겨질 때 변하지 않는 P의 오른쪽 불변 기하학적 객체의 특별한 클래스를 선택합니다.주 번들에서 가장 중요한 오른쪽 불변 객체는 P에 대한 무한소 미분 동형 사상의 리 대수의 ${\mathfrak {E}}$ ${\mathfrak {E}}$ 인 E ${\$ 를 이루는 오른쪽 불변 벡터 필드입니다.오른쪽 불변이고 수직인 P 위의 벡터 필드는 E ${\$ 의 $V\mathfrak{E}$ 이상적인 $V{\mathfrak {E}}$ E ${\$ V ${\$ mathfrak { $E}}$ 를 형성하며 ${\mathfrak {E}}$ 이는 게이지 그룹 G의 Li ${\mathfrak {g}}$ 대수 g ${\$ 와 개별 G-토르 또는 섬유 F에 대한 관계와 유사합니다.

관심있는 "필드 이론"은 주 게이지 번들 P에 정의된 "필드"(다양한 벡터 공간으로의 매끄러운 맵)의 집합으로 정의됩니다.다른 장들은 게이지 그룹 G와 푸앵카레 그룹과 같은 다양체의 다른 대칭 그룹의 다른 표현을 포함합니다.이들 필드의 국소 다항식의 공간 PL과 그 도함수를 정의할 수 있습니다.이론의 근본적인 라그랑지안 밀도는 깨지지 않은 비 게이지 대칭 그룹 하에서 실제 값이고 불변인 다항식의 부분 공간 PL에₀ 있는 것으로 추정됩니다.또한 게이지 그룹의 왼쪽 작용(수동 좌표 변환)과 전역 오른쪽 작용 하에서뿐만 아니라 로컬 게이지 변환 하에서도 불변인 것으로 추정됩니다. 오른쪽 불변 수직 벡터 필드 $\epsilon \in V{\mathfrak {E}}$ ϵ ∈ V E {\ $displaystyle$ \epsil $\in$ V $mathfrak {E}}$ 에.

다양체 P의 벡터 필드의 특정 부분 공간으로 국소 게이지 변환을 식별하면 무한 차원 무한 최솟값, 즉 미분 기하학과 외부 미적분학을 처리하기 위한 더 나은 프레임워크를 갖추게 됩니다.무한소 자기동형을 따라 풀백할 때 스칼라장의 변화는 리 도함수에서 포착되며, 벡터장의 축척에 선형인 항만 유지하는 개념은 내부 도함수와 외부 도함수로 분리하여 구현됩니다. (이러한 맥락에서, "형태"와 외부 미적분학은 배타를 참조합니다.기본 매니폴드의 (그리스) 텐서 인덱스 또는 (게이지 대수의 (로마) 행렬 인덱스로 표현된 자유도가 아니라 게이지 번들의 벡터 필드에 이중인 자유도로.)

다양체 위의 리 도함수는 부분 도함수가 그렇지 않은 방식으로 세계적으로 잘 정의된 연산입니다.P의 자명하지 않은 다양체 구조에 대한 클레어라우트 정리의 적절한 일반화는 벡터장의 리 브래킷과 외부 도함수의 영점에 의해 주어집니다.그리고 우리는 계산을 위한 필수적인 도구를 얻습니다. 일반화된 스톡스 정리. 적분과 적분이 열린 경계가 있는 방향으로 충분히 빠르게 떨어지는 한 부분별로 적분하고 표면항을 떨어뜨릴 수 있게 해줍니다. (이것은 사소한 가정이 아닙니다.그러나 표면 항을 게이지 불변으로 만들 수 있는 한 치수 정규화와 같은 재규격화 기술로 처리할 수 있습니다.)

BRST 형식주의

이론물리학에서 BRST 형식주의는 1등급 제약을 구현하는 방법입니다.BRST는 Becchi, Rouet, Stora 및 (독립적으로)를 나타냅니다.이 형식주의를 발견한 튜틴.게이지 불변성을 갖는 양자 물리 이론을 다루는 정교한 방법입니다.예를 들어, BRST 방법은 종종 게이지 이론과 양자화된 일반 상대성 이론에 적용됩니다.

양자 버전

상태 공간은 힐베르트 공간이 아닙니다(아래 참조).이 벡터 공간은 Z 등급과₂ R 등급 모두입니다.원한다면 Z₂ × R 등급 벡터 공간이라고 생각해도 좋습니다.이전 등급은 짝수 또는 홀수일 수 있는 패리티입니다.후자의 등급은 고스트 번호입니다.고전적인 경우와 달리, 우리는 비적분 유령수를 가질 수 있기 때문에, 그것은 R이고 Z가 아니라는 것에 유의하세요.이 공간에 작용하는 연산자도 명백한 방식으로 Z₂ × R 등급을 받습니다.특히 Q는 홀수이고 유령수가 1입니다.

H를_n 유령 번호 n을 가진 모든 상태의 부분 공간이라 합니다.그러면, Q는 H맵 H에서 H로 제한됩니다. Q = 0이기 때문에, 우리는 코호몰로지를 설명하는 코체인 복합체를 가지고 있습니다.

물리적 상태는 연산자 Q의 코호몰로지 요소, 즉 Ker(Q_n+1)/Im(Q_n)의 벡터로 식별됩니다.BRST 이론은 실제로 리 대수 코호몰로지의 표준 해상도와 연결되어 있습니다.

상태 공간은 Z 등급임을₂ 기억합니다.A가 순수 등급 연산자인 경우, BRST 변환은 A를 [Q, A]에 매핑하고, 여기서 [, ]는 슈퍼커뮤터입니다.BRST 불변 연산자는 [Q, A] = 0인 연산자입니다. 연산자는 또한 고스트 번호로 등급이 매겨지기 때문에, [Q, [Q, A)] = 0이기 때문에 이러한 BRST 변환은 또한 연산자에 대한 코호몰로지를 형성합니다.

BRST 형식주의가 파디프-포포프 게이지 고정보다 더 일반적이지만, 이로부터 파생된 특별한 경우 BRST 연산자는 대칭을 게이지 고정하는 제약 조건과 관련된 올바른 야코비안을 얻는 데 유용합니다.

BRST 연산자는 초대칭입니다.0차원 짝수 부분과 Q에 의해 스패닝된 1차원 홀수 부분을 갖는 Li 초대수를 생성합니다. [Q, Q] = {Q, Q} = 0 여기서 [, )는 Li 초대수(즉, Q = 0)입니다.이것은 Q가 유도 방지 역할을 한다는 것을 의미합니다.

Q는 에르미트이고 그 제곱은 0이지만 Q 자체는 0이 아니기 때문에, 이것은 코호몰로지 감소 이전의 모든 상태들의 벡터 공간이 부정적인 표준을 가지고 있다는 것을 의미합니다!이것은 그것이 힐베르트 공간이 아니라는 것을 의미합니다.

1등급 제약으로 설명할 수 없는 보다 일반적인 흐름에 대해서는 바탈린-빌코비스키 형식주의를 참조하십시오.

예

양자 연결 형태가 A인 게이지 이론의 특별한 경우(주요 G-번들의 섹션들에 의해 설명되는 일반적인 종류의), BRS 전하(때로는 BRS 전하)는 일반적으로 Q로 표시되는 연산자입니다.

${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}$ - 값 게이지 고정 조건을 $G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu }$ = $G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu }$ ξ ∂ $G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu }$ μ A μ {\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu}A_{\mu}}라 하고, 여기서 ξ는 게이지를 결정하는 양수입니다.다른 가능한 게이지 고정 장치가 많이 있지만 여기서는 다루지 않습니다.필드는 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ - 값 연결 ${\mathfrak {g}}$ 형태 A, g ${\$ - 값 스칼라 ${\mathfrak {g}}$ 필드이며, 페르미온 통계가 있는 ${\mathfrak {g}}$ 와 c 및 보손 통계가 있는 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ - 값 ${\mathfrak {g}}$ 스칼라 필드입니다. c는 게이지 변환을 다루는 반면 b와 B는 게이지 고정 장치를 다룹니다.그리보프 모호성으로 인해 게이지 고정과 관련된 몇 가지 미묘함이 있지만 여기서는 다루지 않습니다.

{\displaystyleQA=Dc}

여기서 D는 공변 도함수입니다.

Qc={\tfrac {i}{2}}[c,c]_{L

여기서 [, ]_L는 Lie 브래킷입니다.

QB=0

Qb=B

Q는 안티데비에이션(antideration.

BRST 라그랑지안 밀도

{\mathcal {L}=-{\frac {1}{4g^{2}}\operatorname {Tr}[F^{\mu \nu}}+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr}[BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr}[BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr}[\partial ^{\mu}bD_{\mu}c]

라그랑지안 밀도는 BRST 불변이 아니지만, 모든 시공간에 걸친 적분인 작용은 다음과 같습니다.

연산자 Q는 다음과 같이 정의됩니다.

Q=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)

여기서 $c^{i},b_{i}$ $c^{i},b_{i}$ ${\$ 는 각각 Faddeev-Popov 유령 및 안티고스트(음의 유령 번호를 가진 필드)이고 $c^{i},b_{i}$ , L은_i Lie 그룹의 무한소 생성자이며, $f_{ij}{}^{k}$ ${\$ 는 구조 상수입니다 $f_{ij}{}^{k}$ .

참고 항목

참고문헌

인용문

^ 그림-오패릴 & 키무라 1991, pp. 209-229
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교과서적 처치

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M. 괴켈러와 T.의 12장.슈커(ISBN 0-521-37821-4 또는 ISBN 0-521-32960-4)는 BRST 형식주의와 게이지 번들의 기하학 사이의 관계를 논의합니다.이는 슈커의 1987년 논문과 상당히 유사합니다.

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일차문학

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쿠고-오지마의 더 접근하기 쉬운 버전은 다음을 시작으로 하는 일련의 문서에서 온라인으로 이용할 수 있습니다.Kugo, T.; Ojima, I. (1978-12-01). "Manifestly Covariant Canonical Formulation of the Yang-Mills Field Theories. I: -- General Formalism --". Progress of Theoretical Physics. Oxford University Press (OUP). 60 (6): 1869–1889. doi:10.1143/ptp.60.1869. ISSN 0033-068X. 이것은 기하학적 언어가 아닌 양자 역학적 언어로 BRST 양자화를 위한 최적의 단일 참조일 것입니다.
위상 불변량과 BRST 연산자 사이의 관계에 대한 많은 통찰력은 다음: E에서 찾을 수 있습니다.위튼, "위태학적 양자장이론", 코뮌.수학. 물리학 117, 3 (1988), 페이지 353–386

대안적 관점

BRST 시스템은 S. S. Horuzhy와 A에서 운영자 이론 관점에서 간략하게 분석됩니다.V. 보로닌, "BRST 이론의 수학적 구조에 관한 발언", Comm.수학. 물리학 123, 4 (1989) 페이지 677-685
BRST 방법에 대한 측정 이론적 관점은 Carlo Becki의 1996년 강의 노트에서 찾을 수 있습니다.

외부 링크

arxiv.org 의 Brst 코호몰로지

[1] 그림-오패릴 & 키무라 1991, pp. 209-229

[2] Kostant & Sternberg 1987, 페이지 49-113

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