퍼스트 클래스 제약 조건

제1급 제약조건은 제약 해밀턴 시스템에서 역동적인 양으로, 다른 제약조건과 함께 포아송 브래킷이 위상 공간의 제약조건 표면(모든 제약조건의 동시 소멸에 의해 암묵적으로 정의되는 표면)에서 사라진다.첫 번째 클래스 제약 조건을 계산하려면 두 번째 클래스 제약 조건이 없거나 이전에 계산된 적이 있으며 Dirac 대괄호가 생성되었다고 가정한다.^[1]

1등급과 2등급 제약은 디라크(1950, 페이지 136, 1964, 페이지 17)가 공통형식이 퇴보하는 게이지 이론과 같은 기계적 시스템을 정량화하는 방법으로 도입했다.^[2][3]

제1종 및 제2종 제약조건의 용어는 제1종 및 제2종 제약조건의 용어와 혼동될 정도로 유사하며, 이러한 제약조건이 생성되는 방식을 반영한다.이 중분류는 독립적이다: 1등급과 2등급 제약 모두 1등급 또는 2등급이 될 수 있으므로, 이는 모두 4가지 다른 종류의 제약조건을 제공한다.

포아송 괄호

그 위에 매끄러운 해밀턴안을 가진 포아송 다지관 M을 생각해 보라(현장 이론의 경우 M은 무한 차원일 것이다).

우리가 몇가지 제약이 있다고 가정해 봅시다.

${\displaystyle f_{i}(x)=0,}$

원활한 기능을 위해.

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}}}$

이것들은 일반적으로 도표상으로만 정의될 것이다.제한 집합의 모든 곳에서 n 함수의 n 유도체는 모두 선형적으로 독립적이며 포아송 대괄호도 있다고 가정합시다.

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}}$

그리고

${\displaystyle \{f_{i},H\}}$

제한된 아공간에서 모두 사라진다.

이것은 우리가 글을 쓸 수 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}}}}}}}}$

일부 매끄러운 기능 ${\displaystyle c_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k$${\$displaystyle c_{ij}^{k}}$ -- 이것을$$ 보여주는 정리가 있다.

${\displaystyle \{f_{i},H\}}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}}}}}}$

일부 부드러운 기능의 경우 v ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$

이것은 통합의 칸막이를 사용하여 전세계적으로 이루어질 수 있다.그렇다면 우리는 불가해한 1급 제약(여기서는 불가해한 것이 표현 이론에서 사용되는 것과 다른 의미)을 가지고 있다고 말한다.

기하학 이론

보다 우아한 방법을 위해$,$ $n{\displaystyle }$ ${\${\$mathcal{M}$ 위에 벡터 번들을 n ${\displaystyle n}$ -차원$$ 섬유 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과(와) 함께 제공한다고 가정합시다$.$ 이 벡터 번들을 연결로 장착하십시오.우리도 이 보따리 중 F 부분이 매끄러운 편이라고 가정합시다.

그 다음 연결에 관한 f의 공변량 파생상품은 접선다발 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$ ${\$에서 $V{\displaystyle }${\$displaystyle$ V$}$까지의 부드러운 선형 지도 ${\displaystyle \mathrm{is}}$f ${\displaystyle$ V$}$이다$.$이 선형 지도가 오른쪽으로 꺾일 수 있다고 가정하십시오(즉$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle f}$) g ${\displaystyle (\Delta$ f)$g}$이(가) f의 0에 있는 모든 섬유에 대해 (Δ f ) ${\displaystyle g}$ {\$displaystyle$ (\Delta $f)$g}이$$$$(가) ID 맵인 선형 지도 ${\$dap}이 있다고 가정하십시오.그 다음 암묵적 함수 정리에 따르면 f의 0의 하위공간은 하위매니폴드다.

일반적인 포아송 브래킷은 M에 대한 부드러운 기능의 공간인$$$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$($){\displaystyle$ C$^{\infit }(M)$에 대해서만 정의된다.그러나 그 연결을 이용하여 V텐서의 등급대수를 섬유로 하여 대수다발을 가지고 작업하면 f의 매끄러운 부분까지의 공간으로 확장할 수 있다.

또한 이 포아송 브래킷 아래에서${\displaystyle }${${\displaystyle \mathrm{f}}$,${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \}}$= 0 ${\displaystyle \{f,f\}=0}($이 "확장된 포아송 브래킷"에 대해 일반적으로${\displaystyle }${${\displaystyle g}$, ${\displaystyle g\}}$= ${\displaystyle \{g,g\}=0})$ 및${\displaystyle }${${\displaystyle f}$,${\displaystyle \mathrm{H}\}}$= 0 ${\displaystylease$ stylease \ \{$f,$f의 0 하위 manifold에 $H$$\}=0}($이 괄호도 모든 곳에서 0이 된다면 제약조건은 껍데기를 닫는다고 말한다.우측 반전성 조건과 흐름 조건의 동시성은 연결 선택과 무관하다는 것이 밝혀졌다.그래서 우리는 제한된 서브 스페이스로만 작업한다면 연결을 끊을 수 있다.

직관적 의미

이 모든 것이 직관적으로 무엇을 의미하는가?그것은 해밀턴과 제약조건이 서로 제약된 아공간에서 통근한다는 것을 의미한다. 또는 우리가 제약된 아공간에서 한 지점에서 시작한다면, 해밀턴과 제약조건 흐름은 모두 제약된 아공간에서 다른 지점으로 그 점을 가져온다.

우리는 제한된 아공간에만 한정하기를 원하기 때문에, 이것은 해밀턴인 또는 관찰할 수 있는 다른 물리적 공간은 그 아공간에서만 정의되어야 한다는 것을 암시한다.동등하게, 제약된 아공간(f's에 의해 생성된 이상에 의한 지수 대수, 다시 말해 fs에 의해 생성되는 지수 대수)에 동의하는, 복합적인 다지관 위에 평활함수의 등가 등급을 볼 수 있다.

캐치는, 해밀턴인은 제한된 아공간을 흐른다는 것이지, 그곳의 해밀턴인의 경사에 따라 그 가치가 달라지는 것이 아니다.하지만 이 일에서 벗어날 수 있는 쉬운 방법이 있다.

f에 의해 생성된 동시적 흐름의 작용에 따라 제한된 하위 공간의 궤도를 살펴본다.이것은 통합성 조건(프로베니우스 정리)을 만족시키기 때문에 서브 스페이스의 국소적 엽색을 제공한다.우리가 제약된 아공간에서 같은 궤도에 있는 두 개의 다른 점으로 시작해서 각각 제약된 아공간에서 동의하는 두 개의 다른 해밀턴인 아래에서 두 점 모두를 진화시킨다면, 각각의 해밀턴 흐름에서 두 점의 시간 진화는 항상 같은 시간에 같은 궤도에 놓이게 될 것이다.만약 우리가 궤도에 제한 부분 공간에서는 적어도 두 부드러운 기능 A1및 B1, 이것은 변함 없다 또한 밝혀지(물리적 실제로 및)(제한 부분 공간에 즉{A1,f}){B1,f}=0)and 또 2A2와 B2, 또한 궤도는 A1및 B1A2와 B2와 각각 절제된 잠수함에 동의한에 대해 끊임없이 있다.우주, 찾았다고포아송 대괄호에서 {A₁₁, B} 및 {A₂, B₂}은(는) 궤도를 통해 일정하며 제한된 아공간에서 일치한다.

일반적으로 "에어로딕" 흐름(기본적으로 어떤 열린 집합에서 궤도가 조밀하다는 것을 의미), 또는 "서버그린" 흐름(궤도의 치수보다 더 큰 차원의 일부 하위 관리형에서 조밀된 궤도를 의미한다)을 배제할 수 없다.우리는 스스로 교차하는 궤도를 가질 수 없다.

1등급 제약조건의 대부분의 "실용적" 적용의 경우, 우리는 그러한 복잡성을 보지 못한다: f-흐름에 의한 제한된 아공간(즉, 궤도공간)의 지수공간은 서로 다른 다지관으로서 작용하기에 충분히 잘 행동하고 있으며, 이는 M의 공통적인 형태를 거기에 투영함으로써 (이것은) 공동의 다지관으로 변할 수 있다.잘 정의되어 있음을 보여줄 수 있다).앞에서 언급한 물리적 관찰에 대한 관찰에 비추어 볼 때, 우리는 보다 "물리적" 작은 복합적 다지기로 작업할 수 있지만, 2n 적은 차원으로 작업할 수 있다.

일반적으로 지분의 공간은 구체적인 계산을 할 때(차이형 구속조건으로 작업할 때 국부적이지 않은 것은 말할 것도 없고) 작업하기가 좀 어렵기 때문에, 대신 보통 행해지는 것은 비슷한 것이다.제한된 서브매니폴드는 지수 다지관 위에 있는 묶음(일반적으로 섬유 묶음은 아님)이라는 점에 유의하십시오.그래서, 인용 다지관과 함께 일하는 대신에, 우리는 그 대신 보따리의 한 부분을 가지고 일할 수 있다.이것을 게이지 고정이라고 한다.

중요한 문제는 이 묶음에는 일반적으로 글로벌 섹션이 없을 수 있다는 것이다.예를 들어, 세계 변칙의 "문제"가 발생하는 곳이다.전지구적 변칙은 게이지 고정장치가 작동하지 않을 때 전지구적 변칙에서는 게이지 영역의 일관된 정의가 없다는 그리보프 모호성과는 다르다.세계적인 변칙은 1980년 위튼이 발견한 양자 게이지 이론을 정의하는 장벽이다.

지금까지 설명한 것은 수정할 수 없는 1등급 제약이다.또 다른 복잡성은 Δf가 코드션 1 이상의 제한된 하위 관리공간의 하위공간에서 오른쪽으로 돌릴 수 없을 수 있다는 것이다(이는 이 글의 앞부분에서 언급된 더 강력한 가정을 위반함).예를 들어 일반 상대성 이론의 cotetrad 공식에서, cotetrad 장과 연결 형태가 열린 공간의 일부 부분 집합에서 0이 되는 구성의 하위 공간에서 이러한 현상이 발생한다.여기서 제약조건은 차이점형성 제약조건이다.

이를 극복하는 한 가지 방법은 다음과 같다.환원 가능한 제약 조건의 경우 Δf의 우측 반전성에 대한 조건을 다음과 같이 완화한다.f의 0에서 사라지는 매끄러운 기능은 V의 ${\$ - 벡터$$ 번들의 (비유니크) 매끄러운 섹션으로 f의 섬유상 수축이며, $여기$서 V의$displaystyle${\$bar {V}$은 구속조건 벡터 공간 V에 대한 이중 벡터 공간이다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$이것을 규칙성 조건이라고 한다.

라그랑게이지 이론의 제약된 해밀턴 역학

우선, 우리는 그 행동이 그 분야의 첫 번째 파생상품에만 의존하는 지역 라그랑지안의 필수 요소라고 가정할 것이다.가능한 한 일반적인 사례에 대한 분석은 더 복잡하다.해밀턴주의 형식주의로 넘어가면, 우리는 제약이 있다는 것을 알게 된다.액션 포멀리즘에는 쉘과 오프 쉘 구성이 있다는 것을 기억하라.셸을 보류하는 제약조건을 1차 제약조건이라고 하는 반면, 셸만을 보유하는 제약조건을 2차 제약조건이라고 한다.

예

미터법 g가 있는 사이비-리만 시간 다지관 S에서 내부 자유도가 없는 질량 m의 단일 점 입자의 역학을 고려한다.또한 입자의 궤적을 기술하는 매개변수 τ이 임의적이라고 가정한다(즉, 우리는 reparametrization invariance를 주장한다).그 후, 그것의 동시적 공간은 표준적 동시적 형태 Ω을 가진 등각적 번들 T*S이다.

만약 우리가 T * S를 기본 다지관 S의 위치 x와 등각 공간 p 내의 위치로 조정한다면, 우리는 제약이 있다.

f = m² -g(x)(⁻¹p,p) = 0.

해밀턴 H는 놀랍게도 H = 0. 해밀턴은 제약된 아공간에서 합의하는 매끄러운 기능의 등가 등급까지만 정의된다는 관찰에 비추어 우리는 새로운 해밀턴 H '= f를 대신 사용할 수 있다.그렇다면, 우리는 해밀턴인이 제약조건과 같은 흥미로운 경우를 보게 되었군!자세한 내용은 해밀턴 제약 조건을 참조하십시오.

이제 (d - 1) + 1 Minkowski spacetime에서 (d - 1) + 1 Minkowski spacetime에서 L 아래에 있는 기본 벡터 공간 V와 직교 표현 ρ으로 변환하는 진짜 단순한 Lie 대수 L (부정확정 킬링 형식 η)에 대한 양-밀스 이론의 경우를 생각해 보자.L에는 L이라고 쓴다.

ρ[σ]

로서

l[σ]

간결하게A를 이론의 L값 연결 형태가 되게 하라.여기서 A는 물리학자들이 사용하는 A와 i와 g의 인자에 의해 다르다는 점에 유의한다.이것은 수학자의 관습과 일치한다.

액션 S는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))}$

여기서 g는 Minkowski 미터법이고, F는 곡률형이다.

${\displaystyle d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

(no is or gs!) 여기서 두 번째 용어는 Lie bracket이 정류자인 척 하기 위한 공식 속기, D는 공변량 파생상품이다.

Dσ = Dσ - A[σ]

그리고 α는 ρ의 직교 형태다.

이 모델의 해밀턴 버전은 무엇인가?음, 우선 A를 시간 성분 φ과 공간 부분 A→로 나눠야 한다.그 후, 그 결과의 공감각 공간에는 결합 변수 ,, π_σ(${\displaystyle \stackrel{}{}}$(의 기본 벡터 공간에서의 값 taking,$$ρ의 이중 표현 rep, $ρ$→→,_A π,$$π_φ)이 있다.각 공간 포인트에 대해 우리는_φ ==0, 가우스 제약조건이 있다.

${\displaystyle {\vec{D}\cdot {\vec {\pi }_{A}-\rho '(\pi _{\sigma }}\sigma )=0}$

여기서 since은 인터트위너(intertwiner)이기 때문에

${\displaystyle \rho$$$$L\time V\rightarrow$ V$\},$

ρ '는 이원화된 인터트위너이다.

${\displaystyle \rho '\\bar {V}\여러 번 V\오른쪽 화살표 L}$

(L은 η을 통해 자체 이중화된다.)해밀턴인

${\displaystyle H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac{1}{2}}\alpha ^ᆲ(\pi_{\sigma},\pi_{\sigma})+{\frac{1}{2}}\alpha({\vec{D}}\sigma\cdot{\vec{D}}\sigma)-{\frac{{2g^}}{2}}\eta({\vec{\pi}}_{A},{\vec{\pi}}_{A})-{\frac{1}{2g^{2}}}\eta(\mathbf{B}\cdot \mathbf{B})-\eta(\pi_{\phi},f)-<, \pi _{\sigma},\phi[\sigma]>, -\eta(\phi,{\ve.c{D}}\cdot {\vec {\pi }_{A}).}$

마지막 두 용어는 가우스 제약 조건의 선형 조합이며, 우리는 (게이지 등가)의 전체 집단을 가지고 있다.해밀턴인들은 f에 의해 파라메트리되었다.사실, 지난 3개 조항은 제약된 주들에 대해 사라지기 때문에, 우리는 그것들을 포기할 수도 있다.

이차종 제약조건

제약이 있는 해밀턴 시스템에서 최소 하나의 제약 조건을 가진 포아송 대괄호가 비바니싱일 경우 동적 양은 이등분이다.0이 아닌 포아송 대괄호를 가진 제약조건은 적어도 하나의 다른 제약조건과 함께 두 번째 등급 제약조건이다.

다양한 그림은 Dirac 대괄호를 참조하십시오.

예: 구에 국한된 입자

일반적인 이론으로 넘어가기 전에, 일반적인 분석의 동기를 부여하기 위해 단계별로 구체적인 예를 고려하라.

균일한 중력장 g 내에서 반경 R의 구면 표면으로 구속되는 질량 m의 뉴턴 입자를 설명하는 작용부터 시작한다.라그랑기 역학에서 작업할 때 제약을 구현하는 방법에는 여러 가지가 있다. 즉, 제약을 분명히 해결하는 일반화된 좌표로 전환할 수 있고, 또는 중복 좌표를 그렇게 제한적으로 유지하면서 라그랑기 승수를 사용할 수 있다.

이 경우 입자가 구체에 구속되기 때문에 자연적 해결책은 각 좌표를 사용하여 카르테시안 대신 입자의 위치를 기술하고 그러한 방식으로 제약조건을 (자동으로 제거)하는 것이다(첫 번째 선택).대신 교육학적 이유로, 제약 조건을 시행하는 라그랑주 승수 용어와 함께 (중복) 데카르트 좌표에서 문제를 고려하십시오.

작용은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]}$

여기서 마지막 항은 제약 조건을 시행하는 라그랑주 승수 항이다.

물론, 지시된 대로, 우리는 단지 서로 다른, 비중복적인 구면 좌표를 사용하고 그것을 그대로 쓸 수 있었을 것이다.

${\dottyle S=\intdt\왼쪽[{\frac {mR^{2}}({\dot {\theta }}}}{{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\\\\phi }}}}+mgR\cos(\ta )}$

대신에, 추가적인 제약 없이, 그러나 우리는 제약조건을 설명하기 위해 이전의 조정을 고려하고 있다.

공극 모멘텀a는 다음과 같다.

${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ x ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$dot$\{$$x$$}}},$ p ${\displaystyle y_{}}$${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y\stackrel{}{}}$$display$${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\$displaystyle $p_{$$y}=$$m{z$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle x_{}}$= 0 ${\displaystyp_${\$dotda}=}}}.$

순간부터 •properties를 결정할 수 없다는 점에 유의하십시오.

해밀턴인은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})}$.

이 단계에서는 아직 •properties를 제거할 수 없다.우리는 여기서 •구체성을 우리가 아직 결정하지 못한 동시적 공간의 함수에 대한 속기로 취급하며 독립적 변수로 취급하지 않는다.공칭 일관성을 위해 앞으로 u₁ = •properties를 정의하십시오.p라는_λ 용어를 가진 위의 해밀턴인은 "사랑스런 해밀턴"이다.즉, 제약조건은 반드시 충족되어야 하기 때문에, 순진한 해밀턴인과 미확정 계수를 가진 위의 해밀턴인을 구별할 수 없다는 점에 유의한다. •1998 = u₁.

우리에겐 일차적인 제약이 있다.

p_λ=0

우리는 일관성을 근거로 해밀턴과의 모든 제약조건의 포아송 브라켓이 제한된 아공간에서 사라지기를 요구한다.즉, 동작 방정식을 따라 동일한 0이 되려면 제약조건이 제때에 진화해서는 안 된다.

이 일관성 조건으로부터 우리는 즉시 2차적인 제약을 받는다.

${\displaystyle {\begin{aigned}0&=\{H,p_{\lambda }\}\{\text}PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}}$

이_2, 제약조건은 해밀턴계수를 확대한 미확정(필수 상수는 아님) 계수로 해밀턴계수에 추가해야 한다.

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}:{2m}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2}){1}{1}p_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2}).}}}}}$

이와 마찬가지로 이차적 제약에서 3차적 제약조건을 발견하게 된다.

${\displaystyle {\begin{arged}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{{PB}+\{H,y^{2}\}_{{PB}+\{H,z^{2}\}_{{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}}$

다시 말하지만, 아무도 그 차이를 알 수 없기 때문에, 이 제약 조건을 해밀턴에 추가해야 한다.따라서 지금까지 해밀턴인은 이렇게 보인다.

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,}$

u₁, u₂, u가₃ 아직 완전히 결정되지 않은 곳.

일관성 조건에서 발견되는 모든 제약조건을 이차적 제약조건이라고 하며 이차적 제약조건, 3차적 제약조건, 2차적 제약조건 등은 구별하지 않는 경우가 많다.

우리는 이 새로운 제약조건이 사라지는 포아송 브래킷을 요구하면서 계속해서 크랭크축을 돌린다.

${\displaystyle 0=\{\vec{p}}\cdot {\vec{r},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}:{m}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.}$

우리는 절망하고 이것에 끝이 없다고 생각할 수도 있지만, 새로운 라그랑주 승수 중 하나가 나타났기 때문에 이것은 새로운 제약이 아니라 라그랑주 승수를 고정시키는 조건이다.

${\displaystyle u_{2}={\frac {\fraca }{2}}+{{r^{2}}:}\{p^{p^{2}}-{2m}-{\frac {1}{1}{2}}mgz\오른쪽).}$

이걸 해밀턴안에 꽂으면 (대수학 후에)

${\displaystyle H={\p^{2}}:{2m}(2-{\frac {R^{2}}:2}}:}+{{{R^{2}}:}}{{{R^{2}}}}}}}}}}}{1}p_{\lambda }{3}}}}{\vec{p}\cdot{\vec{r}}$

이제 해밀턴어에 새로운 용어가 생겼으니 1차적, 2차적 제약조건에 대한 일관성 조건을 다시 점검해야 한다.2차 제약 조건의 일관성 조건은

${\displaystyle {\frac {2}{m}{\vec {r}\cdot {\vec}+2u_{3}r^{2}=0.}$

다시 말하지만, 이것은 새로운 제약조건이 아니다; 그것은 단지

${\displaystyle u_{3}=-{\frac {{\bec{r}}\cdot {\vec}{p}{mr^{2}}}~.}$

이 시점에서 더 이상 확인할 제약조건이나 일관성 조건은 없다!

모든 걸 종합해 보면

${\displaystyle H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{m$$r^{2}}:}+u_{1}p_{\pairda$

동작 방정식을 찾을 때는 위의 해밀턴식(Hamiltonian)을 사용해야 하며, 포아송 괄호 안에서 파생상품을 취하기 전에 제약조건을 사용하지 않도록 조심하는 한 올바른 동작 방정식을 얻는다.즉, 운동 방정식은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.}$

해밀턴을 분석하기 전에 세 가지 제약 조건을 고려하십시오.

${\displaystyle \varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec}\cdot{\\vec {r}.}$

제약조건의 비종교적 포아송 브래킷 구조를 참고하십시오.특히.

${\displaystyle \{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.}$

위의 포아송 브래킷은 예상할 수 있는 오프 쉘(Off-Shell)에서 사라지지 않을 뿐 아니라, 심지어 표면상으로도 제로(nonzero)가 아니다.따라서 φ과₂ φ은₃ 제2종 제약인 반면 φ은₁ 제1종 제약인 것이다.이러한 제약조건은 정규성 조건을 만족한다는 점에 유의한다.

여기서, 우리는 포아송 대괄호가 제한된 하위 공간에 "좋음 특성"을 가지고 있지 않은 공통적인 공간을 가지고 있다.그러나 Dirac은 Dirac 브라켓이라고 불리는 그의 eponymous 개조된 브라켓을 이용하여, 우리가 Poisson 다지관으로 변화시킬 수 있다는 것을 알아챘다. 그래서 이 Dirac 브라켓은 제2종류의 제약조건 중 어떤 것이라도 항상 사라지게 된다.

효과적으로, 이 괄호들(Dirac 브래킷 기사에서 이 구형 표면에 대해 설명됨)은 시스템을 제약 조건 표면에 다시 투영한다.만약 어떤 사람이 이 시스템을 표준적으로 정량화하기를 원한다면,^[4] 표준적인 Poisson 괄호가 아니라 표준적인 Dirac 괄호를 계량화 관계를 촉진할 필요가 있다.

위의 해밀턴인에 대한 검사는 여러 가지 재미있는 일이 일어나는 것을 보여준다.한 가지 유의할 점은, 제약이 충족되면, 그 확장된 해밀턴인은 필요에 따라 순진한 해밀턴인과 동일하다는 점이다.또한 쳉은 확장 해밀턴에서 하차한 것을 주목한다.φ은₁ 일급 일차 제약이므로 게이지 변환의 발생기로 해석해야 한다.게이지 자유는 입자의 역학관계에 어떠한 영향도 주지 않은 λ을 선택할 자유다.따라서 쳉이 해밀턴에서 중퇴한 것, u가₁₁ 결정되지 않은 것, 그리고 all = p가_λ 일등석이라는 것은 모두 밀접한 관계가 있다.

라그랑주 승수를 가진 라그랑주어로 시작하지 않고, 대신 r² - R²를 1차 제약조건으로 삼고 공식주의를 통해 진행하는 것이 더 자연스러울 것이라는 점에 유의하십시오.그 결과는 관련 없는 λ 역동적인 양의 제거가 될 것이다.그러나 그 예는 현재 형태로는 더욱 교묘해지고 있다.

예: Proca 동작

우리가 사용할 또 다른 예는 프로카 행동이다.필드는 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mu \stackrel{}{}{}^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \stackrel{}{}A}$ → ,${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle A^{\mu }=({\vec {A},\phi )}$이며, 작용은

${\displaystyle S=\int d^{d}xdt\왼쪽[{\frac {1}{1}{1}E^{2}}-{1}-{4}B_{ij}B_{\frac{m^{2}}:00}A^{2}+{\frac {m^{2}}:{2}}\phi^{2}\오른쪽]}$

어디에

${\displaystyle {\vec{E}\equiv -\nabla \phi -{\dot{\vec{A}}}}}$

그리고

${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ x i -${\displaystyle \frac{{}_{}}{}\partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{\mathrm{}{x}_{}}}$ x j ${\$ {\partial $x_{i}}}}-{\partial X_{j$

${\displaystyle (A\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle E\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle({\vec{A},-{\vec{E}})$ 및$$ (${\displaystyle \varphi }$,$$ $displaystyle (\phi ,\pi )}$은 정식 변수다.두 번째 등급 제약조건은

${\displaystyle \pi \ 약 0}$

그리고

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec}+m^{2$$}\phi$\$$약$0$

해밀턴인은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}$$A^{2}-{\frac {m^{2}}:{2}}\phi^{2}\오른쪽$ .

참고 항목

• 디락 브라켓
• 홀로노믹 제약
• 흐름 분석

참조

추가 읽기

• Falck, N. K.; Hirshfeld, A. C. (1983). "Dirac-bracket quantisation of a constrained nonlinear system: The rigid rotator". European Journal of Physics. 4: 5. Bibcode:1983EJPh....4....5F. doi:10.1088/0143-0807/4/1/003.
• Homma, T.; Inamoto, T.; Miyazaki, T. (1990). "Schrödinger equation for the nonrelativistic particle constrained on a hypersurface in a curved space". Physical Review D. 42 (6): 2049. Bibcode:1990PhRvD..42.2049H. doi:10.1103/PhysRevD.42.2049.