로컬로 연결된 공간

위상과 수학의 다른 분야에서 위상학적 공간 X는 모든 지점이 완전히 개방되고 연결된 집합으로 구성된 인접성을 인정하는 경우 국소적으로 연결된다.null

배경

위상의 역사를 통틀어, 연결성과 압축성은 가장 널리 연구된 위상학적 특성들 중 두 가지였다.실제로 유클리드 공간의 하위 집합들 사이에서도 이러한 속성에 대한 연구와 유클리드 지표의 특정한 형태로부터 독립성을 인정받은 것은 위상적 속성과 그에 따른 위상적 공간의 개념을 명확히 하는 데 큰 역할을 했다.그러나 유클리드 공간의 콤팩트 하위 집합의 구조가 하이네-보렐 정리를 통해 상당히 일찍 이해된 반면, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$n > 1)의 연결된 하위 집합은 훨씬 더 복잡한 것으로 판명되었다.실제로 모든 소형 하우스도르프 공간은 국소적으로 좁지만, 연결된 공간, 심지어 유클리드 평면의 연결된 부분집합도 국소적으로 연결될 필요가 없다(아래 참조).null

이것은 20세기 전반의 풍부한 연구 정맥으로 이어졌는데, 이 연구에서 토폴로지학자들은 국지적으로 연결된 공간의 개념에 대한 점점 더 미묘하고 복잡한 변화 사이의 함의를 연구했다.예를 들어, 한 지점에서 약한 국부적 연결성의 개념과 국부적 연결성에 대한 관계는 나중에 본 기사에서 고려될 것이다.null

20세기 후반에 연구 경향은 다지관과 같은 공간에 대한 보다 강도 높은 연구로 옮겨갔다. 다지관과 같은 공간은 국지적으로 잘 이해되지만(유클리드 우주와 국지적으로 동형화된 공간) 지구적 행동이 복잡하다.이것에 의해 다지관의 기본 점 집합 위상은 비교적 단순하지만(다지관은 개념의 대부분의 정의에 따라 본질적으로 측정 가능하기 때문에), 그들의 대수 위상은 훨씬 더 복잡하다는 것을 의미한다.이러한 현대적 관점에서 볼 때, 지역 경로 연결성의 더 강한 특성이 더 중요한 것으로 판명된다. 예를 들어, 공간이 보편적인 커버를 인정하기 위해서는 그것이 연결되고 지역적인 경로로 연결되어야 한다.지역 경로 연결성 또한 논의될 것이다.null

공간은 모든 열린 집합 U에 대해 (하위공간 토폴로지에서) U의 연결된 구성요소가 열려 있는 경우에만 로컬로 연결된다.예를 들어, 로컬로 연결된 공간에서 완전히 분리된 공간으로 이어지는 연속 함수는 로컬로 일정해야 한다.사실 구성요소의 개방성은 너무나 자연스러워서 일반적으로 사실이 아님을 명심해야 한다. 예를 들어 칸토어 공간은 완전히 분리되어 있지만 분리되어 있지 않다.null

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$을(를) 위상학적 공간으로 하고$$, $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ x$}$을(를) $X$의 점으로 한다$$$.$

우주 X{X\displaystyle}가 되.mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}locally에서 연결되어{\displaystyle)}하는 경우 모든 열려 있어 x을 포함하는, V{V\displaystyle}세트{\displaystyle x}관계(각각 국내 길)에 연결된{\displaystyle x})다고 한다.하위 집합 U⊆ V{\displaystyle U\subseteq V}){\dis되어 있다.$Playstyle x}$이(가) 연결되어 있고${\displaystyle (}$존중하게, 경로로 연결됨) $X$의 열린 부분 집합과 개방형 부분 집합이 모두 연결되어$$있는 $경우$. {\$displaystyle$ X$}$ 더 간명하게 말함$$. 해당 지점에 완전히 연결된 열린 이웃으로 구성된 근린 기반이 존재하는 경우에만 공간은 특정 지점에서 로컬로 연결됨(존중하게, 로컬 경로로 연결됨)경로로 연결된 개방된 지역).null

우주 X{X\displaystyle}만약 그것이 지역적으로 x{\displaystyle)}에서 모든 x∈ X에 연결되어 있는 지역적으로(각각 국내 길 연결되어)연결되는.{\displaystyle x\in X}[1]지역 유대감(R{\displaystyle \mathbb{R}에}두 연결되지 않은 개방 간격을 고려해 유대감을 의미하지는 않다고 한다. 를예); 그리고 연결성은 국소 연결을 의미하지 않는다(위상학자의 사인 곡선 참조).null

경로연결공간이 연결되고 결과적으로 국소경로연결공간이 국소적으로 연결된다.역은 유지되지 않는다(아래 예시 중 일부 참조).null

약하게 로컬로 연결됨

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 열어야 한다는 요구 사항을 제거하면 다음과 같은 더 약한 개념으로 이어진다$$.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$$}$을(를) 포함하는$$ 모든 $열린{\displaystyle }$ 집합 V ${\displaystyle V}$에 대해 $연결$된 하위 $집합{\displaystyle }$ N$$${\$$displaystyle N$}이$$$$(가) 있는 경우 $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ $X$$}$은$($$또는{\displaystyle }$ x ${\displaystystyle x}$에 연결된 클라인)에 약하게 로컬로 연결되어 있다고 한다$$.$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) N${\displaystyle .}$ ${\displaystyle N}$의 내부에$$ 있다는$$ 것 등가$$ $정의{\displaystyle }$:$$x {\$displaystyle$ x$}$을(를$$) 포함하는 각 $오픈{\displaystyle }$ 세트$$V {\$displaystyle V}$은(는)$$U {\$displaystystyle U}$의 두 점이 있는$$ $경우$$V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$ $스페이스$^[2] X ${\displaystyle X}$이(가) 매 x${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{X<img\; alt="x"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.33ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="123">}}$. {\displaystyle $x.in.}$에 대해 x {\$displaystyle x}$에서 약하게 로컬로 연결된 경우 약하게 로컬로 연결된다고 한다$$.

두 정의 간의 유일한 차이점은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의 로컬 연결성에 대해$$ $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $x$$}$을(를) 포함하는 열린 연결 집합의 인접 기반이 필요한 반면$$ x ${\displaystyle$ x$}$의 약한 로컬 연결성에 대해서는${\displaystyle }x$를 포함하는 연결 집합의 인접 기반만 필요하다는 것이다.더 간결하게 말하지만$$$,$ x ${\displaystyle$ $x}$에 완전히 연결된(존중하고, 연결되고, 열린) 이웃으로 구성된$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 근린 기반이 존재하는 경우에만$$ $공간$은 x {\displaysty x$}$ 지점에서 약하게(존중하고, 로컬로 연결됨) 연결되어 있다.null

$명백히{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에서 로컬로 연결된 $공간$은 x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.}$에서 약하게 로컬로 연결되어 있음$$ 역은 고정되지 않는다(아래에 빗자루 공간인 counterrexample이 주어진다).반면에, 국지적으로 연결된 공간이 약하게 국지적으로 연결되어 있다는 것은 마찬가지로 분명하지만, 여기서 (아래에서 증명된 바와 같이) 역이 쥐고 있다는 것이 밝혀진다: 모든 지점에서 국지적으로 약하게 연결된 공간은 반드시 그 모든 지점에서 국지적으로 연결되어 있다.^[3]그러므로

증명에서 "연결"이라는 단어의 모든 인스턴스를 "연결된 경로"로 대체함으로써, 모든 지점이 전적으로 경로로 연결된 이웃으로 구성된 근린 기반이 있는 경우에만(이 동네들은 개방된 집합이 될 필요는 없다) 공간은 국지적으로 연결된다는 것을 보여줄 수 있다.일부 저자들은 주어진 정의 대신 이 후자의 조건(주변 지역이 개방될 필요가 없는 경우)을 "로컬 경로로 연결된 공간"의 정의로 사용한다.null

빗자루 공간을 줄이는 어떤 무한 결합은 특정 지점에서 약하게 국부적으로 연결되지만 그 지점에서는 국부적으로 연결되지 않는 공간의 예다.^[4]null

첫 번째 예

1. 임의의 양의 정수 ${\displaystyle {}^{}}$에 대해 유클리드 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$은(는) 로컬로 연결되어 있으므로$$ 로컬로 연결되며, 또한 연결된다.
2. 보다 일반적으로, 모든 국소 볼록 위상 벡터 공간은 국소적으로 연결된다. 각 지점에는 볼록(따라서 연결된) 근방의 국소 기반이 있기 때문이다.
3. 실제 라인 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}의$$ 하위 공간 $S{\displaystyle }$=$$[$0,1]\cup [2,3]}$은(는) 로컬로 연결되어 있지만$$ 연결되지는 않는다.
4. 위상학자의 사인 곡선은 연결되었지만 국소적으로 연결되지 않은 유클리드 평면의 하위 공간이다.^[5]
5. 표준 유클리드 위상에 부여된 합리적 숫자의 $공간$ Q ${\$은(는) 연결되거나 로컬로 연결되지 않는다.
6. 빗 공간은 연결된 경로지만 로컬 경로가 아니며 로컬로 연결된 경로도 아니다.
7. 코피나이트 토폴로지와 함께 제공되는 무한대의 집합은 로컬로 연결되지만(사실, 초연결) 로컬로 연결되지는 않는다.^[6]
8. 단위 사각형의 사전 순서 토폴로지는 연결되고 로컬로 연결되지만 경로 연결은 되지 않으며 로컬 경로도 연결되지 않는다.^[7]

A first-countable Hausdorff space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is locally path-connected if and only if ${\displaystyle \tau }$ is equal to the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by the set ${\displaystyle C([0,1];X)}$ of all continuous paths ${\display$$스타일 [0,1]\to (X,\tau$$)$$}$

더 많은 예들이 그 글의 뒷부분에서 제시된다.null

특성.

1. 국소 연결성은 정의상 위상학적 공간의 국소적 특성, 즉 X의 각 점 X가 P를 갖는 집합의 근린적 기반을 인정하는 경우에만 공간 X가 P를 소유하는 위상학적 속성 P이다.따라서, 지역 자산에 의해 보유되는 모든 "메타프로퍼티"는 국소 연결을 위해 보유된다.특히:
2. 연결된 하위 집합의 베이스가 허용되는 경우에만 공간이 로컬로 연결된다.
3. $분리$ 유니언${\displaystyle }$$\coprod {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\coprod _{$${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \{X_$${i}\}}}}$개의$$ $공간$이 ${\displaystyle {로컬}_{}}$로 연결된 경우에만 로컬로 연결된다.특히, 단일 지점은 확실히 국소적으로 연결되어 있기 때문에, 그것은 어떤 이산 공간도 국소적으로 연결되어 있다는 것을 따른다.반면에 이산 공간은 완전히 단절되어 있기 때문에 최대 한 지점이 있을 때만 연결된다.
4. 반대로 완전히 분리된 공간은 분리된 경우에만 로컬로 연결된다.이것은 앞서 언급한 합리적 숫자들이 국지적으로 연결되어 있지 않다는 사실을 설명하는 데 사용될 수 있다.
5. 비어 있지 않은 제품 공간 $\prod {\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$ $각{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle X_{i}}}$이(^[8]가) 로컬로 $연결$되어 있고 ${\displaystyle X_{}}$ i$${\$displaysty X_{i}}}$를 제외한 모든 것이 로컬로 연결되어 있는$$ 경우에만 로컬로 연결된다$$.
6. 모든 초연결된 공간은 로컬로 연결되고 연결된다.

구성 요소 및 경로 구성 요소

다음 결과는 정의에서 거의 즉시 따라오지만 상당히 유용할 것이다.

레마: X를 공간이 되게 하고$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$X의 하위 집합의 가족.$\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$라고 가정합시다.$Y_{i}}$는 비어 있지 않다.그런 다음 각 ${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\$이(가) 연결되면$$(존중하게 연결된 경로) 조합${\displaystyle \underset{i}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$$Y_{i}}}$이(가) 연결되어 있다(존중하게, 경로가 연결되어 있음).^[9]null

이제 위상학적 공간 X에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 두 가지 관계를 고려하십시오$$. $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle x,y\in X,}:$

${\displaystyle }$x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x\equiv _{c}y}$ x와 y를 모두 포함하는 X의 하위 집합이 연결된 경우$$

${\displaystyle }$x${\displaystyle {}_{}}$y p c y {\$displaystyle x\equiv _{pc}y}$ x와 y를 모두 포함하는 X의 부분 집합에 연결된 경로가 있는 경우$$.

분명히 두 관계 모두 반사적이고 대칭적이다.더욱이, x와 y가 연결된 (존중하게 연결된 경로) 부분 집합 A와 y와 z가 연결된 부분 집합 ${\displaystyle B}$로 연결되어 있다면, LemMA는 $A{\displaystyle }$∪ B ${\displaystyle A\cup B}$이(가) x, y, z를 포함하는 연결된 (경로 연결된) 부분 집합임을 암시한다.따라서 각 관계는 동등성 관계이며, X의 분할을 동등성 등급으로 정의한다.우리는 이 두 칸막이를 차례대로 고려한다.null

X의 경우, y${\displaystyle {}_{}}y{\displaystyle }$ c ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y\equiv _{c}x}$와 같은 모든 포인트 y의 설정 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$를 x의 연결된 구성 요소라고 한다.^[10]Lemma는 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$가 x를 포함하는 X의 고유한 최대 연결 서브셋임을$$ 암시한다. ^[11]C ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 닫힘도 x를 포함하는 연결 서브셋이므로$$, ^[12]C ${\displaystyle x_{}}$ ${\$가 닫히는$$ 것을 따른다.^[13]null

X가 미세하게 많은 연결 부품만 가지고 있다면, 각 부품은 닫힌 세트의 유한 결합의 보완물이며 따라서 개방된다.일반적으로 연결된 구성요소는 칸토어 공간과 같이 분리되지 않은 완전히 분리된 공간($즉{\displaystyle {}_{}}$, C ${\displaystyle x_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle C_{x}=\{x\}$모든 점 x에 대해$$)이 존재하기 때문에 열 필요가 없다.단, 국소적으로 연결된 공간의 연결 요소도 개방되어 있으므로 클론 집합이다.^[14]국부적으로 연결된 공간 X는 위상학적 분리 결합 union${\displaystyle }$C ${\displaystyle x_{}}$ ${\$에 따라 구별된다$$.반대로, X의 모든 열린 서브셋 U에 대해 U의 연결된 구성 요소가 열려 있는 경우, X는 연결된 집합의 베이스를 승인하고 따라서 로컬로 연결된다.^[15]null

Similarly x in X, the set ${\displaystyle PC_{x}}$ of all points y such that ${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$ is called the path component of x.^[16] As above, ${\displaystyle PC_{x}}$ is also the union of all path connected subsets of X that contain x, so by the Lemma is itself path connected.경로 연결된 세트가 연결되어 있기 때문에 모든 $X{\displaystyle X}$에 $대해$ P C ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ⊆ c x ${\$$displaystyle$ $PC_{x}\subseteq$ $C_{x$$}}$가 있다$.$

그러나 연결된 경로 집합의 닫힘은 경로에 연결될 필요가 없다. 예를 들어, 위상학자의 사인 곡선은 모든 점(x,y)으로 구성된 열린 부분 집합 U의 닫힘이며, 실제 선상의 간격에 대한 동형체인 U는 확실히 경로가 연결되어 있다.더구나 위상학자의 사인곡선 C의 경로 성분은 열려있지만 닫혀있지 않은 U , ${\displaystyle C\setminus$ U$}$이며, 닫혔지만 열리지 않는 $C$${\displaystyle }$∖ ${\displaystyle U}$, {\displaystyle C\setminus U}null

공간은 모든 열린 서브셋 U에 대해 U의 경로 구성요소가 열려 있는 경우에만 로컬로 연결된 경로다.^[16]따라서 로컬로 연결된 공간의 경로 구성요소는 X의 파티션을 쌍으로 분할된 개방형 세트로 제공한다.로컬로 연결된 공간의 열린 연결 서브공간은 반드시 연결된 경로라는 것을 따른다.^[17]Moreover, if a space is locally path connected, then it is also locally connected, so for all ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle C_{x}}$ is connected and open, hence path connected, that is, ${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$ That is, for a locally path connected space the components and 경로 구성요소가 일치한다.null

예

1. 사전 순서 토폴로지의 $세트{\displaystyle }$ I${\displaystyle }$× ${\displaystyle I}${\$displaystyle$ I$\times$ I$}($${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$I${\displaystyle }$= [ ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$]$${\$displaystyle I=[0,$1$])$은 정확히 하나의 구성요소를 가지고 있지만(연결되어 있기 때문에) 헤아릴 수 없이 많은 경로 구성요소를 가지고 있다.실제로${\displaystyle }${${\displaystyle a\}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{a\}\time I}$ 형식의 모든 집합은 I에 속하는 각 a에 대한 경로 구성요소다$$.
2. Let ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }}$ be a continuous map from ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ (which is ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in the lower limit topology).$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 연결되고$$ 연속 지도 아래 연결된 공간의 이미지를 연결해야 하므로, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$} 아래$의 $R$ ${\$가) 연결되어야 한다$$.Therefore, the image of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ under ${\displaystyle f}$ must be a subset of a component of ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }/}$ Since this image is nonempty, the only continuous maps from '${\displaystyle \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} _{\el$$l {}}$이(가) 상수지도다.실제로 연결된 공간에서 완전히 분리된 공간으로 이어지는 모든 연속 지도는 일정해야 한다.

준성분

X를 위상학적 공간이 되게 하라.X가 A의 요소이고 y가 B의 요소인 오픈 세트 A와 B로 X의 분리가 없는 경우$$ X: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$에 대한 세 번째 관계를 정의한다.이는 X에 대한 동등성 관계이며, X를 포함하는$$ 동등성 등급 Q ${\displaystyle C_{}}$ x ${\$을 x의 quasicomister라고 한다.^[11]

${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 x를 포함하는 X의 모든 열린 하위 집합의 교차점이라고도 할 수 있다$$.^[11]따라서 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) 닫혀 있으므로$$ 일반적으로 열 필요가 없다.null

분명히 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Q}$ c ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 모든 $x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle$ x$\in X.}$ 전반적으로$$^[11] x의 경로 구성요소, 구성 요소 및 quasicom 성분 사이에 다음과 같은 성분이 포함되어 있다.

If X is locally connected, then, as above, ${\displaystyle C_{x}}$ is a clopen set containing x, so ${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$ and thus ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ Since local path connectedness implies local connectedness, it follows that at all points x of a loc우리가 가지고 있는 경로 연결 공간

Quasicom 구성 요소들이 구성요소에 동의하는 또 다른 종류의 공간은 콤팩트한 하우스도르프 공간이다.^[18]null

예

1. Quasicomponents가 그 구성요소와 같지 않은 공간의 예는 이중 한계점을 갖는 시퀀스다.이 공간은 완전히 분리되어 있지만, 두 한계점은 모두 동일한 퀘이소메이터에 놓여 있다. 왜냐하면 그들 중 하나를 포함하는 모든 클로닝 세트는 시퀀스의 꼬리가 포함되어야 하기 때문이다. 따라서 다른 지점도 포함되어야 하기 때문이다.
2. The space ${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$ is locally compact and Hausdorff but the sets ${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$ and ${\displaystyle \{0\}\tim$$es (0,1]}$은(는) 동일한 quasicomponent에 있는 서로 다른 두 구성 요소다$$.
3. Arens-Fort 공간은 로컬로 연결되어 있지 않지만 그럼에도 불구하고 구성 요소와 quasicomponents는 일치한다: 실제로 $Q{\displaystyle }$ C ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}.$^[19]

메모들

참고 항목

• 로컬로 단순하게 연결된 공간
• 반 로크로 단순하게 연결됨

참조

• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• 존 L. 켈리;; ISBN 0-387-90125-6
• Munkres, James (1999), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
• Stephen Willard;;; Dover Publishments, 2004.

추가 읽기

• Coppin, CA.(1972년),"는 연결된 Locally 연결된 공간에서 연결된 공간에 분산 포인트로 연속 함수", 미국 수학 협회, 미국 수학회, 32의 논문집(2):625–626, doi:10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7, JSTOR 2037874.하우스 도르프 공간에 대해서, 연결된 지역적으로 연결되어 우주에서 연결된 공간에 분산 포인트로 지속적인 상수 함수다.
• Davis, H. S. (1968), "A Note on Connectedness Im Kleinen", Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 19 (5): 1237–1241, doi:10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3, JSTOR 2036067.