초벡터 공간

수학에서 슈퍼 벡터 공간은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ -graded$$ 벡터 공간, 즉 $0등급{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$과 $1등급{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$의 하위공간을 일정하게 분해한 필드$$ $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 벡터 공간이다$.$초벡터 공간과 그 일반화에 대한 연구는 때때로 초선형 대수학이라고 불린다.이러한 물체는 초대칭의 다양한 대수적 측면을 설명하기 위해 사용되는 이론 물리학에서 주된 응용을 찾는다.

정의들

슈퍼 벡터 공간은 분해된^[1] Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -graded$$ 벡터 공간이다.

${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathb {Z} _{2}=\mathb {Z} /2\mathb {Z}.}$

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 또는$$ $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 요소인 벡터는 동종이라고 한다$$.${\displaystyle 0}$이 아닌 동질 원소의 패리티는 $v{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$x $\}$으로 표시되며$$V 0 ${\$ 또는 $V{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$},

${\displaystyle x ={\begin{case}0&x\in V_{0}\\\1&x\in V_{1}\end}}}}$

패리티 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$의 벡터를 짝수라고 하고 패리티 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$의 벡터를 홀수라고 한다.이론물리학에서는 짝수 원소를 보세 원소 또는 보소닉이라고 부르기도 하고, 홀수 원소인 페르미 원소나 페르미오닉이라고 부르기도 한다.슈퍼 벡터 공간에 대한 정의는 종종 동질 원소의 관점에서만 주어진 다음 선형성에 의해 비동질 원소로 확장된다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 유한한 ${\displaystyle {차원}_{}}$이고 V$$0 {\$displaystyle$V_{$0}$과 V$$1 {\$displaystyle V_{$1}의 $치수$가 각각$$p {\$displaystyle p}$과$$q {\$displaystyle$ $q$$\}$인 경우, V ${\$$displaystystystytime$ $q}$이 표준 super co.K ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ ${\$$$$^{p q}$로 표시된 세로좌표 $공간$은 ${\displaystyle {}^{}}$좌표$$ K$$p + q {\$displaystyle \mathb{K} ^{$p+q}}이며$,$ 짝수 공간은 첫 $번째{\displaystyle }$ p ${\displaystyty$q}에$$ 의해 $확장$된다$.$

슈퍼 벡터 공간의 균질 서브공간은 균질 원소에 의해 확장되는 선형 서브공간이다.동질 하위공간은 그 자체로 (명확한 등급이 있는) 초벡터 공간이다.

모든 슈퍼 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V$에 대해 패리티 역전 공간 ${\displaystyle \mathrm{space}}$ $V{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi V}$을(를) 짝수 및 홀수 서브스페이스가 상호 교환된 슈퍼 벡터 공간으로 정의할$$ 수 있다.그것은

${\displaystyle {\begin}(\Pi V)_{0}&=V_{1}\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}\ended}}}}}}$

선형 변환

초벡터 공간의 범주에 있는 형태론인 동형성은 한 개의 초벡터 공간에서 다른 공간으로의 등급 보존 선형 변환이다.선형 변환 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ W ${\displaystyle f:$슈퍼 벡터 공간 사이의$$ $V\rightarrow W}$은(는) 다음과 같은 경우 등급 보존임

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.}$

즉, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 짝수 요소를 W ${\displaystyle W}$의 짝수 요소에 매핑하고, V$${\$displaystyle$V}의 홀수 $요소$를 W$${\$displaystyle$W}의 홀수 요소에 매핑하는 것이다$.$ 초벡터 공간의 이형성(isomorphinism)은 편향이다.모든 동형체 $V{\displaystyle }$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\rightarrow W}$의 $집합$은 H ${\displaystyle \mathrm{o}}$ m${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ,W}$ )$${\$displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$로 표시된다$.$^[2]

반드시 등급보존이 아닌 모든 선형 변환은 등급보존형 변환과 등급반환형 변환의 합으로 고유하게 작성될 수 있다. 즉, ${\displaystyle \mathrm{변환}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ W ${\displaystyle f:$$그런$ 것$.$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.}$

Declaring the grade-preserving transformations to be even and the grade-reversing ones to be odd gives the space of all linear transformations from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle W}$, denoted ${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ and called internal ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$, the초벡터 공간의 구조특히.^[3]

${\displaystyle \left(\mathbf {Hom}(V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom}(V,W).}$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ W$}(으$)로$$ 등급 역전 변환하는 변환은 $다음$과 같이$$V {\$displaystyle$V}에서 패리티 ${\displaystyle \mathrm{역전}}$ 공간 {$$W {\$displaystyle \Pi$ W$}$까지의 동형성으로 간주할 수 있다$$$.$

${\displaystyle \mathbf {Hom}(V,W)=\mathrm {Hom}(V,\PI W)=\mathrm {Hom}(V,W)\mathrm {Hom}(\Pi V,W)=\mathrmatrm {Hom}(\Pi V,W)}).}$

슈퍼 벡터 공간 연산

일반적인 벡터 공간에 대한 일반적인 대수학적 구조는 슈퍼 벡터 공간 설정에서 그 반대편이 있다.

이중공간

슈퍼 벡터 공간 V{V\displaystyle}의 이중 공간 V∗{\displaystyle V^{*}}은 최고 벡터 공간으로 보이는 V1{\displaystyle V_{1}에 사라지고 그 평탄한 functionals함으로써}고 이상한 functionals으로 보이는 V0에{\displaystyle V_{0}}.[4]Equivalently에 사라지다 간주될 수 있다.ec$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 1 ${\displaystyle 0^{}}$까지 선형 지도의 공간$($기본 필드 K {\$displaystyle$ \mathb${K}$^{1 0$})$으로 $정의$한 $V{\displaystyle \mathbb{}}$ ${{\$ \$mathb{K}}}}}}$은(기본 필드 K {\displaystate \requace)이며 이전 섹션에서 주어진 순전히 수퍼 벡터 공간이다.

직합

슈퍼 벡터 공간의 직접 합은 다음과 같은 등급으로 미지정 사례와 같이 구성된다.

${\displaystyle(V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0}}}$

${\displaystyle(V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}}$

텐서 제품

또한 초벡터 공간의 텐서 제품을 만들 수 있다.$여기$에 Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 첨가 구조가 작용한다$$.기본 공간은 다음과 같이 등급이 주어지는 미지정 사례와 같다.

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\여러 번 W_{k}}}$

여기서 $지수$는 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \mathb {Z} _{$2$\}\}.$ 특히 다음과 같다.

${\displaystyle(V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0}\oplus(V_{1}\otimes W_{1}),}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1}}\oplus(V_{1}\otimes W_{0}).}$

슈퍼모듈

필드 위의 벡터 공간을 정류 링 위의 모듈로 일반화할 수 있는 것처럼, 필드 위의 슈퍼 벡터 공간을 일반화하여 슈퍼커머티브 대수학(또는 링)을 초계량화할 수 있다.

슈퍼 벡터 공간과 함께 작업할 때 흔히 사용되는 구조는 스칼라의 영역을 초특급 그라스만 대수학으로 확대하는 것이다.$K$ ${\$ {K$} 필드$ 지정

${\displaystyle R=\mathb {K} [\theta _{1},\cdots,\theta _{N}]}$

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 반공$$ 홀수 원소 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ i ${\$에 의해 생성된 그래스만 대수$.$ $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 위에 있는 모든 슈퍼 $벡터{\displaystyle }$ V ${\displaystyle R}$에 (grade) 제품을 고려하여 모듈에$$ $삽입$할 수 있다$$.

${\displaystyle \mathb {K} [\theta _{1},\cdots,\theta _{N}]\time V.}$

슈퍼 벡터 공간의 범주

$K{\displaystyle \mathbb{}}$- ${\displaystyle S\mathrm{}}$ V ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\${SVect}$}$이$($가) 나타내는 수퍼 벡터 공간의 범주는 슈퍼 벡터 공간(고정 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ K ${\$이며, 형태변형이 선형 변환(즉, 보존 등급)인 범주다.

초선형 대수학에 대한 범주형 접근방식은 우선 범주 이론의 언어에서 일반(연장되지 않은) 대수 객체에 관한 정의와 이론을 공식화한 후 이를 초벡터 공간의 범주로 직접 전달하는 것이다.이것은 초알제브라, 리 슈퍼알제브라, 슈퍼그룹 등과 같은 "슈퍼 오브젝트"의 치료로 이어진다.

범주 $K{\displaystyle \mathbb{}}$- ${\displaystyle S\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{V}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\${SVect}$}$은(는) 슈퍼 텐서 제품을 단면제품으로 하고, 순수하게 수퍼 벡터 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$^{1$}을$단위 객체로 하는$$ 단면적인 범주다.비자발적 브레이딩 오퍼레이터

${\displaystyle \tau _{V,W:V\time W\rightarrow W\time V,}$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle \tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{x y}y\otimes x}$

동종 원소에서 $K{\displaystyle \mathbb{}}$- ${\displaystyle S\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{V}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\$ -$\mathrmethrm${SVect}$}$을(를) 대칭 단면체 범주로 변환한다.이 교등성 이형성은 초선형 대수학에 필수적인 "징후의 규칙"을 암호화하고 있다.그것은 두 개의 이상한 원소가 서로 교환될 때마다 마이너스 기호가 선택된다고 효과적으로 말한다.상기 연산자를 적절한 곳에서 사용하는 한 범주형 설정의 부호에 대해 걱정할 필요가 없다.

${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ is also a closed monoidal category with the internal Hom object, ${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$, given by the super vector space of all linear maps from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle W}$. The ordinary ${\displ$$aystyle \matrm {Hom}$set$$ $H{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}(V}$ ,${\displaystyle W}$ ) ${\displaystyle \matrm {Hom}(V,W)}$이(가) 다음 중 짝수 하위 공간이다$$.

${\displaystyle \mathrm {Hom}(V,W)=\mathbf {Hom}(V,W)_{0}}$

The fact that ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ is closed means that the functor ${\displaystyle -\otimes V}$ is left adjoint to the functor ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,-)}$, given a natural bijection

${\displaystyle \mathrm {Hom}(U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom}(U,\mathbf {Hom})(V,W)}$

수페랄게브라

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 위에 있는 슈퍼지브라(Superalgebra over K {\displaystyle ${\mathcal {A$})는 곱셈 지도가 있는$$ 슈퍼 벡터 공간 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\\$ {\mathcal {A$}$로 설명할 수 있다$$.

${\displaystyle \mathcal {A}\otimes {\mathcal {A}\to {\mathcal {A},}$

그것은 초벡터 공간 동형상이다.이것은^[5] 요구와 맞먹는다.

${\displaystyle ab = a + b ,\quad a,b\in {\mathcal{A}}$

연관성 및 ID의 존재는 $일반적$인 공통 다이어그램과 함께 표현될 수 있으므로, K$${\$displaystyle \mathb{$K}}에 대한 통일적 연관성 슈퍼알제브라가 K${\displaystyle }$- ${\displaystyle S\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{V}}$ e ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\$ }$$$}$ $범주$에서 모노이드인 것이다$$.

메모들

참조

• Deligne, P.; Morgan, J. W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5 – via IAS.

• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.