조로이드

수학에서, 특히 범주 이론과 호모토피 이론에서, 그룹형(Brandt groupoid 또는 가상 그룹)은 몇 가지 동등한 방법으로 그룹 개념을 일반화한다.그룹형(groupoid)은 다음과 같이 볼 수 있다.

• 바이너리 작동을 대체하는 부분 함수를 가진 그룹;
• 모든 형태론이 되돌릴 수 없는 범주.이러한 종류의 범주는 집단 이론과 유추하여 역행이라고 하는 형태론에 대한 단항연산을 통해 증강된 것으로 볼 수 있다.^[1]하나의 물체만 있는 groupoid는 일반적인 그룹이다.

종속적인 타이핑이 있는 경우 일반적으로 범주는 타이핑된 모노이드로 볼 수 있으며, 마찬가지로 그룹노이드도 단순히 타이핑된 그룹으로 볼 수 있다.형태론은 한 물체에서 다른 물체로 하나를 가져가고, 유형들의 종속적인 집단을 형성하므로, 형태는 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같이 입력될 수 있다${\displaystyle :}$ ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle g:$$A\오른쪽$ 화살표 $B$ h${\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ C ${\displaystyle h:$$B\rightarrow C}$라고 말한다$.$$이때{\displaystyle }$ 구성은 총함수:${\displaystyle (}$: (${\displaystyle B}$→ C ${\displaystyle )}$ →${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to }$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$ → ${\displaystyle C}$ → $\displaystyle \circ$ : $(B\오른쪽 화살표 C)\오른쪽 화살표 C$}\오른쪽 $화살표$ A$\오른쪽$ 화살표 C$}$ ${\displaystyle \mathrm{이렇게}}$ 해서 h$$${\displaystyle \circ }$ g${\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaysty hc$: $g\$$A. 오른쪽$ 화살표 C$.$

특별한 경우는 다음과 같다.

• Setoids: 동등성 관계가 있는 집합,
• G-set: 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 작업이 장착된 세트$.$

groupoids는 다지관과 같은 기하학적 물체에 대해 추론하는 데 종종 사용된다.하인리히 브랜트(1927년)는 브란트 세미그룹을 통해 암시적으로 그룹노이드를 도입했다.^[2]

정의들

groupoid는 G ${\displaystyle G$$}$과($와)$ $G{\displaystyle }$ {\$displaystyle$$G$$}$에 정의된 이진 부분함수 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle\ast$ $\}\text{'}$로 구성된$$ 대수 구조$({\displaystyle G}$,${\displaystyle }$∗ $)$이다$.$

대수학

groupoid는 ${\displaystyle 1^{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle {}^{-1}:$ 단항 작업을 수행하는 $G$ ${\displaystyle G}$ 집합이다${\displaystyle {}^{}}$$G\to G,}$ and a partial function ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$. Here * is not a binary operation because it is not necessarily defined for all pairs of elements of ${\displaystyle G}$. The precise conditions under which ${\displaystyle *}$ is defined are not articulated here and vary by situat이온의

${\displaystyle ▼}$ ${\displaystyle \ast }$ 및$$ 다음과 같은 자명 속성:$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$\},$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$및 c ${\displaystyle c}$에 대해$,$

1. 연관성:${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle b}$ ${\$$displaystyle a$$*b}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b*c}$을(를) 정의한 경우, ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$(${\displaystyle a}$$*b)*c}$ 및$$ $*c)$가 정의되고$$ 동일하다.Conversely, if one of ${\displaystyle (a*b)*c}$ and ${\displaystyle a*(b*c)}$ is defined, then so are both ${\displaystyle a*b}$ and ${\displaystyle b*c}$ as well as ${\displaystyle (a*b)*c}$ = ${\displaystyle a*(b*c)}$.
2. 역: $a{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ a ${\displaystyle$ $^{-1}*a}$ 및$$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}^{}}$- 1 ${\$ a$*{a^{-1}}$은(는$$) 항상 정의된다.
3. ID:${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a*b}$을(를) 정의한$$ 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b{}^{}}$ b${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle b}$ - 1 = a$${\$displaystyle a***{b^{-1}=a$${\displaystyle {\mathrm{a}}^{}}$ - ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ast }$b = ${\displaystyle b}$ = b ${\displaystystyle$ {a$^{-1}*b=b}$. (앞의 두 공리는 이미 이러한 표현이 정의되고 명확하다는 것을 나타낸다.

다음의 두 가지 쉽고 편리한 속성은 다음과 같다.

• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$= ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a$
• ${\displaystyle \ast }$ b ${\displaystyle a*b}$이(가) 정의된 경우,${\displaystyle }$( (${\displaystyle b{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ a${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$^[3]

범주 이론

그룹형(groupoid)은 모든 형태주의가 이형성, 즉 변형이 가능한 작은 범주다.^[1]좀 더 정확히 말하자면, groupoid G는 다음과 같다.

• 설정된 G의₀ 물체 세트 G
• G의₀ 각 객체 쌍 x와 y에 대해, x에서 y까지의 형태론(또는 화살표)의 G(x,y) 집합이 있다.f : x → y를 써서 f가 G(x,y)의 원소임을 표시한다.
• 모든 객체 x에 대해 G(x,x)의$$ 지정된 요소 $i{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$
• For each triple of objects x, y, and z, a function ${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$;
• 각 개체 x 쌍에 대해 y ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ i${\displaystyle \mathrm{v}}$ : ${\displaystyle G}$(${\displaystyle }$x ,${\displaystyle y}$) → ${\displaystyle G}$(${\displaystyle }$y ,${\displaystyle x}$) : ${\displaystyle f{}^{}}$f - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ :G(x$,y$) :G$(y,x)\righrow G(y):f\mapsto$ f$^{-1$

만족, f : x → y, g : y → z, h : z → w:

• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \text{i}{\mathrm{}}_{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$= f ${\displaystyle$ f$\\mathrm {id}$ ${\displaystyle \_}$${x}=f}$ 및 $i$ ${\displaystyle d{}_{}}$ =${\displaystyle }$f ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\$ f$=f}$;
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle h}$( g ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle (hg)f=h(gf$
• ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= i ${\displaystyle {}_{}}$ y$${\$displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}$ $및$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\$ f$^{-1}f=\mathrm {id} _{x$

f가 G(x,y)의 요소라면 x는 f의 소스, s(f)는 쓰여진 f의 대상, y는 쓰여진 t(f)의 대상이라고 한다.groupoid ${\displaystyle G_{}}$는 $때때로{\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$로 표시되며$,$ $여기$서 G ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ $G_{1}}{$0}는$$ 모든 형태론의 집합이며, G1 ${\displaystyle {}_{}}$ $G_{0}$에 대한 두 $화살표{\displaystyle {}_{}}$ $G1$ → G_${1}$은 소스와 대상을 나타낸다$$.

보다 일반적으로, 유한 섬유 제품을 허용하는 임의 범주의 그룹형 객체를 고려할 수 있다.

정의 비교

우리가 지금 보여주고 있는 것처럼 대수학과 범주-이론적 정의는 동등하다.범주-이론적 의미에서 그룹형(groupoid)이 주어진 경우 G는 모든 집합 G(x,y)의 분리 결합(즉, x에서 y까지의 모형의 집합)이 되도록 한다.그러면 $c{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\$$및{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i<img\; alt="\backslash mathrm\{comp\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0b47f36e7d8f7645ef103c658e42ff17b4d94c10"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:5.423ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="195">}}$ n v ${\$ {$inv}은($는) G에 대한 부분 연산이 되고 i n ${\displaystyle \mathrm{v}}$ ${\$ \$mathrm${inv}은$(으)$은 사실상 모든 곳에서 정의된다$$.▼를 $c{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ m ${\displaystyle \mathrm{p}}${\$displaystyle \mathrm {comp}$}, $그리고$ 대수적 의미에 groupoid를 주는 i ${\displaystyle \mathrm{v}}$ ${\$$}$로 정의한다.G에₀ 대한 명시적 참조(따라서 $i{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\$})를 삭제할 수 있다.

Conversely, given a groupoid G in the algebraic sense, define an equivalence relation ${\displaystyle \sim }$ on its elements by ${\displaystyle a\sim b}$ iff a ∗ a⁻¹ = b ∗ b⁻¹. Let G₀ be the set of equivalence classes of ${\displaystyle \sim }$, i.e. ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$. Denote a ∗ ${\displaystyle a}$ by⁻¹ $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ $1_{$$x$$},$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$인 $경우$$.$

이제 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle G(x,y)}$을(를) $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\${x$}*f*1_{y}}}}이($가) 존재하는 모든 요소의 집합으로$$ 정의하십시오$$.Given ${\displaystyle f\in G(x,y)}$ and ${\displaystyle g\in G(y,z),}$ their composite is defined as ${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$. To see that this is well defined, observe that since ${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$ and ${\displaystyle 1_y}$${\displaystyle {}_{}\ast }$($g$${\displaystyle 1_{}}$ 1 z${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle 1_{y}***($${\displaystyle g}$$*1_{z})*}$이 존재하므로 (1$$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$)${\displaystyle \ast }$ (g ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystystyle (1_{x}*1_{z}={$$z$}$f*g$x에 대한 아이덴티티 형태론은 ${\displaystyle 1_{}}$ x ${\$이며$,$ f의 범주-기상 역학은 f이다⁻¹.

위의 정의에 있는 세트는 범주 이론에서 일반적으로 그렇듯이 등급으로 대체될 수 있다.

꼭지점 그룹 및 궤도

그룹형 G가 주어진 경우 G의 정점 그룹 또는 동위원소 그룹 또는 객체 그룹은 G(x,x) 형식의 하위 집합이며, 여기서 x는 G의 어떤 객체라도 된다.위의 공리에서는 모든 원소 쌍이 구성 가능하고 반대로 동일한 꼭지점 그룹에 있기 때문에 이러한 원소들이 실제로 집단이라는 것을 쉽게 이해할 수 있다.

The orbit of a groupoid G at a point ${\displaystyle x\in X}$ is given by the set ${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subset X}$ containing every point that can be joined to x by an morphism in G. If two points ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ are in the same orbits, their vertex groups ${\displaystyle G(x)}$ and ${\displaystyle G(y)}$ are isomorphic: if ${\displaystyle f}$ is any morphism from ${\displaystyle x}$ to ${\displaystyle y}$, then the isomorphism is given by the mapping ${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$.

궤도는 세트 X의 분할을 형성하고, 그룹형(groupoid)은 하나의 궤도(동일하게, 범주로 연결되어 있는 경우)만 있으면 transitive라고 한다.이 경우 모든 꼭지점 그룹은 이형성이 된다(반면, 이것은 과도성을 위한 충분한 조건이 아니다. 아래 절에서 백골샘플을 참조하십시오).

부분군형 및 형태론

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\rightarrow X}$의 부분군 로드는 하위 범주 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle Y}$ $\$ Y {\$displaystyle$ H\$rightarrow$ Y$}$이며, 그 자체가 그룹형이다.넓거나 꽉 찬 경우, 즉,${\displaystyle }X{\displaystyle }$ = ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$X=$Y}$ $또는$ G${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle y}$) = H${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle y}$ )$${\$displaystyle$ G$(x,y)=$를 하위 범주로서 wide 또는 full이라고 한다.모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$( Y {\$displaystyle x,y\in Y}$에 $대한$ H$(x,y$$)\}.$

그룹형 형태론은 단순히 두 개의 (범주형-이식성) 그룹형 사이의 functor일 뿐이다.

조로이드의 특정한 형태는 흥미롭다.형태론 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ B ${\displaystyle p:$groupoids의 $E$$\to B}$은(는) ${\displaystyle E}$의 각 객체 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$과(는) p${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(x)}$에서 $시작$하는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ e$}$에 대해 ${\displaystystylee$}이$($$으$)가 있으면 진동이라고 한다.${\displaystyle p}$( ${\displaystyle e}$)${\displaystyle }$= b ${\displaystyle p(e)=b}$과 같은 디스플레이 $스타일$ x$\}.$ 그러한 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$이(가) 더 이상 고유하면$$ 피복 형태론 또는 groupoids의 커버라고 한다.groupoids의 커버 형태는 공간의 커버 지도를 모형화하는 데 사용될 수 있기 때문에 특히 유용하다.^[4]

또한 주어진 groupoid $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 형태론을 다루는 범주가 집합에 있는$$ $groupoid{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$의 동작 범주와 동등한 것도$$ 사실이다.

예

위상

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을$($를) 지정하면 ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을(를) 설정된 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 되도록 하십시오$.$$p{\displaystyle }$ 지점부터$q$ 지점까지의 형태는 p${\$$displaystyle$ p}에서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$까지의 연속 경로의 동등성 등급이며$,$ 두 경로는 동음이의 경로인 경우 동일하다.이러한 두 형태는 첫 번째 경로를 따라 구성되고, 두 번째 경로를 따라 구성된다. 호모토피 균등성은 이 구성이 연관성이 있다는 것을 보장한다.$이{\displaystyle }$ groupoid는 X ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $X}$의 기본 groupoid라고 불리며,$$${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi$ $_$${1}(X)}($또는 때로는 ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}1}$ ( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi \{1}(X)})$로 표기된다.$$^[5]일반적인 기본 그룹 ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$은 $점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x$의 정점 그룹이다$$.

$기본{\displaystyle }$ groupoid ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$의 궤도는 X ${\displaystyle X}$의 경로연결 성분이다$.$ 따라서 경로연결공간의 기본 groupoid는 transitive이며, 어떤 기본점에서도 이형성이라는 알려진 사실을 회복한다.더욱이 이 경우, 기본 집단과 기본 집단은 범주로 동등하다(일반 이론은 아래 절 참조).

이 아이디어의 중요한 확장자는 기본 그룹형 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$을(를) 고려하는 것이다. 여기서$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subset$ X$}$는 선택된 "기준점" 집합이다.여기서 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi$ $_$${1}($$X,A)}$은 ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$)의 (넓은) 부분군이다$.$ 여기서 끝점이 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 속하는 경로만 고려한다$.$세트 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$은(는) 현재 상황의 형상에 따라 선택할 수 있다$$$.$

등가관계

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 세트로이드(예: 동등성 관계${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim$ $\})$인 경우 이 동등성 관계를 "표시"하는 그룹형(groupoid)을 다음과 같이 구성할 수 있다.

• groupoid의 $개체$는 X ${\displaystyle X}$의 요소$;$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$의 $두{\displaystyle }$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$ 및 y ${\$$displaystyle$ $y}$에 대해 $x{\displaystyle }$~ {\$displaystyle$$$$xsim y$y$,x}$을(를$){\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{기준}}$으로 한 경우$,$ x ~ ${\displaystystyle xsy$ y}에$$ 대한 단일 모형이 있다.
• $({\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (z,y)}$ 및$$${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (y,x)}$의 구성은 ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (z,x)}$ 입니다$.$

이 그룹오이드의 꼭지점 그룹은 항상 사소한 것이다. 더욱이, 이 그룹오드는 일반적으로 타전성이 아니며 궤도는 정확하게 동등성 등급이다.극단적인 예는 두 가지다.

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 요소가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 다른 모든 요소와 관련되어 있다면$$$,$ 우리는 $X{\displaystyle }$$${\$displaystyle$X}의 쌍 그룹(Pair groupoid$)$을 얻는데, X ${\displaystyle \times }$ X {\$displaystyty X}$을 화살표 세트로 하고, Transitive이다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 요소가 자신과의 관계만 있는$$ 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 화살표 집합으로$$ $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\$$X$$\}\}\}$가 완전히 자동인 단위 groupoid를 얻는다(매 싱글톤${\displaystyle }${$}{\displaysty$$\}).$

예

예를 들어 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:$원활한 manifolds의 그 후에 X0×X0{\displaystyle X_{0}\times X_{0}\to Y}은 매끈매끈한 위로의. 담수, X0(YX0⊂ _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}은 등가성을 relation[6]이후 Y{Y\displaystyle}X0{\displaystyle X_{0}}아래에서 지수 토폴로지에 대한 위상 동형다.월토폴로지 공간의 덧없는 지도$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ Y ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$를 쓰면 groupoid가 나온다.

${\displaystyle X_{1}\오른쪽 화살표 X_{0}}$

그것은 때로는 부드러운 다지관의 굴절적인 침하의 진부한 그룹이라고 불린다.

체크로보이드

체치 그룹오이드^{[6]pg 5}(Achech $)$는 일부 다지관 X {\$displaystyle$=$U_{i}\}\{i\in$ I$}}$에 의해 주어지는 동등성 관계와 연관된 특별한 종류의 그룹노이드로, 그 개체는 일부 다지관 X {\$displaystystyle X}$에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle {\mathcal{G}_{0}=\coprod U_{i}}$

화살은 교차점이고

${\displaystyle {\mathcal{G}_{1}=\coprod U_{ij}}$

소스 및 대상 맵은 유도된 맵에 의해 제공된다.

${\displaystyle {\displaysty}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aigned}}}}$

그리고 포함 지도

$[\displaystyle \varepsilon:U_{i}\to U_{i}}}$

조로이드의 구조를 주는 것.사실, 이것은 설정에 의해 더 확장될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {G}_{n}={\mathcal {G}_{1}\time _{{\mathcal {G}_{0}}\cdots \time _{\mathcal {G}{0}}}{\mathcal {G}}_{1}:{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$G{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$displaystyle$ {\$displaystyle {\mathcal {G}_{n}}$이(가) 합성 화살표의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -tuble을$$ 나타내는$$ n ${\$displaystystyle $n}$ -tubles로$$ 표시된다.섬유제품의 구조지도는 암묵적으로 목표지도가 된다.

${\displaystyle {\display}U_{ijk}&\to &u_{ij}\\\downarrow &&\\downarrow \\\\\U_{i}\end{matrix}}}}}}$

$U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 맵이$$ 대상 맵인 데카르트 다이어그램이다.이 구조는 일부 ∞군단체를 모델로 볼 수 있다.또한, 이 건축의 또 다른 공예품은 K-Cocycle이다.

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}^{k}({\mathcal {U},{\underline {A})}}$

어떤 아벨 그룹들의 일정한 조각들은 하나의 함수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{1}\cdots i_{k}\to A}$

코호몰로지 수업의 명시적 표현

집단행동

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이$($가) $설정$된 X ${\displaystyle X}$에 작용하는$$ 경우 다음과 같이 이 그룹 작업을 나타내는 작업 그룹노이드(또는 변환 그룹노이드)를 구성할 수 있다.

• $개체$는 X ${\displaystyle X}$의 요소$;$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 두 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$에 대해$,$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle g$$}$에서 y ${\$$displaystyle$ $y}$까지의 형태는 ${\displaystyle g}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystystyle$ g$}$의 요소$$ g$}$에 해당한다$.$
• 형태론의 구성은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 이진 작동을 해석한다$.$

More explicitly, the action groupoid is a small category with ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$ and ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$ and with source and target maps ${\displaystyle s(g,x)=x}$ and ${\displaystyle t(g,x)=gx}$.올바른 동작을 위해 ${\displaystyle \mathrm{종종}}$$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⋉}$ X ${\displaystyle G\ltimes$ X$}($$또는{\displaystyle }$ X ${\displaystyle ⋊}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\rtimes$ G$})$로 표시된다.groupoid의 곱하기(또는 구성)는${\displaystyle }$y = g = ${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle h}$, x${\displaystyle }$) = ( ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$이며, 이 값은$$ $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ x ${\displaysty y=gx}$로 정의된다$.$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$의 x ${\displaystyle$ x$}$의 경우, 정점 그룹은${\displaystyle }$$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ $gx=x$$}$을(를$)$ 가진$$ (${\displaystyle g}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystystyle$ $gx$=$x}$로 구성되며, $이$는 정점 그룹을 동위원소 그룹이라고도 하는 이유 입니다.마찬가지로, 작용 그룹오이드의 궤도는 그룹 작용의 궤도이며, 그룹 작용이 전이적인 경우에 한해서만 그룹오이드는 전이적이다.

Another way to describe ${\displaystyle G}$-sets is the functor category ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$, where ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ is the groupoid (category) with one element and isomorphic to the group ${\displaystyle G}$. Indeed, every functor ${\displaysty$$le F}$ of this category defines a set ${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$ and for every ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ (i.e. for every morphism in ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$) induces a bijection ${\displaystyle F_{g}}$ : ${\displaystyle X\to X}$.The categorical structure of the functor ${\displaystyle F}$ assures us that ${\displaystyle F}$ defines a ${\displaystyle G}$-action on the set ${\displaystyle G}$. The (unique) representable functor ${\displaystyle F}$ : ${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$ is the Cayley representation of ${\displaystyle G}$. In fact, this functor is isomorphic to ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$ and so sends ${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$ to the set ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$which is by definition the "set" ${\displaystyle G}$ and the morphism ${\displaystyle g}$ of ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ (i.e. the element ${\displaystyle g}$ of ${\displaystyle G}$) to the permutation ${\displaystyle F_{g}}$ of the set ${\displaystyle G}$. We deduce from the Yo그룹 $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G$$}$이(가) $그룹{\displaystyle }$${\displaystyle }${${\displaystyle F_{}}$ g ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g}$ $∈$ $}$ {\$displaystyle \{F_{$g}\$mid$ $g$$\$in $G\}}}$에 대해$$이형성이라는 것을 포함하는 네다$.$

유한 집합

Consider the group action of ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ on the finite set ${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$ which takes each number to its negative, so ${\displaystyle -2\mapsto 2}$ and ${\displaystyle 1\mapsto -1}$. The quotient groupoid ${\dis$$Playstyle$[X$/G$]}은$$(는) 이 그룹 작업${\displaystyle }${ 0 ],${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1],}$[${\displaystyle }$$2$ $}$ {\$displaystyle$\{0$],[$$1],[$2$]\displaystyle$[$]$에 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystystyle \mathb {Z} /$2}의 그룹 작업이 있다$$.

지수 품종

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle GL(n)}$에 매핑되는$$ 임의의 $유한{\displaystyle }$ 그룹$$G$${\$displaystyle$ GL$(n$$)$은 부속 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$에 대한 그룹 액션을 제공한다($$이것이 자동화 그룹이기 때문에$).$그런 다음, 인용 부조형은${\displaystyle }$[${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$/ G ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\mathb {A} ^{n}/G]$ 형식일 수 있으며$,$ 이 형식은 $스태빌라이저{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$이(가) 원점에 있는$$ 1 점을 가질 수 있다.이와 같은 예는 오비폴즈 이론의 기초를 이룬다.일반적으로 연구되는 또 다른 오비폴드 계열은 가중 투영 공간 $P{\displaystyle \mathbb{}({n\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathb {P}(n_{1},\ldots,n_{k})$와 그 하위 공간(예: Calabi-Yau 오비폴드)이다.

groupoids의 섬유 제품

groupoid morphism을 갖는 groupoids 도표 지정

${\displaystyle {\begin{aggined}&&X\&\&\&\downarrow \\\Y&\오른쪽 화살표 &Z\end}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Z ${\displaystyle f:X\to Z}$ 및 $g$ : ${\displaystyle Y}$→ Z ${\displaystyle g:$$Y\to Z$ 그룹형 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X\times _{Z}$를 구성할 수 있다.$Y}$ whose objects are triples ${\displaystyle (x,\phi ,y)}$, where ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$, ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$, and ${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$ in ${\displaystyle Z}$. Morphisms can be defined as a pair of morphisms ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ where ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ and ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ such that for triples ${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$, there is a commutative diagram in ${\displaystyle Z}$$$ of ${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$, ${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$ and the ${\displaystyle \phi ,\phi '}$.^[7]

호몰로지 대수

두 용어 콤플렉스

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\오른쪽 화살표 }}}}C_{0}}}$

콘크리트 아벨리아 범주의 물체들은 그룹노이드 형성에 사용될 수 있다.It has as objects the set ${\displaystyle C_{0}}$ and as arrows the set ${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$; the source morphism is just the projection onto ${\displaystyle C_{0}}$ while the target morphism is the addition of projection onto ${\displaystyle C_{1}}$ composed with $$${\displaystyle }$${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d}$ 및$$ $C{\displaystyle {}_{}}$ 0$${\$displaystyle C_{0}$에 투영$.$즉, ${\displaystyle {주어진\mathrm{}}_{}}$ $c{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ c ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$$}}\in C_{1}\oplus C_{0$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0}}=d(c_{1})+c_{0}.}$

물론, 아벨의 범주가 어떤 계획에 대한 일관성 있는 조각의 범주라면, 이 구조물은 그룹오이드의 사전 층을 형성하는 데 사용될 수 있다.

퍼즐

루빅 큐브와 같은 퍼즐은 집단 이론을 사용하여 모델링할 수 있지만(루빅 큐브 그룹 참조), 특정 퍼즐은 그룹오이드로 모델링하는 것이 더 낫다.^[8]

15개의 퍼즐의 변형들은 그룹노이드(모든 움직임이 구성될 수 있는 것은 아니기 때문에 그룹이 아니다)를 형성한다.^[9][10][11]이 조로이드는 구성에 작용한다.

마티외족

마티외 그룹노이드(Mathieu groupoid)는 존 호튼 콘웨이가 13개 포인트에 작용해 포인트를 고정하는 요소들이 마티외 그룹₁₂ M의 카피를 형성하도록 도입한 그룹노이드다.

그룹 관련

그룹형 구조
	토털리티α	연관성	아이덴티티	반전성	동시성
세미그룹체	필요없음	필수의	필요없음	필요없음	필요없음
소분류	필요없음	필수의	필수의	필요없음	필요없음
조로이드	필요없음	필수의	필수의	필수의	필요없음
마그마	필수의	필요없음	필요없음	필요없음	필요없음
퀘이시그룹	필수의	필요없음	필요없음	필수의	필요없음
유니탈 마그마	필수의	필요없음	필수의	필요없음	필요없음
세미그룹	필수의	필수의	필요없음	필요없음	필요없음
루프	필수의	필요없음	필수의	필수의	필요없음
그룹 또는 비어 있음	필수의	필수의	필요없음	필수의	필요없음
모노이드	필수의	필수의	필수의	필요없음	필요없음
정류단모노이드	필수의	필수의	필수의	필요없음	필수의
그룹	필수의	필수의	필수의	필수의	필요없음
아벨 군	필수의	필수의	필수의	필수의	필수의
^α 많은 선원에 의해 사용되며 다르게 정의되는 폐쇄 공리는 동등하다.

만약 조로이드가 하나의 개체만을 가지고 있다면, 그것의 형태론의 집합은 그룹을 형성한다.대수적 정의를 사용한다면, 그러한 그룹형(groupoid)은 말 그대로 그룹일 뿐이다.^[12]집단 이론의 많은 개념들은 집단 동형성을 대체하는 functor의 개념과 함께 groupoids에 일반화된다.

모든 전이성/연결된 그룹형 - 즉, 위에서 설명한 것처럼 어떤 두 물체가 적어도 하나의 형태론에 의해 연결되어 있는 그룹형 -${\displaystyle }$(${\displaystyle 위}$에서 정의한 바와 같이) 액션 그룹형 (G${\displaystyle }$,${\displaystyle X}$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $(G,X)}$에 이소모르핀이다$.$ transitivity에 의해, 그 작용 아래 하나의 궤도만 존재할 것이다.

방금 언급한 이소모르퍼시즘은 독특한 것이 아니며, 자연스러운 선택도 없다는 점에 유의한다.전이성 그룹형에서 이러한 이형성을 선택하는 것은 본질적으로 $하나$의 객체 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$${0$$\},$ G (x_{0$})$에서 G {\$displaystyle G$까지$$그룹 이형성 $h{\displaystyle }$ {\displaystyle $h$$}$을(를$)$ 선택하고, $각{\displaystyle {}_{}}$ $x{\displaystyle }$ ${\$ g$}$을 ${\displaystyle {선택}_{}}$하는 것과 같다.${\displaystyle {x\_\mathrm{}}_{}}$${0}},$ $x{\displaystyle }$ 0 ${\$에서 x ${\displaystyle x}$까지의 G ${\displaystyle G}$의 형태론$.$

groupoid가 transitive가 아닌 경우, 연결된 구성 요소라고도 하는 위의 유형의 groupoids의 분리된 결합에 대해 이형성이며(아마도 연결된 각 구성 요소에$$ 대해 다른 $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G}$과 함께$$X {\$displaystyle$ X$}$을(를) 설정한다.

범주-이론적 용어에서, groupoid의 각각의 연결된 구성요소는 단일 개체, 즉 단일 그룹을 가진 groupoid와 동일하지만 이형성은 아니다.따라서 어떤 그룹도 관련이 없는 그룹의 멀티셋과 동등하다.즉, 이형성 대신 동등성을 위해, $집합{\displaystyle }$ X를 지정할 필요가 없고$,$ $그룹{\displaystyle }$ G${\displaystyle .}${\$displaystyle$$$$G.}$ 예를$$ 들어,

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 기본 그룹 형태는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 각 경로 연결 구성요소의 기본 그룹 집합과 동일하지만$,$ 이형성에서는 각 구성요소의 점 집합을 지정해야 한다.
• $동등성{\displaystyle }$ 관계${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$을(를) 가진$$ X {\$displaystyle$ X$}$ 집합은$$ 각 동등성 등급에 대해 하나의 사소한 그룹 사본과 동일하지만, 이형성에서는 각 동등성 등급이 무엇인지를 다음과 같이 명시해야 한다.
• 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 동작이 장착된$$ $세트{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$는 동작의 각 궤도에 $대해$ G ${\displaystyle G}$의 한 카피와 동일하지만, 이형동성에서는 각 궤도 설정값을 지정해야 한다.

그룹노이드의 단순한 집단 집합으로 붕괴되는 것은 자연스럽지 않기 때문에 범주의 이론적 관점에서도 일부 정보를 잃어버린다.따라서 위의 예에서와 같이 다른 구조물의 측면에서 조로이드가 발생할 경우 조로이드 전체를 유지하는 것이 도움이 될 수 있다.그렇지 않으면 각 $G{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle G(x)}$을(를) 단일 그룹으로 볼$$ 수 있는 방법을 선택해야 하며, 이 선택은 임의적일 수 있다.위상의 예에서, 동일한 경로 연결 구성요소의 각 $지점{\displaystyle }$$$ p ${\displaystyle$ p$}$에서 각 지점 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$까지의 경로$$(또는 경로의 동등성 클래스)를 일관성 있게 선택해야 한다.

좀 더 분명한 예로서, 하나의 내형성을 가진 그룹오이드의 분류는 순수하게 그룹 이론적 고려사항으로 줄어들지 않는다.이는 하나의 내형성을 가진 벡터 공간의 분류가 비경쟁적이라는 사실과 유사하다.

그룹오이드의 형태론은 집단의 형태론보다 더 많은 종류가 있다. 예를 들어, 우리는 섬유화, 형태론, 보편적 형태론, 그리고 인지도적 형태론을 다룬다.Thus a subgroup ${\displaystyle H}$ of a group ${\displaystyle G}$ yields an action of ${\displaystyle G}$ on the set of cosets of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ and hence a covering morphism ${\displaystyle p}$ from, say, ${\displaystyle K}$ to ${\displaystyle G}$, where${\displaystyle }$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) 정점 그룹이 H {\displaystyle $H}$과(와$)$ 등정점 그룹이 $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ H}에 대한 그룹 G {\$displaysty K}$의 프레젠테이션에 "lift"할 수 있으며$$$,$ 이는 하위 그룹 $H{\displaystyle }$ ${\disp$의 프레젠테이션에 대한 정보를 얻는 유용한 방법이다$.$$laystyle$ H$\}.$ 자세한 내용은 참조서에서 히긴스의 책과 브라운의 책을 참조하십시오.

조로이드의 범주

개체들이 조로이드이고 형태들이 조로이드 형태론인 범주를 조로이드 범주, 즉 조로이드 범주라고 하며 Grpd에 의해 표시된다.

The category Grpd is, like the category of small categories, Cartesian closed: for any groupoids ${\displaystyle H,K}$ we can construct a groupoid ${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$ whose objects are the morphisms ${\displaystyle H\to K}$ and whose arrows are the natural equivalences of morphisms. 따라서 $H{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H,K}$이(가) 그룹일$$ 경우 그러한 화살표는 형태론의 결합이다.주요 결과는 모든 groupoids $G{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G, H,$ K$}$에 대해 자연적인 편견이 있다는$$ 것이다.

${\displaystyle \operatorname {Grpd}(G\time H,K)\cong \operatorname {Grpd}(G,\operatorname {GPD}(H,K))}$

이 결과는 모든 groupoids $G{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle H,}$ K ${\displaystyle G,H,K}$이(가) 집단일$$ 뿐이라도 관심의 대상이다.

Grpd의 또 다른 중요한 특성은 그것이 완전하고 완벽하다는 것이다.

고양이와의 관계

포함 $i{\displaystyle }$: G ${\displaystyle \mathbf{r}}$ ${\displaystyle \mathbf{p}}$ d${\displaystyle }$→ C ${\displaystyle \mathbf{a}}$ ${\$은(는) 왼쪽과 오른쪽을 모두 가짐$$:

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd}}}(C[C^{-1},G)\cong \hom _{\mathbf {Cat}}(C,i(G)})}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat}}(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd}(G,\mathrm {Core})(C)}$

여기서 $C{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C[C^{-1}]}$는 모든 형태론을 뒤집는 범주의 지역화를 나타내며$$, $C{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}(C}$) ${\displaystyle \mathrmatm {Core}(C)$는 모든 이형성의 하위 범주를 나타낸다$$.

sSet와의 관계

신경 펑터 $N{\displaystyle }$: G ${\displaystyle \mathbf{r}}$ ${\displaystyle \mathbf{p}}$ ${\displaystyle \mathbf{d}}$→ ${\displaystyle \mathbf{S}}$ ${\displaystyle e\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\$ N$:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet}}}$은(는) 단순 집합 범주의 전체 하위 범주로 Grpd를 포함시킨다$$.그룹오이드의 신경은 항상 칸 콤플렉스다.

그 신경은 좌뇌를 가지고 있다.

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd}}(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {set}}}}(X,N(G)})}$

여기서 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$은 단순 집합 X의 기본 그룹노이드(groupoid)를 나타낸다$$.

Grpd의 조로이드

내부 그룹오이드에서 파생될 수 있는 추가적인 구조가 있는데, 그룹오이드, 이중그룹오이드의 범주에 해당한다.^[13][14]Grpd는 2-카테고리이기 때문에 별도의 구조가 있기 때문에 1-카테고리 대신 2-카테고리를 형성한다.본질적으로 이들은 functors가 있는$$ ${\displaystyle {g1}_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}{G}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$이다.

${\displaystyle s,t}{\mathcal{G}_{1}\to {\mathcal{G}_{0}}에$

그리고 신원 확인자가 준 임베딩.

${\displaystyle i}{\mathcal {G}_{0}\to {\mathcal {G}_{1}}$

이 2-그룹에 대해 생각해 볼 수 있는 한 가지 방법은 그것들이 수직과 수평으로 함께 합성할 수 있는 물체, 형태론, 정사각형을 포함하고 있다는 것이다.예를 들어, 주어진 제곱

∙ → ∙ ↓ ↓ ∙ →∙{\displaystyle{\begin{행렬}\bullet&\to&\bullet \\\downarrow&&\downarrow \\\bullet&\xrightarrow{를}&\bullet \end{매트릭스}}}과 →∙ ↓ ↓, \xrightarrow{를}&→∙{\displaystyle{\begin{행렬}\bullet 및 ∙ \bullet \\\downarrow &a ∙.융점,&\downarrow \\\bullet&\t$o &\put \end{prod}}$

$동일$한 형태론({\$displaystyle a})$으로, 도표를 제공하는 수직 결합이 가능하다$.$

${\displaystyle {\down}\to &\to &\downarrow &&\downarrow {a} &gt;\downarrow {a} &gt;downarrow \downarrow &gt;\to &\to&\downarrow}}$

수직 화살표를 구성하여 다른 정사각형으로 변환할 수 있다.정사각형의 수평적 부착에 대해서도 유사한 구성법이 있다.

기하학적 구조를 가진 조로이드

기하학적 사물을 연구할 때 발생하는 조로이드는 종종 위상적인 조로이드, 혹은 심지어 어떤 상이한 구조로 변하여 리 조로이드로 변하게 된다.이 마지막 물체들은 또한 리 그룹과 리 알헤브라의 관계와 유사하게 연관되어 있는 리 알헤브로이드의 관점에서 연구될 수 있다.

기하학에서 발생하는 groupoids는 종종 groupoid 곱셈과 상호작용하는 추가적인 구조를 가지고 있다.예를 들어, 포아송 기하학에서 1은 호환 가능한 공통적 형태를 가진 Lie groupoid라는 공통적인 groupoid 개념을 가지고 있다.마찬가지로 호환 가능한 리만 메트릭스, 또는 복잡한 구조 등을 가진 그룹노이드를 가질 수 있다.

참고 항목

• 그룹형 코호몰로지
• ∞-groupoid
• 2그룹
• 호모토피형 이론
• 역분류
• 준군 대수(대수학 groupoid와 안 혼동해서는 됨)
• R-알게브로이드

메모들

참조

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• 브라운, 로날드, 1987년 "그룹에서 집단으로: 간단한 조사" 런던 수학. Soc. 19:113-34.브란트의 이차적 형태 작업을 시작으로 1987년까지의 그룹오이드의 역사를 검토한다.다운로드 가능한 버전은 많은 참고 자료를 업데이트한다.
• —, 2006.위상 및 그룹형.북서지.1968년과 1988년에 이전에 출판된 책의 개정판과 연장판.조로이드는 위상학적 적용의 맥락에서 도입된다.
• —, 고차원 그룹 이론 어떻게 그룹노이드 개념이 고차원 호모토피 그룹화(homotopy groupoids)로 이어졌는지 설명하며, 호모토피 이론과 그룹 코호몰로지(chomology)에 응용된다.많은 참고 문헌.
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• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois 이론.케임브리지 유니브언론. 갈루아 이론의 일반화가 어떻게 갈루아 집단으로 이어지는지를 보여준다.
• 카나스 다 실바, A, 그리고 A. 웨인슈타인, 알제브라를 위한 기하학적 모델.특히 6부.
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• "Groupoid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 히긴스, P.J. "그룹 그래프의 기본 그룹화", J.런던 수학.Soc. (2) 13 (1976년) 145—149.
• 히긴스, P.J., 테일러, J. "기본적인 그룹형과 호모토피가 궤도 공간의 콤플렉스를 교차했다." 범주 이론(Gumbersbach, 1981), 렉처 노트 인 수학 962권.스프링거, 베를린 (1982년), 115 - 122.
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• 맥켄지, K. C. H. 2005.리 조로이드와 리알헤브로이드의 일반 이론.케임브리지 유니브누르다
• 와인스타인, 앨런, "Groupoids: 내외부 대칭 통일 - 몇 가지 예를 통한 투어"또한 포스트스크립트, AMS 통지서, 1996년 7월, 페이지 744–752에서도 이용할 수 있다.
• 와인스타인, 앨런 "모멘텀의 기하학"(2002)
• R.T. 지발제비치"결합기에 있는 그룹화—지역 대칭 이론의 적용"대수학 및 기하학 콤비네이터학에서는 Consemp의 423권이다. 수학, 305–324.아머. 수학.Soc, Providence, RI(2006)
• nLab의 기본 그룹화
• nLab의 핵심