예외적 이형성

수학에서 우연한 이형성이라고도 하는 예외적인 이형성(異形性)은 두 집단의 a와_ij b 사이의 이형성(異形性)으로, 대개 무한대인 수학적인 대상의 이형성(異形性)으로, 이러한 이형성(異形性)^{[note 1]}의 패턴의 예는 아니다.이러한 우연은 때때로 사소한 문제로 여겨지지만,^[1] 다른 측면에서는 다른 현상, 특히 예외적인 대상을 발생시킬 수 있다.^[1]다음에서는 우연이 일어나는 곳마다 나열된다.

무리

유한단순군

유한단순군 사이의 예외적인 이형성들은 대부분 투사적인 특수 선형 그룹과 교대 그룹을 포함하며,^[1] 다음과 같다.

• ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 4}$ ) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {PSL\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}(}$ ( 5${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ A ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \operatorname$ {$PSL} _{2}(4)\cong \operatorname$ {$PSL} _{2}(5)\cong A_{5}}}}}}$ 가장 작은$$ 비아벨리안 단순 그룹(순서 60) – 동상 대칭;
• ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle 7}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(7)\cong \operatorname {PSL} _{3}(2$),$$두 번째로$$ 작은 비-아벨라비아 단순 그룹(주문 168) – PSL(2,7);
• ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(9)\cong A_{6}}$
• ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{4}(2)\cong A_{8}}$
• ${\displaystyle {\mathrm{PSU}}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {\mathrm{PSP}}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {PSU} _{4}\cong \operatorname {PSP} _{4}(3),$ 투사적 특수 직교 그룹과 투사적 공감 그룹 사이$$.

교대 그룹과 대칭 그룹

대칭/대칭 그룹과 Lie 유형/대칭 그룹의 작은 그룹 사이에는 다음과 같은 우연이 있다.^[2]

• ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\$ 순서 6의 다이헤드$$ 그룹,
• ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\$ 사면체$$ 그룹,
• ${\displaystyle S_{4}\cong \operatorname {PGL} _{2}(3)\cong \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} /4)\cong {}}$ full tetrahedral group ${\displaystyle \cong }$ octahedral group,
• ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 5}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\$ icoshedral$$ 그룹,
• ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\gamma }}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( 4${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {\mathrm{PGL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 5}$) ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {P\GL}\{2}(4)\cong \operatorname {PGL} _{2}(5$ ,
• ${\displaystyle A_{6}\cong \operatorname {PSL} _{2}(9)\cong \operatorname {Sp} _{4}(2),}$
• ${\displaystyle S_{6}\cong \operatorname {Sp} _{4}(2),}$
• ${\displaystyle A_{8}\cong \operatorname {PSL} _{4}(2)\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2),}}$
• ${\displaystyle S_{8}\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2)}$

이것들은 모두 선형대수법(그리고 아핀 $n{\displaystyle }${\$displaystyle n$} -space에$$$$ $대한{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Sn}_{}}${\$displaystyle S_{n}$의 작용)을 사용하여 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 이형성을 정의함으로써 체계적으로 설명할 수 있다.($A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$)$$S 8 {\$displaystyle$ S_${8}$에 대한 위의 이소형성은 예외적인$$ 이소형성 ${\displaystyle {\mathrm{SL}}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$μ${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mu {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ μ2${\displaystyle {}_{}{\mu s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{SO}}_{}}$ 6 ${\$ \}\cong $\coperatorname {SO}{6}}}}}}}}$을 통해 연결된다$.$

또한 정규 다면체의 대칭과 몇 가지 일치되는 점이 있는데, 교번 그룹₅ A가 교번 그룹(그 자체가 예외적인 개체)과 일치하고, 교번 그룹₅ A의 이중 커버는 이항 이면체 그룹이다.

사소한 그룹

그 하찮은 집단은 여러 가지 방법으로 생겨난다.이 하찮은 집단은 흔히 고전적인 가정의 초기부터 생략된다.예를 들어,

• ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 순서 1의 순환 그룹$;$
• ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}자로 교대 그룹 표시$;$
• ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0 또는 1자로 된 대칭 그룹$;$
• ${\displaystyle \operatorname {GL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {SL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (0,\mathbb {K} )}$, linear groups of a 0-dimensional vector space;
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (1,\mathbb {K} )}$, linear groups of a 1-dimensional vector space
• 그리고 다른 많은 것들도.

구스

구⁰ S, S¹, S는³ 그룹 구조를 인정하며, 이는 여러 가지 방법으로 설명할 수 있다.

• ${\displaystyle S^{0}\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} ^{\times }}$, the last being the group of units of the integers ,
• ${\displaystyle S^{1}\cong \operatorname {SO}\cong \operatorname {SO}\cong \operatorname {U}(1)\cong \mathb {R} /\mathb {Z} \cong {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 서클 그룹
• ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{스핀}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ ${\$ ung unit unit$$ unit unit unit unit unit unit g qu unit qu qu qu

그룹 회전

위의$$ ${\displaystyle \mathrm{스핀}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \operatorname {Spin}(1$ ${\displaystyle \mathrm{스핀}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$) ${\$$displaystyle$ $\$$operatorname {Spin},$ ${\displaystyle \mathrm{스핀<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{Spin\}\; (2)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f6ca9dcc836b2b39067b10c42c6309d1ac3152f3"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.496ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="118">}}$ $⁡$($3$ 외에 더 높은 차원의 스핀 그룹에 대한 이형성도 있다.

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {Sp}(1)\time \operatorname {SU}(2)\time \operatorname {SU}(2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin}(5)\cong \operatorname {Sp}(2)$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin}(6)\cong \operatorname {SU}(4)}$

또한, 스핀(8)은 예외적인 순서 3 3 자동성을 가지고 있다.

콕시터-딘킨 도표

Dynkin 다이어그램에는 해당 Coxeter 그룹과 대칭을 실현하는 폴리토페스의 이형성뿐만 아니라, 동일한 다이어그램에 의해 루트 시스템이 설명되는 거짓말 알헤브라의 이형성들도 있다.다음은 다음과 같다.

도표	딘킨 분류	리 대수	폴리토프
	A1 = B1 = C1	${\displaystyle {\mathfrak{sl}_{2}\cong {so}_{3}\cong {\mathfrak {sp}_{1}}$	-
$\displaystyle \cong }$	A2 = I2(2)	-	2-제곱은 정규 3-곤(등각 삼각형)
	BC2 = I2(4)	${\displaystyle {\mathfrak{so}_{5}\cong {\mathfrak {sp}_{2}}$	2-분할은 2-크로스 폴리토프가 정규 4-곤(제곱)
$\displaystyle \cong }$	A1 × A1 = D2	${\displaystyle {\mathfrak{sl}_{2}\mathfrak {sl}_{2}\cong {\mathfrak {so}_{4}}}}$	-
$\displaystyle \cong }$	A3 = D3	${\displaystyle {\mathfrak{sl}_{4}\cong {\mathfrak {so}_{6}}$	3-980은 3-데미하이퍼큐브(일반 사면체)

참고 항목

• 예외 객체
• 수학적 우연에 대한 수학적인 우연

메모들

참조