코스줄 콤플렉스

수학에서 코즐 콤플렉스는 장루이 코즐에 의해 리알헤브라의 코호몰로지 이론을 정의하기 위해 처음 도입되었다(리히 대수 코호몰로지 참조).그것은 호몰로지 대수학에서 유용한 일반적인 건축물로 판명되었다.도구로서 그것의 호몰로지(homology)는 (로컬) 링의 원소 집합이 M-정기서열일 때를 알려주는 데 사용될 수 있으며, 따라서 Krull 차원의 기하학적 개념과는 관련이 있지만 다른 차원의 대수적 개념인 모듈이나 이상에 관한 기본적인 사실들을 증명하는 데 사용될 수 있다.더구나 어떤 상황에서는 콤플렉스가 시지지의 콤플렉스, 즉 모듈의 발전기간의 관계, 이러한 관계들의 관계 등을 알려준다.

정의

R을 정류 링으로 하고 E는 R에 대한 유한 등급의 자유 모듈로 한다.우리는 E의 i번째 외부 파워를 위해 $\bigwedge ^{i}E$ $\bigwedge ^{i}E$ $\bigwedge ^{i}E$ $\bigwedge ^{i}E$ 라고 쓴다.그런 다음 $s\colon E\to R$ R-선형 $s\colon E\to R$ s : $s\colon E\to R$ → $s\colon E\to R$ ${\displaystyle$ s\ $colon E\to$ R $}$ 에 따라 $s\colon E\to R$ s와 연관된 Koszul 콤플렉스는 R-modules의 체인 콤플렉스다.

K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0

,

여기서 $d_{k}$ d $d_{k}$ ${\$ 는 E의 모든 $e_{i}$ $e_{i}$ i ${\$ 에 대해 다음과 같이 차등 d k를 제공한다.

d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}

.

위첨자 ${\widehat {\cdot }}$ ${\widehat {\cdot }}$ ${\$ 은 용어가 생략되었음을 ${\widehat {\cdot }}$ 의미한다. $d_{k}\circ d_{k+1}=0$ $d_{k}\circ d_{k+1}=0$ $d_{k}\circ d_{k+1}=0$ $d_{k}\circ d_{k+1}=0$ $d_{k}\circ d_{k+1}=0$ + 1 $d_{k}\circ d_{k+1}=0$ = $d_{k}\circ d_{k+1}=0$ $d_{k}\circle d_{k+1}=0$ 을(를) 표시하려면 Koszul 복합체의 자체 이중성을 사용하십시오 $d_{k}\circ d_{k+1}=0$

Note that $\bigwedge ^{1}E=E$ and $d_{1}=s$ . Note also that $\bigwedge ^{r}E\simeq R$ ; this isomorphism is not canonical (for example, a choice of a volume form in differential geometry provides an example of such an isomorphism.)

If $E=R^{r}$ (i.e., an ordered basis is chosen), then, giving an R-linear map $s\colon R^{r}\to R$ amounts to giving a finite sequence $s_{1},\dots ,s_{r}$ of elements in R (namely, a row vector) and then one sets $K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).$ ${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots,s_{r}=K_{\bullet }s.$ $}$

M이 정밀하게 생성된 R-모듈인 경우 다음 중 하나를 설정한다.

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

(

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

,

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

)

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

=

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

(

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

s

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

)

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

R

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

{\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }\otimes _{R}M

또한 유도 차동 $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ 1 $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ ) $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ m $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ ) $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ = d ( $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ ) $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$ m ${\displaystyle (d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes$ m $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$

코즐 콤플렉스의 i번째 호몰로지

\operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }s,M)=\operatorname {ker}(d_{i}\otimes 1_{M}/\operatorname {im}(d_{i+1}\otimes 1_{M})

I-th Koszul homology(i-th Koszul homology라고 불린다.예를 들어 $E=R^{r}$ = $E=R^{r}$ $E=R^{r}$ ${\$ $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ s $E=R^{r}$ $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ = $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ [ $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ ⋯ $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ ${\displaystyle$ s $=[s_{1}\cdots s_{r}]}}}}$ 이(가) R에 항목이 있는 행 벡터인 $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ $d_{1}\otimes 1_{M}$ d $d_{1}\otimes 1_{M}$ $d_{1}\otimes 1_{M}$ M $d_{1}\otimes 1_{M}$ {\ $displaystystystyled_{1}{{$ 1}가 된다 $.$

s\colon M^{r}\to M,\,\(m_{1},\dots,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}}}}

등등

{\dots \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }s,M)=M/(s_{1},\dots ,s_{r}M=R/(s_{1},\dots ,s_s_{r})\otimes _{R}M.}

마찬가지로

\operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).

저차원의 코스줄 단지

교감 고리 R, 원소 X, R-모듈 M이 주어지면, x에 의한 곱셈은 R-모듈의 동형성을 산출한다.

M\to M.}

이것을 체인 콤플렉스(도 1과 0에 넣고 다른 곳에 0을 추가함으로써)로 간주하여 $K(x,M)$ , M $){\displaystyle K(x,M)}$ 로 표기한다 $K(x,M)$ 구축에 의해 호몰로어는

H_{0}(K(x,M)=M/xM,H_{1}(K(x,M)=\operatorname {An} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\}

M에서 x의 전멸자그러므로, 코스줄 콤플렉스와 그 호몰로지들은 곱셈의 근본적인 속성을 x로 암호화한다. $K_{\bullet }(x)$ 체인 콤플렉스 $K_{\bullet }(x)$ $K_{\bullet }(x)$ ( x $K_{\bullet }(x)$ ) $K_{\bullet }(x)}}$ 은 $K_{\bullet }(x)$ #Definition에서처럼 x에 관해서 R의 Koszul 콤플렉스라고 불린다.

한 $(x,y)\in R^{2}$ 쌍 $(x,y)\in R^{2}$ , y $(x,y)\in R^{2}$ ) $(x,y)\in R^{2}$ R 2 ${\$ R $^{2}}:$

0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\}}{{}}{\xrightarrow {\ d_{1}\}}{{R\to 0,

$d_{1}$ d $d_{1}$ 1 {\ $displaystyle d_{$ $d_{2}$ } $d_{2}$ d $d_{2}$ 2 {\ $displaystyle d_{$ 2}가 주어지는 $d_{2}$ 경우

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

=

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

[

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

{\

및

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

d_{2}={\bmatrix}-y\\x\\end{bmatrix}.

$d_{i}$ $d_{i}$ ${\$ 가 왼쪽에 $d_{i}$ 적용된다는 점에 유의하십시오.정도 1의 주기는 정확히 요소 x와 y의 선형 관계인 반면 경계는 사소한 관계다.따라서 첫 번째 Koszul homology H₁(K_•(x, y))는 사소한 관계를 정확하게 측정한다.더 많은 요소들로 고차원적인 Koszul 호몰로지는 이것의 더 높은 수준의 버전을 측정한다.

원소 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ , $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ , … $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ n $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ {\ $displaystyle x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ 가 규칙적인 순서를 형성하는 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 경우, 코즐 단지의 상위 호몰로지 모듈은 모두 0이다.

예

If k is a field and $X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}$ are indeterminates and R is the polynomial ring $k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]$ , the Koszul complex $K_{\bullet }(X_{i})$ on the ${\disp$ $레이스타일 X_{i}}$ 가 k의 콘크리트 자유 R 분해능을 형성한다.

코즐 호몰로지 특성

E는 R 위에 유한 등급의 자유 모듈이 되고 $s\colon E\to R$ $s\colon E\to R$ : $s\colon E\to R$ → $s\colon E\to R$ {\ $displaystyle s\colon E\to R}$ 은 R-선형 지도가 되며 $s\colon E\to R$ , R의 요소가 되도록 한다. $K(s,t)$ ( $K(s,t)$ , $K(s,t)$ ) $K(s,t)$ 을 $(s,t)\colon E\oplus R\to R$ 를) ( $(s,t)\colon E\oplus R\to R$ , $(s,t)\colon E\oplus R\to R$ ) : $(s,t)\colon E\oplus R\to R$ $(s,t)\colon E\oplus R\to R$ R $(s,t)\colon E\oplus R\to R$ → R $(s,t)\colon E\oplus R\to R$ 의 Koszul 복합체로 한다 $K(s,t)$ $(s,t)\colon E\oplus R\to R$

Using $\wedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E$ , there is the exact sequence of complexes:

0\to K(s)\to K(s)\to K(s)[-1]\to 0

where [-1] signifies the degree shift by -1 and $d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}$ . One notes:^[1] for $(x,y)$ in $\wedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E$ ,

d_{K(s,t)}(x,y)=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]y)).

동질대수의 언어에서 위의 의미는 $K(s,t)$ , t $K(s,t)$ ) ${\displaystyle K(s,$ $t\colon K(s)\to K(s)$ $)}$ 이(가) $t\colon K(s)\to K(s)$ : $t\colon K(s)\to K(s)$ ) $t\colon K(s)\to K(s)$ → K $t\colon K(s)\to K(s)$ $t\colon K(s)\to K(s)$ 의 매핑 콘이라는 뜻이다 $K(s,t)$ $t\colon K(s)\to K(s)$

정확한 일련의 동어들을 통해 우리는 다음을 얻는다.

\cdots \to \operatorname {H} _{i}(K){\copername{t}{\}}}\{i}(K)\to \operatorname {H} \i}(K,t) \to \operatorname {H} _{i-1}(K)로{\overset {t}{\}}\cdots.

여기서, 연결동형성

\delta :\operatorname {H} _{i+1}(들)[-1]=\operatorname {H} _{i}(들)\to \operatorname {H} _{i}(들)

다음과 같이 계산된다.By definition, $\delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]$ where y is an element of $K(s,t)$ that maps to x. Since $K(s,t)$ is a direct sum, we can simply take y to be (0, x).그러면 d $d_{K(s,t)}$ ( $d_{K(s,t)}$ , t $){\$ 의 초기 $\delta ([x])=t[x]$ 에 $d_{K(s,t)}$ Δ $\delta ([x])=t[x]$ $\delta ([x])=t[x]$ = $\delta ([x])=t[x]$ [ $\delta ([x])=t[x]$ ] $\delta ([x])=t[x]$ {\ $displaystyle \delta$ ([ $x]=t[x]}})$ 가 주어진다 $\delta ([x])=t[x]$

위의 정확한 순서는 다음과 같은 것을 증명하는 데 사용할 수 있다.

정리 — R을 링으로 하고 M을 그 위에 모듈로 두자.R 원소의 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ sequence $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ , $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ , $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ x $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ ${\$ 이 M의 정규 순서라면,

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots,x_{r}\otimes M)=0

모든 $i\geq 1$ $i\geq 1$ $i\geq 1$ $i\geq 1$ 에 대해 $i\geq 1$ 특히 M = R일 때는 다음과 같다.

0\to \wedge ^{r}R^{r}{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}R^{r}\to \cdots \to \wedge ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\to R/(x_{1},\cdots ,x_{r})\to 0

정확하다. 즉, $K(x_{1},\dots ,x_{r})$ 1 $K(x_{1},\dots ,x_{r})$ , $K(x_{1},\dots ,x_{r})$ … , $K(x_{1},\dots ,x_{r})$ $K(x_{1},\dots ,x_{r})$ ) $K(x_{1},\dots ,x_{r}$ 는 $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ / $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ ( $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ , $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ … $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ , $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ r $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ ) ${\displaystyle R/(x_{1},\dots ,x_{r})$ 의 R-free 해상도 입니다 $K(x_{1},\dots ,x_{r})$ $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$

r에 대한 유도에 의한 증명.If $r=1$ , then $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0$ . Next, assume the assertion is true for r - 1.그런 다음 위의 정확한 시퀀스를 사용하여 $i\geq 2$ i $i\geq 2$ $i\geq 2$ ${\displaystyle i\geq 2$ 에 $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ 대해 $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ … $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ , $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ ; M $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ ) $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ = 0 ${\displaysty \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots,x_{r};M)=0}$ 을 본다.The vanishing is also valid for $i=1$ , since $x_{r}$ is a nonzerodivisor on ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.$ $}$ ${\$

Corolarary — R, M은 위와 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 되고, x $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ , $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ x $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ , $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ n ${\$ 일련의 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ R 원소들이 되게 한다.Suppose there are a ring S, an S-regular sequence $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}$ in S and a ring homomorphism S → R that maps $y_{i}$ to $x_{i}$ . (For example, one can take ${\displaystyle S=\mathbb$ ${Z} [y_{1},\cdots,y_{n}]})$ 그러면

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots,x_{n})\otimes _{R}M=\i}^{Tor}(S/(y_{1},\dots ,y_{n}),M).

여기서 Tor는 Tor functor를 나타내고 M은 S → R을 통한 S-module이다.

증명: S-모듈로서 S와 S에 적용된 정리에 의해 K(y₁, ..., y_n)는 S/(y₁, ..., y_n)의 S-프리 해상도임을 알 수 있다.따라서 정의상 $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ 1, $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ … $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ , $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ n $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ )의 i-th 호몰로지 $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ M $K(y_{1},\dots ,y_{n}}\otimes _{S}M$ 은 $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ 위의 우측이다.On the other hand, $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M$ by the definition of the S-module structure on M. $\square$

Corolarary — R, M은 위와 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 되고, x $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ , $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ x $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ , $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ n ${\$ 일련의 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ R 원소들이 되게 한다.그러면 이상적인 $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ = $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ ( x $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ , $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ , $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ x $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ ) ${\displaystyle I=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 와 $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ M 전멸기의 전멸기.

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots,x_{n}\otimes M)

나로서는

증명: Let S = R[y₁, ..., y_n].Turn M into an S-module through the ring homomorphism S → R, y_i → x_i and R an S-module through y_i → 0. By the preceding corollary, $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)$ and then

\operatorname {Ann} _{S}\left(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)\right)\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).

\displaystyle \square }

국부적인 고리의 경우, 정리의 역은 유지된다.더 일반적으로

정리 — R을 링으로 하고 M을 R에 걸쳐 0이 아닌 미세하게 생성된 모듈로 한다. x₁, x₂, x가_r R의 제이콥슨 레디컬의 요소라면, 다음은 동등하다.

$x_{1},\dots ,x_{r}$ $x_{1},\dots ,x_{r}$ 1 , $x_{1},\dots ,x_{r}$ … $x_{1},\dots ,x_{r}$ , x $x_{1},\dots ,x_{r}$ ${\$ 은(는) M에 대한 정규 시퀀스 $x_{1},\dots ,x_{r}$ 입니다.
$\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ⁡ $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ( K $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ( $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ , $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ … $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ , x $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ) $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ) $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ = $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes$ M $)=0$
$\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ( $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ( $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ , $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ … $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ , $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ) $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ M $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ) $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ = $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes$ M $)=0}$ 모든 i 1에 $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ 대해.

증거: 우리는 단지 2. 즉 1. 나머지는 명확하다는 것을 의미할 뿐이다.우리는 r에 대해 유도하여 논증한다.사례 r = 1은 이미 알려져 있다.x'는 x₁, ..., x를_r-1 가리킨다. 고려하라.

\cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .

Since the first $x_{r}$ is surjective, $N=x_{r}N$ with $N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))$ . By Nakayama's lemma, $N=0$ and so x' is a regular sequence by the inductive hypothesis.두 번째 $x_{r}$ $x_{r}$ ${\$ 는 주입식이기 $x_{r}$ 때문에(즉, 비체르디비소르) $x_{1},\dots ,x_{r}$ $x_{1},\dots ,x_{r}$ , $x_{1},\dots ,x_{r}$ x $x_{1},\dots ,x_{r}$ ${\$ 는 정규 $x_{1},\dots ,x_{r}$ 순서다.(참고: 나카야마의 보조정리법으로, $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ M $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ / $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ ( $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ 1 $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ , $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ … , $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ ) $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ ≠ 0 ${\displaystyle$ M $/(x_{1},\dots ,x_{r})$ $M\neq$ 0 $}$ 은 $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ (는) 자동이다.) $\square$

코스줄 단지 텐서 제품

일반적으로 C, D가 체인 콤플렉스라면, 그들의 텐서 $C\otimes D$ C $C\otimes D$ $[\디스플레이 스타일$ C\ $otimes D}$ 는 $C\otimes D$ 다음에 의해 주어지는 체인 콤플렉스다.

(C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}

미분: 모든 동질 원소에 대해 x, y,

d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{x }x\otimes d_{D}(y)

여기서 x는 x의 정도 입니다.

이 공사는 특히 코스줄 단지에 적용된다.E, F는 유한 등급의 자유 모듈로 $s\colon E\to R$ $s\colon E\to R$ : E → $[\displaystyle$ s\ $colon E\to$ R} $t\colon F\to R$ $t\colon F\to R$ : F → $t\colon F\to R$ R[\ $displaystyle$ t\ $colon$ F $\to$ R $}$ 은 두 개의 R-선형 맵으로 한다 $t\colon F\to R$ . $K(s,t)$ ( $K(s,t)$ , $K(s,t)$ ) $K(s,t)$ 을(를) 선형 지도 $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ ( $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ , t $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ ) $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ : $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ z F → $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ 의 Koszul 콤플렉스로 $K(s,t)$ 한다 $(s,t)\colon E\oplus F\to R$ 그러면 콤플렉스로서

[\displaystyle K(s,t)\simeq K(s)\times K(t)]}

이를 보기 위해서는 (외부 파워와는 반대로) 외부 대수학으로 작업하는 것이 더 편리하다. $-1$ 파생 정의 - $-1$ 1 $-1$

\displaystyle d_{s}:\wedge E\to \wedge E}

요구 사항: 모든 동질 원소 x, y in eE,

$d_{s}(x)=s(x)$ $|x|=1$ $d_{s}(x)=s(x)$ ( $d_{s}(x)=s(x)$ ) = s $d_{s}(x)=s(x)$ ( $d_{s}(x)=s(x)$ ) $d_{s}(x)=s(x)$ 일 $d_{s}(x)=s(x)$ 때 x = $|x|=1$ 1 ${\displaystyle$ x $=$ 1}
$d_{s}(x\property y)=d_{s}(x)\s(-1)^{x}x\property d_{s}(y)}$

$d_{s}\circ d_{s}=0$ $d_{s}\circ d_{s}=0$ $d_{s}\circ d_{s}=0$ $d_{s}\circ d_{s}=0$ $d_{s}\circ d_{s}=0$ = $d_{s}\circ d_{s}=0$ ${\displaystyle d_{s}\circule d_{s}=0}($ 도별 유도) 및 동질 원소에 대한 $d_{s}$ $d_{s}$ $d_{s}$ ${\$ 의 작용이 #Definition의 미분들과 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

이제 등급 R-모듈로 $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ ) $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ = $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ F ${\displaystyle \wedge(E\oplus$ F $)=\wedge E\otimes \wedge F}$ 가 있다.또한, 처음에 언급된 텐서 제품의 정의에 따르면,

{\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s,t)}(e)=d_{K(s,t)}(e+f)}(e+f)}(e+f)}}}}.

Since $d_{K(s)\otimes K(t)}$ and $d_{K(s,t)}$ are derivations of the same type, this implies ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.$ $}$

특히 주의할 점은

K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})

.

다음 명제는 요소들의 Koszul 콤플렉스가 어떻게 그들이 생성하는 이상에서 시퀀스에 관한 정보를 암호화하는지를 보여준다.

발의안 — R을 링이 되게 하고 I = (x₁, ..., x_n) 일부 n-요소들에 의해 생성된 이상이다.그 다음, 어떤 R-모듈 M과 어떤 원소₁ y, ..., I에서_r y,

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r};M))\simeq \bigoplus _{i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\dots ,x_{n};M))\otimes \wedge ^{k}R^{r}.

여기서 $\wedge ^{k}R^{r}$ $\wedge ^{k}R^{r}$ $\wedge ^{k}R^{r}$ ${\$ 은(는) 0의 차이를 갖는 복합체로 간주된다.(사실, 분해는 체인 레벨을 유지한다.)

증명: (당분간은 쉽지만 생략)

응용 프로그램으로서 우리는 코즐 호몰로지(Koszul homology)의 깊이감각을 보여줄 수 있다.(1)의 정의에 의해 링 R에 대해 미세하게 생성된 모듈 M을 고려할 때, 이상 I에 대한 M의 깊이는 M에 대한 I의 모든 규칙적인 요소 시퀀스 길이의 우월성이다.It is denoted by $\operatorname {depth} (I,M)$ . Recall that an M-regular sequence x₁, ..., x_n in an ideal I is maximal if I contains no nonzerodivisor on ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{n})$ $M}$ $M/(x_{1},\dots ,x_{n})M$

Koszul homology는 깊이의 매우 유용한 특성을 제공한다.

정리(깊이 감도) — R은₁ 노메테리아 고리, x, ..., R과_n I = (x₁, ..., x_n)가 되도록 한다.미세하게 생성된 모듈 M over R의 경우, 만약, 일부 정수 m의 경우,

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

i

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

( K

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

(

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

,

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

…

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

,

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

n

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

)

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

⊗ M

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

)

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

=

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

{\displaystyle \operatorname {

H

} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0},

모든

\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0

i > m,

하는 동안에

\operatorname {H} _{m}(K(x_{1},\dots,x_{n}\otimes M)\neq 0,

그러면 I의 모든 최대 M-정규 순서는 길이가 n - m이다(특히, 모두 길이가 같다).그 결과,

\operatorname {depth} (I,M)=n-m

\operatorname {depth} (I,M)=n-m

,

\operatorname {depth} (I,M)=n-m

)

\operatorname {depth} (I,M)=n-m

=

\operatorname {depth} (I,M)=n-m

- m

{\displaystyle \operatorname {deep}(I,M)=n-m

.

증명: 공지를 가볍게 하기 위해 우리는 H(-)를 H(-)로 쓴다.,...이상적인에, ys은 최대M-regular 순서 우리는 y로었는데;이 순서를 의미한다_{\displaystyle{\underline{y}}}. 우리는 먼저 유도에 의해 나는{나는\displaystyle}에 보여 주었다는 주장은 Hi⁡(y_x1,…,)나는, M){\displaystyle \operatorname{H}_ᆭ({\underline{y}},x_{1}{나는},x_ ,\dots, M)}y1자. $i=l$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ / $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ , $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ … $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ , x $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ ) ${\$ $displaystyle$ $\operatorname {An} _{M/{\underline {y}M}(x_{1},\$ $dots$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ , $x_{l$ $})$ 이며 $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ $i=l$ $i>l$ $i=l$ = $i=l$ $i>l$ = l $i>l$ > $i>l$ > l > l이면 0이다 $i>l$ 기본 사례 $l=0$ = $l=0$ $l=0$ 은(는) 코즐 호몰로학의 #속성으로부터 명확하다 $l=0$ .코즐 동문의 긴 정확한 배열과 귀납 가설에서,

{\displaystyle \operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};

M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)}

,

즉, $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ M $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ / $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ 1 $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ , $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ … $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ , $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ ) $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ . ${\displaystyle \operatorname {An} _{M/{\\underline {y}M}(x_{1},\dots,x_{l}).$ $}}$ 또한 $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ 같은 주장에 의해, 소멸은 $i>l$ > l $i>l$ 을 유지한다 $i>l$ 이로써 그 청구에 대한 증거가 완성되었다.

이제, $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ ( $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ 1 $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ , … $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ , $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ n ; $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ ) = $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};;$ 라는 주장과 초기 명제에서 따르게 된다.모든 i > n - s에 대해 $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ M $)=0}$ To conclude n - s = m, it remains to show that it is nonzero if i = n - s. Since ${\underline {y}}$ is a maximal M-regular sequence in I, the ideal I is contained in the set of all zerodivisors on $M/{\underline {y}}M$ , the finite union of the associated primes of the module.따라서 프라임 회피에 의해 $M/{\underline {y}}M$ $M/{\underline {y}}M$ M _ $M/{\underline {y}}M$ {\ $displaystyle M/{\underline{y}M}$ 에 $M/{\underline {y}}M$ 0이 아닌 v가 일부 존재하므로 $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$ $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$ $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$ = $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$ $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$ $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$ ( $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$ ) $I\subset {\mathfak{p}=\operatorname {An$ _{ $R$ } _{R} _{{R}}}}( $v$ 이라고 할 수 있다.

0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}M}\simeq \operatorname {H} _{n}\n}\좌측(x_{1}}},\dots,x_{n},{\underline {y};;;;M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.

\displaystyle \square }

자기 이중성

체인 콤플렉스 대신 코체인 콤플렉스를 이용하는 코스줄 콤플렉스에 대한 접근법이 있다.밝혀진 바와 같이, 이것은 본질적으로 같은 콤플렉스(코즐 콤플렉스의 자기이중성으로 알려진 사실)로 귀결된다.

E를 링 R 위에 있는 유한한 순위 r의 자유 모듈이 되게 하라.그런 다음 E의 각 요소 e는 e:에 의해 외부 왼쪽 곱셈을 발생시킨다.

l_{e}\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.

$e\wedge e=0$ $e\wedge e=0$ $e\wedge e=0$ = $e\wedge e=0$ ${\displaystyle e\wedge e=0$ 이므로 l e $l_{e}\circ l_{e}=0$ l $l_{e}\circ l_{e}=0$ = $l_{e}\circ l_{e}=0$ ${\displaystyle l_{e}\circle l_{e}=0$ 즉,

0\to R{{\mapsto e}{\}}}}\wedge ^{l_{e}}}}{2}\wedge ^{2}\cdots \to \wedge ^{r}E\to 0

무료 모듈의 코체인 복합체야코즐 콤플렉스라고도 불리는 이 콤플렉스는 (아이젠버드 1995) 하프 에러: 대상이 없음: CITREFEenbud1995 (도움말)에서 사용되는 콤플렉스다.이중화하면 다음과 같은 콤플렉스가 있다.

0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0

.

Using an isomorphism $\wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})$ , the complex $(\wedge E,l_{e})$ coincides with the Koszul complex in the definition.

사용하다

코즐 단지는 바나흐 공간에서 통근 경계가 있는 선형 운영자의 튜플의 공동 스펙트럼을 정의하는데 필수적이다.^{[citation needed]}

참고 항목

메모들

^ Indeed, by linearity, we can assume $(x,y)=(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}\in \wedge ^{k}(E\oplus R)$ where $R\simeq R\epsilon \subset E\oplus R$ . Then
${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(s(e_{1})+t)e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}+\sum _{i=2}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots {\wid$ $ehat {e_{i}}\cdots$ \cdots \ $cdots e_{k$
즉 $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ( $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ( $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ) $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ + $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ , $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ - $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ K $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ( $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ) y $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ) $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)}$ 입니다 $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$
^ 마츠무라, 정리 16.5. (i) harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)
^ 아이젠버드, 연습 17.10. (도움말)
^ Serre, Ch IV, A § 2, Proposition 4. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFSerre(도움말)
^ 마츠무라, 정리 16.5. (ii) (도움말)

참조

데이비드 아이젠부드, 정류 대수학. 대수적 기하학을 바라보는 시각으로, 1995년 뉴욕 스프링거-베를라크, 150권 수학 대학원 텍스트. ISBN 0-387-94268-8
William Fulton (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre locale, Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 11, Berlin, New York: Springer-Verlag

외부 링크

멜빈 호치스터, 수학 711: 2007년 10월 3일 강의(특히 마지막 부분)

[1] Indeed, by linearity, we can assume $(x,y)=(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}\in \wedge ^{k}(E\oplus R)$ where $R\simeq R\epsilon \subset E\oplus R$ . Then
${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(s(e_{1})+t)e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}+\sum _{i=2}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots {\wid$ $ehat {e_{i}}\cdots$ \cdots \ $cdots e_{k$
즉 $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ( $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ( $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ) $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ + $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ , $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ - $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ K $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ( $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ) y $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$ ) $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)}$ 입니다 $(d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)$

[2] 마츠무라, 정리 16.5. (i) harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)

[3] 아이젠버드, 연습 17.10. (도움말)

[4] Serre, Ch IV, A § 2, Proposition 4. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFSerre(도움말)

[5] 마츠무라, 정리 16.5. (ii) (도움말)

[1]

Search